Π—Π½Π°ΠΊ мноТСства – Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ…, матСматичСских, физичСских символов ΠΈ сокращСний. Бокращённая ΠΈ символьная запись физичСского, матСматичСского, химичСского ΠΈ, Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ, Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ тСкста, матСматичСскиС обозначСния. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΠΏΠΈΡΡŒ.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° матСматичСских символов — это… Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° матСматичСских символов?

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ повсСмСстно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ символы для упрощСния ΠΈ сокращСния тСкста. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½ список Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ матСматичСских ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹ Π² TeXΠ΅, объяснСния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ использования.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… символов, ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΡ… Π·Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ отраТСния, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ

Π—Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ матСматичСскиС символы — Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ матСматичСскиС дСйствия со своими Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» (TeX)Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» (Unicode)ΠΠ°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ

β‡’

β†’

βŠƒ

Π˜ΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ, слСдованиС ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ «Ссли Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΒ».
(β†’ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ вмСсто
β‡’ ΠΈΠ»ΠΈ для обозначСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, см.Β Π½ΠΈΠΆΠ΅.)
(βŠƒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ вмСсто β‡’, ΠΈΠ»ΠΈ для обозначСния надмноТСства, см.Β Π½ΠΈΠΆΠ΅.).
Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Π½ΠΎ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ).
Β«Π²Π»Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Β» ΠΈΠ»ΠΈ «Ссли…, Ρ‚ΠΎΒ»
Π²Π΅Π·Π΄Π΅
β‡”Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β« Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΒ».
«Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли» ΠΈΠ»ΠΈ Β«Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΒ»
Π²Π΅Π·Π΄Π΅
βˆ§ΠšΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ истинно Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΠΎΠ±Π° истинны., Ссли Β β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.
Β«ΠΈΒ»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
βˆ¨Π”ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ истинно, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· условий ΠΈ истинно., Ссли Β β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.
Β«ΠΈΠ»ΠΈΒ»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
Β¬ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ истинно Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ .
Β«Π½Π΅Β»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
βˆ€ΠšΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ всСобщности ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β« Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для всСх Β».
«Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ…Β», «Для всСх»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
βˆƒΠšΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ сущСствования ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ «сущСствуСт хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ Β» (ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ число 5)
«сущСствуСт»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
=РавСнство ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β« ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅Β».1 + 2 = 6 βˆ’ 3
Β«Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ»
Π²Π΅Π·Π΄Π΅

Β :=

:⇔

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β« ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Β».
ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β« ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ Β»
(ГипСрболичСский косинус)
(Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ)
Β«Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ/Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽΒ»
Π²Π΅Π·Π΄Π΅
{ , }ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ элСмСнтов ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство, элСмСнтами ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ , ΠΈ . (мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл)
Β«ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎβ€¦Β»
ВСория мноТСств

{ | }

{Β : }

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ элСмСнтов, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство всСх Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ .
Β«ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ всСх… Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вСрно…»
ВСория мноТСств

βˆ…

{}

ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство ΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ мноТСство, Π½Π΅ содСрТащСС Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта.
Β«ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство»
ВСория мноТСств

∈

βˆ‰

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ/Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊ мноТСству ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β« являСтся элСмСнтом мноТСства Β»
ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β« Π½Π΅ являСтся элСмСнтом мноТСства Β»

Β«ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚Β», Β«ΠΈΠ·Β»
Β«Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚Β»
ВСория мноТСств

βŠ†

βŠ‚

ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт ΠΈΠ· Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся элСмСнтом ΠΈΠ· Β».
ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ . Однако Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ строгоС Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ).

«являСтся подмноТСством», Β«Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΎ Π²Β»
ВСория мноТСств

βŠ‡

βŠƒ

НадмноТСство ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт ΠΈΠ· Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся элСмСнтом ΠΈΠ· Β».
ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ . Однако Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ строгоС Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ).

«являСтся надмноТСством», Β«Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя»
ВСория мноТСств
βŠŠΠ‘ΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ подмноТСство ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ .
«являСтся собствСнным подмноТСством», «строго Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π²Β»
ВСория мноТСств
βŠ‹Π‘ΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ надмноТСство ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ .
«являСтся собствСнным надмноТСством», «строго Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя»
ВСория мноТСств
βˆͺОбъСдинСниС ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство элСмСнтов, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΈΠ»ΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ сразу).
«ОбъСдинСниС … ΠΈ …», «…, ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ с …»
ВСория мноТСств
β‹‚ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство элСмСнтов, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΈ , ΠΈ .
Β«ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ … ΠΈ … », «…, пСрСсСчённоС с …»
ВСория мноТСств
\Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСств ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство элСмСнтов, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… , Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… .
Β«Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ … ΠΈ … », «минус», «… Π±Π΅Π· …»
ВСория мноТСств
β†’
Ѐункция ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ прибытия (ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ) .Ѐункция , опрСдСлённая ΠΊΠ°ΠΊ
Β«ΠΈΠ· … Π²Β»,
Π²Π΅Π·Π΄Π΅
β†¦ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ послС примСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ .Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ , ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:
«отобраТаСтся Π²Β»
Π²Π΅Π·Π΄Π΅
N ΠΈΠ»ΠΈ β„•ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅ΠΆΠ΅ (Π² зависимости ΠΎΡ‚ ситуации).
Β«Π­Π½Β»
Числа
Z ΠΈΠ»ΠΈ β„€Π¦Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство
Β«Π—Π΅Π΄Β»
Числа
Q ΠΈΠ»ΠΈ β„šΠ Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚
Β«ΠšΡƒΒ»
Числа
R ΠΈΠ»ΠΈ ℝВСщСствСнныС числа, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство всСх ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ ΠΈΠ·
(Β β€” комплСксноС число: )
Β«Π­Ρ€Β»
Числа
C ΠΈΠ»ΠΈ β„‚ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство
Β«Π¦Π΅Β»
Числа

<
>
Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ строго мСньшС .
ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ строго большС .
«мСньшС Ρ‡Π΅ΠΌΒ», «большС Ρ‡Π΅ΠΌΒ»
ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ порядка

≀ ΠΈΠ»ΠΈ β©½
β‰₯ ΠΈΠ»ΠΈ β©Ύ
Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мСньшС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ .
ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ .
«мСньшС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ»; «большС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ»
ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ порядка
β‰ˆΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ равСнство с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2,718 отличаСтся ΠΎΡ‚ Π½Π΅ большС Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π° . с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ .
Β«ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ»
Числа
βˆšΠΡ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ .
Β«ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· …»
Числа
βˆžΠ‘Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡΡƒΡ‚ΡŒ элСмСнты Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π­Ρ‚ΠΈ символы ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ числа, мСньшСС/большСС всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
«Плюс/минус Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ»
Числа
|Β |ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ числа (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅), ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСства ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ .
ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСства ΠΈ равняСтся, Ссли ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, числу элСмСнтов .
Β«ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒΒ»; Β«ΠœΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ»
Числа ΠΈ ВСория мноТСств
βˆ‘Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°, сумма ряда ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ «сумма , Π³Π΄Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ значСния ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ Β», Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ .
ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ сумму ряда, состоящСго ΠΈΠ· .


Β«Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° … ΠΏΠΎ … ΠΎΡ‚ … Π΄ΠΎ …»
АрифмСтика, ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
βˆΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ для всСх ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ Β», Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ
Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ … ΠΏΠΎ … ΠΎΡ‚ … Π΄ΠΎ …»
АрифмСтика
Β !Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

Β« Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π»Β»
ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°
βˆ«Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ Π΄ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Β».
Β«Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» (ΠΎΡ‚ … Π΄ΠΎ …) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ … ΠΏΠΎ (ΠΈΠ»ΠΈ d)…»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
df/dx
f'(x)
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«(пСрвая) производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Β».
Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ … ΠΏΠΎ …»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ -Π³ΠΎ порядка ΠΈΠ»ΠΈ (Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС Ссли Β β€” фиксированноС число, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ римскими Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌΠΈ) ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«-я производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Β».
Β«-я производная … ΠΏΠΎ …»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·

dic.academic.ru

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° матСматичСских символов | Virtual Laboratory Wiki

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ повсСмСстно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ символы для упрощСния ΠΈ сокращСния тСкста. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘Π½ список Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ матСматичСских ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹ Π² TeXΠ΅, объяснСния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ использования.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… символов, ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΡ… Π·Π΅Ρ€ΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ отраТСния, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, $ A \subset B $ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ $ B \supset A $.

Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» (TeX) Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» (Unicode) НазваниС Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
Π Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ
$ \Rightarrow\, $ β‡’ Π˜ΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ, слСдованиС $ A \Rightarrow B\, $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ «Ссли $ A $ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ $ B $ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΒ».
Иногда вмСсто Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ $ \rightarrow\, $.
$ x = 2 \Rightarrow x^2 = 4\, $ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Π½ΠΎ $ x^2 = 4 \Rightarrow x = 2\, $ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ $ x=-2 $ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ).
Β«Π²Π»Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Β» ΠΈΠ»ΠΈ «Ссли…, Ρ‚ΠΎΒ»
Π²Π΅Π·Π΄Π΅
$ \Leftrightarrow $ ⇔ Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ $ A \Leftrightarrow B $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«$ A $ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $ B $ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΒ». $ x + 5 = y + 2 \Leftrightarrow x + 3 = y\, $
«Ссли ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли» ΠΈΠ»ΠΈ Β«Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ
Π²Π΅Π·Π΄Π΅
$ \wedge $ ∧ ΠšΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ $ A \wedge B $ истинно Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $ A $ ΠΈ $ B $ ΠΎΠ±Π° истинны. $ (n>2)\wedge (n<4)\Leftrightarrow (n=3) $, Ссли $ n $Β β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.
Β«ΠΈΒ»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
$ \vee $ ∨ Π”ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ $ A\vee B $ истинно, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· условий $ A $ ΠΈ $ B $ истинно. $ (n\leqslant 2)\vee (n\geqslant 4)\Leftrightarrow n\ne 3 $, Ссли $ n $Β β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.
Β«ΠΈΠ»ΠΈΒ»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
$ \neg $ Β¬ ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ $ \neg A $ истинно Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ $ A $. $ \neg (A\wedge B)\Leftrightarrow (\neg A)\vee (\neg B) $
$ x\notin S\Leftrightarrow \neg(x\in S) $
Β«Π½Π΅Β»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
$ \forall $ βˆ€ ΠšΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ всСобщности $ \forall x, P(x) $ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«$ P(x) $ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для всСх $ x $Β». $ \forall n\in \mathbb N,\;n^2\geqslant n $
«Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ…Β», «Для всСх»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
$ \exists $ βˆƒ ΠšΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ сущСствования $ \exists x,\;P(x) $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ «сущСствуСт хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ $ x $ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ $ P(x) $Β» $ \exists n\in \mathbb N,\;n+5=2n $ (ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ число 5)
«сущСствуСт»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°
$ =\, $ = РавСнство $ x=y $ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«$ x $ ΠΈ $ y $ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Β». 1 + 2 = 6 βˆ’ 3
Β«Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ»
Π²Π΅Π·Π΄Π΅
$Β := $
$Β :\Leftrightarrow $
$ \stackrel{\rm{def}}{=} $
Β :=
:⇔
ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ xΒ := y $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«$ x $ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ $ y $Β».
$ PΒ :\Leftrightarrow Q $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«$ P $ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ $ Q $Β»
$ {\rm ch} (x)Β := {1\over 2}\left(e^x+e^{-x}\right) $ (ГипСрболичСский косинус)
$ A \oplus BΒ :\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge \neg (A\wedge B) $ (Π˜ΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ)
Β«Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ/Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽΒ»
Π²Π΅Π·Π΄Π΅
$ \{ ,\} $ { , } ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ элСмСнтов $ \{a,\;b,\;c\} $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство, элСмСнтами ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ $ a $, $ b $ ΠΈ $ c $. $ \mathbb N = \{0,\;1,\;2,\;\ldots \} $ (мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл)
Β«ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎβ€¦Β»
ВСория мноТСств
$ \{ | \} $
$ \{Β : \} $
{ | }
{Β : }
ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ элСмСнтов, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ $ \{x\,|\,P(x)\} $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство всСх $ x $ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ $ P(x) $. $ \{n\in \mathbb N\,|\,n^2<20\} = \{0,\;1,\;2,\;3,\;4\} $
Β«ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ всСх… Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вСрно…»
ВСория мноТСств
$ \varnothing $
$ \{\} $
βˆ…
{}
ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство $ \{\} $ ΠΈ $ \varnothing $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ мноТСство, Π½Π΅ содСрТащСС Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта. $ \{n\in \mathbb N\,|\,1<n^2<4\} = \varnothing $
Β«ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство»
ВСория мноТСств
$ \in $
$ \notin $
∈
βˆ‰
ΠŸΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ/Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊ мноТСству $ a\in S $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«$ a $ являСтся элСмСнтом мноТСства $ S $Β»
$ a\notin S $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«$ a $ Π½Π΅ являСтся элСмСнтом $ S $Β»
$ 2\in \mathbb N $
$ {1\over 2}\notin \mathbb N $
Β«ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚Β», Β«ΠΈΠ·Β»
Β«Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚Β»
ВСория мноТСств
$ \subseteq $
$ \subset $
βŠ†
βŠ‚
ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ $ A\subseteq B $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт ΠΈΠ· $ A $ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСстя элСмСнтом ΠΈΠ· $ B $Β».
$ A\subset B $ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ $ A\subseteq B $. Однако Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ $ \subset $, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ строгоС Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ $ \subsetneq $).
$ (A\cap B) \subseteq A $
$ \mathbb Q\subseteq \mathbb R $
«являСтся подмноТСством», Β«Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΎ Π²Β»
ВСория мноТСств
$ \subsetneq $ β«‹ БобствСнноС подмноТСство $ A\subsetneq B $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ $ A\subseteq B $ ΠΈ $ A\ne B $. $ \mathbb N\subsetneq \mathbb Q $
«являСтся собствСнным подмноТСством», «строго Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π²Β»
ВСория мноТСств
$ \cup $ βˆͺ ОбъСдинСниС $ A\cup B $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство элСмСнтов, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… $ A $ ΠΈΠ»ΠΈ $ B $ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌ сразу). $ A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B $
«ОбъСдинСниС … ΠΈ …», «…, ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ с …»
ВСория мноТСств
$ \cap $ β‹‚ ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ A\cap B $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство элСмСнтов, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… ΠΈ $ A $, ΠΈ $ B $. $ \{x\in \R\,|\,x^2=1\}\cap \mathbb N = \{1\} $
Β«ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ … ΠΈ … », «…, пСрСсСчённоС с …»
ВСория мноТСств
$ \setminus $ \ Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСств $ A\setminus B $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство элСмСнтов, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… $ A $, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… $ B $. $ \{1,\;2,\;3,\;4\}\setminus \{3,\;4,\;5,\;6\} = \{1,\;2\} $
Β«Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ … ΠΈ … », «минус», «… Π±Π΅Π· …»
ВСория мноТСств
$ \to $ β†’ Ѐункция $ f\!\!:X\to Y $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ $ f $ с ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния $ X $ ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ прибытия $ Y $. Ѐункция $ f\!\!:\mathbb Z\to \mathbb Z $, опрСдСлённая ΠΊΠ°ΠΊ $ f(x)=x^2 $
Β«ΠΈΠ· … Π²Β»,
Π²Π΅Π·Π΄Π΅
$ \mapsto $ ↦ ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ $ x \mapsto f(x) $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ $ x $ послС примСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f $ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ $ f(x) $. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ $ f(x)=x^2 $, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: $ f\colon x \mapsto x^2 $
«отобраТаСтся Π²Β»
Π²Π΅Π·Π΄Π΅
$ \mathbb N $ N ΠΈΠ»ΠΈ β„• ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа $ \mathbb N $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство $ \{1,\;2,\;3,\;\ldots\} $ ΠΈΠ»ΠΈ $ \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\} $ (Π² зависимости ΠΎΡ‚ ситуации). $ \{\left|a\right|\,|\,a\in \mathbb Z\}=\mathbb N $
Β«Π­Π½Β»
Числа
$ \mathbb Z $ Z ΠΈΠ»ΠΈ β„€ Π¦Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа $ \mathbb Z $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство $ \{\ldots,\;-3,\;-2,\;-1,\;0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots\} $ $ \{a,\;-a\,|\,a\in\mathbb N\}=\mathbb Z $
Β«Π—Π΅Π΄Β»
Числа
$ \mathbb Q $ Q ΠΈΠ»ΠΈ β„š Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа $ \mathbb Q $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ $ \left\{\left.{p\over q} \right| p\in \mathbb Z \wedge q\in \mathbb Z\wedge q\ne 0\right\} $ $ 3,\!14\in \mathbb Q $
$ \pi \notin \mathbb Q $
Β«ΠšΡƒΒ»
Числа
$ \mathbb R $ R ΠΈΠ»ΠΈ ℝ ВСщСствСнныС числа, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа $ \R $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство всСх ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ ΠΈΠ· $ \mathbb Q $ $ \pi \in \R $
$ i \notin \R $ ($ i $Β β€” комплСксноС число: $ i^2=-1 $)
Β«Π­Ρ€Β»
Числа
$ \mathbb C $ C ΠΈΠ»ΠΈ β„‚ ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа $ \mathbb C $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство $ \{a+b\cdot i\,|\,a\in \R \wedge b\in \R\} $ $ i\in \mathbb C $
Β«Π¦Π΅Β»
Числа
$ <\, $
$ >\, $
<
>
Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ x<y $ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ x $ строго мСньшС $ y $.
$ x>y $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ x $ строго большС $ y $.
$ x<y\Leftrightarrow y>x $
«мСньшС Ρ‡Π΅ΠΌΒ», «большС Ρ‡Π΅ΠΌΒ»
ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ порядка
$ \leqslant $
$ \geqslant $
≀ ΠΈΠ»ΠΈ β©½
β‰₯ ΠΈΠ»ΠΈ β©Ύ
Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ x\leqslant y $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ x $ мСньшС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ $ y $.
$ x\geqslant y $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ x $ большС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ $ y $.
$ x\geqslant 1\Rightarrow x^2\geqslant x $
«мСньшС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ»; «большС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ»
ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ порядка
$ \approx $ β‰ˆ ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ равСнство $ e\approx 2,\!718 $ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ $ 10^{-3} $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2,718 отличаСтся ΠΎΡ‚ $ e $ Π½Π΅ большС Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π° $ 10^{-3} $. $ \pi \approx 3,\!1415926 $ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ $ 10^{-7} $.
Β«ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ»
Числа
$ \sqrt{ } $ √ АрифмСтичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ $ \sqrt x $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ $ x $. $ \sqrt 4=2 $
$ \sqrt {x^2}= \left|x\right| $
Β«ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· …»
Числа
$ \infty $ ∞ Π‘Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ $ +\infty $ ΠΈ $ -\infty $ ΡΡƒΡ‚ΡŒ элСмСнты Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π­Ρ‚ΠΈ символы ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ числа, мСньшСС/большСС всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. $ \lim\limits_{x\to 0} {1\over \left|x\right|}= \infty $
«Плюс/минус Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ»
Числа
$ \left|\;\right| $ |Β | ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ числа (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅), ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ комплСксного числа ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСства $ \left|x\right| $ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ $ x $.
$ |A| $ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСства $ A $ ΠΈ равняСтся, Ссли $ A $ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, числу элСмСнтов $ A $.
$ \left|a+b\cdot i\right|=\sqrt {a^2+b^2} $
Β«ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒΒ»; Β«ΠœΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ»
Числа ΠΈ ВСория мноТСств
$ \sum $ βˆ‘ Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°, сумма ряда $ \sum_{k=1}^n a_k $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ «сумма $ a_k $, Π³Π΄Π΅ $ k $ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ значСния ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ $ n $Β», Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ $ a_1+a_2+\ldots+a_n $.
$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ сумму ряда, состоящСго ΠΈΠ· $ a_k $.
$ \sum_{k=1}^4 k^2= $
$ = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 $
$ = 30 $
Β«Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° … ΠΏΠΎ … ΠΎΡ‚ … Π΄ΠΎ …»
АрифмСтика, ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
$ \prod $ ∏ ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ \prod_{k=1}^n a_k $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ a_k $ для всСх $ k $ ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ $ n $Β», Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ $ a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_n $ $ \prod_{k=1}^4 (k+2)= $
$ =3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360 $
Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ … ΠΏΠΎ … ΠΎΡ‚ … Π΄ΠΎ …»
АрифмСтика
$ \int dx $ ∫ Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» $ \int\limits_a^b f(x)\, dx $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΎΡ‚ $ a $ Π΄ΠΎ $ b $ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f $ ΠΎΡ‚ $ x $ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ $ x $Β». $ \int\limits_0^b x^2\, dx = b^3/3 $
$ \int x^2\, dx = x^3/3 $
Β«Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» (ΠΎΡ‚ … Π΄ΠΎ …) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ … ΠΏΠΎ (ΠΈΠ»ΠΈ d)…»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
$ \frac{df}{dx} $
$ f'(x) $
df/dx
f'(x)
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ $ \frac{df}{dx} $ ΠΈΠ»ΠΈ $ f'(x) $ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«(пСрвая) производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f $ ΠΎΡ‚ $ x $ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ $ x $Β». $ \frac{d \cos x}{dx} = -\sin x $
Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ … ΠΏΠΎ …»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
$ \frac{d^n f}{dx^n} $
$ f^{(n)} (x) $
$ d^n f/dx^n $
$ f^{(n)}(x) $
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ $ n $-Π³ΠΎ порядка $ \frac{d^n f}{dx^n} $ ΠΈΠ»ΠΈ $ f^{(n)} (x) $ (Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС Ссли $ n $Β β€” фиксированноС число, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ римскими Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌΠΈ) ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«$ n $-я производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f $ ΠΎΡ‚ $ x $ ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ $ x $Β». $ \frac{d^4 \cos x}{dx^4} = \cos x $
Β«$ n $-я производная … ΠΏΠΎ …»
ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·

ru.vlab.wikia.com

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств

1. ЛогичСскиС символы

ΠšΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Β Β — замСняСт Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ «Π΄Π»Ρ любого», «Π΄Π»Ρ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ», «Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π±Ρ‹ Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ».

ΠšΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Β Β — замСняСт Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ «ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚», «Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ся».

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒΒ Β (импликация) ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· справСдливости высказывания AΒ Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ высказывания B. Если, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΈΠ· справСдливости высказывания BΒ Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ A, Ρ‚ΠΎ записываСм . Если , Ρ‚ΠΎ высказываниС B являСтся Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ ΠΈ достаточным условиСм для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ»ΠΎΡΡŒ высказываниС A.

Если прСдлоТСния AΒ ΠΈΒ B справСдливы ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ записываСм . Если ΠΆΠ΅ справСдливо хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ AΒ ΠΈΠ»ΠΈΒ B, Ρ‚ΠΎ записываСм .

2. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ мноТСствами

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ понятиС мноТСства элСмСнтов принимаСтся Π² качСствС ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ задаСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ, согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ опрСдСляСм, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π»ΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ элСмСнт мноТСству ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ символом AΒ = {x}, Π³Π΄Π΅Β xΒ — ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ элСмСнтов мноТСства A. Часто мноТСство Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅Β AΒ = {a,Β b,c, …}, Π³Π΄Π΅ Π² Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π½Ρ‹Ρ… скобках ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ элСмСнты мноТСства A. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ обозначСниями:

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β NΒ — мноТСство всСх Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл; Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β ZΒ — мноТСство всСх Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл; Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β QΒ — мноТСство всСх Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл; Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β RΒ — мноТСство всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл; Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β CΒ — мноТСство всСх комплСксных чисСл; Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Z0Β — мноТСство всСх Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒΒ Β (ΠΈΠ»ΠΈΒ ) ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ элСмСнт aΒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ мноТСству A.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒΒ Β (ΠΈΠ»ΠΈΒ ) ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ элСмСнт aΒ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ мноТСству A.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎΒ B, всС элСмСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ мноТСству A, называСтся подмноТСством мноТСства A, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ этом Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚Β (ΠΈΠ»ΠΈΒ ) (см. рис. 1).

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 

ВсСгда , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт мноТСства, СстСствСнно, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚Β A. ΠŸΡƒΡΡ‚ΠΎΠ΅ мноТСство, Ρ‚. Π΅. мноТСство, Π½Π΅ содСрТащСС Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ символом . Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ мноТСство содСрТит пустоС мноТСство Π² качСствС своСго подмноТСства.

Если , Ρ‚ΠΎΒ AΒ ΠΈΒ BΒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ мноТСствами, ΠΏΡ€ΠΈ этом Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚Β AΒ =Β B.

Если , Ρ‚ΠΎ мноТСство элСмСнтов мноТСства , Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ…Β A, называСтся дополнСниСм мноТСства AΒ ΠΊ мноТСству  (см. рис. 2).

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСства AΒ ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΡƒΒ Β ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ символом ; ΠΈΠ»ΠΈ просто CA, Ссли извСстно, ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ мноТСству бСрСтся Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ,

Если , Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСства BΒ ΠΊ мноТСству AΒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚Β Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽΒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Β AΒ ΠΈΒ BΒ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚Β A\BΒ (см. рис. 3), Ρ‚. Π΅.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒΒ AΒ ΠΈΒ BΒ — подмноТСства мноТСства .

ОбъСдинСниСм мноТСств AΒ ΠΈΒ B называСтся мноТСство (см. рис. 4)

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 

Аналогично, Ссли , подмноТСства мноТСства , Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… объСдинСниСм Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ мноТСство

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ подмноТСств AΒ ΠΈΒ B называСтся мноТСство (см. рис. 5)

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 

Аналогично, ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌΒ Β ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ пСрСсСчСниС подмноТСств , мноТСства , Ρ‚. Π΅. мноТСство

Если каТдому  сопоставлСно Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ мноТСство , Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ задано сСмСйство мноТСств . Π’ этом случаС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎΒ Β Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚Β ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ сСмСйства мноТСств , Π° мноТСство  — пСрСсСчСниСм этого сСмСйства.

БиммСтричСской Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽΒ Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств AΒ ΠΈΒ B называСтся мноТСство, опрСдСляСмоС объСдинСниСм разностСй A\BΒ ΠΈΒ B\AΒ (см. рис. 6).

Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ символом .

Π”Π²Π° элСмСнта aΒ ΠΈΒ bΒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΒ ΡƒΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠΉ, Ссли ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих элСмСнтов ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈ этом .

Π£ΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ элСмСнтов aΒ ΠΈΒ bΒ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ символом (a,Β b).

Аналогично опрСдСляСтся упорядочСнная систСма ΠΈΠ·Β n элСмСнтов a1,Β a2, …,Β an, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ символом (a1,Β a2, …,Β an). Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹Β a1,Β a2, …,Β anΒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡΒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ упорядочСнной систСмы (a1,Β a2, …,Β an).

Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ всСвозмоТных упорядочСнных ΠΏΠ°Ρ€ (a,Β b), Π³Π΄Π΅Β , называСтся произвСдСниСм мноТСств AΒ ΠΈΒ BΒ ΠΈ обозначаСтся символом .

Аналогично, ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌΒ Β ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств , Ρ‚. Π΅. ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ всСвозмоТных упорядочСнных систСм (a1,Β a2, …,Β an), Π³Π΄Π΅Β .

studfiles.net

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ символы :: SYL.ru

Как извСстно, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π»ΡŽΠ±ΠΈΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ – Π½Π΅Π΄Π°Ρ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ΄Π½Π°-СдинствСнная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π² словСсной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π°Π±Π·Π°Ρ†, Π° ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ†Π΅Π»ΡƒΡŽ страницу тСкста. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, графичСскиС элСмСнты, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π²ΠΎ всСм ΠΌΠΈΡ€Π΅ Π² Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π²Π°Π½Ρ‹ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ написания ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прСдставлСния Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, стандартизованныС графичСскиС изобраТСния ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ любого языка, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ знания Π² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ сфСрС.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΈ символов насчитываСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ столСтий – Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π½Ρ‹ случайным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈΡΡŒ для обозначСния ΠΈΠ½Ρ‹Ρ… явлСний; Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ стали ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠΌ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ…, Ρ†Π΅Π»Π΅Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… искусствСнный язык ΠΈ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ практичСскими сообраТСниями.

Плюс ΠΈ минус

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ происхоТдСния символов, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ арифмСтичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎ нСизвСстна. Однако сущСствуСт достаточно вСроятная Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·Π° происхоТдСния Π·Π½Π°ΠΊΠ° «плюс», ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Π΅Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚. Π’ соотвСтствии с Π½Π΅ΠΉ символ слоТСния Π±Π΅Ρ€Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π² латинском союзС et, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ пСрСводится Π½Π° русский язык ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΠΈΒ». ΠŸΠΎΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ, с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ ускорСния процСсса записи, слово Π±Ρ‹Π»ΠΎ сокращСно Π΄ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ крСста, Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ t. Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΉ достовСрный ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ сокращСния датируСтся XIV Π²Π΅ΠΊΠΎΠΌ.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ «минус» появился, ΠΏΠΎ всСй видимости, ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅. Π’ XIV ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ XV Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π² Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ использовался Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΉ ряд символов, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ вычитания, ΠΈ лишь ΠΊ XVI Π²Π΅ΠΊΡƒ «плюс» ΠΈ «минус» Π² ΠΈΡ… соврСмСнном Π²ΠΈΠ΄Π΅ стали Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² матСматичСских Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°Ρ… вмСстС.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Как Π½ΠΈ странно, матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ символы для этих Π΄Π²ΡƒΡ… арифмСтичСских дСйствий Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ стандартизованы ΠΈ сСгодня. ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ умноТСния являСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π΄ΠΎΠΌ Π² XVII Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ крСстик, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…. На ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°Ρ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² школС Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ – Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ способ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†. Π•Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ способ прСдставлСния – Π·Π²Ρ‘Π·Π΄ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, которая Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ прСдставлСнии Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… расчётов. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» всё Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ XVII Π²Π΅ΠΊΠ΅ Иоганн Π Π°Π½.

Для ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ дСлСния прСдусмотрСны Π·Π½Π°ΠΊ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹ (ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π΄ΠΎΠΌ) ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ свСрху ΠΈ снизу (символ Π²Π²Π΅Π» Иоганн Π Π°Π½). ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ обозначСния являСтся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ популярным, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ достаточно распространСн.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ символы ΠΈ ΠΈΡ… значСния ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Однако всС Ρ‚Ρ€ΠΈ способа графичСского прСдставлСния умноТСния, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Π° способа для дСлСния ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ стСпСни ΡΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π° сСгодняшний дСнь.

РавСнство, тоТдСство, ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Как ΠΈ Π² случаС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΈ символов, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ равСнства ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ словСсным. Достаточно ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ врСмя общСпринятым ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ слуТило сокращСниС ae ΠΎΡ‚ латинского aequalis (Β«Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Β»). Однако Π² XVI Π²Π΅ΠΊΠ΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠΈΠ· Уэльса ΠΏΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π ΠΎΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ Π Π΅ΠΊΠΎΡ€Π΄ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» Π² качСствС символа Π΄Π²Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС, располоТСнныС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΏΠΎΠ΄ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ. Как ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π» ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΉ, нСльзя ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

НСсмотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ использовался для обозначСния ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ прямых, Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ символ равСнства постСпСнно ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» распространСниС. К слову, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ «большС» ΠΈ «мСньшС», ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ стороны Π³Π°Π»ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, появились лишь Π² XVII-XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅. БСгодня ΠΆΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ каТутся ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ понятными Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ.

НСсколько Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТныС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ эквивалСнтности (Π΄Π²Π΅ волнистыС Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ) ΠΈ тоТдСства (Ρ‚Ρ€ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС) вошли Π² ΠΎΠ±ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ лишь Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ XIX Π²Π΅ΠΊΠ°.

Π—Π½Π°ΠΊ нСизвСстного – «Икс»

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ возникновСния матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΈ символов Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ ΠΈ вСсьма интСрСсныС случаи пСрСосмыслСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ развития Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ. Π—Π½Π°ΠΊ обозначСния нСизвСстного, ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ сСгодня «иксом», Π±Π΅Ρ€Π΅Ρ‚ своё Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π½Π° Π‘Π»ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ВостокС Π½Π° Π·Π°Ρ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠ³ΠΎ тысячСлСтия.

Π•Ρ‰Ρ‘ Π² X Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π² арабском ΠΌΠΈΡ€Π΅, славящСмся Π² Ρ‚ΠΎΡ‚ историчСский ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ своими ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, понятиС нСизвСстного ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΡΡŒ словом, Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ пСрСводящимся ΠΊΠ°ΠΊ Β«Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎΒ» ΠΈ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ со Π·Π²ΡƒΠΊΠ° Β«Π¨Β». Π‘ Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ экономии ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ слово Π² Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Ρ‚Π°Ρ… стало ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹.

Бпустя ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ дСсятилСтия ΠΏΠΈΡΡŒΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Ρ‹ арабских ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Ρ… оказались Π² Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π°Ρ… ΠŸΠΈΡ€Π΅Π½Π΅ΠΉΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ полуострова, Π½Π° Ρ‚Π΅Ρ€Ρ€ΠΈΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ соврСмСнной Испании. НаучныС Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ стали ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π½Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ язык, Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ — Π² испанском отсутствуСт Ρ„ΠΎΠ½Π΅ΠΌΠ° Β«Π¨Β». ЗаимствованныС арабскиС слова, Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ с Π½Π΅Ρ‘, Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΏΠΎ особому ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΡΠ»ΠΈΡΡŒ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ X. Научным языком Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»Π° Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ «Икс».

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π½Π°ΠΊ, Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ взгляд ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ лишь случайно Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ символом, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΡƒΡŽ ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ являСтся сокращСниСм арабского слова Β«Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎΒ».

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… нСизвСстных

Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ «Икса», Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹Π΅ Π½Π°ΠΌ со школьной скамьи Y ΠΈ Z, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ a, b, c ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ·Π°ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ происхоТдСния.

Π’ XVII Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π±Ρ‹Π»Π° ΠΈΠ·Π΄Π°Π½Π° ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ «ГСомСтрия». Π’ этой ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π» ΡΡ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ символы Π² уравнСниях: Π² соотвСтствии с Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π΅ΠΉ, послСдниС Ρ‚Ρ€ΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ латинского Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚Π° (начиная ΠΎΡ‚ «Икса») стали ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ нСизвСстныС, Π° Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ – извСстныС значСния.

ВригономСтричСскиС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹

По-настоящСму Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Π° история Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ слова, ΠΊΠ°ΠΊ «синус».

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² Индии. Π‘Π»ΠΎΠ²ΠΎ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡŽ синуса, Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Β«Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΈΠ²Π°Β». Π’ эпоху расцвСта арабской Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ индийскиС Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹, Π° понятиС, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ Π½Π΅ оказалось Π² арабском языкС, транскрибировано. По ΡΡ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠ±ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π², Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Π½Π° письмС, Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ слово Β«Π²ΠΏΠ°Π΄ΠΈΠ½Π°Β», сСмантика ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ исходному Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρƒ. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² 12 Π²Π΅ΠΊΠ΅ арабскиС тСксты Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΡŒ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΎ слово «синус», ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ Β«Π²ΠΏΠ°Π΄ΠΈΠ½Π°Β» ΠΈ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ Π² качСствС Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ матСматичСского понятия.

А Π²ΠΎΡ‚ матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ символы для тангСнса ΠΈ котангСнса Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ Π½Π΅ стандартизованы – Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… странах ΠΈΡ… принято ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ tg, Π° Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… – ΠΊΠ°ΠΊ tan.

НСкоторыС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ

Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², описанных Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΈ символов Π² Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΎΡΡŒ Π½Π° XVI-XVII Π²Π΅ΠΊΠ°. На этот ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΎΡΡŒ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… сСгодня Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ записи Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… понятий, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚, Ρ‚. Π΅. сотая доля, Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ врСмя обозначался ΠΊΠ°ΠΊ cto (сокращСниС ΠΎΡ‚ Π»Π°Ρ‚. cento). БчитаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ общСпринятый Π½Π° сСгодняшний дСнь Π·Π½Π°ΠΊ появился Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ чСтырСхсот Π»Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Π°Π΄. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ воспринято ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ΄Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ способ сокращСния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΆΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ.

Π—Π½Π°ΠΊ корня ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ прСдставлял собой ΡΡ‚ΠΈΠ»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ R (сокращСниС ΠΎΡ‚ латинского слова radix — Β«ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ»). ВСрхняя Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π°, ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ сСгодня записываСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, выполняла Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ скобок ΠΈ являлась ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ символом, обособлСнным ΠΎΡ‚ корня. ΠšΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Π΅ скобки Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ — Π² повсСмСстноС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ вошли благодаря Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π° (1646-1716). Благодаря Π΅Π³ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°ΠΌ Π±Ρ‹Π» Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ Π² Π½Π°ΡƒΠΊΡƒ ΠΈ символ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°, выглядящий ΠΊΠ°ΠΊ вытянутая Π±ΡƒΠΊΠ²Π° S — сокращСниС ΠΎΡ‚ слова «сумма».

НаконСц, Π·Π½Π°ΠΊ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π±Ρ‹Π» ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π½ Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈ Π΄ΠΎΡ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ XVII Π²Π΅ΠΊΠ°.

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½ΠΈΠ΅ обозначСния

Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹Π΅ Π½Π°ΠΌ графичСскиС изобраТСния «плюса» ΠΈ «минуса» Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСго нСсколько столСтий Π½Π°Π·Π°Π΄, Π½Π΅ каТСтся ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ символы, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ слоТныС явлСния, стали ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ лишь Π² ΠΏΠΎΠ·Π°ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΠ΅.

Π’Π°ΠΊ, Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π», ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ Π²ΠΎΡΠΊΠ»ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° послС числа ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, появился лишь Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ XIX Π²Π΅ΠΊΠ°. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΆΠ΅ появились заглавная «П» для обозначСния произвСдСния ΠΈ символ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°.

НСсколько странно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ для числа Пи ΠΈ алгСбраичСской суммы появились лишь Π² XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅ – ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, символ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°, хотя ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ каТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. ГрафичСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ окруТности ΠΊ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ происходит ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ грСчСских слов, ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Β«ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΒ» ΠΈ Β«ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Β». А Π·Π½Π°ΠΊ «сигма» для алгСбраичСской суммы Π±Ρ‹Π» ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ΠΎΠΌ Π² послСднСй Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ XVIII столСтия.

Названия символов Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… языках

Как извСстно, языком Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ Π² Π•Π²Ρ€ΠΎΠΏΠ΅ Π½Π° протяТСнии ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΠΎΠ² Π±Ρ‹Π»Π° Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΡŒ. ЀизичСскиС, мСдицинскиС ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ часто Π·Π°ΠΈΠΌΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ транскрипций, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΠΆΠ΅ – Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ кальки. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ символы Π½Π° английском Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° русском, французском ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΎΠΌ. Π§Π΅ΠΌ слоТнСС ΡΡƒΡ‚ΡŒ явлСния, Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… языках ΠΎΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅.

ΠšΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ запись матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ символы Π² «Π’ΠΎΡ€Π΄Π΅» ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ клавиш Shift+Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 9 Π² русской ΠΈΠ»ΠΈ английской раскладкС. ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ клавиши ΠΎΡ‚Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ: плюс, минус, равСнство, наклонная Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π°.

Если ΠΆΠ΅ трСбуСтся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ графичСскиС изобраТСния ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°, алгСбраичСской суммы ΠΈΠ»ΠΈ произвСдСния, числа Пи ΠΈ Ρ‚. Π΄., трСбуСтся ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² Β«Π’ΠΎΡ€Π΄Π΅Β» Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΡƒ «Вставка» ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΎΠΊ: Β«Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Β» ΠΈΠ»ΠΈ Β«Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Β». Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС откроСтся конструктор, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²Ρ‹ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ поля, Π° Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ – Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° символов, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ.

Как Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ матСматичСскиС символы

Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Ρ…ΠΈΠΌΠΈΠΈ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ количСство символов для запоминания ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π²ΠΎΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΡ‚Π½ΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΎΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ нСбольшим числом Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΌΡ‹ усваиваСм Π΅Ρ‰Ρ‘ Π² Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠΌ дСтствС, ΡƒΡ‡Π°ΡΡŒ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² унивСрситСтС Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡΡ… знакомимся с нСмногочислСнными слоТными матСматичСскими Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ символами. ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ для Π΄Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π·Π° считанныС Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‡ΡŒ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ узнавания графичСского изобраТСния Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ большС Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½Π°Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ для овладСния Π½Π°Π²Ρ‹ΠΊΠΎΠΌ самого осущСствлСния этих ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈ понимания ΠΈΡ… сущности.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, процСсс запоминания Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² происходит автоматичСски ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ особых усилий.

Π’ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π¦Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΈ символов Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π±Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ люди, говорящиС Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… языках ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ носитСлями Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€. По этой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ графичСскиС изобраТСния Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… явлСний ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ.

Высокий ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ стандартизации этих Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² обуславливаСт ΠΈΡ… использованиС Π² самых Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сфСрах: Π² области финансов, ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΉ, ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΈ Π΄Ρ€. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΡ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ, связанным с числами ΠΈ расчСтами, Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΈ символов ΠΈ ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ становится ΠΆΠΈΠ·Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

www.syl.ru

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ мноТСствами. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств ΠΈ ΠΈΡ… элСмСнтов β€” ΠœΠ΅Π³Π°ΠΎΠ±ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΊΠ°

Β 

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств ΠΈ ΠΈΡ… элСмСнтов. РавСнство мноТСств.

ΠŸΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ ( Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ). Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ( объСдинСниС ) мноТСств.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ( пСрСсСчСниС ) мноТСств. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ( Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ )

мноТСств.БиммСтричная Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСств. Бвойства

ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ мноТСствами.

Β 

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π°Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ латинскими Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π° ΠΈΡ… элСмСнты – строчными. Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ a R ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ элСмСнт Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ мноТСству R , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π° являСтся элСмСнтом мноТСства R . Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π° Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ мноТСству R , ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ a R .

Β 

Π”Π²Π° мноТСства А ΠΈ Π’ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ( А = Π’ ), Ссли ΠΎΠ½ΠΈ состоят ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… ΠΈ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ элСмСнтов, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт мноТСства А являСтся элСмСнтом мноТСства Π’ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт мноТСства Π’ являСтся элСмСнтом мноТСства А .

Β 

Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСство А содСрТится Π² мноТСствС Π’ ( рис.1 ) ΠΈΠ»ΠΈ мноТСство А являСтся подмноТСством мноТСства Π’ ( Π² этом случаС ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ А Π’), Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт мноТСства А ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ являСтся элСмСнтом мноТСства Π’ . Π­Ρ‚Π° Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ мноТСствами называСтся Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Для любого мноТСства А ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мСсто Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ: А ΠΈ А А .

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ( объСдинСниС ) мноТСств А ΠΈ Π’ ( ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ А Π’ ) Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство элСмСнтов, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π»ΠΈΠ±ΠΎ А , Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π’. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π΅ А Π’ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΅ А ,Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΅ Π’ .

Β 

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ( пСрСсСчСниС ) мноТСств А ΠΈ Π’ ( ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ А Π’ , рис.2 ) Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСствоэлСмСнтов, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΈ А , ΠΈ Π’. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π΅ А Π’ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΅ А ΠΈ Π΅ Π’ .

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСств А ΠΈ Π’ ( ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ А – Π’ , рис.3 ) Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСствоэлСмСнтов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ мноТСству А , Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ мноТСству Π’.Π­Ρ‚ΠΎ мноТСство называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ мноТСства Π’ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ мноТСства А.

БиммСтричная Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ мноТСств А ΠΈ Π’ ( ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ А \ Π’ ) Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство:

Β 

А \ Π’ = ( А – Π’ ) ( Π’ – А ).

Β 

Бвойства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ мноТСствами:

П Ρ€ ΠΈ ΠΌ Π΅ Ρ€ Ρ‹. 1. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π΄Π΅Ρ‚Π΅ΠΉ являСтся подмноТСством всСго насСлСния.

Β 

2. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ мноТСства Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл с мноТСством ΠΏΠΎΠ»ΠΎ-

ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл являСтся мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.



Β 

3. ОбъСдинСниСм мноТСства Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл с мноТСст-

Π²ΠΎΠΌ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл являСтся мноТСство дСйстви-

Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Β 

4. ΠΡƒΠ»ΡŒ являСтся Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ мноТСства Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл

ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ мноТСства Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ содСрТится Π²ΠΎ мноТСствС (мноТСство Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ мноТСство ), Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт Π΅ΡΡ‚ΡŒ элСмСнт :

Π’ этом случаС называСтся подмноТСством , β€” надмноТСством . Если ΠΈ , Ρ‚ΠΎ называСтся собствСнным подмноТСством . Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ .

Π”Π²Π° мноТСства Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ подмноТСствами Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°:

Иногда для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ мноТСства ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ запись:

Π‘ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ

НиТС пСрСчислСны основныС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ мноТСствами:

Β· пСрСсСчСниС:

· объСдинСниС:

Если мноТСства ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ: , Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… объСдинСниС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅: .

Β· Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅):

Β· симмСтричСская Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ:

Β· Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ прямоС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Для Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ понимания смысла этих ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° β€” Π’Π΅Π½Π½Π°, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… прСдставлСны Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ гСомСтричСскими Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ мноТСствами Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

Π‘ΠΈΠ»Π΅Ρ‚ 2.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° f: A->B, ставящСС Π² соотвСтствиС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту мноТСства A ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ элСмСнт (ΠΈΠ»ΠΈ элСмСнты) мноТСства B, называСтся ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· A Π² B. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: A — мноТСство Ρ„ΡƒΡ‚Π±ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄, B — мноТСство насСлённых ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ΠΎΠ²; ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΡ‚Π±ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Π΅ ставится Π² соотвСтствиС ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚, Π³Π΄Π΅ находится Π΅Ρ‘ Ρ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стадион (Π½Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ стадион, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΎΡ„ΠΈΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ «Π½Π° своём ΠΏΠΎΠ»Π΅», Ссли Π½Π΅Ρ‚ собствСнного стадиона).

Если ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ элСмСнту мноТСства A соотвСтствуСт Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта мноТСства B, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ изобраТСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ привСсти ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ A — мноТСство ΠΎΠ»ΠΈΠ³Π°Ρ€Ρ…ΠΎΠ², B — мноТСство особняков. Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ»ΠΈΠ³Π°Ρ€Ρ…ΠΈ, Π²Π»Π°Π΄Π΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ нСсколькими особняками. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ставящСС Π² соотвСтствиС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΠΎΠ»ΠΈΠ³Π°Ρ€Ρ…Ρƒ Π΅Π³ΠΎ особняки, являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ.

Π’ дискрСтной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ отобраТСния. ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· A Π² B ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅, Ссли всякому элСмСнту ΠΈΠ· A поставлСн Π² соотвСтствиС Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ элСмСнт ΠΈΠ· B. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ отобраТСния: ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ воинская Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π² Π½Π΅ΠΉ мноТСство солдат ΠΈ мноТСство Π±Π°Ρ‚Π°Π»ΡŒΠΎΠ½ΠΎΠ². ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ставящСС Π² соотвСтствиС солдату Π±Π°Ρ‚Π°Π»ΡŒΠΎΠ½, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΎΠ½ числится, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅, Ссли Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² списках составов Π½Π΅ Π΄ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½ΠΎ ошибок. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ отобраТСния ΠΈΠ· A Π² B Π½Π΅ Π·Π°ΠΏΡ€Π΅Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ситуаций, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄Π²ΡƒΠΌ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌ элСмСнтам мноТСства A соотвСтствуСт ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ элСмСнт ΠΈΠ· B. Π―Ρ€ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ это ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ с солдатами.

Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, для простоты понятиС «ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅» ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ.

megaobuchalka.ru

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ символы: список, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°, история возникновСния

Когда люди Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ΅ врСмя Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ сфСры Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ способ ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ процСсс ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ. БистСма матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΈ символов прСдставляСт собой искусствСнный язык, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ объСм графичСски ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² сообщСниС смысл.

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ язык Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ изучСния, ΠΈ язык ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π² этом ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ – Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², трСбуСтся Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π²Π»Π°Π΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ…, систСмС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ‚. Π΄. ΠŸΡ€ΠΈ отсутствии Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ знания тСкст Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ написанный Π½Π° Π½Π΅Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠΌ иностранном языкС.

Π’ соотвСтствии с запросами общСства графичСскиС символы для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простых матСматичСских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ слоТСния ΠΈ вычитания) Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ для слоТных понятий Π½Π°ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π°. Π§Π΅ΠΌ слоТнСС понятиС, Ρ‚Π΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТным Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ обозначаСтся.

МодСли образования графичСских ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ

На Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΡ… этапах развития Ρ†ΠΈΠ²ΠΈΠ»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ люди связывали ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ матСматичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ для Π½ΠΈΡ… понятиями Π½Π° основС ассоциаций. НапримСр, Π² Π”Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΌ Π•Π³ΠΈΠΏΡ‚Π΅ слоТСниС ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈΡΡŒ рисунком ΠΈΠ΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Π½ΠΎΠ³: Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ чтСния строки ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ «плюс», Π° Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ сторону – «минус».

Π¦ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹, ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉ, Π²ΠΎ всСх ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Π°Ρ… ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ количСством Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. ПозТС для записи стали ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ условныС обозначСния — это экономило врСмя, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ мСсто Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… носитСлях. Часто Π² качСствС символов использовались Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹: такая стратСгия ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π° распространСниС Π² грСчСском, латинском ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… языках ΠΌΠΈΡ€Π°.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ возникновСния матСматичСских символов ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… способа образования графичСских элСмСнтов.

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ словСсного прСдставлСния

Π˜Π·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ любоС матСматичСскоС понятиС выраТаСтся Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ словом ΠΈΠ»ΠΈ словосочСтаниСм ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ собствСнного графичСского прСдставлСния (ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ лСксичСского). Однако Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ расчСтов ΠΈ написаниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» словами – ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° Π΄Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мСста Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ носитСлС.

РаспространСнный способ создания матСматичСских символов – трансформация лСксичСского прСдставлСния понятия Π² графичСский элСмСнт. Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ говоря, слово, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ понятиС, с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ сокращаСтся ΠΈΠ»ΠΈ прСобразуСтся ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ способом.

НапримСр, основной Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π·ΠΎΠΉ происхоТдСния Π·Π½Π°ΠΊΠ° «плюс» являСтся Π΅Π³ΠΎ сокращСниС ΠΎΡ‚ латинского et, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π² русском языкС являСтся союз Β«ΠΈΒ». ΠŸΠΎΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ Π² скорописи пСрвая Π±ΡƒΠΊΠ²Π° пСрСстала ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, Π° t ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π΄ΠΎ крСста.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ – Π·Π½Π°ΠΊ «икс», ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ нСизвСстноС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ прСдставлял собой сокращСниС ΠΎΡ‚ арабского слова Β«Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎΒ». Π‘Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ для обозначСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня, ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π°, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°, Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ Π΄Ρ€. Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ матСматичСских символов ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ дСсятка графичСских элСмСнтов, ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

НазначСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ символа

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ распространСнный Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ образования матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΈ символов – Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ символа ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Π’ этом случаС слово ΠΈ графичСскоС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой Π½Π΅ связаны — Π·Π½Π°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ утвСрТдаСтся Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ сообщСства.

НапримСр, Π·Π½Π°ΠΊΠΈ умноТСния, дСлСния, равСнства Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Уильямом ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π΄ΠΎΠΌ, Иоганном Π Π°Π½ΠΎΠΌ ΠΈ Π ΠΎΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ Π Π΅ΠΊΠΎΡ€Π΄ΠΎΠΌ. Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях нСсколько матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π² Π½Π°ΡƒΠΊΡƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΌ. Π’ частности, Π“ΠΎΡ‚Ρ„Ρ€ΠΈΠ΄ Π’ΠΈΠ»ΡŒΠ³Π΅Π»ΡŒΠΌ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΉ ряд символов, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π°, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ «плюс» ΠΈ «минус», Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ символы, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π·Π½Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ школьник, нСсмотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для послСдних Π΄Π²ΡƒΡ… упомянутых ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ сущСствуСт нСсколько Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… графичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ².

МоТно с ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ люди ΡƒΠΌΠ΅Π»ΠΈ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π·Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ тысячСлСтий Π΄ΠΎ нашСй эры, Π° Π²ΠΎΡ‚ стандартизованныС матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ символы, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ дСйствия ΠΈ извСстныС Π½Π°ΠΌ сСгодня, появились лишь ΠΊ XIV-XV ΡΡ‚ΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΠΈΡŽ.

Π’ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π΅ΠΌ, нСсмотря Π½Π° установлСниС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ договорСнности Π² Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΌ сообщСствС, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π² нашС врСмя ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ трСмя Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ (Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ крСстик, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π·Π²Ρ‘Π·Π΄ΠΎΡ‡ΠΊΠ°), Π° Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ – двумя (Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π° с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ свСрху ΠΈ снизу ΠΈΠ»ΠΈ наклонная Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π°).

ЛатинскиС Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹

На протяТСнии ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… столСтий Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠ΅ сообщСство использовало для ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΡŒ, ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ матСматичСскиС Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ свои истоки ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π² этом языкС. Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях графичСскиС элСмСнты стали Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ сокращСния слов, Ρ€Π΅ΠΆΠ΅ – ΠΈΡ… Π½Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ случайного прСобразования (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, вслСдствиС описки).

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π° (Β«%Β»), вСроятнСС всСго, происходит ΠΎΡ‚ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ написания сокращСния cto (cento, Ρ‚. Π΅. «сотая доля»). Π‘Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΡ‘Π» Π·Π½Π°ΠΊ «плюс», история ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ описана Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

Π“ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ большСС количСство символов Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ Π½Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ сокращСния слова, хотя это Π½Π΅ всСгда ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ. Π”Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚ Π² Π·Π½Π°ΠΊΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ R, Ρ‚. Π΅. ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ Π² словС Radix (Β«ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ»). Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ прСдставляСт собой ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρƒ слова Summa, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΈΡΠ½ΡƒΡŽ f Π±Π΅Π· Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹. К слову, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ·Π΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ, Π½Π°ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π°Π² f вмСсто Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ символа.

ГрСчСскиС Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹

Π’ качСствС графичСских ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… понятий ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ латинскиС, Π½ΠΎ ΠΈ грСчСскиС Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹. Π’ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ матСматичСских символов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΉ ряд ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ наимСнования.

Число Пи, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ собой ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ окруТности ΠΊ Π΅Ρ‘ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ грСчСского слова, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. БущСствуСт Π΅Ρ‰Ρ‘ нСсколько ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ извСстных ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ грСчСского Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚Π°.

ΠšΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ распространСнным Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ являСтся Β«Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Π°Β», ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ измСнСния значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π•Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ являСтся «сигма», Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π·Π½Π°ΠΊΠ° суммы.

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, практичСски всС грСчСскиС Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅. Однако Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ символы ΠΈ ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ люди, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π½Π°ΡƒΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π’ Π±Ρ‹Ρ‚Ρƒ ΠΈ повсСднСвной ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ эти знания Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡƒ Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ.

Π—Π½Π°ΠΊΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ

Как Π½ΠΈ странно, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ понятныС символы Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π½Ρ‹ совсСм Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΎ.

Π’ частности, Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ стрСлка, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π°Ρ слово Β«ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΒ», Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° лишь Π² 1922 Π³ΠΎΠ΄Π° Π”Π°Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΌ Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ. ΠšΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ сущСствования ΠΈ всСобщности, Ρ‚. Π΅. Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ: «сущСствуСт…» ΠΈ «для Π»ΡŽΠ±ΠΎΠ³ΠΎβ€¦Β», Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π² 1897 ΠΈ 1935 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ соотвСтствСнно.

Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠ· области Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π½Ρ‹ Π² 1888-1889 Π³Π³. А ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ сСгодня извСстСн Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ учащСмуся срСднСй ΡˆΠΊΠΎΠ»Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊ пустого мноТСства, появился Π² 1939 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π½Π°ΠΊΠΈ для ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒ нСпростых понятий, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π½Ρ‹ Π½Π° столСтия Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ понятныС символы, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ воспринимаСмыС ΠΈ усваиваСмыС Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π±Π΅Π· ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ символы Π½Π° английском

Π’Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ понятий Π±Ρ‹Π»Π° описана Π² Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°Ρ… Π½Π° Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΠΈ, ряд Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΈ символов Π½Π° английском ΠΈ русском языкС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹. НапримСр: Plus («плюс»), Integral (Β«ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Β»), Delta function (Β«Π΄Π΅Π»ΡŒΡ‚Π°-функция»), Perpendicular («пСрпСндикулярный»), Parallel (Β«ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉΒ»), Null (Β«Π½ΡƒΠ»ΡŒΒ»).

Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ понятий Π² Π΄Π²ΡƒΡ… языках Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Ρ‚Π°ΠΊ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ – это Division, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ – Multiplication. Π’ Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΈΡ… случаях английскоС Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ для матСматичСского Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ распространСниС Π² русском языкС: Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, косая Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π° Π² послСдниС Π³ΠΎΠ΄Ρ‹ Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ имСнуСтся «слСшСм» (Π°Π½Π³Π». Slash).

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° символов

Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ простой ΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ способ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½Π΅ΠΌ матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² – ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ содСрТатся Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, символы матСматичСской Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств, Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠΈ, матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ прСдставлСны основныС матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π½Π° английском языкС.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π² тСкстовом Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π΅

ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ Π·Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ трСбуСтся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π³Π΄Π΅ ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π°.

Как ΠΈ графичСскиС элСмСнты ΠΈΠ· практичСски любой области Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ, матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈ символы Π² Β«Π’ΠΎΡ€Π΄Π΅Β» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π²ΠΎ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ΅ «Вставка». Π’ вСрсиях ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ 2003 ΠΈΠ»ΠΈ 2007 Π³ΠΎΠ΄Π° сущСствуСт опция «Вставка символа»: ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части ΠΏΠ°Π½Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ прСдставлСны всС Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ матСматичСскиС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, грСчСскиС строчныС ΠΈ прописныС Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹, Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ скобок ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅.

Π’ вСрсиях ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, Π²Ρ‹ΡˆΠ΅Π΄ΡˆΠΈΡ… послС 2010 Π³ΠΎΠ΄Π°, Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ удобная опция. ΠŸΡ€ΠΈ Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ Β«Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Β» происходит ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ Π² конструктор Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Π³Π΄Π΅ прСдусмотрСно использованиС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, занСсСния Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, смСна рСгистра (для обозначСния стСпСнСй ΠΈΠ»ΠΈ порядковых Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ‹ всС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹, прСдставлСнной Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ Π»ΠΈ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ матСматичСскиС символы

БистСма матСматичСских ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ прСдставляСт собой искусствСнный язык, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ лишь ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚ процСсс записи, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ принСсти ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π° стороннСму Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π±Π΅Π· изучСния Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ², ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ», логичСских связСй ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ понятиями Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ овладСнию Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ.

ЧСловСчСский ΠΌΠΎΠ·Π³ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ усваиваСт Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΈ сокращСния – матСматичСскиС обозначСния Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ΡΡ сами ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°. ПониманиС смысла ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ дСйствия создаСт Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ассоциативныС связи, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, Π° Π·Π°Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡƒΡŽ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, связанныС с Π½ΠΈΠΌΠΈ, ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² памяти Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π³ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ дСсятилСтия.

Π’ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ любой язык, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС искусствСнный, являСтся ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌ ΠΊ измСнСниям ΠΈ дополнСниям, число матСматичСских Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² ΠΈ символов Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ расти с Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. НС ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ элСмСнты Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ скоррСктированы, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ – стандартизованы Π² СдинствСнно Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, для Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² умноТСния ΠΈΠ»ΠΈ дСлСния.

Π£ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ матСматичСскими символами Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ школьного курса являСтся Π² соврСмСнном ΠΌΠΈΡ€Π΅ практичСски Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ. Π’ условиях Π±ΡƒΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ развития ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΉ ΠΈ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ, повсСмСстной Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π²Π»Π°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСским Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ слСдуСт Π²ΠΎΡΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π° освоСниС матСматичСских символов – ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΎΡ‚ΡŠΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΡƒΡŽ Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ расчСты ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ Π² Π³ΡƒΠΌΠ°Π½ΠΈΡ‚Π°Ρ€Π½ΠΎΠΉ сфСрС, ΠΈ Π² экономикС, ΠΈ Π² СстСствСнных Π½Π°ΡƒΠΊΠ°Ρ…, ΠΈ, разумССтся, Π² области Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ высоких Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΉ, ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ матСматичСских понятий ΠΈ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ символов станСт ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ для любого спСциалиста.

fb.ru

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ матСматичСскиС понятия ΠΈ обозначСния

44

Одним ΠΈΠ· основных матСматичСских понятий являСтся понятиС мноТСства.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΡƒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²: — Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ входят Π² состав мноТСства, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ элСмСнтами Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства.

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ мноТСства ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ большими латинскими Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ (A, B, C), Π° ΠΈΡ… элСмСнты – ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ (a, b, c).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ число элСмСнтов – имСнуСтся ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ мноТСством; бСсконСчноС — бСсконСчным.

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ любоС мноТСство задаСтся Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ свойством, Ρ‚.Π΅. Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ свойством, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ элСмСнты Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: M=a,b,c,d- Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ мноТСство.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… чисСл: N2={2*n, Π³Π΄Π΅ nοƒŽN}

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅ содСрТит Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта, называСтся пустым мноТСством ΠΈ обозначаСтся 0

    1. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° чисСл ΠΈ ΠΈΡ… обозначСния

N — мноТСство Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл- {1,2,3,…, n,….}

Z — мноТСство Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл {…-3,-2,-1,0,1,2,……….}

Q — мноТСство Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл – это Ρ‚Π΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ m/n, Π³Π΄Π΅ m -ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ мноТСству Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл, Π° n — мноТСству Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл

Q={m/n, mοƒŽZ, nοƒŽN}

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа: J={ οƒ–2, οƒ–3, , e, …..}

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл: R=Q U J

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ комплСксных чисСл:

C={a+i*b; i=οƒ–-1, a, bοƒŽR}

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ мноТСство графичСски ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° (Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°-Π’Π΅Π½Π½Π°):

А

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Π’ называСтся подмноТСством мноТСства А , (Π’ οƒŒ А), Ссли любой элСмСнт мноТСства Π’, являСтся элСмСнтом мноТСства А.

A

B Π’ οƒŒ А

    1. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ мноТСствами

1. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° (ОбъСдинСниС) Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств А ΠΈ Π’ называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ мноТСство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ состоит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅Ρ… элСмСнтов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· мноТСств А ΠΈΠ»ΠΈ Π’.

Π’ Π²ΠΈΠ΄Π΅ характСристичСского свойства — А U Π’={x, xοƒŽA ΠΈΠ»ΠΈ xοƒŽB}

Если ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚

Π²Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²A B А U Π’

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

А={1,2,3} B={2,4,5} А U Π’={1,2,3,4,5}

2. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅) Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств А ΠΈ Π’ состоит ΠΈΠ· Ρ‚Π΅Ρ… элСмСнтов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΈ мноТСству А ΠΈ мноТСству Π’: А  Π’={x, xοƒŽA ΠΈ xοƒŽB}

для рассмотрСнного

Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°:A B А  Π’

А  Π’={2}

3. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств А ΠΈ Π’ (обозначаСтся А\Π’) – называСтся мноТСство, состоящСС ΠΈΠ· элСмСнтов, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ мноТСству А ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ мноТСству Π’

А\Π’={x, xοƒŽA ΠΈ xοƒŽ B} A B А\Π’

Для рассмотрСнного Π²Ρ‹ΡˆΠ΅

ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°:

А\Π’={1,3}

    1. ЛогичСскиС символы

Для краткости записи, вмСсто слов: сущСствуСт, найдСтся, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ использован символ ο€€,

вмСсто слов любой, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ, всякий ο€’.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹: ο€€x, x+1οƒŽN ; ο€’xοƒŽX,X:2

    1. Π‘ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ матСматичСскиС символы

Для краткости записи произвСдСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… n-Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл вводят:

1*2*3*4*……..* n = n! , n –факториал.

1!=1 , 2!=1*2=2 , 5!=1*2*3*4*5=120,

0!=1 0-Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π».

Для краткости записи суммы ΠΈ произвСдСния Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ символы:

n ο‚₯

сумма ai = a1+a2+a3+….+an ; ai = a1+a2+…+an +…;

i=1 i=1

n

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅  ai = a1*a2*a3*….*an

i=1

studfiles.net