Теория вероятности высшая математика теория – Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями, Шапкин А.С, Шапкин В.А., 2010

Содержание

Высшая математика

«Теория
вероятностей и математическая статистика»

Методические
указания к выполнению контрольной
работы для студентов заочного отделения

Варианты
контрольной работы

Киров
2010

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Основные
определения и теоремы 4

Вопросы
для самоконтроля 8

Список
рекомендуемой литературы
9

Задачи
для практических занятий
9

Требования
к оформлению контрольной работы 11

Разбор
варианта контрольной работы 12

Варианты
контрольной работы 15

Введение

Методические
рекомендации предназначены для студентов
за­очного отделения всех специальностей
Русского университета инно­ваций и
имеют своей целью помочь студентам в
освоении курса «Тео­рия вероятностей».

Методы
теории вероятностей используются при
изучении мас­совых явлений, обработке
результатов наблюдения и выявлении
ста­тистических закономерностей, в
теории надежности, теории массово­го
обслуживания. Теория вероятностей
является теоретической базой статистических
дисциплин, изучаемых студентами на
старших курсах. Поэтому теория вероятностей
занимает важное место во всем курсе
высшей математики.

Между
экономическими явлениями действуют
многосторонние связи, и на их изменения
оказывает влияние множество факторов,
действующих по-разному в различные
моменты времени, то есть из­менения
носят случайный характер. Поэтому
определение общих за­кономерностей
из наблюдаемых случайных явлений
становится осо­бенно важным. В
достижении этой цели большую роль играет
теория вероятностей, методы которой
позволяют выделить общие законо­мерности,
охарактеризовать процессы и явления
«в среднем», «с дан­ной степенью
достоверности».

Основная
трудность в изучении этого курса состоит
в том, что для успешного его освоения
надо научиться переводить жизненные
ситуации на теоретико-вероятностный
язык, пользуясь абстрактно-логическими
рассуждениями. Для преодоления этих
трудностей надо решить достаточно много
задач.

В
настоящем пособии приведены основные
понятия комбинато­рики
и теории вероятностей, дан список задач
для практических заня­тий, основные
вопросы, которые обычно бывают включены
в экзаме­национные билеты, приведены
решения основных типов задач, даны
варианты контрольной работы и список
рекомендуемой литературы.

Основные понятия комбинаторики и теории вероятностей

Решение
комбинаторных задач заключается в
подсчете числа тех или иных выборок из
конечных множеств. Сформулируем два
ос­новных правила комбинаторики.

Правило
произведения:
Если
объект А можно выделить из
совокупности
объектов т способами и после каждого
такого выбора
объект
В можно выбрать п способами, то пара
объектов (А,В) в ука­
занном
порядке может быть выбрана т

п способами.

Правило
суммы:
Если
объект А можно выбрать из совокупно­сти
объектов т способами, а другой объект
В может быть выбран п способами, то
выбрать либо А, либо В можно п+т способами.

Отметим,
что в первом случае мы выбираем А и В, а
во втором А либо
В.
То есть, если нужно выбрать и тот и другой
объект, то это можно сделать nm,
а если выбирается только один из объектов,
не важно какой, то это можно сделать n+т
способами.

Наблюдаемые
нами события можно подразделить на три
вида.

Достоверным
называют
событие, которое обязательно произойдет,
если будет осуществлена некоторая
совокупность условий.

Невозможным
называют
событие, которое заведомо не произойдет,
если будет осуществлена некоторая
совокупность условий.

Случайным
называют
событие, которое при осуществлении
некоторой совокупности условий, может
либо произойти, либо не произойти.

Под
событием
в
теории вероятности понимают результат
испытания.

Вероятностью
события
А
называют отношение числа благоприятствующих
этому событию исходов к общему числу
всех равновозможных несовместных
элементарных исходов, образующих полную
группу.

Р(А)
=
m/n

т
число
элементарных исходов, благоприятствующих
А;

п
число
всех возможных элементарных исходов
испытания.

Заметим,
что вероятность события — неотрицательное
число, меньше или равное единице.

События
называются равновозможными,
если
есть основание считать, что ни одно из
них не является более возможным, чем
другое.

События
называются несовместными,
если
появление одного из них
исключает появление других событий в
одном и том же испытании.

Несколько
событий образуют полную
группу,
если
в результате испытания появится хотя
бы одно из них.

Противоположными
называют
два единственно возможных события,
образующих полную группу.

Относительной
частотой события
называют
отношение числа испытаний,
в которых событие появилось, к общему
числу фактиче­ски произведенных
испытаний.

т
W(А)
= ­­­

п

т
число
появлений события;

п

общее
число испытаний.

Подчеркнем
разницу между вероятностью и относительной
час­тотой
события. Первая величина вычисляется
эмпирически, а вторая получается при
эксперименте.

Суммой
А+В
двух событий А и В называют событие,
состоящее в появлении события А или
события В или обоих этих событий.

Произведением
двух
событий А и В называют событие А•В,
со­стоящее в совместном появлении
(совмещении) этих событий.

Сумма
двух событий соответствует событию «А
или
В».
Произ­ведение — событию «А и
В».

Условной
вероятностью Р
А
(В)
называют
вероятность события

В,
вычисленную в предположении, что событие
А уже наступило.

Событие
В называют независимым
от
события А, если появле­ние события А
не изменяет вероятности события В, то
есть

РА(В)
= Р(В).

Теорема
1.
Вероятность
совместного появления двух событий
равна произведению вероятности одного
из них на условную вероят­ность
другого, вычисленную в предположении,
что первое событие уже наступило:

Р(АВ)
= Р(А)
РА(В).

Теорема
2.
Вероятность
появления хотя бы одного из двух со­
бытий
равна сумме вероятностей этих событий
без вероятности их
совместного
появления:

Р(А
+ В) = Р(А) + Р(В) — Р(А

В).

Заметим,
что если события несовместны, то они не
могут про­изойти одновременно, то
есть вероятность их совместного появления
равна нулю. Тогда формула примет вид:

Р(А
+ В) = Р(А) + Р(В).

Теорема
3.
Сумма
вероятностей несовместных событий
А
12,…,Ап,
образующих полную группу, равна 1:

Р(А1)
+ Р(А
2)
+ … + Р(А
п)
= 1.

Теорема
4.
Сумма
вероятностей противоположных событий
равна 1:

Р(А)
+ Р(А) =1.

Теорема
5.
Вероятность
появления хотя бы одного из событий
А12,…,Ап,
независимых в совокупности, равна
разности между

единицей
и произведением вероятностей
противоположных событий
А12,п
:

А
вероятность
появления одного из событий А1,
А
2,…,Ап,
Р(А)
= 1-Р(
А1)
Р(А2)•...Р(Ап).

Теорема
6.
(Формула
полной вероятности)
Вероятность
со­бытия А, которая может наступить
лишь при условии появления од­ного
из несовместных событий В
12,…,Вп,
образующих полную

группу,
равна сумме произведений вероятностей
каждого из этих со­бытий на соответствующую
условную вероятность события А :

Р(А)
= Р(В
1)

Р
В1
(А) + Р(В
2)

Р
Вn
(А) +

+ Р(Вп)
РВп
(А)
.

Пусть
событие А может наступить при условии
появления одно­го
из несовместных событий В12
,…,Вп,
образующих
полную груп­пу. Поскольку заранее не
известно, какое из этих событий наступит,
их называют гипотезами.
Вероятность
появления события А опреде­ляется по
формуле полной вероятности.

Допустим,
что произведено испытание в результате
которого, появилось событие А. Поставим
своей определить, как изменились (в
связи
с тем, что событие А уже наступило)
вероятности гипотез. Дру­гими
словами РА(В1),РА2),…,РАп).
На
этот вопрос отвечают формулы
Бейеса:

Р(Вi)
РВ1
(А)

РА(Вi)=
,

Р(А)

где
Р(А)
вычисляется
по формуле полной вероятности.

Случайной
называют
величину, которая в результате испытания
примет
одно и только одно возможное значение,
наперед неизвестное и зависящее от
случайных причин, которые заранее не
могут быть уч­тены.

Дискретной
(непрерывной)
называют случайную величину, ко­торая
принимает отдельные, изолированные
возможные значения с определенными
вероятностями. Число возможных значений
может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной
называют
величину, которая может принимать все
значения
из некоторого конечного или бесконечного
промежутка.

Законом
распределения
конечной
дискретной величины назы­вают
таблицу, в которой занесены все возможные
значения этой вели­чины, с указанием
вероятностей, с которыми эти значения
могут при­ниматься.

Математическим
ожиданием
дискретной
случайной величины называют сумму
произведений всех ее возможных значений
на их ве­роятности.

М(Х)
=
х1
р12
р2+
+ хп


р
п

Математическое
ожидание приближенно равно (тем точнее,
чем больше
число испытаний) среднему арифметическому
наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства
математического ожидания:

1. Математическое
ожидание произведения двух
независимыхслучайных
величин равно произведению их
математических ожида­-ний:

М(ХУ)
= М(Х)
М(У).

2. Математическое
ожидание суммы двух случайных величин
рав­-но
сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х
+
У)
= М(Х)
+ М(У).

Способ
задания дискретной случайной величины,
перечнем всех ее
возможных значений и их вероятностей,
не является общим. Он не применим для
непрерывных случайных величин. Чтобы
получить бо­лее общий способ задания
случайных величин вводят функции
рас­пределения.

Функцией
распределения
называют
функцию F(х),
определяю­щую вероятность того, что
случайная величина X
в
результате испы­тания примет значение,
меньшее х,
т.е.

F(х)
= Р(Х<х).

Иногда
вместо термина «функция распределения»
используют термин «интегральная
функция».

Свойства
функции распределения

1. Значение
функции распределения принадлежит
отрезку [0, 1]:

О
≤ F(х)
1.

2. Р(х)

неубывающая функция, т. е.

F2)
F1),
если х2
> х
1.

3. Вероятность
того, что случайная величина примет
значение, за­-ключенное
в интервале (а,b),
равна
приращению функции распре­деления
на этом интервале:

Р(а
≤ Х ≤
b)
=
F(b)
F(а).

4. Если
возможные значения случайной величины
принадлежат ин­-тервалу
(а,b),
то
1) F(х)
=
0,
при х
≤ а
;
2) F(х)
=
1, при х
b.

studfiles.net

Теория вероятностей | Математика | FANDOM powered by Wikia

Тео́рия вероя́тностей — раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым.

    Основные понятия теории Править

    Б Править

    • Боровков, А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
    • Боровков, А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.
    • Булдык, Г.М. Теория вероятностей и математическая статистика. Мн., Высш. шк., 1989.
    • Булинский, А.В., Ширяев, А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003.
    • Бекарева, Н.Д. Теория вероятностей. Конспект лекций. Новосибирск НГТУ

    Г Править

    • Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие.- 12-е изд., перераб.- М.: Высшее образование, 2006.-479 с.:ил (Основы наук).
    • Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие-11-е изд., перераб. — М.: Высшее образование, 2006.-404 с. (Основы наук).
    • Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1988.
    • Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей. УРСС. М.: 2001.
    • Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей, 1970.

    К Править

    • Колемаев, В.А. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1991.
    • Колмогоров, А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974.
    • Коршунов, Д.А., Фосс, С.Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей. Новосибирск, 1997.
    • Коршунов, Д.А., Чернова, Н.И. Сборник задач и упражнений по математической статистике. Новосибирск. 2001.
    • Кузнецов, А.В. Применение критериев согласия при математическом моделировании экономических процессов. Мн.: БГИНХ, 1991.

    Л Править

    • Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. Мн.: Выш. шк., 1976.
    • Лихолетов И.И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. Мн.: Выш. шк., 1976.

    М Править

    • Мацкевич И.П., Свирид Г.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика. Мн.: Выш. шк., 1993.
    • Мацкевич И.П., Свирид Г.П., Булдык Г.М. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Теория вероятностей и математическая статистика. Мн.: Выш. шк., 1996.

    П Править

    • Прохоров, А.В., В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков. Задачи по теории вероятностей. Наука. М.: 1986.
    • Пугачев, В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. Наука. М.: 1979.

    С Править

    • Свирид, Г.П., Макаренко, Я.С., Шевченко, Л.И. Решение задач математической статистики на ПЭВМ. Мн., Выш. шк., 1996.
    • Севастьянов, Б.А., Чистяков, В.П., Зубков, А.М. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука, 1986.
    • Соколенко А.И. Высшая математика, учебник. М.: Академия, 2002.

    Ш Править

    • Ширяев, А.Н. Вероятность, Наука. М.: 1989.
    • Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики В 2-х т.,ФАЗИС. М.: 1998.

    Ч Править

    • Чистяков, В.П. Курс теории вероятностей. М., 1982.

    Ф Править

    • Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и её приложения.

    Эта статья содержит материал из статьи Теория вероятностей русской Википедии.

    ru.math.wikia.com

    Теория вероятностей

    Теория вероятностей применяется к ситуациям, когда существует неопределенность . Эти ситуации, например, включают

    1.  Характеристика автомобильного движения на перекрёстке дорог (т.e., число автомобилей, которые пересекают перекрёсток в Санкт-Петербурге за интервал времени)

    2.  Предсказание погоды в Москве

    3.  Количество студентов, проходящих через университетскую площадь между 8:50 и 9:00 по понедельникам

    4.  Броуновское движение молекул в a

    (a)  медном проводе

    (b)  в транзисторе

    Обратите внимание, что последние две ситуации это явление, известное как шум, чьей характеристикой является функция температуры.

    Во всех этих ситуациях мы могли бы построить приблизительные функции или предсказания для каждого из этих экспериментов . Тем не менее, мы никогда не смогли бы охарактеризовать их с абсолютной уверенностью, (т.e., детерминировано) через элементы теории вероятностей. Вот почему когда публикуется прогноз погоды, говориться, например, что

    Шансы дождя завтра равны 40% В таких случаях это означает, что вероятность события дождя равна 0.4. Другие вероятностные характеристики включают include

    •    В среднем 300 машин в минуту пересекают перекрёсток в полдень в субботу. Шансы, что так много машин пересекут перекрёсток в Санкт-Петербургев в 8:00 в воскресенье, очень малы

    •    Средний шум в транзисторе равен 1μW

    Ученые и инженеры применяют теорию вероятностей и случайных процессов к тем повторяющимся ситуациям в природе, где

    1.  Мы можем приблизительно предсказать что может случиться.

    2.  Мы не можем точно определить что может случиться

    Всякий раз, когда мы не можем точно предсказать возникновение какого-то события, мы говорим, что такие события есть случайными. Случайные события происходят вследствие следующих причин

    •    Все действующие силы неизвестны.

    •    Недостаточно данных для условия задачи

    •    Физические механизмы события настолько сложны, что прямое вычисление проблемы не представляется возможным

    •    Существует несколько основных неопределенностей в физическом мире

    Понятия теории вероятностей

    Перед тем, как продолжить, необходимо определиться с некоторыми следующими важными понятиями

    Определение 1 Эксперимент представляет собой набор правил, регулирующих конкретные операции, которые выполняются

    Определение 2 Испытание это проведение этого эксперимента

    Определение 3 Результат это результаты данного испытания

    Определение 4 Событие это результат или любая комбинация результатов

    Пример 1 Рассмотрим экспериментвыбора наугад одной карты из колоды с 52-мя игральными картами и записывание значения карты. Заметим, что правила хорошо определены

    1.  У нас есть колода карт

    2.  Кто-то выбирает карту

    3.  Запись результата

    Предположим, что кт

    www.math10.com

    Решение типового варианта РГР по теории вероятностей

    1. В бригаде 25 человек. Сколькими способами можно избрать троих рабочих в три комиссии (по одному в каждую)?

    Решение.

    1 способ. Одна комбинация отличается от другой либо хотя бы одним человеком, либо порядком избрания в комиссии. Поэтому число способов избрания троих рабочих равно числу размещений из 25 человек по 3, т.е.

    2 способ. 1 человека можем выбрать 25 способами, 2-го — 24 способами, 3-го 23 способами, согласно правилу умножения получаем:

    2. В шахматном турнире участвуют 10 гроссмейстеров, 6 международных мастеров и 4 мастера. Шахматисты для первого тура и номер столика для каждой пары участников определяются путем жеребьевки. Найти вероятность того, что за первым столиком встретятся шахматисты одной и той же категории.
    Решение.
    Число всех равновозможных случаев определения двух соперников из 20 участников равно числу сочетаний из 20 элементов по 2, т.е. . Число групп по 2 человека, которые могут быть составлены из 10 гроссмейстеров, равно . Число групп, которые могут быть составлены из 6 международных мастеров, равно . Из 4 мастеров может быть составлено пар. Сумма равна числу благоприятствующих случаев для встречи за первым столиком шахматистов одной и той же категории.

    Следовательно, искомая вероятность:

    3. В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждается в замене двигателя, а остальные — в замене отдельных узлов. Случайным образом отбирается два трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима:
    а) в двух тракторах;
    б) в одном тракторе;
    в) хотя бы в одном тракторе.
    Решение.
    а) Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранный трактор требует замены двигателя. Согласно условиям задачи, вероятность того, что первым будет отобран трактор, требующий замены двигателя, .
    Вероятность того, что второй выбранный трактор также потребует замены двигателя, . Тогда вероятность события, состоящего в том, что первый и второй отобранные тракторы потребуют замены двигателя, . (Перемножили две вероятности по правилу умножения, которому соответствует союз «и»).
    б) Обозначим через В событие, состоящее в том, что только один из двух выбранных тракторов требует замены двигателя.
    Это событие заключается в том, что первый трактор нуждается в замене двигателя, а второй — лишь в замене отдельных узлов, либо первый трактор требует замены отдельных узлов, а второй — замены двигателя: .
    в) Обозначим через С событие, состоящее в том, что ни один трактор не потребует замены двигателя. Вероятность того, что первый трактор не потребует замены двигателя, равна 9/15=3/5. Вероятность того, что второй трактор также не потребует замены двигателя, 8/14=4/7. Тогда вероятность того, что оба трактора не потребуют замены двигателя, . Вероятность того, что хотя бы для одного трактора потребуется замена двигателя, .
     

    4. При обследовании двух одинаковых групп мужчин и женщин было установлено, что среди мужчин 5 % дальтоников, а женщин — 0,25 %. Найти вероятность того, что наугад выбранное лицо:
    а) страдает дальтонизмом;
    б) является мужчиной, если известно, что оно страдает дальтонизмом.
    Решение.
    а) Пусть событие А состоит в том, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. При этом возможны следующие гипотезы:-выбранное лицо является мужчиной; — выбранное лицо является женщиной.
       Из условий задачи находим:
     , согласно классическому определению вероятности. (так как имеем две одинаковые группы, то n=2 -общее число исходов, а выбор мужчины или женщины осуществляется только из одной группы, т.е. m=1 — благоприятствующий исход).
    Вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом, при условии, что оно является мужчиной равно 5%=0,05, т.е. .    
    Аналогично определяем вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом, при условии, что оно является женщиной равно 0,25%=0,0025, т.е. .    
    По формуле полной вероятности вычисляем вероятность того, что наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом:

    б) Условная вероятность произошедшего события А при осуществлении данной гипотезы

    5. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Найти вероятность того, что из случайно зафиксированных в этом месяце 8 дней дождливыми окажутся:
    а) три дня;
    б) не менее трех дней;
    в) не более трех дней.
    Решение.
    Наблюдения в условиях данной задачи являются независимыми. Вероятность выпадения дождя в любой день сентября p=12/30=0,4, а вероятность того, что в любой день сентября дождя не будет, q=1-p=1-0,4=0,6.
    того, что в n наблюдениях событие наступит m раз, определятся формулой биномиального распределения (формулой Бернулли):

    а) По условию задачи n=8, m=3, p=0,4, q=0,6. Тогда

    .

    б) Поскольку , то

     

    .

    в) Так как , то

    .

    6. На факультете 730 студентов. Вероятность дня рождения каждого студента в данный день равна 1/365. Вычислить вероятность того, что найдутся три студента, у которых дни рождения совпадают.
    Решение.
    В данном случае . Так как n велико, воспользуемся локальной

    теоремой Муавра-Лапласа: ,

    где . Значения функции находим из таблицы №1. Имеем:

    ,

    7. При измерении окружности груди у 25 спортсменов установлено, что у троих этот объем равен 88 см, у четверых — 92 см, у пятерых — 96 см, у шестерых — 98 см и у семи — 100 см. СВ Х — окружность груди спортсмена. Записать закон распределения СВ Х. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратичное отклонение σ(Х). Найти интегральную функцию распределения F(x) и построить ее график.
    Решение.
    Вероятность обнаружения среди 25 спортсменов троих с окружностью груди, равной 88 см, . Аналогично вероятность обнаружения среди 25 спортсменов четверых с окружностью груди 92 см и т.д. Получим закон распределения в виде следующей таблицы:

    X88929698100
    P0,120,160,200,240,28

    Далее находим:
    ,

    ,

    График функции F(x) приведен на рисунке:

    8. Дана функция распределения СВ Х

    Найти плотность распределения вероятностей , математическое ожидание , дисперсию и вероятность попадания СВ Х на отрезок [0,5;1,5]. Построить графики функций .
    Решение.
    Так как  , то
    Далее вычисляем:

    Графики функций и приведены на рисунке:

    9. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 12,5. Вероятность попадания СВ Х в интервал (10;15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания СВ Х в интервал (35;40)?
    Решение.
    Согласно формуле:

    где математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение с.в. Х.

    Находим:

    ,

    откуда

    Далее вычисляем:

     

    10. Вероятность некоторого события в каждом испытании из серии 9000 независимых испытаний равна 1/3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что частота этого события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01. Сравнить полученную оценку с результатом применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
    Решение.
    Неравенство Чебышева для СВ Х имеет вид:

    .

    Для данной задачи неравенство Чебышева записывается в виде:

    где

    Тогда

    Далее находим

    Здесь приняты следующие обозначения:
    .
    Согласно интегральной формуле Муавра-Лапласа, , где

    Аналогично . Тогда

    Таким образом, согласно неравенству Чебышева, имеем оценку

    , а по интегральной теореме Муавра-Лапласа
     

    ischanow.com

    Видео уроки по высшей математике: Теория вероятностей и статистика

    Комбинаторика

    Основные понятия теории вероятностей 8:44

    Аксиомы теории вероятностей 8:48

    Основные формулы комбинаторики 11:45

    Перестановки 8:53

    Перестановки с повторениями 6:41

    Размещения 9:02

    Сочетания 7:25

    Выбор с возвращением 6:49

    Задачи на комбинаторику 11:49

    Вероятность событий

    Несовместные события. Противоположные события 6:07

    Определение вероятности 9:43

    Умножение вероятностей. Условная вероятность 8:56

    Независимые события. Теорема умножения для независимых событий 9:20

    Задачи на сложение и умножение вероятностей 11:55

    Вероятность появления хотя бы одного события 9:50

    Задачи на появление хотя бы одного события 12:07

    Теорема сложения вероятностей совместных событий 7:13

    Задача на теорему сложения вероятностей (с шарами)-1 3:23

    Задача на теорему сложения вероятностей (с шарами)-2 2:15

    Примеры вычисления вероятностей 6:20

    Пример. Найти вероятность выбора синих шаров 2:16

    Теорема умножения вероятностей 7:59

    Задача на теорему умножения (задача с шарами) 2:13

    Геометрическая вероятность 5:12

    Формулы Бейеса (формулы Байеса) +док-во 4:18

    Полная вероятность. Формула Байеса (Бейеса). Пример 6:00

    Формула Бернулли 2:57

    Повторение испытаний Формула Бернулли 15:47

    Локальная предельная теорема Лапласа 6:54

    Интегральная теорема Лапласа 10:58

    Формула Пуассона 8:33

    Дискретные случайные величины

    Случайная величина и закон ее распределения 3:51

    Дискретная случайная величина и ее свойства. Пример 9:15

    Закон распределения дискретной случайной величины 7:40

    Математическое ожидание дискретной случайной и его свойства 16:11

    Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства 16:16

    Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины 4:01

    Математическое ожидание и дисперсия. Теория 5:17

    Закон Пуассона распределения случайной величины 2:02

    Биномиальный закон распределения случайной величины 2:57

    Биномиальное распределение 11:50

    Геометрическое и гипергеометрическое распределения 16:26

    Непрерывные случайные величины

    Непрерывная случайная величина и ее свойства 6:49

    Распределение непрерывной случайной величины 11:41

    Функция распределения непрерывной случайной величины 11:40

    Плотность распределения случайной величины 12:13

    Математическое ожидание непрерывной случайной 8:17

    Дисперсия непрерывной случайной величины 6:41

    Задачи на непрерывные случайные величины 11:04

    Равномерное распределение случайной величины 3:04

    Равномерное распределение 7:51

    Показательное распределение 6:28

    Нормальный закон распределения. Функция Лапласа 4:22

    Нормальное распределение 9:44

    Найти вероятность нормально распределенной величины 3:08

    Теорема Муавра-Лапласа 1:56

    Теорема Муавра-Лапласа в действии 2:16

    Функции случайных величин

    Функция одного случайного аргумента 10:37

    Функция двух случайных аргументов 9:45

    Распределения хи квадрат, Стьюдента, Фишера 7:46

    Закон больших чисел 8:37

    Центральная предельная теорема 10:01

    Распределение двух случайных величин 12:45

    Зависимые и независимые случайные величины 17:10

    Мода и медиана 2:16

    Пример: Найти моду случайной величины 2:59

    Пример: Найти медиану случайной величины 3:46

    Линейная регрессия 11:44

    Случайные функции 25:09

    Математическая статистика

    Основные понятия математической статистики 12:18

    Генеральное и групповое среднее 11:02

    Генеральная и выборочная дисперсия 14:55

    Групповая, межгрупповая и общая дисперсия 12:39

    Интервальные оценки 16:13

    Проверка гипотез 13:42

    Основы дисперсионного анализа 9:24

    Основы корреляционного анализа 8:48

    Метод Монте-Карло 12:43

    Использование математической статистики в экономике 17:07

     

    www.matem96.ru

    Высшая математика теория вероятности примеры решения задач

    Даны два ненулевых числа. Найти их сумму, разность, произведение и частное их квадратов. Язык Pascal. Попроси больше объяснений; Следить ? Отметить нарушение ? MariaSpecial 21.04.2013. Войти чтобы добавить комментарий.

    Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

    В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

    В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым) ?

    В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.

    На складе находятся 26 деталей из которых 13 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Пользуясь теоремой умножения вероятностей зависимых событий определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

    В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

    Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Используя формулу Байеса вычислить вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика.

    Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.

    Дано следующее распределение дискретной случайной величины Х

    Сколько нужно выполнить наблюдений, чтобы выборочное среднее отличалось от математического ожидания на величину равную 13, если по результатам предыдущих измерений известно среднее квадратическое равно 48. Пользуясь формулой для нахождения объема выборочной совокупности найти результат с надежностью равной 0.95, при этом значение функции Лапласа равно Ф(t)=0.475 и параметр t=1.96

    Случайная величина Y распределена по нормальному закону с математическим ожиданием A=75 и среднеквадратическим значением равным 28. Используя функцию Лапласа найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале [+147,+231]

    Множество других примеров по теории вероятности находится в соответствующих разделах лекций на нашем сайте в разделе Теория / Теория Вероятности

    Высшая математика теория вероятности примеры решения задач

    Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

    В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

    В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым) ?

    В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.

    На складе находятся 26 деталей из которых 13 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Пользуясь теоремой умножения вероятностей зависимых событий определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

    В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

    Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Используя формулу Байеса вычислить вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика.

    Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.

    Дано следующее распределение дискретной случайной величины Х

    Сколько нужно выполнить наблюдений, чтобы выборочное среднее отличалось от математического ожидания на величину равную 13, если по результатам предыдущих измерений известно среднее квадратическое равно 48. Пользуясь формулой для нахождения объема выборочной совокупности найти результат с надежностью равной 0.95, при этом значение функции Лапласа равно Ф(t)=0.475 и параметр t=1.96

    Случайная величина Y распределена по нормальному закону с математическим ожиданием A=75 и среднеквадратическим значением равным 28. Используя функцию Лапласа найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале [+147,+231]

    Множество других примеров по теории вероятности находится в соответствующих разделах лекций на нашем сайте в разделе Теория / Теория Вероятности

    Высшая математика теория вероятности примеры решения задач

    Теория вероятности: формулы и примеры решения задач

    «Случайности не случайны». Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

    Что такое теория вероятности?

    Теория вероятности – это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

    Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

    Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

    Со страниц истории

    Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

    Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

    Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

    Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

    Базовые понятия теории вероятностей. События

    Главным понятием этой дисциплины является «событие». События бывают трех видов:

      Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет). Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе). Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

    Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

    В практических заданиях события принято записывать словами.

    Одна из важнейших характеристик событий — их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

    Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

    Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

    Действия над событиями

    События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

    Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

    Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

    Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

    Задание 1: Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

    С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

    В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

    Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

    А1ВС1 – это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

    Собственно, вероятность

    Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события – это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

    Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

      Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

    Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

    А – собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А1.

    M – количество возможных благоприятных случаев.

    N – все события, которые могут произойти.

    Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

    В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

    К высшей математике

    Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

    Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого — со статистического (или частотного) определения вероятности.

    Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить Wn(A). Формула ничем не отличается от классической:

    Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая – согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

    Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

    А = «появление качественного товара».

    Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

    Немного о комбинаторике

    Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В — n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

    Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

    Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

    Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт – это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

    То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

    В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

    Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n — это все элементы, m – элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

    Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Рn = n!

    Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

    Формула Бернулли

    В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов — формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

    Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

    Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица – это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q – число, которое обозначает возможность ненаступления события.

    Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

    Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

    Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

    А = «посетитель совершит покупку».

    В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

    N = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

    Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

    Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

    После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

    Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

    Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

    Формула Пуассона

    Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

    При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

    Задание 3: На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

    Как видим, брак — это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

    А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

    Р = 0,0001 (согласно условию задания).

    N = 100000 (количество деталей).

    M = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

    Р100000(5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

    Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

    Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

    Теорема Муавра-Лапласа

    Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

    Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

    Задание 4: Рекламный агент раздает 800 листовок. Согласно статистическим исследованиям, каждая третья листовка находит своего потребителя. Какова вероятность того, что сработает ровно 267 рекламных листовок?

    Сначала найдем Xm, подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

    Р800(267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

    Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

    Формула Байеса

    Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

    Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

    А и В являются определенными событиями.

    Р(А|B) – условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

    Р (В|А) – условная вероятность события В.

    Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» — формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

    Задание 5: На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором – 60%, на третьем – 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй – 4%, и у третьей – 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

    А = «случайно взятый телефон».

    В1 – телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В2 и В3 (для второй и третьей фабрик).

    В итоге получим:

    Р (В1) = 25%/100% = 0,25; Р(В2) = 0,6; Р (В3) = 0,15 – таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

    Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

    Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

    Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

    В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

    poiskvstavropole.ru

    Теория вероятностей — WiKi

      Христиан Гюйгенс
      Андрей Николаевич Колмогоров

    Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей[1]. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год)[2].

    Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний.

    В XVIII веке важное значение для развития теории вероятностей имели работы Томаса Байеса, сформулировавшего и доказавшего Теорему Байеса.

    В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Карл Гаусс детально исследовал нормальное распределение случайной величины (см. график выше), также называемое «распределением Гаусса».

    Во второй половине XIX века значительный вклад внес ряд европейских и русских учёных: П. Л. Чебышёв, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова.

    Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

    ru-wiki.org