Уравнения с модулями решение – Видеотека. Решение простейших уравнений с модулем. – Репетитор по математике

Решение уравнения с модулем

Решение уравнений с модулем. В этой статье я покажу алгоритм решения уравнений, которые содержат  несколько выражений под знаком модуля, на примере решения уравнения уровня С1, а затем вы посмотрите ВИДЕОУРОК с подробным разбором тригонометрического уравнения с модулем.

Давайте решим уравнение:

 

Вспомним, что модуль раскрывается по  такому правилу:

Говоря человеческим языком, модуль выражения равен самому выражению, если оно неотрицательно, и выражению с противоположным знаком, если оно меньше нуля.

Таким образом, перед нами стоит задача раскрыть все модули в соответствии со знаками подмодульных выражений.

Будем следовать такому алгоритму:

1. Определим, в каких точках каждое подмодульное выражение меняет знак. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю:

Мы получили три точки.

2. Нанесем их на числовую ось:

Эти три числа разбили числовую ось на четыре промежутка:

,   ,   ,  

Обратите внимание, что мы включили крайние точки промежутков в оба промежутка. Ничего страшного не случится, если мы эти точки учтем два раза, главное, о них не забыть.

3. Теперь рассмотрим знаки подмодульных выражений на каждом промежутке:

Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Выражение меняет знак в точке . Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Мы получили знаки всех подмодульных выражений на каждом промежутке. Теперь раскроем модули на каждом промежутке с учетом этих знаков.

Наше уравнение «распадается» на четыре уравнения по количеству числовых промежутков.

4. Решим уравнение на каждом промежутке:

1. 

Решение уравнения на первом промежутке 

2.Раскроем модули на втором промежутке:

Мы получили, что второе уравнение системы является тождеством, то есть   второе равенство верно при любом действительном значении . Следовательно, решением системы будут те значения неизвестного, которые удовлетворяют первому неравенству:

.

3. Раскроем модули на третьем промежутке:

Решение уравнения на третьем промежутке: 

4. Раскроем модули на четвертом промежутке:

Решение уравнения на четвертом промежутке: 

Заметим, что решения нашего уравнения на каждом промежутке принадлежали этому промежутку, то есть удовлетворяли неравенству каждой системы. Однако, так бывает не всегда, и если корень уравнения не удовлетворяет неравенству, значит, соответствующая система не имеет решений.

5. Теперь объединим полученные решения, и запишем ответ:

Ответ: -6≤х≤0, х=12

А сейчас я предлагаю вам посмотреть ВИДЕУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Уравнения с модулем

 

Модулем (абсолютной величиной) числа называется неотрицательное число:

(9)

Геометрическая интерпретация модуля: это расстояние от точки 0 до точки на координатной оси.

 

Свойства модуля :

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:

Уравнение, содержащее выражение с неизвестной х под знаком модуля, называется уравнением с модулем.

Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.

Пусть далее , , – некоторые выражения с переменной х, и .

I тип:

, (10)

где а – число, – некоторое выражение с неизвестной х.

1. Если , уравнение (10) решений не имеет.

2. Если , уравнение (10) равносильно уравнению .

3. Если , уравнение (10) равносильно совокупности уравнений:

II тип:

,

где , – некоторые выражения с неизвестной х.

Решать это уравнение можно несколькими способами.

1-й способ – используя определения модуля:


2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения :

Замечание: 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.

3-й способ – метод интервалов. Необходимо:

1) найти те значения х, для которых

2) нанести полученные значения х на числовую ось;

3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;

4) нарисовать кривую знаков;

5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;

7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.

III тип:уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида:

, (11)

где , , , – некоторые выражения с неизвестной х.

1-й способ – можно использовать определения модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков , . Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ –метод интервалов.Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для , вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.

IV тип:

(12)

где , .

1-й способ – решение уравнения (12) сводится к решению к совокупности уравнений:

2-й способ – метод интервалов (не рационально).

3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:

Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.

V тип:уравнения, решаемые заменой переменной, например

По свойству модуля оно записывается в виде

Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной у. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:

если корень единственный, то остается решить уравнение

Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.

 

Пример 1.Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение I типа. Его ОДЗ: .

Уравнение записывается в виде

. На ОДЗ можно сократить и получаем

, откуда

т.е.

Получаем корни

которые подходят по ОДЗ.

Пример 2.Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение II типа. Его ОДЗ: . Оно имеет решение, если , т.е. при . Таким образом, для получаем

(13)

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду имеем

, откуда .

Это квадратное уравнение решений не имеет, т.к. .

Из второго уравнения совокупности (13) получаем

, т.е. .

Квадратное уравнение имеет корни:

Однако, т.е. первый корень не принадлежит множеству , на котором решали уравнение, ответом является только .

Пример 3.Решить уравнение

Решение.

Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля.

(14)

Решаем первую систему совокупности (14):

;

Значение не подходит по условию . Остается корень.

Решаем вторую систему совокупности (14):

Получили ответ .

Пример 4.Решить уравнение .

Решение.

Поскольку , то уравнение записывается в виде

.

Это уравнение относится к III типу уравнений.

Его ОДЗ: . Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются:

и .

Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка.

 

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы.

I.

II.

.

III.

Решением данного уравнения являются значения и .

Пример 5.Решить уравнение .

Решение.

Запишем уравнение в виде

.

Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:

. После упрощения имеем

, т.е.

. Получаем корень.

Пример 6.Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: , т.е. .

Преобразуем данное уравнение к виду:

Заменяем: .

Уравнение приобретает вид

.

Решаем его как дробно-рациональное и получаем

.

Последнее квадратное уравнение имеет корни

Возвращаясь к переменной х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, т.к. слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии :

;

.

Приходим к совокупности

т.е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности. его корни

Оба они подходят по ОДЗ.

Пришли к ответу .

Пример 7.Решить уравнение

Решение.

ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

.

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:

т.е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Получили ответ: .

Похожие статьи:

poznayka.org

Решение модульных уравнений

Для того, чтобы научиться решать уравнения с модулем, надо вспомнить и выучить определение модуля.

Из определения видно, что модуль любого числа неотрицателен. Кроме того, определение показывает как можно избавляться от знака модуля в уравнении.

На практике это делается так:

1) Находят значения переменной, при которых выражения стоящие под знаком модуля обращаются в нуль.

2) Отмечают все нули на числовой прямой. Они разобьют эту прямую на лучи и промежутки, на которых все подмодульные выражения имеют постоянный знак.

3) Определяем знаки подмодульных выражений на каждом промежутке и раскрываем все модули (заменяя их подмодульными выражениями со знаком плюс или со знаком минус в зависимости от знака подмодульного выражения).

4) Решаем получившиеся уравнения на каждом промежутке (сколько промежутков, столько и уравнений).Обратите внимание, что обязательно выбираем только те решения, которые находятся в данном промежуток (полученные решения могут и не принадлежать промежутку).

Хватит уже теории, пора на примерах посмотреть как решаются уравнения с модулем. Начнем с более простого.

Решение уравнений с модулями

Пример 1. Решить уравнение  .

Решение.  Так как  , то  . Если  , то  ,  и  уравнение принимает вид  .

Отсюда получаем  .

Ответ:  .  

Пример 2. Решить уравнение  .

Решение.  Из уравнения следует, что  .

Поэтому  , , , и уравнение принимает вид  или  .

Так как  , то исходное уравнение корней не имеет.

Ответ:  корней нет.

Пример 3. Решить уравнение  .

Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде .

Полученное уравнение относится к уравнениям типа .

Известно, что уравнение такого типа равносильно неравенству . Следовательно, здесь имеем   или   .

Ответ:  .

Думаю, как решать такого вида уравнения с модулем вы уже разобрались. Попробуем разобраться с более сложным уравнением.

Пример 4. Решить уравнение: |x2 + 2x|  |2 – x| = |x2 – x|

Находим нули подмодульных выражений:

х2  + 2х = 0, х(х + 2) = 0, х = 0 или х = ‒ 2. При этом парабола у = х2  + 2х положительна на промежутках (–∞; –2 ) и (0; +∞), а на промежутке (–2; 0 ) она отрицательна (см. рисунок).

 

х2  ‒ х = 0, х(х – 1) =0, х = 0 или х = 1. Эта парабола у = х2 ‒ х положительна на промежутках (–∞; 0 ) и (1; +∞), а на промежутке (0; 1) она отрицательна (см. рисунок).

2 – х = 0, х = 2, модуль положителен на промежутке (–∞; 0) и принимает отрицательные значения на промежутке (2; +∞) (см. рисунок).

Теперь решаем уравнения на промежутках:

1)   х ≤ ‒2:   х2  + 2х – (2 – х) = х2  ‒ х, х2  + 2х – 2 + х = х2  ‒ х, 4х = 2, х = 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)

2)   –2 ≤ x <0:   ‒(х2  + 2х) – (2 – х) = х2  ‒ х, ‒х2  ‒ 2х – 2 + х = х2 ‒ х, ‒2 х2 = 2, х2 = ‒1, решений нет.

3)    0 ≤ x <1:   х2  + 2х ‒ (2 – х) = ‒ (х2  ‒ х), х2  + 2х ‒ 2 + х = ‒х2  + х, 2х2  + 2х – 2 = 0, х2  + х – 1 = 0, √D = √5,
х1 = (‒1 ‒ √5)/2 и х2 = (‒1 + √5)/2.

Так как первый корень отрицательный, то он не принадлежит нашему промежутку, а второй корень больше нуля и меньше единицы это и есть наше решение на данном промежутке.

4)    1 ≤ x <2:   х2 + 2х – (2 – х) = х2 ‒ х, х2 + 2х – 2 + х = х2 ‒ х, 4х = 2, х= 1/2 (не входит в рассматриваемый промежуток)

5)    х ≥ 2:   х2 + 2х –(‒(2 – х)) = х2 ‒ х, х2 + 2х + 2 ‒ х = х2 ‒ х, 2х = ‒ 2, х = ‒1 (не входит в рассматриваемый промежуток).

Ответ: (‒1 + √5)/2.

Вы заметили, что решается это уравнение также как и предыдущие, отличие в количестве промежутков. Так как под модулем стоят квадратные выражения то корней получилось больше, а соответственно и больше промежутков.

А как же решать уравнение в котором модуль стоит под модулем? Давайте посмотрим на примере.

Пример 5. Решите уравнение |3 – |x – 2|| = 1

Подмодульное выражение может принимать значение либо 1 либо – 1. Получаем два уравнения:

3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1 или 3 ‒ |х ‒ 2|= 1

Решаем каждое уравнение отдельно.

1)  3 ‒ |х ‒ 2|= ‒1, ‒|х ‒ 2|= ‒1 – 3, ‒|х ‒ 2|= ‒4, |х ‒ 2|= 4,
х ‒ 2= 4 или х ‒ 2= ‒ 4, откуда получаем х1 = 6, х2 = ‒2.

2)  3 ‒ |х ‒ 2|= 1, ‒|х ‒ 2|= 1 ‒ 3, ‒|х – 2|= ‒2, |х – 2|= 2,
х – 2 = 2 или х – 2 = ‒2,  
х3 = 4 , х4 = 0.

Надеюсь, после изучения данной статьи вы будете успешно решать уравнения с модулем. Если остались вопросы, записывайтесь ко мне на уроки. Репетитор Валентина Галиневская.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Решение уравнений с модулем

Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа,  и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.

Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.

Например, число +5, или просто 5 имеет знак «+» и абсолютное значение 5.

Число -5  имеет знак «-» и абсолютное значение 5.

Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.

Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.

Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.

Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

|f(x)|= f(x),   если f(x) ≥ 0, и

|f(x)|= — f(x), если f(x) < 0

Например |x-3|=x-3,  если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.

Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.

Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два  различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.

Одно уравнение  существует на числовом  промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.

А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.

Рассмотрим простой пример.

Решим уравнение:

|x-3|=-x2+4x-3

1.  Раскроем модуль.

|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, если  x-3<0, т.е. если х<3

2. Мы получили два числовых промежутка:  х≥3 и х<3.

Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:

А) При  х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:

x-3=-x2+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

x2 -3х=0

и решим это уравнение.

Это уравнение имеет корни:

х1=0, х2=3

Внимание! поскольку  уравнение x-3=-x2+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.

Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

3-x=-x2+4x-3

Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!

Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:

x2-5х+6=0

х1=2, х2=3

Внимание! поскольку  уравнение 3-х=-x2+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х1=2.

Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго — корень  х=2.

Ответ:  х=3, х=2

 

ege-ok.ru

Решение линейных уравнений с модулем

Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Корень уравнения — это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.

Рассмотрим уравнение вида |kx + b| = c, где x — неизвестная величина, k ≠ 0.

Если c<0, то уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может принимать отрицательные значения.

Если c = 0, то уравнение принимает вид kx + b = 0. Оно имеет единственный корень x = −b/k.

Если же c>0, то выражение под знаком модуля может принимать значения c и −c. Значит, возможны два случая:

kx + b = c, то есть x = (c−b) / k.

kx + b = −c, то есть  x=( −c−b) / k

Рассмотрим теперь уравнение вида |ax+b| = |cx+d|, где a, b, c, d – некоторые числа.

ПРИМЕР 1.

Решите уравнение: |2x−5| = |3x+6|.

РЕШЕНИЕ

Согласно определению модуля, указанное равенство возможно в следующих случаях:

2x−5 = 3x+6, то есть x=−11;

2x−5 = −(3x+6), то есть x=−0,2.

Ответ. {−11;−0,2}. 

Алгоритм решения уравнений с модулями:

1. Найти в уравнении все выражения, содержащиеся под знаком модуля.

2. Найти, при каких значениях переменной они обращаются в нуль.

3. Разбить найденными значениями числовую прямую на непересекающиеся промежутки.

4. Определить для каждого числового промежутка, чему равно значение каждого модуля: самому выражению, содержащемуся под знаком модуля, или противоположному ему.

5. Для каждого числового промежутка записать и решить исходное уравнение без знаков модуля.

6. Оставить только те решения, которые соответствуют числовому промежутку, и записать их в ответе.

ПРИМЕР 2

Решите уравнение: |x−3| − |2x+4| = 5.

Точки −2 и 3 разбивают ось на три непересекающихся промежутка: (−∞;−2) (−∞;−2), [−2;3) [−2;3), [3;∞)[3;∞). Решим уравнение на каждом из них:

Первый Промежуток x∈(−∞;−2)

Решение уравнения

−(x−3) + (2x+4) = 5

x+7=5

x =−2

Учет промежутка

x∈∅

Второй Промежуток x∈[−2;3)

Решение уравнения

−(x−3) − (2x+4) = 5

−3x−1 = 5

x = −2

Учет промежутка

x = −2

Третий Промежуток x∈[3;∞)

Решение уравнения

(x−3) − (2x+4) = 5

−x−7 = 5

x = −12

Учет промежутка

x∈∅

Ответ: x = −2

ПРИМЕР 3

Решите уравнение |x−1| = 3. 

Решение задачи

Если |x−1| = 3, то x−1 = ±3. То есть либо x = 3+1 = 4, либо x = −3+1 = −2. 

ПРИМЕР 4

Найдите количество целых решений уравнения 5x+|5x| = 0 на отрезке [−2015;2015].

Решение задачи

Заметим, то так как модуль — величина неотрицательная, а из уравнения получаем, что 5x ≤ 0 или x ≤ 0. Поэтому |5x| =−5x и уравнение примет вид 5x−5x = 0. Следовательно, x≤0 — это множество решений уравнения. Тогда количество целых решений на отрезке [−2015;2015] равно 2016. 

ПРИМЕР 5

Решите уравнение |||x|−2|−2|=2. В ответе укажите произведение всех решений.

Решение задачи

Будем последовательно раскрывать каждый из модулей и разбирать каждый случай отдельно.

По условию |||x|−2|−2|=2, поэтому ||x|−2|−2=−2 или ||x|−2|−2=2.

Случай 1:

||x|−2|−2=−2.

Из первого равенства: ||x|−2|=0, тогда |x|−2=0 или |x|=2. Следовательно, x=−2 или x=2.

Случай 2:

||x|−2|−2=2.

Из второго равенства: ||x|−2|=4. Значит, случай разбивается на два: |x|−2=4 или |x|−2=−4.

Случай 2(а):

|x|−2=4.

Из первого равенства: |x|=6. Следовательно, x=−6 или x=6.

Случай 2(б):

|x|−2=−4.

Из второго равенства: |x|=−2. Но модуль есть величина неотрицательная, поэтому в этом случае решений нет.

В итоге мы получили 4 различных решения — −2,2,−6,6. Их произведение равно 144. 

spishy-u-antoshki.ru

Модуль в модуле

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <-> x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.
При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2.
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе — раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная — меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение

Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

 

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=> x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших — положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

 

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7.
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9.
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

 

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=> x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5. Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
[1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).
Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5]
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7.
Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ: x=1/3; x=9.

Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

Равнение на модуль в модуле:

  • ||3x-3|-2|=5-2x;
  • ||5x-3|-3|=3x-1;
  • ||2x-7|-4|=x-2;
  • ||5x-4|-8|=x+4;
  • ||2x-2|-3|=1;
  • ||x-2|-3|=4-x.

Похожие материалы:

yukhym.com

Уравнения и неравенства с модулем

Автор Сергей


Суббота, Август 18, 2012

Репетитору по математике часто приходится сталкиваться с отсутствием у старшеклассников навыков решения простейших уравнений и неравенств с модулем. Между тем среди заданий С3 или С5 из ЕГЭ по математике таковые могут встретиться. Даже если их не будет на экзамене в явном виде, в процессе выполнения некоторых задач из ЕГЭ вам, возможно, придется столкнуться с решением того или иного задания с модулем. Поэтому научиться решать уравнения и неравенства с модулем должен каждый выпускник средней школы. В данной статье рассмотрены некоторые способы их решения. Присутствует также видеоразбор решения одного уравнения, содержащего модуль.

Считается, что чем больше способов решения существует у задачи, тем она интереснее с математической точки зрения. Уравнения и неравенства с модулями можно поэтому смело назвать интересными. Рассмотрим пример.

Решите уравнение:

   

Решение. Постараемся найти как можно большее количество решений данного уравнения. Подробное объяснение решений смотрите в видеоуроке.

Способ №1. Решение возведением в квадрат. Просто возводим обе части уравнения в квадрат. При этом не забываем, что подобное преобразование не является равносильным. Из-за этого могут появиться посторонние корни, поэтому полученные решения необходимо будет проверить прямой подстановкой в исходное уравнение.

   

   

   

Путем прямой подстановки полученных решений в исходное уравнение убеждаемся, что посторонних корней среди них нет. На самом деле в данном конкретном задании отсутствует необходимость проверки корней. Возведение обеих частей этого уравнения в квадрат не может привести к приобретению посторонних решений. Подумайте самостоятельно, почему это так.

Способ №2. Метод интервалов. Не совсем верное название, но мы его здесь употребим, поскольку в методической литературе оно встречается. Для решения нам потребуется найти значение переменной при котором подмодульное выражение обращается в ноль:

yourtutor.info