Таблица квадратных уравнений – Решение квадратных уравнений по формуле — ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ — КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ — ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ ПО АЛГЕБРЕ 8 КЛАСС — Поурочные планы — разработки уроков — авторские уроки — план-конспект урока
Справочная таблица по теме: Квадратные уравнения
Квадратные уравнения.
Квадратным уравнением называется уравнение вида где х – переменная, a,b,c – некоторые числа, причем а ≠ 0.
Числа a,b,c – коэффициенты квадратного уравнения.
Число а называют первым коэффициентом,
число b – вторым коэффициентом,
число с – свободным членом.
Н,
а = 2; b = 3; с = 4. а = — 4; b = — 6; с = 7.
Алгоритм решения квадратных уравнений:
вычислить дискриминант (D = b² — 4ac)
и сравнить его с нулем;
а) если D > 0, то уравнение имеет два корня:
б) если D = 0, то уравнение имеет один корень: 
в) если D < 0, то уравнение
Решить уравнение:
Решить уравнение:
Решить уравнение:
Уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
infourok.ru
Решение квадратного уравнения в Excel
Для решения квадратного уравнения необходимо знать формулу и алгоритм нахождения квадратов уравнения
Шаг 1. Организация таблицы
На первом этапе мы организуем таблицу для ввода данных коэффициентов a,b и c.
- a называют первым или старшим коэффициентом,
- b называют вторым или коэффициентом при x,
- c называют свободным членом.
Шаг 2. Проверка равенства Дискриминанта.
Для того, чтобы вычислить корни уравнения второй степени, необходимо определить значение Дискриминанта.
Формула дискриминанта
D = b2 — 4ac
Вычисление корней уравнения второй степени происходит по формулам при условии величины Дискриминанта
| Условие | D > 0 | D = 0 | D < 0 |
| Число действительных корней | корней два | корень один | Нет решения |
| Формула | X1,2=(- b ±√ (b2 — 4 * a * c)) / (2 * a) | X1=X2=-b/(2*a) |
Шаг 3. Вычисляем корни уравнения.
После определения значения Дискриминанта используем выше приведенные формулы для нахождения корней.
Находим первый корень
Находим второй корень. Формула будет отличаться только в одном знаке.
wpcalc.com
Формулы корней квадратных уравнений — математика, уроки
Урок с использованием ИКТ (8 класс)
Тема урока: Формулы корней квадратных уравнений
Цель:
- закрепить решение квадратных уравнений по формуле,
- способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов,
- развивать самостоятельность и творчество.
- математический диктант (Презентация 1),
- карточки с разноуровневыми заданиями для самостоятельной работы,
- таблица формул для решения квадратных уравнений(в уголке «В помощь к уроку»),
- распечатка «Старинной задачи» (количество учащихся),
- балльно-рейтинговая таблица на доске.
Общий план:
- Проверка домашнего задания
- Математический диктант.
- Устные упражнения.
- Решение упражнений на закрепление.
- Самостоятельная работа. Историческая справка.
Ход урока.
- Оргмомент.
- Проверка домашнего задания.
— Ребята, с какими уравнениями мы по познакомились на прошедших уроках?
— Какими способами можно решать квадратные уравнения?
— Дома вы должны были решить 1 уравнение двумя способами.
(Уравнение давалось 2-х уровней, рассчитанное на слабых и сильных учеников)
— Давайте вместе со мной проверим. как вы справились с заданием.
(на доске учитель до урока делает запись решения дом. задания)
Ученики проверяют и делают вывод: неполные квадратные уравнения легче решать разложением на множители или обычным способом, полные – по формуле.
Учитель подчеркивает:
— Сегодня на уроке мы продолжим с вами заниматься решением квадратных уравнений. Урок у нас будет необычный, потому что сегодня вас не только я буду оценивать, но и вы сами. Чтобы заработать хорошую оценку и успешно справиться с самостоятельной работой, вы должны заработать как можно больше баллов. По одному баллу, я думаю, вы уже заработали, справившись с домашним заданием.
— А теперь я хочу, чтобы вы вспомнили и еще раз повторили определения и формулы, изученные нами по данной теме.(Ответы учащихся оцениваются 1 баллом за правильный ответ, и 0 баллов — неправильный
— А сейчас, ребята, мы с вами выполним математический диктант, внимательно и быстро читайте задание на мониторе компьютера. (Презентация 1)
Учащиеся выполняют работу, и с помощью ключа оценивают свою деятельность.
Математический диктант.
- Квадратным уравнением называют уравнение вида…
- В квадратном уравнении 1-й коэффициент -…, 2-й коэффициент -…, свободный член — …
- Квадратное уравнение называют приведенным, если…
- Напишите формулу вычисления дискриминанта квадратного уравнения
- Напишите формулу вычисления корня квадратного уравнения, если корень в уравнении один.
- При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?
(самопроверка с помощью ПК, за каждый правильный ответ — 1 балл).
4. Устные упражнения. (на обратной стороне доски)
— Назовите сколько корней имеет каждое уравнение? (задание также оценивается в 1 балл)
1. (х — 1)(х +11) = 0;
2. (х – 2)² + 4 = 0;
3. (2х – 1)(4 + х) = 0;
4. (х – 0.1)х = 0;
5. х² + 5 = 0;
6. 9х² — 1 = 0;
7. х² — 3х = 0;
8. х + 2 = 0;
9. 16х² + 4 = 0;
10. 16х² — 4 = 0;
11. 0,07х² = 0.
5. Решение упражнений на закрепление материала.
Из предложенных на мониторе ПК уравнений выполняются самостоятельно(СD-Алгебра 7-9.(А-13)
№25.16 (б)- у доски.
№ 25.16 (г)-сам-но, с последующей проверкой (в режиме ОНЛАЙН)
№ 25.37(г)- у доски
- Самостоятельная работа в 2-х вариантах.
Кто набрал 5 и более баллов начинают самостоятельную работу с №5.
Кто набрал 3 и менее – с №1.
Вариант 1.
№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.
а) 3х² + 6х – 6 = 0, б) х² — 4х + 4 = 0, в) х² — х + 1 = 0.
№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 поформуле
D = b² — 4ac
а) 5х² — 7х + 2 = 0,
D = b² — 4ac
D= (-7²) – 4· 5 · 2 = 49 – 40 = …;
б) х² — х – 2 = 0,
D = b² — 4ac
D = (-1) ² — 4 · 1· (-2) = …;
№3. Закончите решение уравнения
3х² — 5х – 2 = 0.
D = b² — 4ac
D = (-5) ² — 4· 3·(-2) = 49.
х = …
№4. Решите уравнение.
а) (х — 5)(х + 3) = 0; б) х² + 5х + 6 = 0
№5. Приведите уравнение к квадратному и решите его:
(x
№6. При каком значении а уравнение х² — 2ах + 3 = 0 имеет один корень?
Вариант 2.
№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.
а) 4х² — 8х + 6 = 0, б) х² + 2х — 4 = 0, в) х² — х + 2 = 0.
№2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по формуле
D = b² — 4ac.
а) 5х² + 8х — 4 = 0,
D = b² — 4ac
D = 8² – 4· 5 · (- 4) = 64+ 80 = …;
б) х² — 6х + 5 = 0,
D = b² — 4ac
D = (-6) ² — 4 · 1· 5 = …;
№3. Закончите решение уравнения
х² — 6х + 5 = 0.
D = b² — 4ac
D = (-6 ) ² — 4· 1·5 = 16.
х = …
№4. Решите уравнение.
а) (х + 4)(х — 6) = 0; б) 4х² — 5х + 1 = 0
№5. Приведите уравнение к квадратному и решите его:
(3x-1)(x+3)+1=x(1+6x)
№6. При каком значении а уравнение х² + 3ах + а = 0 имеет один корень.
- Итог урока.
Подведение итогов по результатам балльно — рейтинговой таблицы.
Историческая справка и задача.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого математика Индии 12 века Бхаскары:
Обезьянок резвых стая Всласть поевши развлекалась, Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась. А 12 по лианам…Стали прыгать, повисая.Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
VII. Домашнее задание.
Предлагается решить данную историческую задачу и оформить её на отдельных листах, с рисунком.
№ 25.36 (в,г)
№ 25.37 (б)
Просмотр содержимого документа
«Формулы корней квадратных уравнений »
Урок с использованием ИКТ (8 класс)
Тема урока: Формулы корней квадратных уравнений
Цель:
закрепить решение квадратных уравнений по формуле,
способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов,
развивать самостоятельность и творчество.
Оборудование:
математический диктант (Презентация 1),
карточки с разноуровневыми заданиями для самостоятельной работы,
таблица формул для решения квадратных уравнений(в уголке «В помощь к уроку»),
распечатка «Старинной задачи» (количество учащихся),
балльно-рейтинговая таблица на доске.
Общий план:
Проверка домашнего задания
Математический диктант.
Устные упражнения.
Решение упражнений на закрепление.
Самостоятельная работа. Историческая справка.
Ход урока.
Оргмомент.
Проверка домашнего задания.
— Ребята, с какими уравнениями мы по познакомились на прошедших уроках?
— Какими способами можно решать квадратные уравнения?
— Дома вы должны были решить 1 уравнение двумя способами.
(Уравнение давалось 2-х уровней, рассчитанное на слабых и сильных учеников)
— Давайте вместе со мной проверим. как вы справились с заданием.
(на доске учитель до урока делает запись решения дом. задания)
Ученики проверяют и делают вывод: неполные квадратные уравнения легче решать разложением на множители или обычным способом, полные – по формуле.
Учитель подчеркивает: не зря способ решения кв. уравнений по формуле называют универсальным.
Повторение.
— Сегодня на уроке мы продолжим с вами заниматься решением квадратных уравнений. Урок у нас будет необычный, потому что сегодня вас не только я буду оценивать, но и вы сами. Чтобы заработать хорошую оценку и успешно справиться с самостоятельной работой, вы должны заработать как можно больше баллов. По одному баллу, я думаю, вы уже заработали, справившись с домашним заданием.
— А теперь я хочу, чтобы вы вспомнили и еще раз повторили определения и формулы, изученные нами по данной теме.(Ответы учащихся оцениваются 1 баллом за правильный ответ, и 0 баллов — неправильный)
— А сейчас, ребята, мы с вами выполним математический диктант, внимательно и быстро читайте задание на мониторе компьютера. (Презентация 1)
Учащиеся выполняют работу, и с помощью ключа оценивают свою деятельность.
Математический диктант.
Квадратным уравнением называют уравнение вида…
В квадратном уравнении 1-й коэффициент -…, 2-й коэффициент -…, свободный член — …
Квадратное уравнение называют приведенным, если…
Напишите формулу вычисления дискриминанта квадратного уравнения
Напишите формулу вычисления корня квадратного уравнения, если корень в уравнении один.
При каком условии квадратное уравнение не имеет корней?
(самопроверка с помощью ПК, за каждый правильный ответ — 1 балл).
Устные упражнения. (на обратной стороне доски)
— Назовите сколько корней имеет каждое уравнение? (задание также оценивается в 1 балл)
1. (х — 1)(х +11) = 0;
2. (х – 2)² + 4 = 0;
3. (2х – 1)(4 + х) = 0;
4. (х – 0.1)х = 0;
5. х² + 5 = 0;
6. 9х² — 1 = 0;
7. х² — 3х = 0;
8. х + 2 = 0;
9. 16х² + 4 = 0;
10. 16х² — 4 = 0;
11. 0,07х² = 0.
5. Решение упражнений на закрепление материала.
Из предложенных на мониторе ПК уравнений выполняются самостоятельно(СD-Алгебра 7-9.(А-13)
№25.16 (б)- у доски.
№ 25.16 (г)-сам-но, с последующей проверкой (в режиме ОНЛАЙН)
№ 25.37(г)- у доски
Самостоятельная работа в 2-х вариантах.
Кто набрал 5 и более баллов начинают самостоятельную работу с №5.
Кто набрал 3 и менее – с №1.
Вариант 1.
№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c. а) 3х² + 6х – 6 = 0, б) х² — 4х + 4 = 0, в) х² — х + 1 = 0. №2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 поформуле D = b² — 4ac. а) 5х² — 7х + 2 = 0, D = b² — 4ac D= (-7²) – 4· 5 · 2 = 49 – 40 = …; б) х² — х – 2 = 0, D = b² — 4ac D = (-1) ² — 4 · 1· (-2) = …; №3. Закончите решение уравнения 3х² — 5х – 2 = 0. D = b² — 4ac D = (-5) ² — 4· 3·(-2) = 49. х = … №4. Решите уравнение. а) (х — 5)(х + 3) = 0; б) х² + 5х + 6 = 0 №5. Приведите уравнение к квадратному и решите его: а) ; б) (x+4)(2x-1)=x(3x+11) №6. Решите уравнение x2+2 №7. При каком значении а уравнение х² — 2ах + 3 = 0 имеет один корень?
|
Вариант 2.
№1. Для каждого уравнения вида ax² + bx + c = 0 укажите значения a, b, c. а) 4х² — 8х + 6 = 0, б) х² + 2х — 4 = 0, в) х² — х + 2 = 0. №2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 по формуле D = b² — 4ac. а) 5х² + 8х — 4 = 0, D = b² — 4ac D = 8² – 4· 5 · (- 4) = 64 – 80 = …; б) х² — 6х + 5 = 0, D = b² — 4ac D = (-6) ² — 4 · 1· 5 = …; 3№. Закончите решение уравнения х² — 6х + 5 = 0. D = b² — 4ac D = (-6 ) ² — 4· 1·5 = 16. х = … №4. Решите уравнение. а) (х + 4)(х — 6) = 0; б) 4х² — 5х + 1 = 0 №5. Приведите уравнение к квадратному и решите его: а) ; б) (3x-1)(x+3)+1=x(1+6x) №6. Решите уравнение x2+4 №7. При каком значении а уравнение х² + 3ах + а = 0 имеет один корень. |
Итог урока.
Подведение итогов по результатам балльно — рейтинговой таблицы.
Историческая справка и задача.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого математика Индии 12 века Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
VII. Домашнее задание.
Предлагается решить данную историческую задачу и оформить её на отдельных листах, с рисунком.
№ 25.36 (в,г)
№ 25.37 (б)
ПРИЛОЖЕНИЕ
№ | Ф.И. учащегося | Виды деятельности | ИТОГ | ||||
Домашнее задание | Диктант | Устные упражнения | Закрепление материала | ||||
Работа ПК | Работа у доски | ||||||
1 | Иванов И. | ||||||
2 | Федоров Г. | ||||||
3 | Яковлева Я. | ||||||
… | |||||||
Максимальное количество – 22-23 балла.
Минимальное – 3-5 баллов
3-10 баллов – оценка «3»,
11-20 баллов – оценка «4»,
21-23 баллов – оценка «5»
kopilkaurokov.ru
| Слайд №2 | |
| Какое уравнение называется квадратным? Формула для вычисления дискриминанта. Формулы для нахождения корней. Определение неполного квадратного уравнения. Решение неполных квадратных уравнений. Теорема Виета . Корни квадратного уравнения для чётного b. Особые случаи. Проверь себя. Старинная индийская задача | |
| Слайд №3 | |
| Определение: Квадратное уравнение — это уравнение вида aх2+ bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ? 0. Квадратные уравнения можно условно разделить на три класса: Не имеют корней; Имеют ровно один корень; Имеют два различных корня. | |
| Слайд №4 | |
| Дискриминант D = b2? 4ac. Если D 0, корней будет два. | |
| Слайд №5 | |
| Корни квадратного уравнения | |
| Слайд №6 | |
| Неполные квадратные уравнения Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю. | |
| Слайд №7 | |
| Решение неполных квадратных уравнений | |
| Слайд №8 | |
| Теорема Виета ax2+bx+c=0 Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням. | |
| Слайд №9 | |
| Корни квадратного уравнения для чётного b ax2+2kx+c=0 | |
| Слайд №10 | |
| Особые случаи: ax2+bx+c=0 если a+b+c = 0, то х1 = 1, а х2 =c/a . ax2+bx+c=0 | |
| Слайд №11 | |
| Сколько корней имеют квадратные уравнения: x2 ? 8x + 12 = 0; 5×2 + 3x + 7 = 0; x2 ? 6x + 9 = 0. | |
| Слайд №12 | |
| Решение Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:a = 1, b = ?8, c = 12;D = (?8)2 ? 4 · 1 · 12 = 64 ? 48 = 16 Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:a = 5; b = 3; c = 7;D = 32 ? 4 · 5 · 7 = 9 ? 140 = ?131. Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:a = 1; b = ?6; c = 9;D = (?6)2 ? 4 · 1 · 9 = 36 ? 36 = 0. Дискриминант равен нулю — корень будет один. Ответ1) 2 корня; 2) нет корней; 3) один корень. | |
| Слайд №13 | |
| Решить квадратные уравнения: а)x2 ? 2x ? 3 = 0; б)15 ? 2x ? x2 = 0; в) x2 + 12x + 36 = 0. | |
| Слайд №14 | |
| Решение | |
| Слайд №15 | |
| Решение: | |
| Слайд №16 | |
| Решение: | |
| Слайд №17 | |
| Решить неполные квадратные уравнения: а)x2 ? 7x = 0; б)5×2 + 30 = 0; в)4×2 ? 9 = 0. | |
| Слайд №18 | |
| Решение: а)x2 ? 7x = 0 ? x · (x ? 7) = 0 ? x1 = 0; x2 = ?(?7)/1 = 7. б)5×2 + 30 = 0 ? 5×2 = ?30 ? x2 = ?6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу. в)4×2 ? 9 = 0 ? 4×2 = 9 ? x2 = 9/4 ? x1 = 3/2 = 1,5; x2 = ?1,5. Ответ: а) x1 = 0; x2 = 7; б) корней нет; в) x1 = 1,5; x2 = 1,5. | |
| Слайд №19 | |
| Решите уравнения 2х?-5х+3=0 4х?+7х+3=0 3х?+4х-7=0 2х?-5х-7=0 -9х?+8х+1=0 -3х?+5х+8=0 | |
| Слайд №20 | |
| Таблица для первой группы а в с а+в+с 2 -5 3 2-5+3=0 1 3 4 -7 3+4-7=0 1 -9 8 1 -9+8+1=0 1 | |
| Слайд №21 | |
| Таблица для второй группы а в с а+в+с 4 7 3 4+3=7 -1 2 -5 -7 2-7+-5 -1 -3 5 8 -3+8=-5 -1 | |
| Слайд №22 | |
| Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать повисая… Сколько было обезьянок Ты скажи мне, в этой стае?. | |
| Слайд №23 | |
| Решение задачи Бхаскары | |
| Слайд №24 | |
| Успехов вам при решении квадратных уравнений | |
volna.org
Дискриминант квадратного уравнения
Квадратное уравнение это уравнение которое выглядит как ax2 + dx + c = 0. В нем значение а,в и с любые числа, при этом а не равно нулю.
Все квадратные уравнения разделяются на несколько видов, а именно:
-Уравнения в которых только один корень.
-Уравнения с двумя разными корнями.
-Уравнения в которых корней нет совсем.
Это и различает линейные уравнения в которых корень всегда единый, от квадратных. Для того что бы понять какое количество корней в выражении и нужен Дискриминант квадратного уравнения.
Допустим наше уравнение ax2 + dx + c =0. Значит дискриминант квадратного уравнения —
D = b2 — 4 ac
И это нужно запомнить навсегда. С помощью этого уравнения мы и определяем количество корней в квадратном уравнении. И делаем мы это следующим образом:
— Когда D меньше нуля, в уравнении нет корней.
— Когда D равно нулю, имеется только один корень.
— Когда D больше нуля, соответственно, в уравнении два корня.
Запомните что дискриминант показывает сколько корней в уравнении, не меняя знаков.
Рассмотрим для наглядности:
Нужно выяснить какое количество корней в данном квадратном уравнении.
1) х2 — 8х + 12 = 0
2 )5х2 + 3х + 7 = 0
3) х2-6х + 9 = 0
Вписываем значения в первое уравнение, находим дискриминант.
а = 1, b = -8, c = 12
D = (-8)2 — 4 * 1 * 12 = 64 — 48 = 16
Дискриминант со знаком плюс, значит в данном равенстве два корня.
Делаем тоже самое со вторым уравнением
a = 1, b = 3, c = 7
D = 32 — 4 * 5 * 7 = 9 — 140 = — 131
Значение минусовое, значит корней в данном равенстве нет.
Следующее уравнение разложим по аналогии.
а = 1, b = -6, с = 9
D = (-6)2— 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0
как следствие имеем один корень в уравнении.
Важно что в каждом уравнении мы выписывали коэффициенты. Конечно это не много длительный процесс, но это помогло нам не запутаться и предотвратило появление ошибок. Если очень часто решать подобные уравнения, то вычисления сможете производить мысленно и заранее знать сколько у уравнения корней.
Рассмотрим еще один пример:
1) х2 — 2х — 3 = 0
2) 15 — 2х — х2 = 0
3) х2 + 12х + 36 = 0
Раскладываем первое
а = 1, b = -2, с = -3
D =(-2) 2 — 4 * 1 * (-3) = 16, что больше нуля, значит два корня, выведем их
х1 = 2+?16/2 * 1 = 3, х2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
Раскладываем второе
а = -1, b = -2, с = 15
D = (-2)2 — 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, что больше нуля и так же имеет два корня. Выведем их:
х1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, х2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
Раскладываем третье
а = 1, b = 12, с = 36
D = 12 2 — 4 * 1 * 36 =0, что равно нулю и имеет один корень
х = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Решать данные уравнения не сложно.
Если нам дано неполное квадратное уравнение. Такое как
1х2 + 9х = 0
2х2 — 16 = 0
Данные уравнения отличаются от тех что были выше, так как оно не полное, в нем нет третьего значения. Но не смотря на это оно проще чем полное квадратное уравнение и в нем дискриминант искать не нужно.
Что делать когда срочно нужна дипломная работа или реферат, а времени на его написание нет? Всё это и многое другое можно заказать на сайте Deeplom.by (http://deeplom.by/) и получить высший балл.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Различные способы решения квадратных уравнений
I Ашинский районный конкурс реферативно-исследовательских работ
для учащихся 5-8 классов
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
(Математика. Информатика.)
Автор: Бобылькова Ксения,
8А кл, МОУ СОШ№2, г. Сим
Научный руководитель:
Козлова Юлия Евгеньевна,
учитель математики
первой категории
Аша 2011
Содержание
Введение стр. 3
Различные способы решения квадратных уравнений:
1) Разложение левой части уравнения на множители стр. 4
2) Метод выделения полного квадрата стр. 4
3) Решение квадратных уравнений по формуле стр. 4
4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета стр. 5
5) Решение уравнений способом переброски стр. 6 6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения стр. 7
7) Графическое решение квадратного уравнения стр. 8
8) Решение квадратных уравнений с помощью номограммы стр. 10
Заключение стр. 11
Литература стр. 12
В этом учебном году на уроках алгебры мы познакомилась с квадратными уравнениями. Сначала я узнала, что некоторые квадратные уравнения можно решить способом разложения левой части на множители, потом оказалось, что выделение полного квадрата двучлена тоже поможет решить квадратное уравнение. Затем я научилась решать любое квадратное уравнение с помощью специальных формул. И здесь я задумалась: наверняка, существуют еще и другие способы решения квадратных уравнений. И я поставила перед собой цель: повысить уровень знаний в области решения квадратных уравнений. Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:
найти и изучить различные способы решения квадратных уравнений;
научиться выбирать рациональный способ;
научиться самостоятельно приобретать и применять знания, использовать различные источники информации и современные информационные технологии.
Актуальность этой темы для меня состоит в том, что квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач, как в области математики, так и в области физики и химии. Овладев многими способами решения квадратного уравнения, я научусь выбирать наиболее рациональный метод для каждого уравнения и не буду тратить лишнее время, например, на экзамене в 9 классе, на ЕГЭ, в различных других жизненных ситуациях.
Гипотеза: при изучении различных способов решения квадратного уравнения смогу ли я найти такие, которые помогут не прибегать к традиционному решению по формулам, а найти корни рациональнее и быстрее.
В своей работе способы буду излагать в той последовательности, в которой я с ними знакомилась.
1. Разложение левой части уравнения на множители.
Решим уравнение
х2 + 10х — 24 = 0.
Разложим левую часть на множители:
х2 + 10х — 24 = х2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х — 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = — 12. Это означает, что числа 2 и — 12 являются корнями уравнения
х2 + 10х — 24 = 0.
2. Метод выделения полного квадрата.
Решим уравнение х2 + 6х — 7 = 0.
Выделим в левой части полный квадрат.
Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
В полученном выражении первое слагаемое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как
х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х2 + 6х — 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:
х2 + 6х — 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 — 32 — 7 = (х + 3)2 — 9 — 7 = (х + 3)2 — 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 — 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 — 4 =, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.
3. Решение квадратных уравнений по формуле.
Умножим обе части уравнения
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0
на 4а и последовательно имеем:
4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ах • b + b2) — b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 — 4ac,
2ax + b = ± √ b2 — 4ac,
2ax = — b ± √ b2 — 4ac,
(1)
Если второй коэффициент в = 2k – четное число, то формулу корней можно записать
4.Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
А. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х2 + px + q = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и qможно предсказать знаки корней).
а) Если свободный член qприведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.
Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.
Например,
х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3 <0;
х2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.
б) Если свободный член qприведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.
Например,
х2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5<0 и p = 4 > 0;
х2 – 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9<0 и p = – 8 >0.
Б. Теорема Виета для квадратного уравнения ах2 +вх +с = 0
имеет вид
Справедлива теорема, обратная теореме Виета:
Если числа х1 и х2 таковы, что х1+х2 = -р, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения
х2 +рх + q = 0.
Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.
Примеры
1. Решить уравнение
х2 – 9х + 14 =0
Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что
х1 +х2 = 9
х1х2 = 14
Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.
2. Решить уравнение
х2 +3х – 28 = 0
Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что
х1 +х2 = — 3
х1х2 = — 28
Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.
5. Решение уравнений способом «переброски».
Рассмотрим квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а2х2 + аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению
у2 + by + ас = 0,
равносильно данному. Его корни у1и у2 найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно получаем
х1 = у1/а и х2 = у2/а.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Пример.
Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11у + 30 = 0.
Согласно теореме Виета
у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5
у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.
Ответ: 2,5; 3.
6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Пусть дано квадратное уравнение 
1. Если а + в + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то
Доказательство: Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение 
Согласно теореме Виета 
По условию а + в + с = 0, откуда в = — а – с. Значит, 
Получаем 
что и требовалось доказать.
2. Если а – в + с = 0, или в = а + с, то 
Доказательство: По теореме Виета
По условию а – в + с = 0, откуда в = а + с. Таким образом,
т.е. 
что и требовалось доказать.
3. Если в уравнении
Доказательство: Действительно, приведем это уравнение к приведенному
Запишем уравнение в виде
Уравнение, записанное в таком виде, позволяет сразу получить корни
4. Если а = — с = m·n, в = m2 – n2 , то корни имеют разные знаки, а именно:
Знаки перед дробями определяются знаком второго коэффициента.
Часто эти свойства используются, если коэффициентами являются большие числа.
Примеры:
1. 2008х2 — 2009х+1=0
Решение: т. к. а + в + с = 0 (2008 – 2009 +15 =0), то 
Ответ: 1; 
.
2.
Решение: так как 7 – 5 – 2 = 0, то 
Ответ: 
3. 132х2+247х+115=0
Решение: т. к. а – в + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то Ответ: 
4.
Решение: так как 5 – (-2) + 7 = 0, то 
Ответ: 
5.
Решение: здесь 6 = 3·2, 13 = 32 + 22. Корни этого уравнения 
Ответ: —
6.
Решение: здесь 6 = 3·2, но 5 = 32 – 22 и 
Ответ: 
7.Графическое решение квадратного уравнения.
Если в уравнении перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
Построим графики зависимостей 
и
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая (рис.1).
Возможны следующие случаи:
— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
— прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка ), т.е. уравнение имеет одно решение;
— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
y=-рх-q
у=х2
Примеры:
1.Решить графически
уравнение
Решение: см. рис.2.
Запишем уравнение в виде
Построим параболу и прямую Прямую можно построить по двум точкам М(0;4) и N(3;13). Прямая и парабола
пересекаются в двух точках А и В
с абсциссами х1 = — 1 и х2 = 4.
Ответ: -1; 4.
2. Решить графически уравнение
Решение: см. рис. 3. Запишем уравнение в виде
Построим параболу и прямую Прямую построим по двум точкам М(0;-1) и N
.
Прямая и парабола пересекаются в точке А с абсциссой х =1. Ответ: 1.
3.Решить графически уравнение Решение: см. рис. 4.
Запишем уравнение в виде
Построим параболу и прямую. Прямую построим по двум точкам М(0;-5)и N(2,5;0). Прямая и парабола не имеют общих точек пересечения,
т.е. данное уравнение не имеет корней Ответ: нет решений.
8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990).
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Рис.5
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.5):
Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
Примеры.
1) Для уравнения z2 — 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0 и z2 = 1,0
2) Решим с помощью номограммы уравнение
2z2 — 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z2 — 4,5z + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.
3) Для уравнения z2 — 25z + 66 = 0
коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t2 — 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда
z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0
Изучая дополнительную литературу, я узнала, что можно решить квадратное уравнение еще и с помощью циркуля и линейки, а также геометрическим способом. Но в своей работе я их не осветила, т. к. они не приводят к более рациональному решению. Я изучила десять способов решения квадратных уравнений: от всеми известного с помощью вычисления дискриминанта и корней по формулам до очень интересного с помощью номограммы. Я пришла к выводу, что приступая к решению любого квадратного уравнения, не следует спешить прибегать к традиционному способу решения. Используя теорему Виета и свойства коэффициентов, можно гораздо быстрее найти корни уравнения и не тратить лишнее время. Я очень рада, что их изучила и буду использовать. Гипотеза, поставленная в начале работы, подтвердилась.
В то время, когда я углублялась в эту тему, я провела исследование: узнала, сколько старшеклассников нашей школы используют те или иные способы решения квадратных уравнений (результаты см. в приложении 1).
Кроме того, меня посетила идея: воспользоваться электронной таблицей EXCEL. Я сумела привлечь информационные технологии для решения квадратных уравнений. Достаточно только ввести коэффициенты и программа выдает корни уравнения.
На этом моя работа не закончится, я продолжу искать другие способы решения квадратных уравнений. А далее меня ждут еще уравнения с модулем и уравнения с параметрами. Я думаю, погружаясь в различные способы решения этих уравнений, я найду для себя тоже много нового и познавательного. Но это уже темы других работ.
Литература:
1. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. — М., Просвещение, 1990.
2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.
3. Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, 1982.
4. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. «Просвещение» 1990 .
5. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/1996, 10/1997, 24/1997, 40/2000.
6. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. — М., Просвещение, 1972.
7. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. — 4-е, дополн. — М., Высшая школа, 1973.
8. Энциклопедический словарь юного математика. — М., Педагогика, 1985.
Приложение.
Проанализировав исследования, я сделала вывод, что из 120 учащихся 9-11 классов 100% используют формулы для решения квадратных уравнений, от 38% до 73% учащихся используют другие способы, изучаемые в школьном курсе алгебры, а свойства коэффициентов и способ «переброски», которые могут ускорить решение уравнения используют всего 9% и 1% учащихся соответственно.
www.metod-kopilka.ru