Умножение логарифма на логарифм – Умножение логарифмов | Логарифмы

Логарифм

Логарифмы имеют ограничения. В математике существуют два жёстких ограничения.

а) Нельзя делить на ноль

б) Извлекать корень чётной степени из отрицательного числа (так как отрицательное число, возведённое в квадрат, всегда будет положительным).

равносильно записи

ax = b

Ограничения на а

а — это основание, которое нужно возвести в степень x, чтобы получить b.

Если a  = 1. Единица в любой степени будет давать единицу.

А если а меньше нуля? Отрицательные числа — капризные. В одну степень их можно возводить, в другую — нельзя. Поэтому их тоже исключаем. В результате получаем: а > 0; a ≠ 1

Ограничения на b

Если положительное число возвести в любую степень, получим также положительное число. Отсюда: b > 0. x может быть любым числом, так как мы можем возводить в любую степень.

Если b  = 1. то при любом a значение x = 0.

Операции над логарифмами

Учитывая основные свойства степеней, выведем аналогичные и для логарифмов:

Сумма. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

Разность. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

Степень. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:

Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма:

Переход к новому основанию

. Формула модуля перехода ( то есть перехода от одного основания логарифма к другому основанию):

iv>

В частном случае при N = a имеем:

oyla.xyz

Логарифмические ряды, Логарифмы, log, ln, lg

Ряды Маклорена не могут быть использованы для нахождения ряда для logx, поэтому должен быть найден еще один метод. Первый шаг — изменения переменной, шаг, который очень полезен, так как вы приступаете к процессам, больше использующим математику. Вместо того, чтобы использовать log х в качестве переменной, используйте log (l + х), которая находит конечные значения для последовательных производных при х = 0. Итак, вы возвращаетесь к рядам Маклорена.
            f(x) = logεx   $f_1(x)=\frac{1}{x}$
Используя   f(x) = log

ε(1+x)             $f_1(x)=\frac{1}{1+x}$       f1(0) = 1
    f0(x) = logε1 = 0             $f_2(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}$       f2(0) = -1
        ε0 = 1                 $f_3(x)=\frac{2}{(1+x)^3}$       f3(0) = 2
                        $f_4(x)=\frac{-6}{(1+x)^4}$       f4(0) = -6
$log_{\epsilon}(1+x) = x-\frac{x^2}{2!}+\frac{2x^3}{3!}-\frac{6x^4}{4!}….$
            $= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5}….$

Когда упрощаются коэффициенты путем деления на множители факториала, они являются своего рода гармоническим рядом, который не сходится очень быстро. Числители — это последовательные степени х, а знаменатели простые числа, не факториалы.

Вы захотите логарифмы чисел больших, чем 2. Здесь скорость сходимости показана в нахождении логарифма 2 этим методом. На сходимость влияет: единственный уменьшающийся фактор гармонического ряда интегральных обратных чисел. Он колеблется между наивысшим значением, а значит, должен сходиться гораздо дальше, чтобы достичь своего наивысшего значения.

Логарифмические ряды: изменение

Вот трюк, для чего введены логарифмы. Если вы изменяете переменную снова, используя (1 + x)/(1 — x), по принципу логарифмов, логарифм этой переменной будет логарифмом (1 + x) минус логарифм (1 — x).

Во-первых, ряд логарифмов (l — x) был последовательно

www.math10.com

Zero To Hero

Содержание:

Мы уже разобрались с экспоненциальной функцией в посвящённой ей статье, и нашей следующей целью становится натуральный логарифм.

В учебниках математики определение натурального логарифма такое, что ничего «натурального», естественного в нём нет: он определяется как действие, обратное функции ex, странной уже самой по себе.

Так что вот вам новое, упрощённое объяснение: Натуральный логарифм — это время, необходимое, чтобы вырасти до определённого уровня.

Представьте, что вы сделали инвестицию мишками Гамми (а кто так не делает?) с непрерывной доходностью 100% годовых. Если вы преследуете цель достичь десятикратного роста вклада, при условии «сложных процентов», вам пришлось бы ждать всего-то ln(10) = 2.3 года. Не можете понять, почему необходимо только пару лет, чтобы достичь 10х роста? Не понимаете, почему последовательность не 1, 2, 4, 8? Почитайте про число e.

Число e и натуральный логарифм — братья-близнецы:

  • ex — уровень, достигнутый при непрерывном росте за определённый промежуток времени.
  • натуральный логарифм (ln) — промежуток времени, необходимый для роста до определённого уровня.

Совсем неплохо, правда? Пока математики подбирают слова, чтобы дать вам длинное путанное определение, давайте поближе посмотрим на это простое и ясное.

Число e означает рост

Число e означает непрерывный рост. Как мы видели в прошлом примере, ex позволяет нам увязать процент и время: 3 года при росте 100% есть то же самое, что и 1 год при 300%, при условии «сложных процентов».

Можно подставлять любые значения процента и времени (50% на протяжении 4 лет), но лучше задать процент как 100% для удобства (получается 100% на протяжении 2 лет). За счёт перехода к 100% мы можем сфокусироваться исключительно на компоненте времени:

ex = eпроцент * время = e1.0 * время = eвремя

Очевидно, что ex означает:

  • насколько вырастет мой вклад через x единиц времени (при условии 100%-го непрерывного роста).
  • например, через 3 промежутка времени я получу в e3 = 20.08 раз больше «штуковин».

ex — это масштабирующий коэффициент, показывающий, до какого уровня мы вырастем за x отрезков времени.

Натуральный логарифм означает время

Натуральный логарифм — это инверсия числа e, такой причудливый термин для обозначения противоположности. Кстати, о причудах; по латыни он называется logarithmus naturali, отсюда и появилась аббревиатура ln.

И что эта инверсия или противоположность означает?

  • ex позволяет нам подставить время и получить рост.
  • ln(x) позволяет нам взять рост или доход и узнать время, необходимое для его получения.

Например:

  • e3 равняется 20.08. Через три отрезка времени у нас будет в 20.08 раз больше того, с чего мы начали.
  • ln(20.08) будет примерно 3. Если вас интересует рост в 20.08 раз, вам понадобится 3 промежутка времени (опять же, при условии стопроцентного непрерывного роста).

Всё ещё читаете? Натуральный логарифм показывает время, нужное, чтобы достичь желаемого уровня.

Этот нестандартный логарифмический счёт

Вы проходили логарифмы — это странные существа. Как им удалось превратить умножение в сложение? А деление в вычитание? Давайте посмотрим.

Чему равняется ln(1)? Интуитивно понятно, что вопрос стоит так: сколько нужно ждать, чтобы получить в 1 раз больше того, что у меня есть?

Ноль. Нуль. Нисколько. У вас уже это есть единожды. Не требуется нисколько времени, чтобы от уровня 1 дорости до уровня 1.

Хорошо, что насчёт дробного значения? Через сколько у нас останется 1/2 от имеющегося количества? Мы знаем, что при стопроцентном непрерывном росте ln(2) означает время, необходимое для удвоения. Если мы обратим время вспять (т.е. подождём отрицательное количество времени), то получим половину от того, что имеем.

  • ln(1/2) = —ln(2) = —0.693

Логично, правда? Если мы вернёмся назад (время вспять) на 0.693 секунды, то обнаружим половину имеющегося количества. Вообще можно переворачивать дробь и брать отрицательное значение: ln(1/3) = —ln(3) = —1.09. Это означает, что, если мы вернёмся в прошлое на 1.09 отрезков времени, то обнаружим только треть от нынешнего числа.

Ладно, а как насчёт логарифма отрицательного числа? Сколько времени нужно, чтобы «вырастить» колонию бактерий от 1 до —3?

Это невозможно! Нельзя получить отрицательное число бактерий, не так ли? Вы можете получить максимум (эээ… минимум) нуль, но вам никак не получить отрицательное число этих маленьких тварей. В отрицательном числе бактерий просто нет смысла.

  • ln(отрицательное число) = неопределено

«Неопределено» означает, что нет такого промежутка времени, который надо было бы прождать, чтобы получить отрицательное значение.

Логарифмическое умножение — просто умора

Сколько времени займёт четырёхкратный рост? Конечно, можно просто взять ln(4). Но это слишком просто, мы пойдём другим путём.

Можно представить четырёхкратный рост как удвоение (требующее ln(2) единиц времени) и затем снова удвоение (требующее ещё ln(2) единиц времени):

  • Время на 4х рост = ln(4) = Время на удвоится и затем ещё раз удвоится = ln(2) + ln(2)

Интересно. Любой показатель роста, скажем, 20, можно рассматривать как удвоение сразу после 10-кратного увеличения. Или роста в 4 раза, и затем в 5 раз. Либо же утроение и затем увеличение в 6.666 раз. Видите закономерность?

Логарифм от A, умноженного на B, есть log(A) + log(B). Это отношение сразу обретает смысл, если оперировать в терминах роста.

Если вас интересует 30-кратный рост, вы можете подождать ln(30) за один присест, либо же подождать ln(3) Для утроения, и затем ещё ln(10) для удесятирения. Конечный результат тот же самый, так что конечно время должно оставаться постоянным (и остаётся).

Что на счёт деления? В частности, ln(5/3) означает: сколько времени понадобится для того, чтобы вырасти в 5 раз, и затем получить 1/3 от этого?

Отлично, рост в 5 раз есть ln(5). Рост в 1/3 раза займёт -ln(3) единиц времени. Итак,

  • ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Сие означает: дайте вырасти в 5 раз, и затем «вернитесь во времени» к той отметке, где останется всего треть от того количества, так что у вас получится 5/3 рост. В общем получается

  • ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Я надеюсь, что странная арифметика логарифмов начинает обретать для вас смысл: умножение показателей роста становится сложением единиц времени роста, а деление превращается в вычитание единиц времени. Не надо запоминать правила, попробуйте осознать их.

Использование натурального логарифма при произвольном росте

— Ну конечно, — скажете вы, — это всё хорошо, если рост 100%-ный, а что в случае 5%, которые я получаю?»

Нет проблем. «Время», которое мы рассчитываем с помощью ln(), на самом деле является комбинацией процентной ставки и времени, тот самый Х из уравнения ex. Мы всего лишь решили задать процент как 100% для простоты, но мы вольны использовать любые числа.

Допустим, мы хотим достичь 30-кратного роста: берём ln(30) и получаем 3.4 Это означает:

Очевидно, это уравнение означает «100%-ная доходность на протяжении 3.4 лет даёт рост в 30 раз». Мы можем записать это уравнение в таком виде:

  • ex = eставка*время
  • e100% * 3.4 года = 30

Мы можем менять значения «ставки» и «времени», лишь бы ставка * время оставалось 3.4. Например, если нас интересует 30-кратный рост — сколько нам придётся ждать при процентной ставке 5%?

  • ln(30) = 3.4
  • ставка * время = 3.4
  • 0.05 * время = 3.4
  • время = 3.4 / 0.05 = 68 лет

Я рассуждаю так: «ln(30) = 3.4, значит, при 100%-ном росте это займёт 3.4 года. Если я удвою скорость роста, необходимое время уменьшится вдвое».

  • 100% за 3.4 года = 1.0 * 3.4 = 3.4
  • 200% за 1.7 года = 2.0 * 1.7 = 3.4 [200%-ный рост означает уменьшение времени вдвое]
  • 50% за 6.8 года = 0.5 * 6.8 = 3.4 [50%-ный рост означает, что понадобится в 2 раза больше времени]
  • 5% за 68 года = .05 * 68 = 3.4 [5%-ный рост означает, что понадобится в 20 раз больше времени].

Здорово, правда? Натуральный логарифм может использоваться с любыми значениями процентной ставки и времени, поскольку их произведение остаётся постоянным. Можете перемещать значения переменных сколько душе угодно.

Отпадный пример: Правило семидесяти двух

Правило семидесяти двух — математический приём, позволяющий оценить, сколько времени понадобится, чтобы ваши деньги удвоились. Сейчас мы его выведем (да!), и более того, мы попробуем уяснить его суть.

Сколько времени понадобится, чтобы удвоить ваши деньги при 100% ставке, нарастающей ежегодно?

Оп-па. Мы использовали натуральный логарифм для случая с непрерывным ростом, а теперь ты ведёшь речь о ежегодном начислении? Не станет ли это формула непригодной для такого случая? Да, станет, однако для реальных процентных ставок вроде 5%, 6% или даже 15%, разница между ежегодным начислением процентов и непрерывным ростом будет невелика. Так что грубая оценка работает, мм, грубо, так что мы сделаем вид, что у нас полностью непрерывное начисление.

Теперь вопрос прост: Как быстро можно удвоиться при 100%-ном росте? ln(2) = 0.693. Нужно 0.693 единиц времени (лет — в нашем случае), чтобы удвоить нашу сумму с непрерывным ростом 100%.

Так, а что если процентная ставка — не 100%, а скажем, 5% или 10%?

Легко! Поскольку ставка * время = 0.693, мы удвоим сумму:

  • ставка * время = 0.693
  • время = 0.693 / ставка

Получается, если рост 10%-ный, это займёт 0.693 / 0.10 = 6.93 лет на удвоение.

Чтобы упростить вычисления, давайте домножим обе части на 100, тогда можно будет говорить «10», а не «0.10»:

  • время на удвоение = 69.3 / ставка, где ставка выражена в процентах.

Теперь черёд удваиваться при ставке 5%, 69.3 / 5 = 13.86 лет. Однако 69.3 — не самое удобное делимое. Давайте выберем близкое число, 72, которое удобно делить на 2, 3, 4, 6, 8 и другие числа.

  • время на удвоение = 72 / ставка

что и является правилом семидесяти двух. Всё шито-крыто.

Если вам нужно найти время для утроения, можете использовать ln(3) ~ 109.8 и получить

  • время на утроение = 110 / ставка

Что является ещё одним полезным правилом. «Правило 72» применимо росту по процентным ставкам, росту населения, культур бактерий, и всего, что растёт экспоненциально.

Что дальше?

Надеюсь, натуральный логарифм теперь приобрёл для вас смысл — он показывает время, необходимое для роста любого числа при экспоненциальном росте. Я думаю, натуральным он называется потому, что e — универсальная мера роста, так что ln можно считать универсальным способом определения, сколько времени нужно для роста.

Каждый раз, когда вы видите ln(x), вспоминайте «время, нужное, чтобы вырасти в Х раз». В предстоящей статье я опишу e и ln в связке, так что свежий аромат математики заполнит воздух.

Дополнение: Натуральный логарифм от e

Быстрая викторина: сколько будет ln(e)?

  • математический робот скажет: поскольку они определены как инверсия одна другой, очевидно, что ln(e) = 1.
  • понимающий человек: ln(e) это число времени, чтобы вырасти в «е» раз (около 2.718). Однако число e само по себе является мерой роста в 1 раз, так что ln(e) = 1.

Мыслите ясно.

Перевод статьи «Demystifying the Natural Logarithm (ln)»

zero2hero.org

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Определение и основные понятия логарифмов

Например. , поскольку .

В 8 веке индийский математик Вирасена (792-853), исследуя степенные зависимости, опубликовал фактически таблицу логарифмов (целочисленных показателей) для оснований 2, 3, 4. Дальнейшее развитие теория логарифмов получила в средневековой Европе, где была выдвинута идея замены трудоемкого умножения на простое сложение. Впервые эта идея увидела свет в книге «Arithmetica integra» (1544) немецкого математика Михаэля Штифеля (1487-1567). В 1614 году шотландский математик Джон Непер (1560-1617) опубликовал сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов», в котором ввел термин «логарифм», а также описал его свойства. Общепринятого обозначения логарифма не было до конца 19 века, хотя специальные обозначения для натурального и десятичного логарифмов появились значительно ранее.

Натуральный логарифм — логарифм по основанию :

   

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10:

   

Свойства логарифмов

Следующие свойства приведены для произвольных величин , при которых логарифм существует.

  1. Основное логарифмическое тождество:

       

    Например. .

  2. Если основание логарифма и подлогарифмическая функция равны, то логарифм равен единице:

       

    Например. .

  3. Логарифм по любому основанию от единицы равен нулю:

       

    Например. .

  4. Логарифм произведения равен сумме логарифмов от каждого из сомножителей:

       

    Например. .

  5. Логарифм частного равен разности логарифмов от делимого и делителя соответственно:

       

    Например. .

  6. .

    Например. .

  7. .

    Например. .

  8. .

    Например. .

  9. .

    Например. .

  10. Переход к новому основанию:

       

    Например. .

  11. .

    Например. .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

как перемножить логарифмы с одинаковыми основаниями?

Путём непосредственного умножения. Логарифм — это всего лишь число. И не суть важно, одинаковые у них основания или нет. Можно, конечно, написать, к примеру, lg a * lb b = lg (b^lg a), но толку от этого будет немного.

просто сложить числа

будет логарифм с тем же основанием, а показатели складываются, ай-ай-ай, высший разум, школьная формула

Показатели складываются

touch.otvet.mail.ru

Свойства логарифмов | Логарифмы

Удобно, когда все свойства логарифмов записаны на одной странице.

                                      Свойства логарифмов

Если

   

   

 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

 

                                          Дополнение

Если

   

   

   

   

   

   

 

Дополнительное свойство:

   

Каждому из данных свойств логарифмов посвящена отдельная тема (с примерами).

www.logarifmy.ru

Умножение Логарифмов | Fitweb

свойства логарифмов

как разложить число на простые множители

как упростить выражение

разложить на множители онлайн

как решать неравенства с модулем

как решать неравенства

иррациональные уравнения

Академия Хана

десятичный логарифм

Logarithm (Literature Subject)

как разложить многочлен на множители

разложите на множители

как сократить дробь

репетитор по математике

подготовка к егэ

просто математика

Как умножить логарифм на другой

как преобразовать в многочлен

Преобразовать в произведение

Как умножать логарифмы

разложение на множители

как умножить логарифмы с одинаковым основанием

Mathematics (Field Of Study)

ЕГЭ по математике

решение иррациональных неравенств

fitweb.me