В степени числа логарифм – с в степени логарифм | Логарифмы

с в степени логарифм | Логарифмы

Как можно преобразовать выражение вида «с в степени логарифм»? Это зависит от основания степени и основания логарифма.

По основному логарифмическому тождеству,

   

(где a>0, a≠1, b>0).

Например,

   

   

   

А как преобразовать выражение, когда основание степени и основание логарифма разные и не могут быть приведены к одному числу?

   

В этом случае нам поможет формула перехода к новому основанию:

   

где

   

Чтобы воспользоваться основным логарифмическим тождеством, перейдем к основанию, равному основанию степени:

   

В показателе степени нам нужен только числитель этой дроби. Преобразовываем выражение:

   

(в последнем переходе использовали свойство

   

 

Руководствуясь этими рассуждениями, докажем, что

   

Доказательство:

Один из логарифмов оставляем без изменения (например, второй), другой — преобразовываем:

   

Что и требовалось доказать.

 

При решении примеров обычно эти рассуждения проводят для каждого конкретного случая.

Например, нужно найти значение выражения

   

Решение:

   

   

www.logarifmy.ru

Логарифм степени

Логарифм степени основания

Определение 1

Значением логарифма степени числа, которое равно основанию логарифма, является показатель этой степени:

$\log_{a}⁡a^s=s$

при $a > 0$, $a \ne 1$,

$s$ – любом числе.

Данное свойство вытекает из определения логарифма. С его помощью можно сразу найти значение логарифма при условии, что число, которое стоит под знаком логарифма, можно записать в виде степени числа, являющегося основанием данного логарифма.

Пример 1

$\log_{11}⁡{11^8}=8$;

$\lg⁡10^{-17}=-17$;

$\log_{\sqrt{8,7}}(\sqrt{8,7})^{7,23}=7,23$.

Логарифм степени числа

Определение 2

Логарифм степени любого числа равен произведению логарифма модуля основания этой степени на показатель степени:

$\log_{a}x^r=r \cdot \log_{a}⁡|x|$

при $x^r,a > 0$, $a \ne 1$.

Пример 2

Найти значение выражения $\log_{5}⁡\frac{1}{125}+\log_{11}⁡121$.

Решение.

Представим подлогарифмические выражения в виде основания логарифма в степени и используем свойство логарифма степени:

$log_{5}\frac{1}{125}+\log_{11}⁡121=\log_{5}5^{-3}+\log_{11}11^2=-3\log_{5}⁡5+2\log_{11}⁡11=$

воспользуемся равенством $\log_{a}⁡a=1$:

$=-3+2=-1$.

Ответ: $\log_{5} \frac{1}{125}+\log_{11}⁡121=-1$.

При вычислении логарифмов справедливым является и обратное определение:

Определение 3

Коэффициент, который стоит перед логарифмом можно внести в степень подлогарифмического выражения:

$s \log_{a}⁡x=\log_{a}x^s$

при $a,b > 0$, $a \ne 1$.

Пример 3

Упростить $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7$.

Решение.

Используем свойство логарифма степени и вынесем степень за знак логарифма:

$6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=6 \cdot 2 \log_{13}⁡x-7 \log_{13}⁡x=12 \log_{13}⁡x-7 \log_{13}⁡x=5 \log_{13}⁡x=$

внесем коэффициент $5$ под знак логарифма:

$=\log_{13}x^5$.

Ответ: $6 \log_{13}x^2-\log_{13}x^7=\log_{13}x^5$.

Логарифм корня

Определение 4

Следствием из свойства логарифма степени числа является свойство логарифма степени в виде дроби:

$\log_{a}\sqrt[r]{x}=\frac{1}{r} \cdot \log_{a}⁡x$

при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.

Пример 4

$\log_{7,8}\sqrt[6]{2}=\log_{7,8}2^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}\log_{7,8}⁡2$.

Пример 5

Найти значение выражения $\lg\sqrt[3]{10x}$, если $\lg⁡x=\frac{5}{7}$.

Решение.

Используем свойство логарифма корня:

$\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{1}{3}\lg10x=$

воспользуемся свойством логарифма произведения:

$\frac{1}{3} (\lg⁡10+\lg⁡x )=\frac{1}{3} (1+\frac{5}{7})=\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7}=\frac{12}{21}$.

Ответ: $\lg\sqrt[3]{10x}=\frac{12}{21}$.

Также можно применять и обратное свойство:

Определение 5

Если перед логарифмом стоит дробь, то ее можно внести в степень подлогарифмического выражения:

$\frac{1}{r} \cdot \log_{a}x=\log_{a}\sqrt[r]{x}$

при $a,x > 0$, $a \ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.

Пример 6

Вычислить $\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6$.

Решение.

Применим свойство логарифма корня:

$\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6=\log_{12}\sqrt[4]{16}+\log_{12}⁡6=\log_{12}⁡2+\log_{12}⁡6=$

используем свойство суммы логарифмов:

$=\log_{12}2 \cdot 6=\log_{12}⁡12=1$.

Ответ: $\frac{1}{4}\log_{12}⁡16+\log_{12}⁡6=1$.

При вычислении логарифмов зачастую встречаются случаи, когда основание логарифма и число, для которого вычисляется логарифм, можно записать в виде степени одного и того же числа. Тогда для упрощения вычислений пользуются формулой:

$log_{a^x}a^y=\frac{y}{x}$.

Данная формула дает возможность практически моментально получить значение рассматриваемого логарифма при его кажущейся сложности записи.

Рассмотрим пример, который покажет удобство использования данной формулы.

Пример 7

Вычислить $\log_{27}9\sqrt[7]{81}$.

Решение.

Запишем основание логарифма $27$ и подлогарифмическое выражение $9\sqrt[7]{81}$ в виде степени числа $3$:

$\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\log_{3^3}3^2 \cdot 3^{\frac{4}{7}}=\log_{3^3}3^{\frac{18}{7}}=$

теперь воспользуемся рассматриваемой формулой:

$=\frac{\frac{18}{7}}{3}=\frac{18}{7 \cdot 3}=\frac{6}{7}$.

Ответ: $\log_{27}9\sqrt[7]{81}=\frac{6}{7}$.

Пример 8

Вычислить $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡\frac{x^3}{16}$, если $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡x=13$.

Решение.

Применим свойство логарифма дроби:

$log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=\log_{\sqrt[11]{8}}x^3-\log_{\sqrt[11]{8}}⁡16=$

к первому логарифму применим свойство логарифма степени, а во втором в основании логарифма и подлогарифмическом выражении перейдем к степеням числа $2$:

$=3 \log_{\sqrt[11]{8}}⁡x-\log_{2^{\frac{3}{11}}}2^4=$

подставим условие $\log_{\sqrt[11]{8}}⁡x=13$ в первый логарифм и применим рассмотренное свойство для логарифма степени ко второму логарифму:

$=3 \cdot 13-\frac{4}{\frac{3}{11}}=39-4 \cdot \frac{11}{3}=39-\frac{44}{3}=\frac{73}{3}=24 \frac{1}{3}$.

Ответ: $\log_{\sqrt[11]{8}}\frac{x^3}{16}=24 \frac{1}{3}$.

spravochnick.ru

Определение логарифма | Логарифмы

Определение

Логарифм — это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.

   

Если логарифм b по основанию a равен c, это означает, что основание a в степени c равно числу b, стоящему под знаком логарифма:

   

Примеры.

   

так как, чтобы получить 49 (число, стоящее под знаком логарифма), основание 7 нужно возвести в квадрат.

   

так как, чтобы получить 81, основание 3 нужно возвести в степень 4.

   

так как

   

   

так как

   

   

так как

   

   

так как

   

   

так как

   

Запись некоторых логарифмов отличается от стандартной.

Например, вместо

   

пишут

   

Логарифм по основанию 10 называется десятичным. О нем и о свойствах логарифмов — дальше.

www.logarifmy.ru

Логарифм в степени -1 | Логарифмы

Как преобразовать выражение, содержащее логарифм в степени -1?

Так как

   

то

   

По свойству логарифма,

   

Таким образом, логарифм в минус первой степени может быть преобразован как

   

Например,

   

   

   

В частности, десятичный логарифм в степени -1:

   

и

   

Натуральный логарифм в степени -1:

   

и

   

Например,

   

   

   

   

www.logarifmy.ru

Степень в основании логарифма | Логарифмы

Как преобразовать степень в основании логарифма?

Если и под знаком логарифма, и в основании логарифма стоят степени, показатели этих степеней можно вынести за знак логарифма в виде дроби.

Числитель этой дроби — показатель степени, стоящей под знаком логарифма, знаменатель — показатель степени, стоящей в основании логарифма.

   

(x>0, a>0, a≠1).

Формула преобразования логарифма степени — частный случай данной  формулы.

Если степень стоит только в основании логарифма, выражение под знаком логарифма можно рассматривать как степень с показателем 1.

В этом случае показатель степени из основания логарифма выносим за знак логарифма в знаменатель дроби, числитель которой равен единице:

   

Примеры.

   

   

   

   

   

   

(логарифм по основанию 10 — десятичный логарифм)

   

Это замечательное свойство позволяет найти значение любого логарифма в тех случаях, когда  число под знаком логарифма и число в основании логарифма можно привести к степени с одинаковым основанием. Позже рассмотрим, как это сделать.

Поскольку корень можно заменить степенью с дробным показателем, аналогично можно преобразовывать логарифмы с корнем в основании.

Такие преобразования рассмотрим в следующий раз.

www.logarifmy.ru

Логарифм

Решим уравнение вида:

То есть необходимо найти показатель степени по данным значениям степени (b) и её основания (a)
Для этого введём математическое действие – логарифм.

Логарифм числа b> 0 по основанию а > 0, а ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.

Логарифм числа b по основанию а:

.

По определению


–основное логарифмическое тождество

Например:
1) ;
т.к. , следовательно: .


т.к. , следовательно: .


т.к. следовательно:  .
4)
Из определения логарифма: .

Логарифмирование – действие нахождения логарифма
Запись  равносильна 
Логарифм имеет смысл, если:
из определения показательной функции
b> 0 (т.к. если любое положительное число а > 0 возвести в степень, то получится тоже положительно число)

Свойства логарифмов:

Пусть – положительные действительные числа, причём a≠1
1)–логарифм произведения
2)–логарифм степени
3)  – логарифм частного

4) Если 
Если 

Формула перехода от логарифмов по одному основанию к логарифмам по другому основанию:



Если в качестве основания берётся число 10, то логарифм называют десятичным:


Если в качестве основания берётся число Эйлера (e=2,7 экспонента), то логарифм называется натуральным

Пример 1.
Определить при каких значениях xсуществует

Логарифм  имеет смысл, если:


a) Нули числителя:
x – 5 = 0
x = 5
b) Исключаем нули знаменателя 1 + x≠ 0

 

 

Наносим точки на числовую ось ox и определяем


Ответ: 

Пример 2.

Вычислить

Воспользуемся формулой перехода к другому основанию:

Удобнее всего перейти к новому основанию b = 2, т.к. число



Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна


www.teslalab.ru

Натуральный логарифм — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

График функции натурального логарифма. Функция медленно приближается к положительной бесконечности при увеличении x и быстро приближается к отрицательной бесконечности, когда x стремится к 0 («медленно» и «быстро» по сравнению с любой степенной функцией от x).

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e{\displaystyle e} — иррациональная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как ln⁡x{\displaystyle \ln x}, loge⁡x{\displaystyle \log _{e}x} или иногда просто log⁡x{\displaystyle \log x}, если основание e{\displaystyle e} подразумевается

[1]. Другими словами, натуральный логарифм числа x — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x.

Примеры:

ln⁡e=1{\displaystyle \ln e=1}, потому что e1=e{\displaystyle e^{1}=e}

ru.wikipedia.org