Умножить матрицу а на матрицу в – Основные операции над матрицами (сложение, умножение, транспонирование) и их свойства.

Умножение матриц

Расчет умножения матриц онлайн. Умножьте матрицы порядка 2×3, 1×3, 3×3, 2×2 с 3×2, 3×1, 3×3, 2×2. Динамические расчеты, нахождения произведения матриц.

Умножение матриц возможно когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Матрица 1

X

Матрица 2

3x33x22x33x11x32x2

X

3x33x22x33x11x32x2

В первой части мы рассмотрим умножение квадратных матриц. В следующей части Вы узнаете, как умножить разные матрицы (например, 2х3 до 3х3).

Здесь мы будем умножать матрицу 3х3 (3 ряда, 3 колонки) на другую матрицу 3х3 (3 ряда, 3 колонки).

Матрица AМатрица B
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
x
b11b12b13
b21b22b23
b31b32b33

В результате мы получим матрицу 3х3. Нам придется рассчитать каждую клетку результатов матрицы отдельно. Результат выразим через X.

Шаг 1:Рассчитаем x11
Для того, чтобы вычислить результат  x11 мы будем использовать первую строку матрицы А и первый столбец матрицы В.

Результат XМатрица AМатрица B
x11x12x13
x21x22x23
x31x32x33
=
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
x
b11b12b13
b21b22b23
b31b32b33

Мы можем представить результат  x11 = a11 x b11 + a12 x b21 + a13 x b31

Шаг 2: Рассчитаем x12
Для того, чтобы вычислить результат x12 мы будем использовать первую строку матрицы А и втором столбце матрицы В.

Результат XМатрица AМатрица B
x11x12x13
x21x22x23
x31x32x33
=
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
x
b11b12b13
b21b22b23
b31b32b33

Мы можем представить резальтат x12 = a11 x b12 + a12 x b22 + a13 x b32

По той же методике мы вычислим значения для всех ячеек.

Результат Матрица
a11xb11 + a12xb21 + a13xb31a11xb12 + a12xb22 + a13xb32a11xb13 + a12xb23 + a13xb33
a21xb11 + a22xb21 + a23xb31a21xb12 + a22xb22 + a23xb32a21xb13 + a22xb23 + a23xb33
a31xb11 + a32xb21 + a33xb31a31xb12 + a32xb22 + a33xb32a31xb13 + a32xb23 + a33xb33

wpcalc.com

Умножение матриц

Произведением двух матриц A порядка m×n и B порядка n×k называется матрица C такая, что

n
cij= aiq ·bqj   (i=1,2,…,m; j=1,2,…k),
q=1

где cij элементы матрицы C стоящие на пересечении i-ой строки и j-го столбца.

 

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C=A·B или C=AB.

Из сформулированного выше определения вытекает, что для умножения матрицы A на матрицу B необходимо, чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B.

Операция нахождения произведения матрицы A на матрицу B называется умножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения следует,что эта операция обладает следующими свойствами:

  1. (AB)C=A(BC).
  2. (A+B)C=AC+BC.
  3. A(B+C)=AB+AC.
  4. (αA)B=A(αB)=α(AB)=(AB)α.

Здесь α вещественное число.

Пример умножения двух матриц

Пусть заданы матрица A размера 2×3 и матрица B размера 3×3.

Тогда

где

c11=a11b11+a12b21+a13b31, c12=a11b12+a12b22+a13b32, c13=a11b13+a12b23+a13b33, c21=a21b11+a22b21+a23b31, c22=a21b12+a22b

22+a23b32, c23=a21b13+a22b23+a32b33.

Умножение матрицы в общем случае не обладает свойством коммутативности:

AB≠BA.

Пример:

 

Если AB=BA, то матрицы A и B называются коммутативными.

Умножение матриц онлайн

Для умножения матриц пользуйтесь матричным онлайн калькулятором.

matworld.ru

умножение матриц — ПриМат

1. Выполнить сложение матриц:
.
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
.

Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы , и . Тогда:

.

Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

;
.
;
.

Как видим, .

2. Выполнить умножение матрицы на число:
.
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
.

Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть , . Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица и .
Тогда ;
.
;
.
Как видим, .

3. Вычислить произведение матриц:
.
Для удобства будем называть первую матрицу а вторую матрицу . Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей и , следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы на соответствующие элементы первого столбца матрицы . Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:


Получим следующее:
.
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы и складываем полученные значения:
.
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы на элементы первого столбца матрицы , складывая результаты:
.
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
.
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы .
Тогда .
.
Как видим, .

4. Возвести матрицу в степень:
.
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
.

5. Транспонировать матрицу:
.
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
.

Таблица лучших: Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

максимум из 9 баллов
МестоИмяЗаписаноБаллыРезультат
Таблица загружается
Нет данных

Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

Лимит времени: 0

Информация

Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Средний результат

 

 
Ваш результат

 

 
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

Источники:
  1. Г. С. Белозеров. Конспект лекций.
  2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 194-197.
  3. А. Г. Курош  «Курс высшей алгебры» (Издание девятое, 1968 г.), стр. 99-102.
  4. И. В. Проскуряков.   «Сборник задач по линейной алгебре» (1984 г.), стр. 112-115.

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Как перемножить матрицы между собой

Произведением матрицы(условно обозначим ее буквой А), является произведение двух матриц, имеющих порядки(размер), равные у первой матрицы m × n и у второй матрицы n × p. Если, дорогой читатель, ты заметил, переменаня «n» присутствует в порядках обеих матриц. А это значит, что для перемножения двух матриц количество столбцов одной матрицы должно быть равно количеству строк другой матрицы. Например порядки первой матрицы 1 × 2, а второй 2 × 3, или 3 × 2 и 2 × 2. Если таковое отсутствует, то, к сожалению, умножить матрицы не получится. Можно конечно поменять матрицы местами, но это будет будет уже другое выражение.

Так. С условием успешного перемножения мы разобрались. Приступим к самому вкусному, а именно к алгоритму умножения. Сначала приведу парочку формул, но если ты с ними на Вы, а то и того хуже, ничего страшного. После пары подробно разобранных примеров, умножать матрицы будет не сложнее обчного умножения чисел.

Каждый элемент получаемой матрицы находится по формуле

или если проще

где

  • a — элемент первой матрицы
  • b — элемент второй матрицы
  • c — элемент получаемой матрицы
  • i — номер строки получаемого элемента
  • j — номер столбца получаемого элемента
  • n — количество столбцов первой матрицы и строк второй

Найдем произведение матриц А и В.

Можно начать умножать любой элемент, но мы начнем с первого верхнего т.е. . Мы делаем вот что. Раз наш элемент находится на 1-й строке и 1-м столбце, значит, берем 1-й элемент матрицы А «лежащий» на 1-й строке матрицы А и умножаем на 1-й элемент лежащий на 1-м столбце матрицы В.

Теперь прибавляем к этому произведению произведение двух следующих элементов на этих строке/столбце матрицы А/В соответственно.

Первый элемент готов. Как становится понятно, каждый элемент получается путем сложения произведений элементов строки на элементы столбца.

Найдем оставшиеся элементы матрицы С.



Вроде разобрались(если нет жми сюда) и теперь попробуем на числовых матрицах.

Примеры умножения матриц:





Разобрались? Вы восхитительны!

kak-reshit.su

Произведение двух матриц: формула, решения, свойства

Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Из этого определения следует формула элемента матрицы C:

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B, если

,

.

Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B, произведения которых складываются для получения элемента матрицы C.

В результате получаем элементы произведения матриц:

 

Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:

.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .

Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:

Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:

В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .

Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C, которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:

а) 2 Х 10 и 10 Х 5;

б) 10 Х 2 и 2 Х 5;

в) 4 Х 4 и 4 Х 10.

Решение:

а) 2 Х 5;

б) 10 Х 5;

в) 4 Х 10.

Далее — примеры на нахождение произведения двух матриц различной размерности.

Пример 3. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 2. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 2.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .

Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение


Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 5. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 2, число столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 2 X 1.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 6. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 3, число столбцов в матрице B — 3. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 3 X 3.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Найденное произведение матриц: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Пример 7. Найти произведение матриц A и B, если:

.

Решение. Число строк в матрице A — 1, число столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размерность матрицы C = AB — 1 X 1.

Вычисляем элемент матрицы C = AB.

Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в соответствующей статье в блоке «Компьютеры и программирование».

Возведение матрицы в степень

Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу. Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n-ая степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:

Пример 8. Дана матрица . Найти A² и A³.

Решение:

Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Дана матрица

Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы , произведение транспонированной матрицы и данной матрицы.

Правильное решение и ответ.

Свойства произведения двух матриц

Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А , т.е. АЕ = ЕА = А .              

Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.

Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы

на единичную матрицу справа и слева.

Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где


единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С = АЕ :


                                                                                               

Получается, что АЕ = А .

Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :



Доказано: ЕА = А .

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 2. Произведение матрицы А на нуль-матрицу является нуль-матрицей. Это свойство очевидно, так как все элементы нуль-матрицы равны нулю.

Свойство 3. Произведение матриц некоммутативно:
.

Для этого достаточно показать, что равенство АВ = ВА не выполняется для каких-либо двух матриц.

Пример 11. Найти произведения матриц АВ и ВА, если

,

,

и убедиться в том, что эти произведения не равны друг другу:

.

Решение. Находим:

И действительно, найденные произведения не равны:
.

Проверить решение этой и других подобных задач можно на калькуляторе произведения матриц онлайн.

Свойство 4. Произведение матриц ассоциативно: (АВ)С = А(ВС) .

Свойство 5. Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон: (А + В) С = АС + ВС , С (А + В) = СА + СВ .

Свойство 6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: если С = АВ , то

.

Поделиться с друзьями

Начало темы «Матрицы»

Продолжение темы «Матрицы»

Другие темы линейной алгебры

function-x.ru

Умножение матриц «на пальцах», примеры, правила и пошаговая схема перемножения матриц

Назад (Математика).

Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения называется произведением матриц.

Какие матрицы можно умножать?

Умножать матрицы друг на друга можно, когда число столбцов первой равно числу строк второй. Результатом умножения матриц является матрица, у которой число строк равно числу строк первой, а число столбцов совпадает с числом столбцов второй.

Как умножать матрицы?

Внимание! A*B не равно(!) B*A (Большими латинскими буквами обозначены умножаемые матрицы).

Пусть дана матрица размерностью 2*3:

которую необходимо умножить на матрицу 3*2:

При этом (по правилу умножения матриц) должна получиться матрица размерностью 2*2:

Перемножим элементы первой строки матрицы 2*3 на соответствующие элементы первого столбца матрицы 3*2. Делается это следующим образом: мысленно поворачиваем матрицу 2*3, перемножаем элементы: 1*7, 2*9, 3*11. Складываем полученные произведения и записываем результат в «красную ячейку»:

Далее — по аналогии:

Ответ — матрица 2*2:

Пример: выполнить умножение матриц:

Решение:

  1. 0*1+1*(-1)+(-1)*0 = -1
  2. 0*2+1*0+(-1)*1 = -1
  3. 0*1+2*(-1)+1*0 = -2
  4. 0*2+2*0+1*1 = 1

Ответ:


akak-ich.ru

Умножение матриц.

Навигация по странице:

Определение.

Результатом умножения матриц Am×n и Bn×k будет матрица Cm×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (cij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

cij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + … + ain · bnj

Замечание.

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Свойства умножения матриц

  • (A · B) · C= A · (B · C) — произведение матриц ассоциативно;
  • (z · A) · B= z · (A · B), где z — число;
  • A · (B + C) = A · B + A · C — произведение матриц дистрибутивно;
  • En · Anm = Anm · Em= Anm — умножение на единичную матрицу;
  • A · B ≠ B · A — в общем случае произведение матриц не коммутативно.
  • Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Примеры задач на умножение матриц

Пример 1.

Найти матрицу C равную произведению матриц A =   4  2   и B =   3  1  .
 9  0  -3  4 

Решение:

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 — 6 = 6

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Пример 2

Найти матрицу C равную произведению матриц A = 
 2  1 
 -3  0 
 4  -1 
 и B = 
 5  -1  6 
 -3  0  7 
.

Решение:

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·5 + 1·(-3) = 10 — 3 = 7

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c13 = a11·b13 + a12·b23 = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c21 = a21·b11 + a22·b21 = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c22 = a21·b12 + a22·b22 = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c23 = a21·b13 + a22·b23 = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c31 = a31·b11 + a32·b21 = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c32 = a31·b12 + a22·b22 = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c33 = a31·b13 + a32·b23 = 4·6 + (-1)·7 = 24 — 7 = 17

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru