В степени числа логарифм – с в степени логарифм | Логарифмы
с в степени логарифм | Логарифмы
Как можно преобразовать выражение вида «с в степени логарифм»? Это зависит от основания степени и основания логарифма.
По основному логарифмическому тождеству,
(где a>0, a≠1, b>0).
Например,
А как преобразовать выражение, когда основание степени и основание логарифма разные и не могут быть приведены к одному числу?
В этом случае нам поможет формула перехода к новому основанию:
где
Чтобы воспользоваться основным логарифмическим тождеством, перейдем к основанию, равному основанию степени:
В показателе степени нам нужен только числитель этой дроби. Преобразовываем выражение:
(в последнем переходе использовали свойство
Руководствуясь этими рассуждениями, докажем, что
Доказательство:
Один из логарифмов оставляем без изменения (например, второй), другой — преобразовываем:
Что и требовалось доказать.
При решении примеров обычно эти рассуждения проводят для каждого конкретного случая.
Например, нужно найти значение выражения
Решение:
www.logarifmy.ru
Логарифм степени
Логарифм степени основания
Определение 1
Значением логарифма степени числа, которое равно основанию логарифма, является показатель этой степени:
$\log_{a}a^s=s$
при $a > 0$, $a \ne 1$,
$s$ – любом числе.
Данное свойство вытекает из определения логарифма. С его помощью можно сразу найти значение логарифма при условии, что число, которое стоит под знаком логарифма, можно записать в виде степени числа, являющегося основанием данного логарифма.
Пример 1
$\log_{11}{11^8}=8$;
$\lg10^{-17}=-17$;
$\log_{\sqrt{8,7}}(\sqrt{8,7})^{7,23}=7,23$.
Логарифм степени числа
Определение 2
Логарифм степени любого числа равен произведению логарифма модуля основания этой степени на показатель степени:
$\log_{a}x^r=r \cdot \log_{a}|x|$
при $x^r,a > 0$, $a \ne 1$.
Пример 2
Найти значение выражения $\log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}121$.
Решение.
Представим подлогарифмические выражения в виде основания логарифма в степени и используем свойство логарифма степени:
$log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}121=\log_{5}5^{-3}+\log_{11}11^2=-3\log_{5}5+2\log_{11}11=$
воспользуемся равенством $\log_{a}a=1$:
$=-3+2=-1$.
Ответ: $\log_{5} \frac{1}{125}+\log_{11}121=-1$.
При вычислении логарифмов справедливым является и обратное определение:
Определение 3
Коэффициент, который стоит перед логарифмом можно внести в степень подлогарифмического выражения:
$s \log_{a}x=\log_{a}x^s$
при $a,b > 0$, $a \ne 1$.
Пример 3
Упростить $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7$.
Решение.
Используем свойство логарифма степени и вынесем степень за знак логарифма:
$6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=6 \cdot 2 \log_{13}x-7 \log_{13}x=12 \log_{13}x-7 \log_{13}x=5 \log_{13}x=$
внесем коэффициент $5$ под знак логарифма:
$=\log_{13}x^5$.
Ответ: $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=\log_{13}x^5$.
Логарифм корня
Определение 4
Следствием из свойства логарифма степени числа является свойство логарифма степени в виде дроби:
$\log_{a}\sqrt[r]{x}=\frac{1}{r} \cdot \log_{a}x$
при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.
Пример 4
$\log_{7,8}\sqrt[6]{2}=\log_{7,8}2^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}\log_{7,8}2$.
Пример 5
Найти значение выражения $\lg\sqrt[3]{10x}$, если $\lgx=\frac{5}{7}$.
Решение.
Используем свойство логарифма корня:
$\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{1}{3}\lg10x=$
воспользуемся свойством логарифма произведения:
$\frac{1}{3} (\lg10+\lgx )=\frac{1}{3} (1+\frac{5}{7})=\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7}=\frac{12}{21}$.
Ответ: $\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{12}{21}$.
Также можно применять и обратное свойство:
Определение 5
Если перед логарифмом стоит дробь, то ее можно внести в степень подлогарифмического выражения:
$\frac{1}{r} \cdot \log_{a}x=\log_{a}\sqrt[r]{x}$
при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.
Пример 6
Вычислить $\frac{1}{4}\log_{12}16+\log_{12}6$.
Решение.
Применим свойство логарифма корня:
$\frac{1}{4}\log_{12}16+\log_{12}6=\log_{12}\sqrt[4]{16}+\log_{12}6=\log_{12}2+\log_{12}6=$
используем свойство суммы логарифмов:
$=\log_{12}2 \cdot 6=\log_{12}12=1$.
Ответ: $\frac{1}{4}\log_{12}16+\log_{12}6=1$.
При вычислении логарифмов зачастую встречаются случаи, когда основание логарифма и число, для которого вычисляется логарифм, можно записать в виде степени одного и того же числа. Тогда для упрощения вычислений пользуются формулой:
$log_{a^x}a^y=\frac{y}{x}$.
Данная формула дает возможность практически моментально получить значение рассматриваемого логарифма при его кажущейся сложности записи.
Рассмотрим пример, который покажет удобство использования данной формулы.
Пример 7
Вычислить $\log_{27}9\sqrt[7]{81}$.
Решение.
Запишем основание логарифма $27$ и подлогарифмическое выражение $9\sqrt[7]{81}$ в виде степени числа $3$:
$\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\log_{3^3}3^2 \cdot 3^{\frac{4}{7}}=\log_{3^3}3^{\frac{18}{7}}=$
теперь воспользуемся рассматриваемой формулой:
$=\frac{\frac{18}{7}}{3}=\frac{18}{7 \cdot 3}=\frac{6}{7}$.
Ответ: $\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\frac{6}{7}$.
Пример 8
Вычислить $\log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}$, если $\log_{\sqrt[11]{8}}x=13$.
Решение.
Применим свойство логарифма дроби:
$log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=\log_{\sqrt[11]{8}}x^3-\log_{\sqrt[11]{8}}16=$
к первому логарифму применим свойство логарифма степени, а во втором в основании логарифма и подлогарифмическом выражении перейдем к степеням числа $2$:
$=3 \log_{\sqrt[11]{8}}x-\log_{2^{\frac{3}{11}}}2^4=$
подставим условие $\log_{\sqrt[11]{8}}x=13$ в первый логарифм и применим рассмотренное свойство для логарифма степени ко второму логарифму:
$=3 \cdot 13-\frac{4}{\frac{3}{11}}=39-4 \cdot \frac{11}{3}=39-\frac{44}{3}=\frac{73}{3}=24 \frac{1}{3}$.
Ответ: $\log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=24 \frac{1}{3}$.
spravochnick.ru
Определение логарифма | Логарифмы
Определение
Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.
Если логарифм b по основанию a равен c, это означает, что основание a в степени c равно числу b, стоящему под знаком логарифма:
Примеры.
так как, чтобы получить 49 (число, стоящее под знаком логарифма), основание 7 нужно возвести в квадрат.
так как, чтобы получить 81, основание 3 нужно возвести в степень 4.
так как
так как
так как
так как
так как
Запись некоторых логарифмов отличается от стандартной.
Например, вместо
пишут
Логарифм по основанию 10 называется десятичным. О нем и о свойствах логарифмов — дальше.
www.logarifmy.ru
Логарифм в степени -1 | Логарифмы
Как преобразовать выражение, содержащее логарифм в степени -1?
Так как
то
По свойству логарифма,
Таким образом, логарифм в минус первой степени может быть преобразован как
Например,
В частности, десятичный логарифм в степени -1:
и
Натуральный логарифм в степени -1:
и
Например,
www.logarifmy.ru
Степень в основании логарифма | Логарифмы
Как преобразовать степень в основании логарифма?
Если и под знаком логарифма, и в основании логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма в виде дроби.
Числитель этой дроби — показатель степени, стоящей под знаком логарифма, знаменатель — показатель степени, стоящей в основании логарифма.
(x>0, a>0, a≠1).
Формула преобразования логарифма степени — частный случай данной формулы.
Если степень стоит только в основании логарифма, выражение под знаком логарифма можно рассматривать как степень с показателем 1.
В этом случае показатель степени из основания логарифма выносим за знак логарифма в знаменатель дроби, числитель которой равен единице:
Примеры.
(логарифм по основанию 10 — десятичный логарифм)
Это замечательное свойство позволяет найти значение любого логарифма в тех случаях, когда число под знаком логарифма и число в основании логарифма можно привести к степени с одинаковым основанием. Позже рассмотрим, как это сделать.
Поскольку корень можно заменить степенью с дробным показателем, аналогично можно преобразовывать логарифмы с корнем в основании.
Такие преобразования рассмотрим в следующий раз.
www.logarifmy.ru
Логарифм
Решим уравнение вида:
То есть необходимо найти показатель степени по данным значениям степени (b) и её основания (a)
Для этого введём математическое действие – логарифм.
Логарифм числа b> 0 по основанию а > 0, а ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.
Логарифм числа b по основанию а:
.
По определению
–основное логарифмическое тождество
Например:
1) ;
т.к. , следовательно: .
т.к. , следовательно: .
т.к. следовательно: .
4)
Из определения логарифма: .
Логарифмирование – действие нахождения логарифма
Запись равносильна
Логарифм имеет смысл, если:
из определения показательной функции
b> 0 (т.к. если любое положительное число а > 0 возвести в степень, то получится тоже положительно число)
Свойства логарифмов:
Пусть – положительные действительные числа, причём a≠1
2)–логарифм степени
3) – логарифм частного
4) Если
Если
Формула перехода от логарифмов по одному основанию к логарифмам по другому основанию:
Если в качестве основания берётся число 10, то логарифм называют десятичным:
Если в качестве основания берётся число Эйлера (e=2,7 экспонента), то логарифм называется натуральным
Пример 1.
Определить при каких значениях xсуществует
Логарифм имеет смысл, если:
a) Нули числителя:
x – 5 = 0
x = 5
b) Исключаем нули знаменателя 1 + x≠ 0
Наносим точки на числовую ось ox и определяем
Ответ:
Пример 2.
Вычислить
Воспользуемся формулой перехода к другому основанию:
Удобнее всего перейти к новому основанию b = 2, т.к. число
Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич
Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна
Натуральный логарифм — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x).Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e{\displaystyle e} — иррациональная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как lnx{\displaystyle \ln x}, logex{\displaystyle \log _{e}x} или иногда просто logx{\displaystyle \log x}, если основание e{\displaystyle e} подразумевается
Примеры:
- lne=1{\displaystyle \ln e=1}, потому что e1=e{\displaystyle e^{1}=e}
ru.wikipedia.org