В степени квадрат – Возведение степени в квадрат — Как возвести число в степени в квадрат. как к примеру число 1,6×10 в -23 степени возвести в квадрат? — 22 ответа

Степень «квадрат» — способы написания в «Ворде»

Степень «квадрат» часто используется при записи различных формул в точных науках. Например, в математике. Ниже мы рассмотрим все способы возведения числа в степень в текстовых редакторах. Какие советы помогут справиться с поставленной задачей? Насколько это трудно сделать? Разобраться во всем этом предстоит далее. Даже начинающий пользователь ПК способен освоить навыки возведения чисел в степень. В нашем случае — в квадрат.

Символическая запись

Первый вариант развития событий — это работа со специальными дополнительными символами. Обычно такой прием помогает указать на степень числа там, где более «привычные глазу» исполнения невозможны. К примеру, в блокноте.

Чтобы справиться с поставленной задачей, юзеру предстоит:

1. Написать число, которому необходимо присвоить степень «квадрат».
2. Поставить в конце записи знак ^. Сделать это можно при помощи кнопки 6 в верхней части клавиатуры.
3. Вставить после «крышечки» цифру 2.

Вот и все. Получится запись типа a^2. Это первый способ выражения степени в электронных документах.

Простейшая запись

Тем не менее, она является далеко не единственной в своем роде. В математике можно указывать на возведение в квадрат (как и в любую другую степень) иначе. Как именно?

Путем умножения того или иного числа на себя же. При подобных обстоятельствах потребуется сделать так:

1. Написать возводимое в степень «квадрат» число.
2. Поставить знак *. Оно обозначает умножение.
3. Повторить первое число.

Должно получиться что-то вроде 3*3. Такая запись может считаться возведением в степень.

Форматирование текста

Как возвести в степень «в квадрате»? Это довольно легко. Главное — знать, что делать. У поставленной задачи, как уже можно было убедить, немало разнообразных решений. И далее мы рассмотрим более «приятные» приемы.

Например, поставленную задачу можно решить посредством правильного форматирования имеющегося текста. Руководство по воплощению задумки в жизнь имеет такую форму:

1. Поставить в конце возводимого в степень квадратов числа цифру 2.
2. Выделить соответствующий элемент. Нужен только он.
3. Перейти в «Формат» — «Шрифт».
4. Поставить отметку около пункта «Надстрочный».
5. Подтвердить вступление изменений в силу.

Быстро, просто и очень удобно. Таким образом пользователи могут без особых хлопот возводить числа и даже слова в любые степени. Визуально результат такого расклада является более приятным, нежели рассмотренные ранее методы.

Специальная вставка

Степень «Квадрат» при желании можно вставить в качестве отдельного символа, но на деле подобный прием почти не встречается. В Word’е есть функция под названием «Вставка». Если ее правильно использовать, юзер сможет осуществлять грамотное форматирование текстовых документов. И возвести число в степень не составит никакого труда.

В нашем случае необходимо выполнить следующие операции:

1. Зайти в текстовый редактор и установить курсор в месте печати степени.
2. Перейти во вкладку «Вставка». Она располагается на панели инструментов «Ворда» в верхней части строки.
3. Выбрать опцию «Символ».
4. Отыскать цифру 2, смещенную в сторону верхней границы «ячейки». Например, можно без труда обнаружить символ степени «Квадрат» в наборе шрифта Vani.
5. Дважды нажать ЛКМ по миниатюре выбранного символа.
6. Закрыть маленькое диалоговое окно посреди текстового редактора.

Такой расклад позволяет вставить символ «квадрата» в текст, но встречается в реальной жизни он не слишком часто. Связано это с трудностями поиска необходимого знака. Кроме того, юзеры могут воспользоваться более простыми и универсальными приемами.

Windows в помощь

Степень «квадратов» предлагается писать при помощи вставки специальных символов. Речь идет о цифре 2 с уменьшением и смещением к верхней части строки. Один из вариантов развития событий мы уже рассмотрели.

Кроме «вордовских» служб, можно прибегнуть к утилитам Windows. Для этого потребуется:

1. Зайти в «Таблицу символов». Отыскать ее предлагается через меню «Пуск».
2. В появившемся окне отыскать символ «Степень квадрата». Лучше всего сделать это с набором шрифта «Вани».
3. Выделить соответствующий символ курсором мыши, после чего нажать на кнопку «Выбрать».
4. Щелкнуть по «Скопировать».

Что дальше? Можно открыть текстовый документ, подлежащий редактированию, а затем вставить символ степени любым известным и удобным способом.

Это альтернатива ранее предложенной инструкции. Она встречается не так уж и часто, но забывать о ней не стоит.

Составляем формулы

Степень «Квадрат» пользователи могут вставить в текстовые документы при помощи математических формул. В «Ворде» это делается всего за несколько минут. Это самое лучшее решение поставленной задачи.

Алгоритм действий будет таким:

1. Открыть «Ворд» и зайти во вкладку «Вставка».
2. Развернуть список доступных подпунктов, а затем выбрать там «Объект».
3. Отметить строчку Microsoft Equation.
4. Нажать на кнопку со степенями. Нужно щелкнуть по формуле с изображением свободного поля в верхней правой части.
5. Написать цифру, возводимую в степень «квадрат».
6. Указать в окошке-поле в верхней части числа цифру 2.

fb.ru

Степень «квадрат» — способы написания в «Ворде» |

Степень «квадрат» часто используется при записи различных формул в точных науках. Например, в математике. Ниже мы рассмотрим все способы возведения числа в степень в текстовых редакторах. Какие советы помогут справиться с поставленной задачей? Насколько это трудно сделать? Разобраться во всем этом предстоит далее. Даже начинающий пользователь ПК способен освоить навыки возведения чисел в степень. В нашем случае — в квадрат.

Символическая запись

Первый вариант развития событий — это работа со специальными дополнительными символами. Обычно такой прием помогает указать на степень числа там, где более «привычные глазу» исполнения невозможны. К примеру, в блокноте.

Чтобы справиться с поставленной задачей, юзеру предстоит:

Написать число, которому необходимо присвоить степень «квадрат».

Поставить в конце записи знак ^. Сделать это можно при помощи кнопки 6 в верхней части клавиатуры.

Вставить после «крышечки» цифру 2.

Вот и все. Получится запись типа a^2. Это первый способ выражения степени в электронных документах.

Простейшая запись

Тем не менее, она является далеко не единственной в своем роде. В математике можно указывать на возведение в квадрат (как и в любую другую степень) иначе. Как именно?

Путем умножения того или иного числа на себя же. При подобных обстоятельствах потребуется сделать так:

Написать возводимое в степень «квадрат» число.

Поставить знак *. Оно обозначает умножение.

Повторить первое число.

Должно получиться что-то вроде 3*3. Такая запись может считаться возведением в степень.

Форматирование текста

Как возвести в степень «в квадрате»? Это довольно легко. Главное — знать, что делать. У поставленной задачи, как уже можно было убедить, немало разнообразных решений. И далее мы рассмотрим более «приятные» приемы.

Например, поставленную задачу можно решить посредством правильного форматирования имеющегося текста. Руководство по воплощению задумки в жизнь имеет такую форму:

Поставить в конце возводимого в степень квадратов числа цифру 2.

Выделить соответствующий элемент. Нужен только он.

Перейти в «Формат» — «Шрифт».

Поставить отметку около пункта «Надстрочный».

Подтвердить вступление изменений в силу.

Быстро, просто и очень удобно. Таким образом пользователи могут без особых хлопот возводить числа и даже слова в любые степени. Визуально результат такого расклада является более приятным, нежели рассмотренные ранее методы.

Специальная вставка

Степень «Квадрат» при желании можно вставить в качестве отдельного символа, но на деле подобный прием почти не встречается. В Word’е есть функция под названием «Вставка». Если ее правильно использовать, юзер сможет осуществлять грамотное форматирование текстовых документов. И возвести число в степень не составит никакого труда.

В нашем случае необходимо выполнить следующие операции:

Зайти в текстовый редактор и установить курсор в месте печати степени.

Перейти во вкладку «Вставка». Она располагается на панели инструментов «Ворда» в верхней части строки.

Выбрать опцию «Символ».

Отыскать цифру 2, смещенную в сторону верхней границы «ячейки». Например, можно без труда обнаружить символ степени «Квадрат» в наборе шрифта Vani.

Дважды нажать ЛКМ по миниатюре выбранного символа.

Закрыть маленькое диалоговое окно посреди текстового редактора.

Такой расклад позволяет вставить символ «квадрата» в текст, но встречается в реальной жизни он не слишком часто. Связано это с трудностями поиска необходимого знака. Кроме того, юзеры могут воспользоваться более простыми и универсальными приемами.

Windows в помощь

Степень «квадратов» предлагается писать при помощи вставки специальных символов. Речь идет о цифре 2 с уменьшением и смещением к верхней части строки. Один из вариантов развития событий мы уже рассмотрели.

Кроме «вордовских» служб, можно прибегнуть к утилитам Windows. Для этого потребуется:

Зайти в «Таблицу символов». Отыскать ее предлагается через меню «Пуск».

В появившемся окне отыскать символ «Степень квадрата». Лучше всего сделать это с набором шрифта «Вани».

Выделить соответствующий символ курсором мыши, после чего нажать на кнопку «Выбрать».

Щелкнуть по «Скопировать».

Что дальше? Можно открыть текстовый документ, подлежащий редактированию, а затем вставить символ степени любым известным и удобным способом.

Это альтернатива ранее предложенной инструкции. Она встречается не так уж и часто, но забывать о ней не стоит.

Составляем формулы

Степень «Квадрат» пользователи могут вставить в текстовые документы при помощи математических формул. В «Ворде» это делается всего за несколько минут. Это самое лучшее решение поставленной задачи.

Алгоритм действий будет таким:

Открыть «Ворд» и зайти во вкладку «Вставка».

Развернуть список доступных подпунктов, а затем выбрать там «Объект».

Отметить строчку Microsoft Equation.

Нажать на кнопку со степенями. Нужно щелкнуть по формуле с изображением свободного поля в верхней правой части.

Написать цифру, возводимую в степень «квадрат».

Указать в окошке-поле в верхней части числа цифру 2.

Источник: bisbroker.ru

cv-consul.ru

Возведение в степень — онлайн калькулятор, секретные примеры, игры

Возведение в степень – операция, тесно связанная с умножением, это операция – результат многократного умножения какого-либо числа на само себя. Изобразим формулой: a1 * a2 * … * an = an.

Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8.

Вообще возведение в степень часто используется в различных формулах по математике и физике. Эта функция имеет более научное предназначение, чем четыре основные: Сложение, Вычитание, Умножение, Деление.

Возведение числа в степень

Возведение числа в степень – операция не сложная. Оно связано с умножением подобно связи умножения и сложения. Запись an – краткая запись n-ого количество чисел «а» умноженных друг на друга.

Рассмотри возведение в степень на самых простых примерах, переходя к сложным.

Например, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Четыре в квадрате (во второй степени) равно шестнадцати. Если вам не понятно умножение 4 * 4, то читайте нашу стать об умножении.

Рассмотрим еще одни пример: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125. Пять в кубе (в третьей степени) равно ста двадцати пяти.

Еще один пример: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729. Девять в кубе равняется семи сотням двадцати девяти.

Формулы возведения в степень

Чтобы грамотно возводить в степень нужно помнить и знать формулы, указанные ниже. В этом нет ничего сверх естественного, главное понять суть и тогда они не только запомнятся, но и покажутся легкими.

Возведение одночлена в степень

Что из себя представляет одночлен? Это произведение чисел и переменных в любом количестве. Например, двух – одночлен. И вот именно о возведении в степень таких одночленов данная статья.

Пользуясь формулами возведения в степень вычислить возведение одночлена в степень будет не трудно.

Например, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Если возводить одночлен в степень, то в степень возводится каждая составная одночлена.

Возводя в степень переменную уже имеющую степень, то степени перемножаются. Например, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Возведение в отрицательную степень

Отрицательная степень – обратное число. Что такое обратное число? Любому числу Х обратным будет 1/X. То есть Х-1=1/X. Это и есть суть отрицательной степени.

Рассмотрим пример (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Почему так? Так как в степени имеется минус, то просто переносим в знаменатель данное выражение, а затем возводим в его в третью степень. Просто не так ли?

Возведение в дробную степень

Начнем рассмотрение вопрос на конкретном примере. 43/2. Что означает степень 3/2? 3 – числитель, означает возведение числа (в данном случае 4) в куб. Число 2 – знаменатель, это извлечение корня второй степени из числа (в данном случае 4).

Тогда получаем квадратный корень из 43 = 2^3 = 8. Ответ: 8.

Итак, знаменатель дробной степени может быть, как 3, так и 4 и до бесконечности любым числом и это число определяет степень квадратного корня, извлекаемого из заданного числа. Конечно же, знаменатель не может быть равным нулю.

Возведение корня в степень

Если корень возводится в степень, равной степени самого корня, то ответом будет подкоренное выражение. Например, (√х)2 = х. И так в любом случае равенства степени корня и степени возведения корня.

Если (√x)^4. То (√x)^4=x^2. Чтобы проверить решение переведем выражение в выражение с дробной степенью. Так как корень квадратный, то знаменатель равен 2. А если корень возводится в четвертую степень, то числитель 4. Получаем 4/2=2. Ответ: x = 2.

В любом случае лучший вариант просто перевести выражение в выражение с дробной степенью. Если не будет сокращаться дробь, значит такой ответ и будет, при условии, что корень из заданного числа не выделяется.

Возведение в степень комплексного числа

Что такое комплексное число? Комплексное число – выражение, имеющее формулу a + b * i; a, b – действительные числа. i – число, которое при возведение в квадрат дает число -1.

i^2=-1.

Рассмотрим пример. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Запишитесь на курс «Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика», чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

---

Возведение в степень онлайн

С помощью нашего калькулятора, Вы сможете посчитать возведение числа в степень:

Загрузка калькулятора…

Возведение в степень 7 класс

Возведение в степень начинают проходить школьники только в седьмом классе.

Возведение в степень – операция, тесно связанная с умножением, это операция – результат многократного умножения какого-либо числа на само себя. Изобразим формулой: a1 * a2 * … * an=an.

Например, а=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Примеры для решения:

Возведение в степень презентация

Презентация по возведению в степень, рассчитанную на семиклассников. Презентация может разъяснить некоторые непонятные моменты, но, вероятно, таких моментов не будет благодаря нашей статье.

Скачать презентацию

Итог

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше — записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет — НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

cepia.ru

Квадрат (степень) — это… Что такое Квадрат (степень)?



Квадрат (степень)

y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Квадра́том числа называется результат умножения числа на само себя (возведения числа в степень 2).

Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849…

Квадрат натурального числа n можно также представить в виде суммы первых n нечетных чисел:

1: 1 = 1

2: 4 = 1 + 3

…

7: 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

…

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
n² = 1 + 1 + 2 + 2 + … + (n − 1) + (n − 1) + n
Пример:

1: 1 = 1

2: 4 = 1 + 1 + 2

…

4: 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4

…

Сумма квадратов первых n натуральных чисел вычисляется по формуле:

Геометрический смысл

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

• Квадрат (ЗРК)
• Квадратичное отклонение

Смотреть что такое «Квадрат (степень)» в других словарях:

• КВАДРАТ — (лат. quadratum, от quadrare сделать четырехугольным). 1) прямоугольный, равносторонний четырехугольник. 2) такое число, которое, будучи умножено само на себя, дает данное число. 3) единица для измерения плоскостей; напр.: квадратн. фут, дюйм и… …   Словарь иностранных слов русского языка

• степень — Ступень, разряд, ряд, стадия, фазис, высота, точка, градус, уровень, ординар, достоинство, ранг, чин. Последовательность степеней лестница, иерархия. Образовательный, имущественный ценз. Дело вступило в новый фазис. Чахотка в последнем градусе …   Словарь синонимов

• квадрат — параллелограмм, клетка, материал, прямоугольник, степень, квадратик Словарь русских синонимов. квадрат сущ., кол во синонимов: 9 • гиперкуб (12) • …   Словарь синонимов

• КВАДРАТ — • КВАДРАТ, в биологии квадратная рама, используемая для разметки участка поверхности с целью изучения растений, находящихся на нем. Квадратом называют также и сам этот участок почвы. Как правило, такой квадрат равен 0,5 или 1 м2. Пользуясь этим… …   Научно-технический энциклопедический словарь

• СТЕПЕНЬ — жен. ступень, ряд, разряд, порядок, от дел по качеству, достоинству; место и самое собранье однородного, равного во всем, где полагается лествичный порядок, восходящий и нисходящий. Царство ископаемых, растений и животных, это три степени… …   Толковый словарь Даля

• КВАДРАТ — (от латинского quadratus четырехугольный), 1) равносторонний прямоугольник. 2) Вторая степень a2 числа a (название связано с тем, что именно так выражается площадь квадрата со стороной a) …   Современная энциклопедия

• КВАДРАТ — (от лат. quadratus четырехугольный) 1) прямоугольник с равными сторонами.2) Вторая степень числа (а), то есть а?а = а2 …   Большой Энциклопедический словарь

• Квадрат — (от латинского quadratus четырехугольный), 1) равносторонний прямоугольник. 2) Вторая степень a2 числа a (название связано с тем, что именно так выражается площадь квадрата со стороной a).   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

• КВАДРАТ — (1) прямоугольник, у которого все стороны равны; (2) вторая степень числа или алгебраического выражения; обозначается, напр. а2 …   Большая политехническая энциклопедия

• Квадрат — Это статья о геометрической фигуре. Другие значения слова см. на странице Квадрат (значения) Квадрат …   Википедия

dic.academic.ru

Квадрат многочлена | Формулы с примерами

Квадрат многочлена формула

Что бы возвести многочлен в квадрат необходимо сложить его члены в квадрате и удвоенные произведения его членов попарно взятых.

Примеры квадрата многочлена

1. (1 + 2 + 3 + 4)² =
1² + 2² + 3² + 4² + 2 • 1 • (2 + 3 + 4) + 23 • (3 + 4) + 2 • 3 • 4 =
1 + 4 + 9 + 16 + 2 • 1 • 9 + 2 • 2 • 7 + 24 =
30 + 18 + 28 + 24 = 100 ;
a = 1 ;
b = 2

;
c = 3 ;
d = 4 ;

2. (2 + 3 + 4 + 5)² =
2² + 3² + 4² + 5² + 2 • 2 • 3 + 2 • 2 • 4 + 2 • 2 • 5 + 2 • 3 • 4 + 2 • 3 • 5 + 2 • 4 • 5 =
4 + 9 + 16 + 25 + 12 + 16 + 20 + 24 + 30 + 40 = 196 ;
a = 2 ;
b = 3 ;
c = 4 ;
d = 5 ;

3. (5 + 6 + 7 + 8)² =
5² + 6² + 7² + 8² + 2 • 5 • 6 + 2 • 5 • 7 + 2 • 5 • 8 + 2 • 6 • 7 + 2 • 6 • 8 + 2 • 7 • 8 =
25 + 36 + 49 + 64 + 60 + 70 + 80 + 84 + 96 + 112 = 676 ;
a = 5 ;
b = 6 ;
c = 7 ;
d = 8 ;

formula-xyz.ru

Урок математики в 5-м классе по теме «Степень числа. Квадрат и куб числа»

Разделы: Математика

---

Цели и задачи урока:

1. Ввести понятие степени числа, основания степени и показателя степени, закрепить понятие возведения в степень на решении заданий.
2. Развивать внимание, логическое мышление, математическую речь.
3. Воспитание культуры речи, усидчивости.

Оборудование:

• компьютер,
• мультимедийный проектор,
• экран,
• презентация “Возведение в степень квадрат и куб числа”.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний: (слайд)

Упростить выражение:

• 25х + 15 х;
• 12у – 3у;
• 9k + 9k – 4k;
• 80c-35c-14c;
• 8d+d-9d;
• 163 + 37v + 18v

Решить уравнение:

• 7х+2х = 918;
• 5а-3а = 222;
• 18у – 13у – 5 = 35

Проверьте порядок действий:

       1      3           2         4
508 * 609 — (22313 + 345) : 69

     4      6     5     2      3     1
34 * 45 + 56 — 78 * 356 : 56 * 4

3. Объяснение нового материала: (слайд)

Вы знаете, что сумму равных слагаемых заменяют произведением,

например:

5+5+5+5+5+5+5+5+5+5= 5*10 это короче и удобней.

А есть ли способ, чтобы заменить произведение равных сомножителей?

Как, например, произведение 5*5*5*5*5*5*5*5*5*5 записать короче?

Такой способ есть 5*5*5*5*5*5*5*5*5*5=5¹⁰

5¹⁰ — читают: “пять в десятой степени”

5 – основание степени

10 – показатель степени, который показывает, сколько множителей было в произведении

В математике произведение одинаковых множителей называется – возведением в степень.

4. Закрепление: (слайд)

А)Записать в тетрадь произведения в виде степени и вычислить:

3*3*3*3=3⁴=81

5*5*5=5³=125

2*2*2*2*2*2=2⁶=64

Б) Устно: (слайд)

Назовите основание и показатель степени:

3⁴; 5³;2⁶; 6¹

Если показатель степени равен 1, то что это значит?

Первая степень любого числа равна этому числу.

5. Объяснение нового материала: (слайд)

Квадрат и куб числа а² и а³

Вторая и третья степени числа имеют особые названия.
Вторую степень называют – Квадратом этого числа.
Квадрат числа 2 равен 4,
Квадрат числа 3 равен 9.
Запись 2² читают: “Два в квадрате”.

А почему такое название – квадрат?
Ведь у нас никаких геометрических фигур здесь не появилось.
Фигура сейчас появится. И именно квадрат. Рассмотрим квадрат со стороной 2 см. его площадь равна 2*2=2²(кв.см)
Рассмотрим шахматную доску. У нее 8 строк (горизонталей) и 8 столбцов (вертикалей).
Клетки этой таблицы-доски называют полями.

Сколько у нее полей? Ответ: 8*8=8²=64

Третью степень называют – Кубом этого числа.
Запись 2³ читают: “Два в кубе”.

Рассмотрим куб, ребро которого имеет длину 2 см, видно, что он сложен из восьми кубиков с ребром 1 см.

Но 8 как раз и равно 2*2*2=2³

6. Работа с учебником.

№ 653 (выполняет у доски ученик)

7. Закрепление

А) запишите выражение с помощью символов степени и вычислите его значение:

• 10*10*10
• 6*6*6
• 4*4+8*8
• 2*2*2+3*3

Б) вычислите: 11²; 9³; 34¹; 13²; 4³.

В) Вопросы: Что называется возведением в степень?
Произведение одинаковых множителей называется – возведением в степень.

• На примере поясните, какое число называется степенью, основанием степени, показателем степени?
• Дано число. Чему равна его первая степень?
  Первая степень числа равна самому числу.
• Что такое квадрат данного числа ?Куб данного числа?
• Дан куб со стороной а см (а – натуральное число). Из скольких кубиков с ребром 1 см он сложен?
  Из а кубиков.
• Верно ли равенство? 15*3=15³
  Равенство неверное, т.к. 15³ =15*15*15

7. Домашнее задание:

8.Итог урока:

1. Что нового вы узнали на уроке?
2. Какие трудности были у вас на уроке?
3. Что понравилось на уроке?

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Квадрат (степень) Вики

График y=x², при целых значениях x на отрезке от 1 до 25

Квадра́т числа x{\displaystyle x} — это результат умножения числа на себя: x⋅x{\displaystyle x\cdot x}. Обозначение: x2{\displaystyle x^{2}}.

Вычисление x2{\displaystyle x^{2}} — это математическая операция, называемая возведе́нием в квадра́т. Эта операция представляет собой частный случай возведения в степень, а именно — возведение числа x{\displaystyle x} в степень 2.

Далее приведено начало числовой последовательности для квадратов целых неотрицательных чисел (последовательность A000290 в OEIS):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500…

Исторически натуральные числа из этой последовательности называли «квадратными».

Способы представления[ | код]

Квадрат натурального числа n{\displaystyle n} можно представить в виде суммы первых n{\displaystyle n} нечетных чисел:

1: 1=1{\displaystyle 1=1}

2: 4=1+3{\displaystyle 4=1+3}

…

7: 49=1+3+5+7+9+11+13{\displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13}

…

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
n2=1+1+2+2+…+(n−1)+(n−1)+n{\displaystyle n^{2}=1+1+2+2+…+(n-1)+(n-1)+n}
Пример:

1: 1=1{\displaystyle 1=1}

2: 4=1+1+2{\displaystyle 4=1+1+2}

…

4: 16=1+1+2+2+3+3+4{\displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4}

…

Сумма квадратов первых n{\displaystyle n} натуральных чисел вычисляется по формуле:
∑k=1nk2=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

Вывод

Способ 1, метод приведения:

Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до n+1{\displaystyle n+1}:

∑k=1nk3+(n+1)3=∑k=0n(k+1)3=∑k=0n(k3+3k2+3k+1)=∑k=0nk3+∑k=0n3k2+∑k=0n3k+∑k=0n1=∑k=0nk3+3∑k=0nk2+3∑k=0nk+∑k=0n1{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k+1)^{3}=\sum _{k=0}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+\sum _{k=0}^{n}3k^{2}+\sum _{k=0}^{n}3k+\sum _{k=0}^{n}1=\sum _{k=0}^{n}k^{3}+3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1}

Получим:

(n+1)3=3∑k=0nk2+3∑k=0nk+∑k=0n1=3∑k=0nk2+3(n+1)n2+(n+1){\displaystyle (n+1)^{3}=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{k=0}^{n}1=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1)}

Умножим на 2 и перегруппируем:

6∑k=0nk2=2(n+1)3−3(n+1)n−2(n+1)=(n+1)(2(n+1)2−3n−2)=(n+1)(2n2+n)=n(n+1)(2n+1){\displaystyle 6\sum _{k=0}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)}

∑k=0nk2=n(n+1)(2n+1)6{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}       (В рассуждениях использована формула: ∑k=0nk=(n+1)n2{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}}, вывод которой аналогичен приведенному)

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Заметим, что сумма функций степени N{\displaystyle N} может быть выражена как функция N+1{\displaystyle N+1} степени. Исходя из этого факта предположим:

∑k=0nk2=f(n)=An3+Bn2+Cn+D{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D}

f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14{\displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14}

Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:

{0A+0B+0C+D=0A+B+C+D=18A+4B+2C+D=527A+9B+3C+D=14{\displaystyle {\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\\end{cases}}}

Решив её, получим A=13,B=12,C=16,D=0{\displaystyle A={\frac {1}{3}},B={\frac {1}{2}},C={\frac {1}{6}},D=0}

Таким образом:

∑k=0nk2=f(n)=13n3+12n2+16n+0=n(n+1)(2n+1)6{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

Квадрат комплексного числа[ | код]

Квадрат комплексного числа в алгебраической форме можно вычислить по формуле:

(a+bi)2=(a2−b2)+2abi.{\displaystyle \left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.}

Аналогичная формула для комплексного числа в тригонометрической форме:

(r(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ))2=r2(cos⁡2ϕ+isin⁡2ϕ).{\displaystyle \left(r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\phi }\right).}

Геометрический смысл[ | код]

Квадрат числа равен площади квадрата со стороной, равной этому числу.

Литература[ | код]

• Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. — Конкретная математика. Основание информатики. Пер. с англ. —М.: Мир, 1998. —703 с.

См. также[ | код]

ru.wikibedia.ru