Все формулы геометрической и арифметической прогрессии – (, ), .

Справочник репетитора по математике. Aрифметическая и геометрическая прогресcия

Определения, формулы и свойства основных числовых последовательностей курса алгебры средней школы. Для учащихся 9-х классов, школьных преподавателей и репетиторов по математике.

Арифметическая прогрессия:

Определение: последовательность чисел, каждый следующий член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой .

Рекурентная форма задания арифметической прогрессии:
Формула n-ного члена:
Формулы суммы первых n-членов арифметической прогрессии:


Характеристическое свойство арифметической прогресии:
Числа a,b,c являются членами арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда второе число равно среднему арифметическому двух крайних чисел, то есть

Если , то прогрессия убывает

Геометрическая прогрессия:

Определение: последовательность чисел, каждый следующий член которой, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией. Это число обозначается буквой и называется знаменателем арифметической прогрессии.

Рекурентная форма задания геометрической прогрессии:
Формула n-ного члена:
Формулы суммы первых n-членов геометрической прогрессии:


Характеристическое свойство геометрической прогресии:
Три ненулевых числа a,b,c являются членами геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат среднего числа равен произведению крайних, то есть:

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия

Определение: геометрическая прогрессия, у которой модуль знаменателя меньше единицы и не равен нулю ( и ) называется бесконечной убывающей геометрической прогресией.

Формула суммы всех членов бесконечной убывающей геометрической прогресии

:

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва. Строгино.Он-лайн справочник по математике.

Метки: Алгебра, Справочник репетитора

ankolpakov.ru

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия

Понятие числовой последовательности

Введем два определения числовой последовательности:

Определение 1

Числовая функция, у которой область определения совпадает с натуральным рядом чисел, будет называться числовой последовательностью.

Определение 2

Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью: $f:N→R$

Числовая последовательность обозначается следующим образом:

${p_k }={p_1,p_2,…,p_k,…}$

где $p_1,p_2,…,p_k,…$ — действительные числа.

Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.

  • Аналитический.

    В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.

  • Рекуррентный.

    Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.

  • Словесный.

    При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.

Двумя частными случаями числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Определение 3

Арифметической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число. Каждое же последующее определяется как сумма предыдущего с наперед заданным конкретным числом $d$.

В этом определении данное наперед заданное число будем называть разностью арифметической прогрессии.

Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:

$p_1,p_{k+1}=p_k+d.$

Замечание 1

Отметим, что частным случаем арифметической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой разность прогрессии равняется нулю.

Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:

Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:

$p_k=p_1+(k-1)d$

Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле

$S_k=\frac{(p_1+p_k)k}{2}$ или $S_k=\frac{(2p_1+(k-1)d)k}{2} $

У арифметической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:

$p_k=\frac{p_{k-1}+p_{k+1}}{2}$

Геометрическая прогрессия

Определение 4

Геометрической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число, не равное нулю. Каждое же последующее определяется как произведение предыдущего с наперед заданным конкретным не равным нулю числом $q$.

В этом определении данное наперед заданное число будем называть знаменателем геометрической прогрессии.

Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:

$p_1≠0,p_{k+1}=p_k q,q≠0$.

Замечание 2

Отметим, что частным случаем геометрической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой знаменатель прогрессии равняется единице.

Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:

Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:

$p_k=p_1 q^{(k-1)}$

Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле

$S_k=\frac{p_k q-p_1}{q-1}$ или $S_k=\frac{p_1 (q^k-1)}{q-1}$

У геометрической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:

$p_k^2=p_{k-1} p_{k+1}$

Примеры задач

Пример 1

Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей четные положительные числа.

Решение.

Последовательность положительных четных чисел имеет вид

$2,4,6,8,10,…$

Она является арифметической.

Очевидно, что разность данной арифметической прогрессии равняется

$d=4-2=2$

Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

$S_5=\frac{2\cdot 2+(5-1)\cdot 2}{2\cdot 5}=30$

Ответ: $30$.

Пример 2

Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей степени натуральных чисел тройки.

Решение.

Последовательность таких чисел имеет вид

$3,9,27,81,…$

Она является геометрической.

Очевидно, что знаменатель данной геометрической прогрессии равняется

$q=\frac{9}{3}=3$

Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

$S_5=\frac{3\cdot (3^5-1)}{3-1}=363$

Ответ: $363$.

spravochnick.ru

Определение арифметической и геометрической прогрессий. Формулы n – го члена арифметической и геометрической прогрессий.

МКОУ «Кегультинская средняя общеобразовательная школа»

Разработка урока по алгебре 9 классе

Учитель: Менкенова Надежда Зулаевна

Тема урока:

Определение арифметической и геометрической прогрессий.

Формулы n – го члена арифметической и геометрической прогрессий.

( На уроке использованы элементы УДЕ — укрупнённая дидактическая единица. Совместное и одновременное изучение родственных разделов — параллельная запись контрастных суждений, двухэтажная запись.)

Цели:

Ввести понятие арифметической и геометрической прогрессий;

— вывести формулы n –го члена арифметической и геометрической прогрессий;

— закрепить умения и навыки применять изучаемые формулы;

— развитие логического мышления, познавательного интереса учащихся.

— воспитание настойчивости, воли для достижения конечных результатов.

Оборудование: компьютер, мультимедиапроектор, карточки с заданиями.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Постановка целей урока.

Сегодня на уроке мы одновременно познакомимся с арифметической и геометрической прогрессией, выведем формулы n –го члена арифметической и геометрической прогрессий; решим задачи на применение этих формул.

2. ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА:

При объяснении применяются элементы УДЕ –

параллельная запись контрастных суждений:

1).Составим две числовые последовательности с а1 = 5.
В первом случае будем прибавлять, во втором случае – умножать на одно и то же число.

5; 8; 11; 14; 17;20… 5; 15; 45; 135; 405…

арифметическая прогрессия -геометрическая прогрессия.

а1 = 5 – первый член в1 = 5 – первый член

арифметической прогрессии; геометрической прогрессии;

d = 3 – разность q = 3 – знаменатель

арифметической прогрессии геометрической прогрессии

3). Определение 1 ( двухэтажная запись )

Постоянное число

d которое прибавляем к предыдущему числу

q не равное 0, умножаем на предыдущее число

арифметической прогрессии для получения последующего числа,

геометрической

называется разностью арифметической прогрессии.

знаменателем геометрической

Например:

Арифметическая прогрессия: Геометрическая прогрессия:

5; 8; 11; 14; 17; 20… 5; 15; 45; 135; 405…

а21 + d = 5 +3 = 8 в2= в1 × q =5 × 3= 15

а32 +d =8+3 = 11 в3= в2 ×q=15 × 3 = 45

  1. Определение 2 (двухэтажная запись)

Арифметической прогрессией называется такая последовательность,

геометрической в которой каждый последующий член равен

предыдущему,

сложенному с разностью

умноженному на знаменатель.

Определение 3.( параллельная запись контрастных суждений)

Числовая последовательность

а1, а2 3,…аn,.. b1,b2,b3,…bn,…

называется

арифметической геометрической

если для всех натуральных n выполняется равенство

a n+1= an+ d b n+1= bn× q

5)Формула n – го члена арифметической прогрессии.

геометрической

Выведем формулы n – го члена арифметической и геометрической прогрессий ( параллельная запись контрастных суждений):

Арифметическая прогрессия: Геометрическая прогрессия:

а1 в1

а2 = а1 + d в2 = в1 ×q

а3 = а2+d =а1 + 2 d в3 = в2 ×q = в1× q2

а4 = а3 +d = а1+3 d в43 × q = в1 × q3

…………………. ……………………

а n= а1 + d ( n — 1) вn = в1 × qn-1

3. ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ.
1) Устная работа.
Найти члены
Арифметической / Геометрической прогрессий:

1) -6; -4; а3; а4; а5;… 1) 6; 3; в34; в5;…

2)14, а2; 20; а4;… 2) 20; в2; 80; в4;…

2) Математический диктант.

1.У арифметической прогрессии 1.У геометрической прогрессии

первый член равен 4, второй 6. первый член равен 8, второй 4.

Найти разность d. Найти знаменатель q.

2.У арифметической прогрессии 2. У геометрической прогрессии

первый член равен 6, второй 2. первый член равен 9, второй 3.

Найти третий член. Найти третий член.

3.Найти десятый член 3. Найти четвёртый член

арифметической прогрессии, геометрической прогрессии,

если её первый член равен 1, если её первый член равен 1, а разность d равна 4. знаменатель q = -2

4. ( аn) — арифметическая 4. (вn)- геометрическая прогрессия. прогрессия.

Выразите через а1 и d , а10. Выразите через в1 и q, в10.

4. ФИЗКУЛЬТМИНУТКА:

Гимнастика для глаз.

1. Медленно переводить взгляд с пола на потолок и обратно (8-12 раз).

2. Медленно переводить взгляд справа налево и обратно.

При выполнении всех упражнений голова должна быть неподвижна.

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ:

Самостоятельная работа обучающего характера с последующей проверкой.
1 вариант 2 вариант

1. В арифметической прогрессии 1.В арифметической прогрессии

а5= 8,7 и а8 = 12,3. Найдите d и а1. а3 = 7,5 и а7 = 14,3. Найдите d и а1.

а) d = 1,6 и а1 = 2,3; а) d = 6,8 и а1 = -6,1;

б) d= 3,6 и а1 = -5,7; б) d= 3,4 и а1 = 0,7;

в) d = 1,2 и а1 = 3,9; в) d= 1,7 и а1 = 4,1;

г) d = 1,4 и а1 = 3,1. г) d= 1,4 и а1 = 4,7

Решение:

а1+4d= 8,7; а1+7d = 12,3 а1+2d=7,5; а1+6d =14,3

Составим систему уравнений и решим её.

Ответ:

Получим d = 1,2; а1 = 3,9 (в) Получим d =1,7; а1 =4,1 (в)

2) Решите:

1 вариант 2 вариант

В арифметической прогрессии

а1= -7,3 и а2= — 6,4. а1 = -5,6 и а2= -4,8.

На каком месте ( укажите номер) находится число

26? 16?

а) 39, б) 38,в) 27), г) 28 а)14, б) 13, в) 27) г) 28.

Решение:

а1=-7,3 а2=-6,4 d=-6,4+7,3=0,9 а1=-5,6 а2= -4,8 d=-4,8+5,6=0,8

26=-7,3+0,9(n-1). 16=-5,6+0,8(n-1).

Решая данное уравнение, получим:

Ответ:

n = 38 б) n =28 г)

3) Решите:
1 вариант 2 вариант

В геометрической прогрессии

а1=1 и а

2= 1 а1=- 1, а2= 1. Найдите пятый

6 3. 6 2

Найдите шестой член этой член этой прогрессии. а) 40/3,

прогрессии. а)1/384, б)16/3, б)40,5, в)-13,5, г)-1/486.

в)1/192, г)32/3

Решение:

а1=1 и а2=1 а1=-1, а2= 1.

6 3. 6 2

q =2 q=-3

5

а6=1 ×2 а5= -1 ×(-3)4

6 6

Ответ:

Получим 16/3 б) Получим -13,5 в)

6. ЗАДАНИЕ НА ДОМ:

Решение задач в тестовой форме по карточкам.

7. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА:

1. Определение арифметической и геометрической прогрессий.

2. Приведите примеры арифметической прогрессии.

3. Приведите примеры геометрической прогрессии.

4. Назовите формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий.

МКОУ «Кегультинская средняя общеобразовательная школа»

Самоанализ урока алгебры в 9 классе 

по теме «Определение арифметической и геометрической прогрессии» 

Учитель: Менкенова Надежда Зулаевна
 Учебник: «Алгебра. 9 класс ”, Макарычев Ю. Н.и др. 2010 г

На уроке использованы элементы УДЕ — укрупнённая дидактическая единица. Совместное и одновременное изучение родственных разделов — параллельная запись контрастных суждений, двухэтажная запись.

Цели урока:

ввести понятие арифметической и геометрической прогрессий;

— вывести формулы n –го члена арифметической и геометрической прогрессий;

— закрепить умения и навыки применять изучаемые формулы;

развитие самостоятельности, потребности к самообразованию, к активной творческой деятельности;

воспитание чувства ответственности, культуры общения, уважения друг к другу, взаимопонимания, взаимоподдержки, уверенности в себе;


Тип урока: изучение нового материала

При составлении плана урока учитывались основные требования к уроку:

  • Чёткое формулирование задач

  • Определение места в общей системе уроков

  • Прогнозирование уровня освоения учащимися знаний, умений и навыков

  • Оптимальный подбор содержания

  • Контроль на каждом этапе урока

  • Сочетание форм коллективной и индивидуальной работы

  • Реализация основных дидактических принципов

  • Создание условий успешного учения

Урок по теме «Определение арифметической и геометрической прогрессии. Формулы n –го члена арифметической и геометрической прогрессий» является первым уроком темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Структура урока имеет вид: мотивация – анализ содержания учебного материала – выделение главного – обобщение и систематизация знаний –– самоконтроль – контроль – коррекция.

Согласно данной структуры определены следующие этапы урока:

  1. Организационный момент.

  2. Объяснение нового материала.

  3. Закрепление изученного материала.

    1. Устная работа.

    2. Математический диктант.

  4. Физкультминутка.

  5. Самостоятельная работа (тест).

  6. Задание на дом.

  7. Итог урока.

Все этапы выполнены. На каждом этапе стремилась построить работу таким образом, чтобы каждый ученик чувствовал себя полноценным участником образовательного процесса. Деятельность учащихся была направлена на решение поставленных задач и развитие самого себя. Свою задачу видела в том, чтобы вовлечь каждого в работу, создать условия для самореализации и уверенности в себе.

Урок был построен таким образом, что дети самостоятельно делали все выводы. На уроке я применила технологию УДЕ. Цель обучения – обеспечить усвоение учебного материала каждым учеником в зоне его ближайшего развития на основе субъектного опыта, — на данном уроке мною была достигнута.

Данный урок явился не только изучением нового материала, но и уроком подготовки к ГИА. Это послужило мотивацией для каждого ученика, так как все они заинтересованы в успешной сдачи экзамена. На протяжении всего урока использовались индивидуальные, групповые, коллективные формы работы, что способствовало активизации познавательной деятельности.

Данная технология урока характерна для данного типа и вида урока и рациональна для достижения поставленных целей. В связи с тем, что класс по своей подготовленности сможет принять активное участие в учебной деятельности, было выбрано сочетание следующих средств и методов работы: наглядно-словесные, практические, создание ситуации успеха (дифференцированная помощь). Процесс обучения строился на постепенном усложнении содержания. Главный акцент на уроке делался на закрепление навыков учащихся при выполнении упражнений, а также на развитие воображения, творческой активности учащихся, а также памяти, внимания, логического мышления.

Контроль усвоений знаний, умений и навыков был предусмотрен в виде самостоятельной работы..

На уроке целесообразно использовались возможности компьютера, мультимедийного проектора и сделанной мной презентации для быстрой проверки домашнего задания, показа презентаций, и для проверки самостоятельной работы в конце урока.

При подведении итога урока учащиеся имели возможность Каждый для себя сделал вывод: чтобы успешно сдать ГИА, необходимо заниматься в системе, что очень важно для дальнейшей деятельности учащихся. Урок детям понравился, а это самое главное в нашей работе.

Домашнее задание было оптимальным и задано с учетом уровневой дифференциации – это задачи из «банка открытых заданий ГИА», а так же были предложены задачи практического содержания.
План урока был выполнен, цель урока достигнута. К такому выводу пришли сами дети. Деятельность учащихся я оцениваю следующим образом: на уроке чётко проявился интерес к предмету, эмоциональное состояние учащихся было приподнятым в начале и к концу урока. На уроке присутствовали самоконтроль и самокоррекция со стороны ребят. Была высока степень самостоятельности в учебной деятельности.

infourok.ru