Возведение в куб суммы – Возведение в куб суммы и разности двух выражений — КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ — ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ — Поурочные разработки по алгебре 7 класс — к учебнику Ю.Н. Макарычева

Содержание

Возведение многочленов в куб | Математика

Станем опять сначала на точку зрения арифметики и рассмотрим возведение в куб суммы и разности двух чисел. Получим:

Словами эти равенства читаются так:

1) Куб суммы двух чисел равняется кубу первого числа, плюс произведение тройки на квадрат первого числа и на второе число, плюс произведение тройки на первое число и на квадрат второго числа, плюс куб второго числа.

2) Куб разности двух числе равен кубу первого числа, минус произведение тройки на квадрат первого числа и на второе, плюс произведение тройки на первое число и на квадрат второго, минус куб второго числа.

Теперь мы можем сразу написать, что, например,

Здесь сначала написан куб первого числа, т. е. (2a3b)3, а это = 8a9b3, затем «минус произведение 2 на квадрат первого числа и на второе», т. е. –3 ∙ (2a³b)² ∙ (3a)= –3 ∙ 4a6b2 ∙ 3a = – 36a7b2, затем «плюс произведение тройки на первое число и на квадрат второго», т. е. +3 ∙ (2a³b) ∙ (3a)² = +3 ∙ 2a3b ∙ 9a2 = 54a5b, наконец, «минус куб второго числа», т. е. –(3a)

3 = –27a3.

Мы можем наши равенства переписать в виде:

1) (a + b)³ = (+a)³ + (+3) (+a)² (+b) + (+3) (+a) (+b)² + (+b)³

2) (a – b)³ = (+a)³ + (+3) (+a)² (–b) + (+3) (+a) (–b)² + (–b)³

и читаем их так:

Куб двучлена равен кубу первого члена, плюс произведение числа (+3) на квадрат первого члена и на второй, плюс произведение числа (+3) на первый член и на квадрат второго, плюс куб второго члена.

Например: (–3a4 – ab)3 = (–3a4)3 + (+3) (–3a4)2 (–ab) + (–3a4) (–ab)2 + (–ab)3 = –27a12 – 27a9b – 3a5b2 – a3b3 и т. п.

Если потребуется возвести в куб трехчлен, то можно или сводить дело к умножению

[Например: (x² – 2x – 1)³ = (x² – 2x – 1)(x² – 2x – 1)(x² – 2x – 1) = …]

или, приняв временно два члена (лучше первые два) за одно число, свести дело к возведению в куб двучлена:

maths-public.ru

Куб суммы | Алгебра

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

Формула кубы суммы:

   

Другой вариант записи формулы куба суммы:

   

Примеры применения формулы куба суммы:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Как и другие формулы сокращённого умножения, формула куба суммы является тождеством, то есть может применяться как для преобразования куба суммы в сумму четырёх слагаемых, так и для обратного перехода:

   

Формула куба суммы впервые встречается в теме «Формулы сокращённого умножения» в курсе алгебры 7 класса (как дополнительный материал). В следующий раз сумму кубов изучают в курсе комбинаторики как частный случай бинома Ньютона.

www.algebraclass.ru

Возведение в куб Википедия

y=x³, при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Кубом числа называется результат возведения числа в степень 3, то есть произведение трёх множителей, каждый из которых равен данному числу. Куб величины x{\displaystyle x} обозначается как x{\displaystyle x} с верхним индексом 3:

x3=x⋅x⋅x{\displaystyle x^{3}=x\cdot x\cdot x}

Последовательность кубов

Последовательность кубов неотрицательных чисел начинается числами[1]:

0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97736, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328…

Сумма кубов первых n{\displaystyle n} положительных натуральных чисел вычисляется по формуле:

∑i=1ni3=13+23+33+…+n3=(n(n+1)2)2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+…+n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}

Вывод формулы

Формулу суммы кубов можно вывести, используя таблицу умножения и формулу суммы арифметической прогрессии[2]. Рассматривая в качестве иллюстрации метода две таблицы умножения 5×5, проведём рассуждения для таблиц размером n×n.

Таблица умножения и кубы чисел
×12345
112345
2246810
33691215
448121620
5510152025
Таблица умножения и арифметическая прогрессия
×12345
112345
2246810
33691215
448121620
5510152025

Сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области первой таблицы:

k2+2k∑l=1k−1l=k2+2kk(k−1)2=k3{\displaystyle k^{2}+2k\sum _{l=1}^{k-1}l=k^{2}+2k{\frac {k(k-1)}{2}}=k^{3}}

А сумма чисел в k-ой (k=1,2,…) выделенной области второй таблицы, представляющих собой арифметическую прогрессию:

k∑l=1nl=kn(n+1)2{\displaystyle k\sum _{l=1}^{n}l=k{\frac {n(n+1)}{2}}}

Суммируя по всем выделенным областям первой таблицы, получаем такое же число, как и суммируя по всем выделенным областям второй таблицы:

∑k=1nk3=∑k=1nkn(n+1)2=n(n+1)2∑k=1nk=(n(n+1)2)2{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\sum _{k=1}^{n}k{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\sum _{k=1}^{n}k=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}

Геометрический смысл

Куб числа равен объёму куба с длиной ребра, равной этому числу.

Некоторые свойства

  • В десятичной записи куб может кончаться на любую цифру (в отличие от квадрата)
  • В десятичной записи две последние цифры куба могут быть 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Зависимость предпоследней цифры куба от последней можно представить в виде следующей таблицы:
последняя
цифра
предпоследняя
цифра
00
52, 7
4, 8чётная
2, 6нечётная
1, 3, 7, 9любая

См. также

Примечания

wikiredia.ru

Возведение в куб суммы и разности двух выражений

Вопросы занятия:

·  вывести формулу куба суммы и куба разности.

Материал урока

На предыдущих уроках мы с вами познакомились с формулой квадрата суммы и формулой квадрата разности.

Зная эти формулы, мы можем легко вывести формулы куба суммы и куба разности.

Итак,

Это тождество называют формулой куба суммы.

Читают её так: куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.

Аналогично куб разности можно записать в виде:

 Это тождество называют формулой куба разности.

И читают её так: куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго минус куб второго выражения.

Приведём несколько примеров применения рассмотренных формул.

Пример.

Пример.

videouroki.net

«Возведение в квадрат и в куб суммы и разности… выражений»

Documents войти Загрузить ×
  1. Иностранные языки
advertisement advertisement
Related documents
Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений.
Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений Урок
Формулы сокращенного умножения Учитель математики высшей категории МОУ «Косолаповская СОШ»
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ, 7 класс
Презентация к уроку…
Урок алгебры в 7 классе. Тема: «Формулы сокращенного
Урок по теме: Формулы сокращенного умножения
АЛГЕБРА 7 класс. МАЛИКОВА ОЛЬГА ГЕОРГИЕВНА,
Информация об учителе
Умножение разности двух выражений на их сумму — school
Тема « Возведение в квадрат суммы и разности

studydoc.ru

Возведение в куб суммы и разности двух выражений — КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ — ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ — Поурочные разработки по алгебре 7 класс — к учебнику Ю.Н. Макарычева

Глава V. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

§ 12. КВАДРАТ СУММЫ И КВАДРАТ РАЗНОСТИ

Уроки 63, 64. Возведение в куб суммы и разности двух выражений

Цель: вывести формулы для возведения в куб суммы или разности чисел (выражений).

Планируемые результаты: научиться пользоваться формулами куба суммы и куба разности.

Тип уроков: уроки общеметодологической направленности.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Сформулируйте словами, как найти квадрат суммы, и запишите соответствующую формулу.

2. Представьте в виде многочлена:

3. Упростите выражение и найдите его значение при b = 1/2.

4. Найдите значение выражения

Вариант 2

1. Сформулируйте словами, как найти квадрат суммы, и запишите соответствующую формулу.

2. Представьте в виде многочлена:

3. Упростите выражение и найдите его значение при а = -1/2.

4. Найдите значение выражения

III. Работа по теме уроков

Приведем еще две формулы сокращенного умножения, позволяющие возводить в куб сумму или разность двух чисел (выражений).

Тождество (1) называют формулой куба суммы. В соответствии с ней куб суммы двух чисел (выражений) равен кубу первого числа (выражения) плюс утроенное произведение квадрата первого числа (выражения) и второго плюс утроенное произведение первого числа (выражения) и квадрата второго плюс куб второго числа (выражения).

Получим формулу (1) алгебраическим способом.

Используя свойства степеней и формулу квадрата суммы, получаем

Заметим, что формула (1) может быть получена и геометрическим способом. Для этого необходимо рассмотреть объемы параллелепипедов.

Формула куба разности имеет аналогичный вид:

В соответствии с формулой (2) куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго минус куб второго выражения.

Формулу (2) можно вывести аналогично формуле (1):

Заметим, что формула (2) может быть непосредственно получена из формулы (1):

Пример 1

Возведем в куб число 101.

Используя формулу (1), получаем

Пример 2

Возведем в куб число 99.

Используя формулу (2), получаем

Пример 3

Возведем в куб двучлен 2а + 3b.

Используя формулу (1), получаем

Пример 4

Возведем в куб двучлен а3 – 2b2.

Используя формулу (2), получаем

Пример 5

Упростим выражение

Используя формулу (2) и раскрыв скобки, получаем

Заметим, что формулы (а + b)2 и (а + b)3, (а — b)2 и (а — b)3 являются частными случаями формул (а + b)n и (а — b)n для n = 2 и n = 3 (бином Ньютона). Поэтому существуют определенные закономерности в этих формулах. Приведем еще раз формулы (а + b)n и (а — b)n для n = 1, 2, 3.

n

(а + b)n

(а — b)n

1

а + b

а — b

2

а2 + 2ab + b2

а2 — 2ab + b2

3

а3 + 3а2b + 3аb2 + b3

а3 — 3а2b + 3аb2 — b3

Отметим закономерности этих формул:

1. При возведении суммы или разности двух чисел в n-ю степень получается однородный многочлен n-й степени, т. е. многочлен, состоящий из одночленов только n-й степени. Количество членов в многочлене равно n + 1. Например, при возведении а + b в квадрат получается однородный многочлен второй степени, состоящий из трех членов.

2. Получающийся однородный многочлен начинается с аn. В следующем члене степень а уменьшается на единицу, но появляется множитель b. В следующем члене опять степень а уменьшается на единицу, степень b увеличивается на единицу и так до тех пор, пока степень b не будет равна n.

3. При такой записи получающегося многочлена крайние члены имеют коэффициенты 1, остальные члены — коэффициенты n (только при n = 2, 3). Например, при возведении в куб суммы а + b коэффициенты последовательно равны 1, 3, 3, 1.

4. При возведении в п-ю степень суммы а + b все коэффициенты имеют знак «плюс». При возведении разности а — b знаки коэффициентов чередуются, начиная со знака «плюс».

Например, при возведении разности а — b в куб коэффициенты последовательно равны 1, -3, 3, -1.

5. Все сказанное справедливо только при n = 1, 2, 3. Начиная с n = 4 закономерности становятся сложнее.

IV. Задания на уроках и на дом

1. Используя соответствующие формулы, найдите:

а) 313;

б) 283;

в) 523;

г) 493.

Ответы: а) 29 791; б) 21 952; в) 140 608; г) 117 649.)

2. Вычислите:

(Ответы:

3. Решите уравнение:

V. Контрольные вопросы

— Сформулируйте словами, как найти куб суммы, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу куба суммы алгебраическим способом.

— Сформулируйте словами, как найти куб разности, и запишите соответствующую формулу.

— Выведите формулу куба разности алгебраическим способом.

VI. Подведение итогов уроков

compendium.su

Квадрат и куб суммы и разности двух выражений

Слайд 1

Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений Составила: Кочанова Лада, ученица 7 класса МБОУ СОШ №89 г. Ижевск

Слайд 2

Для начала вспомним как умножать многочлен на многочлен Правило умножение многочлена на многочлен? Как умножить многочлены и ?

Слайд 3

Умножение многочлена на многочлен Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. (a+b)(c+d)=

Слайд 4

пример

Слайд 5

Возведение в квадрат суммы многочленов Формула квадрата суммы: Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведения первого и второго выражения плюс квадрат второго.

Слайд 6

Справедливость равенства хорошо доказыв а ется геометрическим способом

Слайд 7

Пример: Возведем в квадрат сумму 8 x +3 По формуле квадрата суммы получим:

Слайд 8

Возведение в квадрат разности многочленов Формула квадрата разности: Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения.

Слайд 9

Пример: Возведем в квадрат разность 10x-7y. Воспользуемся формулой квадрата разности Получим:

Слайд 10

Возведение в куб суммы многочленов Формула куба суммы: Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Слайд 11

Пример: Возведем в куб сумму 2 x+3 Воспользуемся формулой суммы куба Получим:

Слайд 12

Возведение в куб разности многочленов Формула куба разности: Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Слайд 13

Пример: Возведем в куб разность 3x-5 Воспользуемся формулой разности куба Получим:

nsportal.ru