Уравнения со степенями примеры решения – Обобщающий урок по теме «Показательные уравнения и методы их решения с применением компьютерных технологий», 11-й класс

Степенные или показательные уравнения. | tutomath

Приветствую вас дорогие учащиеся!

Рекомендуем подписаться на канал на youtube нашего сайта TutoMath.ru, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=an

1. a0 = 1 (a ≠ 0)

2. a1 = a

3. an • am = an + m

4. (an)m = anm

5. anbn = (ab)n

6. a-n= 1/an

7. an/am= an — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

6x=36

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2x*5=10
16x — 4x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2х = 23

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2х = 23
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания

(то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

2х+2 = 24

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.

x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 — 9х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

3 = 9х+8

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=32 . Воспользуемся формулой степеней (an)m = anm.

3 = (32)х+8

Получим 9х+8 =(32)х+8 =3 2х+16

3 = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

22х+4 — 10•4х = 24

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (an)m = anm.

4х = (22)х = 2

И еще используем одну формулу an • am = an + m:

22х+4 = 2•24

Добавляем в уравнение:

2•2

4 — 10•2 = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2,вот и ответ — 2 мы можем вынести за скобки:

2(24 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

24 — 10 = 16 — 10 = 6

6•2 = 24

Все уравнение делим на 6:

2= 4

Представим 4=22:

2 = 22 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9х – 12*3х +27= 0

Преобразуем:
9х = (32)х = 3

Получаем уравнение:
3 — 12•3х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

3х = t

Тогда 3 = (3х)2 = t2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t1

= 9
t2 = 3

Возвращаемся к переменной x.

Берем t1:
t1 = 9 = 3х

Стало быть,

3х = 9
3х = 32
х1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
t2 = 3 = 3х
3х = 31
х2 = 1
Ответ: х1 = 2; х2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу ВКОНТАКТЕ

tutomath.ru

Решение показательных уравнений

Показательные уравнения – это уравнения вида

где

x -неизвестный показатель степени,

a и b– некоторые числа.

Примеры показательного уравнения:

А уравнения:

уже не будут являться показательными.

 

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:

Пример 1.
Найдите корень уравнения:


Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем

 

Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.

Преобразуем левую часть уравнения:


Далее используем свойство степени 



Преобразуем правую часть уравнения:

Используем свойство степени 





Ответ: 4,5.

Пример 2.
Решите неравенство:


Разделим обе части уравнения на 


Замена:




Обратная замена:


Число обращается в 1, если его показатель равен 0

Ответ: x=0.

 

Пример 3.

Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:


Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:


Замена:



Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:

 – подходит, т.к. равенство выполняется.
 – подходит, т.к. равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.

Обратная замена:

1) 

Число обращается в 1, если его показатель равен 0


2)

Не подходит, т.к. 

3)

Логарифмируем обе части по основанию 2:


Правая часть равна 1, т.к.


Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 


Отсюда:



 

Пример 4.

Решите уравнение:




Замена: , тогда






Обратная замена:

1 уравнение:


если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то


2 уравнение:


Логарифмируем обе части по основанию 2:


Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 


Левая часть равна 2x, т.к. 


Отсюда:


 

Пример 5.

Решите уравнение:

Преобразуем левую часть:


Перемножаем степени по формуле: 


Упростим:  по формуле: 


Представим  в виде :


Замена:


Переведём дробь в неправильную:


Вычисляем корень из дискриминанта:

a-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Обратная замена:

Приводим к общему основанию:


Если 

Ответ: x=20.

Пример 6.

Решите уравнение:


О.Д.З.


Преобразуем левую часть по формуле: 


Замена:


Вычисляем корень из дискриминанта:



a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения


Приводим к общему основанию:


Если 


Возводим в квадрат обе части:


Ответ: x=9.

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

www.teslalab.ru

Методы решения показательных уравнений

Разделы: Математика


Методы решения показательных уравнений

1. Простейшие показательные уравнения

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 34x-5 = 3x+4 .

Решение.

34x-5 = 3x+4 <=> 4x 5 = x+4 <=> 3x=9<=> x = 3 .

Ответ:3

Пример 2. Решите уравнение: 2x-4 = 3 .

Решение.

2x-4 = 3 <=> x- 4 = x = + 4 <=> x = + <=> x = .

Ответ:.

Пример 3. Решите уравнение:-3x = -7 .

Решение.

-3x = -7 , решений нет, так как -3x > 0 для x R .

Ответ: .

2. Методы преобразования показательных уравнений к простейшим.

A. Метод уравнивания оснований.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 27- = 0 .

Решение.

27- = 0 <=> 3334x-9— (32)x+1 = 0 <=> 33+ (4x-9)— 32(x+1) = 0<=> 34x-6-32x+2 = 0 <=> 34x-6 = 32x+2<=> 4x-6=2x+2 <=> 2x = 8 <=> x=4.

Ответ: 4.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

0 <=> (22)x3x5x = 604x-15 <=> 4x3x5x = 604x-15 <=> (4x = 604x-15 <=> 60x=604x-15 <=> <=>x=4x-15 <=> 3x=15 <=> x=5.

Ответ: 5.

В. Уравнения, решаемые разложением на множители.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: x2x = 22x + 8x-16.

Решение.

x2x = 22x + 8x-16 <=> x2x — 22x = 8x-2) <=> 2x(x-2) — 8<=> (x-2) x — 8) = 0 <=> <=> <=> <=> .

Ответ:

Пример 2 . Решите уравнение:

Решение.

52x — 7x — 52x35 +7x = 0 <=> (52x — 7x)((

Ответ: 0.

С. Уравнения, которые с помощью подстановки f(x) = t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям (или к уравнениям более высоких степеней).

Пусть , где А, В, С — некоторые числа. Сделаем замену: >0, тогда A2 + B + C = 0

Решаем полученное уравнение, находим значения t, учитываем условие t >0 , возвращаемся к простейшему показательному уравнению f(x) = t, решаем его и записываем ответ.

Примеры.

Пример 1 . Решите уравнение: 22+x — 22-x = 5.

Решение.

22+x — 22-x = 5 <=> 222x — = 15 <=> 4(2x)2 — 4 = 15x

Делаем замену t = 2x, t > 0. Получаем уравнение 42 — 4 = 15t <=> 4t2 — 15t — 4=0

<=> , t = не удовлетворяет условию t > 0.

Вернемся к переменной х:

2х = 4<=> 2x = 22 <=> x=2.

Ответ: 2

Пример 2. Решите уравнение:

Решение.

5

Делаем замену: , тогда Получаем уравнение:

5 , t = не удовлетворяет условию t

Вернемся к переменной Х:

Ответ: 2.

D. Уравнения, левая часть которых имеет вид A nx + B kx bmx + С bnx, где k, m N, k + m = n

Для решения уравнения такого типа необходимо обе части уравнения разделить либо на nx, либо на nx и получится уравнение типа С).

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 222x — 5x + 332x = 0.

Решение.

222x — 5x + 332x = 0 <=> 22x — 5x3x + 332x = 0 <=> 2 — + 3 = 0 <=>

<=> 22x — 5x + 3 = 0

Пусть t = x, t>0 , тогда 2t- 5t + 3 = 0 <=> , оба значения t удовлетворяют условию t Вернемся к переменной х:

<=> <=> .

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение: 8x + 18x — 227x = 0 .

Решение.

8x + 18x — 227x = 0 <=> + — 2 = 0 <=> 23x + 2x 32x — 233x = 0<=>

<=> + — 2 = 0 <=> + — 2 = 0.

Пусть = t, t>0 , тогда t3 + t — 2 = 0<=> (t3 — 1) + (t -1 )= 0 <=> (t-1) (t2 +t +1) + (t — 1) <=> (t — 1) (t2 + t +2) = 0 <=> <=> t - 1= 0 <=> t=1. (t>0)

Вернемся к переменной х: = 1 <=> = x = 0 .

Ответ: 0.

К данному типу уравнений относятся уравнения , левая часть которых имеет вид , где А, В, С -некоторые числа, причем .

Уравнения такого типа решаются с помощью подстановки :

= t , тогда = .

Пример 3. Решите уравнение:

Решение.

Заметим, что произведение оснований степени равно единице:

(. Поэтому можно ввести новую переменную: , причем . Получим уравнение:

t ,оба корня удовлетворяют условию :.

Вернемся к переменной х:

.

Ответ: .

Е. Уравнения, имеющие вид Aam = Bbm.

Для решения необходимо обе части уравнения разделить либо на am, либо на bm. В результате получается простейшее уравнение.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 7х = 5х.

Решение.

7х = 5х <=> = 1 <=> = <=> x = 0.

Ответ: 0.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

.

Ответ: 2.

F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение.

Заметим, что при х=1 уравнение обращается в тождество. Следовательно, х=1 — корень уравнения. Перепишем уравнение в виде

(*)

Так как при основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R, то при хлевая часть уравнения (*) больше единицы, то есть

Если то левая часть уравнения меньше единицы, то есть

Поэтому, других корней, кроме х=1, уравнение не имеет.

Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

Это уравнение также обращается в тождество при х=1.

Перепишем уравнение в виде:

.

При основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R.

Поэтому при ха при х: . Таким образом, других корней, кроме х=1 , уравнение не имеет.

Ответ: 1.

G. Графический способ решения уравнений вида f(x).

Чтобы графически решить уравнение такого вида, необходимо построить графики функций y=f(x) в одной системе координат и найти (точно или приближенно) абсциссы точек (если они есть) пересечения этих графиков. Абсциссы этих точек — корни данного уравнения (точность результатов определяем только после подстановки в уравнение ).

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение.

1.Рассмотрим две функции: f(x) = и g(x) = x+1.

2.Графиком функции f(x) = является кривая, расположенная в верхней полуплоскости, графиком функции g(x) = x+1 является прямая.

3. Зададим таблицы значений этих функций:

х -1 0 1 2 3
f(x) = 1 2 4
х 0 3
g(x)= x+1 1 4

4. Из рисунка видно, что прямая и кривая пересекаются в двух точках- в точке А и в точке В. По графику определяем абсциссы этих точек: . Значит, уравнение имеет два корня: х=3 и х= . Число х=3 — точный корень заданного уравнения, так как при подстановке в это уравнение получается верное числовое равенство:

Ответ: 3; .

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

1. Рассмотрим две функции f(x) = и g(x) = .Используем свойства степени и преобразуем выражение :

= , тогда вторую формулу можно переписать в виде: f(x) = .

2. Функция f(x) = — показательная по основанию и ее графиком является кривая, расположенная в верхней полуплоскости.

Функция g(x) =- прямая пропорциональность и ее график - прямая, проходящая через точку .

3. Зададим таблицы значений этих функций и затем построим их графики в одной системе координат.

4. Графики пересекаются в одной точке — в точке А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 — корень заданного уравнения.

Примечание:

Если одна часть уравнения содержит убывающую функцию f(x) , а другая часть -возрастающую функцию g(x), и уравнение имеет корень х=, то он -единственный.

В примере 2. : f(x) = убывающая на R функция, а g(x = - возрастающая на R функция, х=1- корень уравнения и он единственный.

Ответ: 1.

Приложение к статье «Методы решения показательных уравнений»

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Показательные уравнения, формулы и примеры

Простейшие показательные уравнения

   

В зависимости от знака такое уравнение имеет различное количество корней:

  1. если , то уравнение (1) решений не имеет, то есть

       

  2. если , то

       

Уравнения вида
  1. Если .
  2. Если .
Уравнения вида

   

Уравнения такого типа равносильны уравнению

   

Уравнения вида
  1. Если , то обе части такого уравнения равны для любых .
  2. Если , то уравнение эквивалентно уравнению .
  3. В случае, если , то уравнение эквивалентно системе

Решение показательных уравнений сведением к общему основанию

Если левая и правая части заданного показательного уравнения содержат только произведения, частные, корни или степени, то рациональнее при помощи основных формул для степеней привести обе части равенства к одному основанию, то есть к уравнению вида (2).

Решение показательных уравнений вынесением общего множителя

Если показательное уравнение содержит выражение вида , причем показатели степени отличаются только свободным коэффициентом, то для решения необходимо вынести за скобки наименьшую степень .

Приведение показательных уравнений к квадратным

К показательным уравнениям, которые можно привести к квадратным, относятся следующие уравнения.

   

где — некоторые числа, .

В этом случае выполняется замена

   

   

где — некоторые ненулевые числа, причем , — произвольное действительное число. Для сведения к квадратному обе части уравнения необходимо умножить на :

   

Далее заменой получаем квадратное уравнение

   

Однородные показательные уравнения

Делением обеих его частей на (или ), сводим уравнение к показательному вида :

   

Схема решения таких уравнений следующая:

1) Делим обе части уравнения или на , или на , в результате получаем:

   

или

;

2) заменой последнее уравнение сводится к квадратному:

   

ru.solverbook.com

Показательные уравнения. Решения

Решение множества показательных уравнений не обходится без замен, квадратных уравнений и сложных преобразований. Приведенные ниже примеры помогут Вам в этом быстро разобраться и научат решать самые сложные из них. Также Вы сможете выучить некоторые свойства логарифмов без которых показательные уравнения в простой способ не решить. Начнем с самых азов — теоретического материала об уравнениях.
Показательными называют уравнения в которых неизвестная величина содержится в показателе степени, при этом основа степени не содержит неизвестной величины. Самое простое показательных уравнения ax=b решают логарифмированием x=log[a](b).

При решении показательных уравнений используют свойство показателей: если в уравнение степени с одной и той же основой то равные показатели степени или основание равно единице.
Из равенства следует или .

Некоторые уравнения требуют замены переменной и сводится к решению степенного уравнения. Например уравнения
легко сводится к квадратному если сделать замену
При этом исходное уравнение примет вид
После его решения нужно вернуться к замене и решить полученное уравнение.
Если показательной уравнение содержит две различные показательные функции ( основы не сводятся к одной) , то выполняют деления уравнения на одну из основ в соответствующей степени и переход до показательного уравнения которое содержит функцию с дробной основой.
Находя решения показательных уравнений следует помнить что показательная функция принимает только положительные значения. Отрицательные значения или нули замененной переменной не принимаются к рассмотрению.

На этом необходимый теоретический материал заканчивается и переходим к рассмотрению распространенных примеров.

Пример 1.Решить показательное уравнение

Решение. Перепишем уравнение к следующему виду

Второе слагаемое распишем как произведение

и сделаем замену в уравнении

Исходное уравнение преобразуем к следующему

Областью допустимых значений будет действительная ось за исключением точки y=0.
Умножим его на y и переносим все в левую сторону

Получили квадратное уравнение корни которого находим по теореме Виета. Нетрудно убедиться что они принимают значения

Возвращаемся к замене и находим решения


Выполняем проверку


Итак оба решения удовлетворяют уравнению.

 

Пример 2. Решить показательное уравнение

Решение. Используя одну из свойств логарифма записываем правую сторону уравнения в виде

Приравнивая показатели находим

 

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Такого сорта примеры решают логарифмированием обеих сторон что приводит к сведению показательного уравнения к простому виду.


Полученное уравнение относительно переменной решаем через дискриминант

Корни уравнения приобретут значения



Другого метода позволяющего аналитически получить решения Вы не найдете ни в интернете, ни на форумах.

 

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выполним некоторые преобразования с показателями чтобы упростить уравнение

Эквивалентные значения подставим в уравнение, в результате получим

Выполняем замену

Уравнение превратится к квадратному


Вычисляем дискриминант

Найденное значение подставляем в формулу корней


Возвращаемся к замене и находим


Задача решена.

 

Пример 5.Решить уравнение

Решение. Такого типа уравнения решают с постоянной основой . За основу классически берут 10 , однако , если взять другую (для данного примера 5 или 9 ) то решение примет компактный вид
Рассмотрим оба метода.
1. Прологарифмируем обе части равенства

Раскрываем скобки и группируем слагаемые при неизвестных


Такой интересный результат.

2. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 9

Группируя слагаемые содержащие переменную получим


Оба метода достаточно быстрые и эффективные, для себя выбирайте который Вам больше подходит.

 

Пример 6.Решить уравнение

Решение.Такого рода задачи решают по следующей схеме. Показательное уравнения превращают к виду

Все слагаемые разделяем на величину чтобы свести к дробному виду

После этого выполняем замену

Уравнение переписываем в виде

Умножаем на переменную и решаем квадратное уравнение


Дискриминант принимает нулевое значение, при етом корни уравнения совпадают

Возвращаемся к замене и решаем


Итак x=2 — единственное решение.
Используйте приведенную схему в подобных задач и гарантированно получите верный результат.

 

Пример 7. Решить уравнение

Решение. На первый взгляд уравнения достаточно сложное и неизвестно как его упрощать, однако схема решения данного примера и подобных довольно проста и интересна. Выполним над уравнением преобразования

Нужно это уравнение преобразовать к квадратному



Выполним замену

и перепишем уравнение в виде следуещого

Вычисляем дискриминант

и корни уравнения

Возвращаемся к совершенной замене

Такое уравнение сводим к квадратному, выполнив замену

В результате получим

Решаем через дискриминант


Возвращаемся к замене и определяем переменную x

Второе значение рассматривать не будем, поскольку оно отрицательное, а показательная функция всюду положительная.
Решаем вторую половину задачи

Используя предыдущую замену получим

Дискриминант примет значение

Находим корни уравнения

Первый корень имеет место бить, второй — отрицательный и не подходит.

Получили два решения показательного уравнения

Хорошо разберитесь с приведенными методами решения показательных уравнений, возможно некоторые из них пригодятся при прохождении ВНО, экзамене или контрольной работе. Будьте внимательны при упрощении, первое время используйте подстановку для проверки результатов.

Похожие материалы:

yukhym.com

Методы решения уравнений высших степеней

Методы решения уравнений высших степеней.

I) Решение уравнений с помощью деления в столбик.

Очевидно — корень уравнения

Очевидно — корень уравнения

Ответ: -5;2;3;4

II) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. ,,

1) Возвратные уравнения четной степени.

т.к. — не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на.

Введем замену.

Пусть ,, получим

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:

2) Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1

Очевидно — корень уравнения.

или

т.к — не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть ,,, получим

илиили

корней нет

Ответ: ,,

III) Уравнения вида, гдерешаются как возвратные.

IV) Замена переменных по явным признакам.

V) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.

Пример №1

Введем замену.

Пусть ,, тогда

1) если , тогда, тогда

решений нет

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим

;

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:

Пример №2.

Пусть ,, тогда

Найдем

Составим систему:

Решая систему подстановкой, получим

или

корней нет ;

Ответ: ;

Пример №3.

— не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

или

;;

Ответ: ;;;

VI) Уравнения вида, гдеэффективно решать перемножениеми, а затем делать замену.

VII) В уравнениях вида и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

(1)

(2)

При переходе область определения уравнения сузилась на. Проверим, является ликорнем уравнения. Не является.

Введем замену.

Пусть ,, тогда

;

или

Ответ: ;

VIII) В уравнениях вида обе части уравнения делятся на

— не является корнем уравнения. Разделим на, получим

Введем замену.

Пусть ;, тогда

;

или

Ответ: ;

IX) Выделение полного квадрата.

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:

X) Решение уравнений с помощью формулы

или

корней нет

XI) Уравнения вида и к ним сводящиеся решаются при помощи замены

Введем замену.

Пусть , тогда

иликорней нет

;

Вернемся к замене.

или

Ответ: ;

XII) Решение уравнений относительно коэффициентов.

или

;— посторонний корень

корней нет

Ответ: ;

XIII) Метод разложения на простейшие дроби.

Ответ:

studfiles.net

Уравнения со степенями | Логарифмы

Рассмотрим показательные уравнения со степенями, содержащими две степени с разными основаниями и одинаковыми показателями:

   

(где a и b — положительные числа, отличные от единицы).

Уравнения такого вида называются однородными показательными уравнениями первой степени. Однородные уравнения решаются делением на одну из степеней:

   

(так как b>0, то

   

при любом показателе f(x), то есть деление на степень не приводит к потере корней).

   

В результате деление получаем с одной стороны частное степеней с одинаковыми показателями, с другой — единицу:

   

По свойству степеней,

   

а единицу можно представить как степень с любым основанием и показателем 0:

   

Приравниваем показатели:

   

Рассмотрим примеры решений такого вида уравнений со степенями.

   

ОДЗ: x∈R.

Разделим обе части уравнения на степень, стоящую в правой части уравнения:

   

   

Преобразуем левую часть уравнения

   

и представим единицу в виде степени с таким же основанием, что и степень в левой части

   

Из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство показателей этих степеней:

   

   

   

Ответ: 2,5.

   

ОДЗ: x∈R.

Делим обе части уравнения на степень, стоящую в правой части:

   

   

   

   

Приравняв показатели степеней, приходим к квадратному уравнению

   

корни которого —

   

Ответ: 1; 5.

   

ОДЗ: x∈R.

   

   

   

   

Это — простейшее тригонометрическое уравнение, корни которого

   

Ответ: πn, n∈Z.

www.logarifmy.ru