Сходящаяся числовая последовательность – Числовая последовательность — это… Что такое Числовая последовательность?

Содержание

Понятие числовой последовательности

Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Если функцию задать на множестве натуральных чисел, то множество значений функции будет счетным и каждому номеруставится в соответствие число. В этом случае говорят, что заданачисловая последовательность. Числаназываютэлементамиили членами последовательности, а число– общим или–м членом последовательности. Каждый элемент

имеет последующий элемент. Это объясняет употребление термина «последовательность».

Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов , либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером, т.е. указанием формулы ее‑го члена.

Пример. Последовательностьможет быть задана формулой:.

Обычно последовательности обозначаются так: и т.п., где в скобках указывается формула ее

-го члена.

Пример. Последовательностьэто последовательность

Множество всех элементов последовательности обозначается.

Пусть и‑ две последовательности.

Суммой последовательностейиназывают последовательность

, где, т.е..

Разностьюэтих последовательностей называют последовательность, где, т.е..

Если и постоянные, то последовательность ,называютлинейной комбинациейпоследовательностейи, т.е.

.

Произведениемпоследовательностей

иназывают последовательность с-м членом, т.е..

Если , то можно определитьчастное.

Сумма, разность, произведение и частное последовательностей иназываются ихалгебраическимикомпозициями.

Пример. Рассмотрим последовательности и

, где. Тогда, т.е. последовательностьимеет все элементы, равные нулю.

, , т.е. все элементы произведения и частного равны.

Если вычеркнуть некоторые элементы последовательности так, чтобы осталось бесконечное множество элементов, то получим другую последовательность, называемуюподпоследовательностьюпоследовательности. Если вычеркнуть несколько первых элементов последовательности

, то новую последовательность называютостатком.

Последовательность ограниченасверху(снизу), если множествоограничено сверху (снизу). Последовательность называютограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

Сходящиеся последовательности

Говорят, что последовательность сходится, если существует числотакое, что для любогосуществует такое

, что для любого, выполняется неравенство:.

Число называютпределом последовательности. При этом записываютили.

Пример..

Покажем, что . Зададим любое число. Неравенствовыполняется для, такого, что

, что определение сходимости выполняется для числа. Значит,.

Иными словами означает, что все члены последовательностис достаточно большими номерами мало отличается от числа, т.е. начиная с некоторого номера(при) элементы последовательности находятся в интервале, который называется

–окрестностью точки.

Последовательность , предел которой равен нулю (, илипри) называетсябесконечно малой.

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

  • Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;

  • Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема.Для того чтобы последовательность

имела предел, необходимо и достаточно чтобы, где– постоянная;– бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

  1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел;

  2. Сходящаяся последовательность ограничена;

  3. Если , то;

  4. При любых постоянных и;

  5. ;

  6. Если

    , то;

  7. Если , то;

  8. Если и, то;

  9. Если , то.

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней , предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степеничислителя и знаменателя).

Последовательность называется:

  • возрастающей, если ;

  • строго возрастающей, если ;

  • убывающей, если ;

  • строго убывающей, если .

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема.Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

studfiles.net

Числовая последовательность и ее предел

Определения числовых последовательностей

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел , следующих одно за другим в определенном порядке и построенных по определенному закону, с помощью которого задается как функция целочисленного аргумента , то есть .

Если число – это предел последовательности , то это обозначают как , или при , или

Теоремы числовых последовательностей

ТЕОРЕМА 1

Числовая последовательность не может иметь более одного предела.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. В противном случае числовая последовательность называется расходящейся.

Для сходящихся числовых последовательностей имеют место следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2 Предел суммы/разности двух последовательностей равен сумме/разности пределов от каждой из них, если последние существуют:

   

Пример:

   

ТЕОРЕМА 3 Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов от каждой из них, если пределы сомножителей существуют:

   

Пример:

   

ТЕОРЕМА Предел отношения двух последовательностей равен отношению пределов от каждой из них, если эти пределы существуют и предел знаменателя не равен нулю:

   

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Глава 42. Сходящиеся последовательности. Понятие предела. сходящейся

Определение

Число A называется Пределом последовательности , если для любого положительного числа E существует такой номер N, что при всех N>N выполняется неравенство

(4.2.1)

Последовательность, имеющая предел, называется Сходящейся. Если предел последовательности равен числу A, это записывается так: , или При .

Последовательность, не имеющая предела, называется Расходящейся.

Замечание 1

Пусть последовательность имеет своим пределом число А. Тогда последовательность есть бесконечно малая, так как для любого существует такой номер N, что при выполняется неравенство . Следовательно, любой элемент сходящейся последовательности, имеющей предел а, можно представить в виде:

,

(4.2.2)

Где – элемент бесконечно малой последовательности .

Определение

Интервал называют E–окрестностью точки А.

Определение

Последовательность называется Сходящейся, если существует такое число A, что в любой его E–окрестности находятся все элементы этой последовательности, начиная с некоторого номера, зависящего от E.

Интересно дать геометрическую интерпретацию этого определения. Поскольку последовательность определяет собой бесконечное множество чисел, то, если она сходится, в любой –окрестности остается конечное число элементов. Поэтому предел последовательности часто называют точкой сгущения.

Замечание 2

Бесконечно большая последовательность не имеет предела. В этом случае говорят, что она имеет Бесконечный предел:

Замечание 3

Очевидно, что всякая бесконечно малая последовательность Сходится и имеет своим пределом число A=0.

Приведем примеры сходящихся и расходящихся последовательностей. Покажем, используя определение предела последовательности, что .

Возьмем любое число . Так как , то для удовлетворения неравенству (9.1.1) достаточно решить неравенство , откуда получаем , неравенство будет выполняться при всех N>N, где .

Последовательность или –1, 1, –1, 1, … не имеет предела. Действительно, какое Бы число мы ни предложили в качестве предела, 1 или –1, при неравенство (4.2.2), определяющее предел последовательности, не удовлетворяется: вне – окрестности этих чисел остается бесконечное число элементов : все элементы с нечетными номерами равны –1, элементы с четными номерами равны 1.

Основные свойства сходящихся последовательностей

Теорема

Если все элементы бесконечно малой последовательности Равны одному и тому же числу С, то .

Теорема

Сходящаяся последовательность имеет только Один предел.

Теорема

Сходящаяся последовательность Ограничена.

Замечание

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Так, последовательность , рассмотренная в Примере 2, ограничена, но не имеет предела.

Теорема

Сумма (Разность) сходящихся последовательностей и есть Сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей и .

Теорема

Произведение сходящихся последовательностей и есть Сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей и .

Теорема

Частное двух сходящихся последовательностей и при условии, что предел последовательности отличен от нуля, есть Сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей и .

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Числовая последовательность Википедия

Последовательность

Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта[1][2], принадлежащий Ш. Мерэ[1]) — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть X{\displaystyle X} — это либо множество вещественных чисел R{\displaystyle \mathbb {R} }, либо множество комплексных чисел C{\displaystyle \mathbb {C} }. Тогда последовательность (xn)n=1∞{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} элементов множества X{\displaystyle X} называется числовой последовательностью.

Примеры

  • Функция ((−1)n)n=1∞{\displaystyle \left((-1)^{n}\right)_{n=1}^{\infty }} является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨−1,1,−1,1,−1,…⟩{\displaystyle \langle -1,1,-1,1,-1,\ldots \rangle }.
  • Функция (1/n)n=1∞{\displaystyle (1/n)_{n=1}^{\infty }} является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨1,1/2,1/3,1/4,1/5,…⟩{\displaystyle \langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots \rangle }.
  • Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу n⩽12{\displaystyle n\leqslant 12} одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида (xn)n=112{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{12}}. В частности, пятым элементом x5{\displaystyle x_{5}} этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X{\displaystyle X} можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X{\displaystyle X}. Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве X{\displaystyle X} определена N{\displaystyle N}-арная операция f{\displaystyle f}:

f:XN→X{\displaystyle f\colon X^{N}\rightarrow X}

Тогда для элементов x1=(x1n)n=1∞{\displaystyle x_{1}=(x_{1n})_{n=1}^{\infty }}, x2=(x2n)n=1∞{\displaystyle x_{2}=(x_{2n})_{n=1}^{\infty }}, …, xN=(xNn)n=1∞{\displaystyle x_{N}=(x_{Nn})_{n=1}^{\infty }} множества всех последовательностей элементов множества X{\displaystyle X} операция f{\displaystyle f} будет определяться следующим образом:

f(x1,x2,⋯,xN)=(f(x1n,x2n,⋯,xNn))n=1∞{\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\right)=(f\left(x_{1n},x_{2n},\cdots ,x_{Nn}\right))_{n=1}^{\infty }}

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей (xn){\displaystyle (x_{n})} и (yn){\displaystyle (y_{n})} называется числовая последовательность (zn){\displaystyle (z_{n})} такая, что zn=xn+yn{\displaystyle z_{n}=x_{n}+y_{n}}.

Разностью числовых последовательностей (xn){\displaystyle (x_{n})} и (yn){\displaystyle (y_{n})} называется числовая последовательность (zn){\displaystyle (z_{n})} такая, что zn=xn−yn{\displaystyle z_{n}=x_{n}-y_{n}}.

Произведением числовых последовательностей xn{\displaystyle x_{n}} и yn{\displaystyle y_{n}} называется числовая последовательность (zn){\displaystyle (z_{n})} такая, что zn=xn⋅yn{\displaystyle z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}}.

Частным числовой последовательности xn{\displaystyle x_{n}} и числовой последовательности yn{\displaystyle y_{n}}, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность zn=(xnyn)n=1∞{\displaystyle z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{n=1}^{\infty }}. Если в последовательности yn{\displaystyle y_{n}} на позиции k≠1{\displaystyle k\neq 1} всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность zn=(xnyn)n=1k−1{\displaystyle z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{n=1}^{k-1}}.

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (xn){\displaystyle (x_{n})} — это последовательность (xnk){\displaystyle (x_{n_{k}})}, где (nk){\displaystyle (n_{k})} — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

  • Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
  • Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

  • Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
  • Для всякой подпоследовательности (xkn){\displaystyle (x_{k_{n}})} верно, что ∀n∈N:kn⩾n{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon k_{n}\geqslant n}.
  • Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
  • Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
  • Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
  • Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
  • Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

  • Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
    (xn){\displaystyle (x_{n})} стационарная ⇔(∃N∈N ∀i,j∈N:(i⩾N)∧(j⩾N)⇒(xi=xj)){\displaystyle \Leftrightarrow \left(\exists N\in \mathbb {N} ~\forall i,j\in \mathbb {N} \colon \left(i\geqslant N\right)\land \left(j\geqslant N\right)\Rightarrow \left(x_{i}=x_{j}\right)\right)}

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества X{\displaystyle X} элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

  • Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X{\displaystyle X}, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
    (xn){\displaystyle (x_{n})} ограниченная сверху ⇔∃M∈X ∀n∈N:xn⩽M{\displaystyle \Leftrightarrow \exists M\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant M}
  • Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X{\displaystyle X}, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
    (xn){\displaystyle (x_{n})} ограниченная снизу ⇔∃m∈X ∀n∈N:xn⩾m{\displaystyle \Leftrightarrow \exists m\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant m}
  • Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
    (xn){\displaystyle (x_{n})} ограниченная ⇔∃m,M∈X ∀n∈N:m⩽xn⩽M{\displaystyle \Leftrightarrow \exists m,M\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon m\leqslant x_{n}\leqslant M}
  • Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.
    (xn){\displaystyle (x_{n})} неограниченная ⇔∀m,M∈X ∃n∈N:(xn<m)∨(xn>M){\displaystyle \Leftrightarrow \forall m,M\in X~\exists n\in \mathbb {N} \colon \left(x_{n}<m\right)\lor \left(x_{n}>M\right)}
Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

(xn){\displaystyle (x_{n})} ограниченная ⇔∃A∈R ∀n∈N:|xn|⩽A{\displaystyle \Leftrightarrow \exists A\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \colon |x_{n}|\leqslant A}
Свойства ограниченных последовательностей
  • Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
  • Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
  • Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
  • У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
  • Для любого наперёд взятого положительного числа ε{\displaystyle \varepsilon } все элементы ограниченной числовой последовательности (xn)n=1∞{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}, начиная с некоторого номера, зависящего от ε{\displaystyle \varepsilon }, лежат внутри интервала (lim_n→∞⁡xn−ε,lim¯n→∞⁡xn+ε){\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}+\varepsilon \right)}.
  • Если за пределами интервала (a,b){\displaystyle \left(a,b\right)} лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности (xn)n=1∞{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}, то интервал (lim_n→∞⁡xn,lim¯n→∞⁡xn){\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n},\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}\right)} содержится в интервале (a,b){\displaystyle \left(a,b\right)}.
  • Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

  • Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
  • Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  • Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
  • Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
  • Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
  • Если (xn){\displaystyle (x_{n})} — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1/xn){\displaystyle (1/x_{n})}, которая является бесконечно малой. Если же (xn){\displaystyle (x_{n})} всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1/xn){\displaystyle (1/x_{n})} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n{\displaystyle n}, и всё равно будет бесконечно малой.
  • Если (αn){\displaystyle (\alpha _{n})} — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1/αn){\displaystyle (1/\alpha _{n})}, которая является бесконечно большой. Если же (αn){\displaystyle (\alpha _{n})} всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1/αn){\displaystyle (1/\alpha _{n})} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n{\displaystyle n}, и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

  • Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X{\displaystyle X}, имеющая предел в этом множестве.
  • Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.
Свойства сходящихся последовательностей
  • Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
  • Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
  • Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
  • Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
  • Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
  • Если последовательность (xn){\displaystyle (x_{n})} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1/xn){\displaystyle (1/x_{n})}, которая является ограниченной.
  • Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
  • Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
  • Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
  • Любую сходящуюся последовательность (xn){\displaystyle (x_{n})} можно представить в виде (xn)=(a+αn){\displaystyle (x_{n})=(a+\alpha _{n})}, где a{\displaystyle a} — предел последовательности (xn){\displaystyle (x_{n})}, а αn{\displaystyle \alpha _{n}} — некоторая бесконечно малая последовательность.
  • Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Примечания

  1. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — С. 44. — 608 с.
  2. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов / Под ред. к.ф.-м.н. А. П. Савина. — М.: Русский язык, 1989. — С. 16. — 244 с. — ISBN 5-200-01253-8.

См. также

wikiredia.ru

Числовая последовательность — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть <math>X</math> — это либо множество вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>, либо множество комплексных чисел <math>\mathbb{C}</math>. Тогда последовательность <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math> элементов множества <math>X</math> называется числовой последовательностью.

Примеры

  • Функция <math>\left((-1)^n\right)_{n=1}^{\infty}</math> является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид <math>\langle -1, 1, -1, 1, -1,\ldots\rangle</math>.
  • Функция <math>(1/n)_{n=1}^{\infty}</math> является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид <math>\langle 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,\ldots\rangle</math>.
  • Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу <math>n\leqslant 12</math> одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида <math>(x_n)_{n=1}^{12}</math>. В частности, пятым элементом <math>x_5</math> этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества <math>X</math> можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве <math>X</math>. Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве <math>X</math> определена <math>N</math>-арная операция <math>f</math>:

<math>f \colon X^N \rightarrow X</math>

Тогда для элементов <math>x_1=(x_{1n})_{n=1}^\infty</math>, <math>x_2=(x_{2n})_{n=1}^\infty</math>, …, <math>x_N=(x_{Nn})_{n=1}^\infty</math> множества всех последовательностей элементов множества <math>X</math> операция <math>f</math> будет определяться следующим образом:

<math>f \left( x_1, x_2, \cdots, x_N \right) = ( f \left( x_{1n}, x_{2n}, \cdots, x_{Nn} \right) )_{n=1}^\infty</math>


Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей <math>(x_n)</math> и <math>(y_n)</math> называется числовая последовательность <math>(z_n)</math> такая, что <math>z_n = x_n + y_n</math>.

Разностью числовых последовательностей <math>(x_n)</math> и <math>(y_n)</math> называется числовая последовательность <math>(z_n)</math> такая, что <math>z_n = x_n — y_n </math>.

Произведением числовых последовательностей <math>x_n</math> и <math>y_n</math> называется числовая последовательность <math>(z_n)</math> такая, что <math>z_n = x_n \cdot y_n</math>.

Частным числовой последовательности <math>x_n</math> и числовой последовательности <math>y_n</math>, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность <math>z_n = \left( \frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^\infty</math>. Если в последовательности <math>y_n</math> на позиции <math>k \neq 1 </math> всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность <math>z_n = \left(\frac{x_n}{y_n} \right)_{n=1}^{k-1}</math>.

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности <math>(x_n)</math> — это последовательность <math>(x_{n_k})</math>, где <math>(n_k)</math> — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

  • Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
  • Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

  • Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
  • Для всякой подпоследовательности <math>(x_{k_n})</math> верно, что <math>\forall n \in \N \colon k_n \geqslant n</math>.
  • Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
  • Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
  • Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
  • Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
  • Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

  • Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
    <math>(x_n)</math> стационарная <math>\Leftrightarrow \left( \exists N \in \N ~ \forall i,j \in \N \colon \left( i \geqslant N \right) \and \left( j \geqslant N \right) \Rightarrow \left( x_i = x_j \right) \right)</math>

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества <math>X</math> элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

  • Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества <math>X</math>, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
    <math>(x_n)</math> ограниченная сверху <math>\Leftrightarrow \exists M \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant M</math>
  • Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества <math>X</math>, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
    <math>(x_n)</math> ограниченная снизу <math>\Leftrightarrow \exists m \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant m</math>
  • Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
    <math>(x_n)</math> ограниченная <math>\Leftrightarrow \exists m,M \in X ~ \forall n \in \N \colon m \leqslant x_n \leqslant M</math>
  • Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.
    <math>(x_n)</math> неограниченная <math>\Leftrightarrow \forall m,M \in X ~ \exists n \in \N \colon \left( x_n < m \right) \or \left( x_n > M \right)</math>
Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

<math>(x_n)</math> ограниченная <math>\Leftrightarrow \exists A \in \R ~ \forall n \in \N \colon | x_n | \leqslant A</math>
Свойства ограниченных последовательностей
  • Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
  • Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
  • Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
  • У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
  • Для любого наперёд взятого положительного числа <math>\varepsilon</math> все элементы ограниченной числовой последовательности <math>\left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty}</math>, начиная с некоторого номера, зависящего от <math>\varepsilon</math>, лежат внутри интервала <math>\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n — \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right)</math>.
  • Если за пределами интервала <math>\left( a, b \right)</math> лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности <math>\left(x_n \right)_{n = 1}^{\infty}</math>, то интервал <math>\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right)</math> содержится в интервале <math>\left( a, b \right)</math>.
  • Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

  • Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
  • Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  • Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
  • Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
  • Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
  • Если <math>(x_n)</math> — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность <math>(1 / x_n)</math>, которая является бесконечно малой. Если же <math>(x_n)</math> всё же содержит нулевые элементы, то последовательность <math>(1 / x_n)</math> всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера <math>n</math>, и всё равно будет бесконечно малой.
  • Если <math>(\alpha_n)</math> — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность <math>(1 / \alpha_n)</math>, которая является бесконечно большой. Если же <math>(\alpha_n)</math> всё же содержит нулевые элементы, то последовательность <math>(1 / \alpha_n)</math> всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера <math>n</math>, и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

  • Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества <math>X</math>, имеющая предел в этом множестве.
  • Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.
Свойства сходящихся последовательностей
  • Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
  • Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
  • Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
  • Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
  • Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
  • Если последовательность <math>(x_n)</math> сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность <math>(1 / x_n)</math>, которая является ограниченной.
  • Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
  • Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
  • Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
  • Любую сходящуюся последовательность <math>(x_n)</math> можно представить в виде <math>(x_n) = (a + \alpha_n)</math>, где <math>a</math> — предел последовательности <math>(x_n)</math>, а <math>\alpha_n</math> — некоторая бесконечно малая последовательность.
  • Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Вариации и обобщения

Напишите отзыв о статье «Числовая последовательность»

Примечания

См. также

Отрывок, характеризующий Числовая последовательность

– Эка ты умный! От холода! Жарко ведь было. Кабы от стужи, так и наши бы тоже не протухли. А то, говорит, подойдешь к нашему, весь, говорит, прогнил в червях. Так, говорит, платками обвяжемся, да, отворотя морду, и тащим; мочи нет. А ихний, говорит, как бумага белый; ни синь пороха не пахнет.
Все помолчали.
– Должно, от пищи, – сказал фельдфебель, – господскую пищу жрали.
Никто не возражал.
– Сказывал мужик то этот, под Можайским, где страженья то была, их с десяти деревень согнали, двадцать дён возили, не свозили всех, мертвых то. Волков этих что, говорит…
– Та страженья была настоящая, – сказал старый солдат. – Только и было чем помянуть; а то всё после того… Так, только народу мученье.
– И то, дядюшка. Позавчера набежали мы, так куда те, до себя не допущают. Живо ружья покидали. На коленки. Пардон – говорит. Так, только пример один. Сказывали, самого Полиона то Платов два раза брал. Слова не знает. Возьмет возьмет: вот на те, в руках прикинется птицей, улетит, да и улетит. И убить тоже нет положенья.
– Эка врать здоров ты, Киселев, посмотрю я на тебя.
– Какое врать, правда истинная.
– А кабы на мой обычай, я бы его, изловимши, да в землю бы закопал. Да осиновым колом. А то что народу загубил.
– Все одно конец сделаем, не будет ходить, – зевая, сказал старый солдат.
Разговор замолк, солдаты стали укладываться.
– Вишь, звезды то, страсть, так и горят! Скажи, бабы холсты разложили, – сказал солдат, любуясь на Млечный Путь.
– Это, ребята, к урожайному году.
– Дровец то еще надо будет.
– Спину погреешь, а брюха замерзла. Вот чуда.
– О, господи!
– Что толкаешься то, – про тебя одного огонь, что ли? Вишь… развалился.
Из за устанавливающегося молчания послышался храп некоторых заснувших; остальные поворачивались и грелись, изредка переговариваясь. От дальнего, шагов за сто, костра послышался дружный, веселый хохот.
– Вишь, грохочат в пятой роте, – сказал один солдат. – И народу что – страсть!
Один солдат поднялся и пошел к пятой роте.
– То то смеху, – сказал он, возвращаясь. – Два хранцуза пристали. Один мерзлый вовсе, а другой такой куражный, бяда! Песни играет.
– О о? пойти посмотреть… – Несколько солдат направились к пятой роте.

Пятая рота стояла подле самого леса. Огромный костер ярко горел посреди снега, освещая отягченные инеем ветви деревьев.
В середине ночи солдаты пятой роты услыхали в лесу шаги по снегу и хряск сучьев.
– Ребята, ведмедь, – сказал один солдат. Все подняли головы, прислушались, и из леса, в яркий свет костра, выступили две, держащиеся друг за друга, человеческие, странно одетые фигуры.
Это были два прятавшиеся в лесу француза. Хрипло говоря что то на непонятном солдатам языке, они подошли к костру. Один был повыше ростом, в офицерской шляпе, и казался совсем ослабевшим. Подойдя к костру, он хотел сесть, но упал на землю. Другой, маленький, коренастый, обвязанный платком по щекам солдат, был сильнее. Он поднял своего товарища и, указывая на свой рот, говорил что то. Солдаты окружили французов, подстелили больному шинель и обоим принесли каши и водки.
Ослабевший французский офицер был Рамбаль; повязанный платком был его денщик Морель.
Когда Морель выпил водки и доел котелок каши, он вдруг болезненно развеселился и начал не переставая говорить что то не понимавшим его солдатам. Рамбаль отказывался от еды и молча лежал на локте у костра, бессмысленными красными глазами глядя на русских солдат. Изредка он издавал протяжный стон и опять замолкал. Морель, показывая на плечи, внушал солдатам, что это был офицер и что его надо отогреть. Офицер русский, подошедший к костру, послал спросить у полковника, не возьмет ли он к себе отогреть французского офицера; и когда вернулись и сказали, что полковник велел привести офицера, Рамбалю передали, чтобы он шел. Он встал и хотел идти, но пошатнулся и упал бы, если бы подле стоящий солдат не поддержал его.
– Что? Не будешь? – насмешливо подмигнув, сказал один солдат, обращаясь к Рамбалю.
– Э, дурак! Что врешь нескладно! То то мужик, право, мужик, – послышались с разных сторон упреки пошутившему солдату. Рамбаля окружили, подняли двое на руки, перехватившись ими, и понесли в избу. Рамбаль обнял шеи солдат и, когда его понесли, жалобно заговорил:
– Oh, nies braves, oh, mes bons, mes bons amis! Voila des hommes! oh, mes braves, mes bons amis! [О молодцы! О мои добрые, добрые друзья! Вот люди! О мои добрые друзья!] – и, как ребенок, головой склонился на плечо одному солдату.
Между тем Морель сидел на лучшем месте, окруженный солдатами.
Морель, маленький коренастый француз, с воспаленными, слезившимися глазами, обвязанный по бабьи платком сверх фуражки, был одет в женскую шубенку. Он, видимо, захмелев, обнявши рукой солдата, сидевшего подле него, пел хриплым, перерывающимся голосом французскую песню. Солдаты держались за бока, глядя на него.
– Ну ка, ну ка, научи, как? Я живо перейму. Как?.. – говорил шутник песенник, которого обнимал Морель.
Vive Henri Quatre,
Vive ce roi vaillanti –
[Да здравствует Генрих Четвертый!
Да здравствует сей храбрый король!
и т. д. (французская песня) ]
пропел Морель, подмигивая глазом.
Сe diable a quatre…
– Виварика! Виф серувару! сидябляка… – повторил солдат, взмахнув рукой и действительно уловив напев.
– Вишь, ловко! Го го го го го!.. – поднялся с разных сторон грубый, радостный хохот. Морель, сморщившись, смеялся тоже.
– Ну, валяй еще, еще!
Qui eut le triple talent,
De boire, de battre,
Et d’etre un vert galant…
[Имевший тройной талант,
пить, драться
и быть любезником…]
– A ведь тоже складно. Ну, ну, Залетаев!..
– Кю… – с усилием выговорил Залетаев. – Кью ю ю… – вытянул он, старательно оттопырив губы, – летриптала, де бу де ба и детравагала, – пропел он.
– Ай, важно! Вот так хранцуз! ой… го го го го! – Что ж, еще есть хочешь?
– Дай ему каши то; ведь не скоро наестся с голоду то.
Опять ему дали каши; и Морель, посмеиваясь, принялся за третий котелок. Радостные улыбки стояли на всех лицах молодых солдат, смотревших на Мореля. Старые солдаты, считавшие неприличным заниматься такими пустяками, лежали с другой стороны костра, но изредка, приподнимаясь на локте, с улыбкой взглядывали на Мореля.
– Тоже люди, – сказал один из них, уворачиваясь в шинель. – И полынь на своем кореню растет.
– Оо! Господи, господи! Как звездно, страсть! К морозу… – И все затихло.
Звезды, как будто зная, что теперь никто не увидит их, разыгрались в черном небе. То вспыхивая, то потухая, то вздрагивая, они хлопотливо о чем то радостном, но таинственном перешептывались между собой.

Х
Войска французские равномерно таяли в математически правильной прогрессии. И тот переход через Березину, про который так много было писано, была только одна из промежуточных ступеней уничтожения французской армии, а вовсе не решительный эпизод кампании. Ежели про Березину так много писали и пишут, то со стороны французов это произошло только потому, что на Березинском прорванном мосту бедствия, претерпеваемые французской армией прежде равномерно, здесь вдруг сгруппировались в один момент и в одно трагическое зрелище, которое у всех осталось в памяти. Со стороны же русских так много говорили и писали про Березину только потому, что вдали от театра войны, в Петербурге, был составлен план (Пфулем же) поимки в стратегическую западню Наполеона на реке Березине. Все уверились, что все будет на деле точно так, как в плане, и потому настаивали на том, что именно Березинская переправа погубила французов. В сущности же, результаты Березинской переправы были гораздо менее гибельны для французов потерей орудий и пленных, чем Красное, как то показывают цифры.
Единственное значение Березинской переправы заключается в том, что эта переправа очевидно и несомненно доказала ложность всех планов отрезыванья и справедливость единственно возможного, требуемого и Кутузовым и всеми войсками (массой) образа действий, – только следования за неприятелем. Толпа французов бежала с постоянно усиливающейся силой быстроты, со всею энергией, направленной на достижение цели. Она бежала, как раненый зверь, и нельзя ей было стать на дороге. Это доказало не столько устройство переправы, сколько движение на мостах. Когда мосты были прорваны, безоружные солдаты, московские жители, женщины с детьми, бывшие в обозе французов, – все под влиянием силы инерции не сдавалось, а бежало вперед в лодки, в мерзлую воду.
Стремление это было разумно. Положение и бегущих и преследующих было одинаково дурно. Оставаясь со своими, каждый в бедствии надеялся на помощь товарища, на определенное, занимаемое им место между своими. Отдавшись же русским, он был в том же положении бедствия, но становился на низшую ступень в разделе удовлетворения потребностей жизни. Французам не нужно было иметь верных сведений о том, что половина пленных, с которыми не знали, что делать, несмотря на все желание русских спасти их, – гибли от холода и голода; они чувствовали, что это не могло быть иначе. Самые жалостливые русские начальники и охотники до французов, французы в русской службе не могли ничего сделать для пленных. Французов губило бедствие, в котором находилось русское войско. Нельзя было отнять хлеб и платье у голодных, нужных солдат, чтобы отдать не вредным, не ненавидимым, не виноватым, но просто ненужным французам. Некоторые и делали это; но это было только исключение.
Назади была верная погибель; впереди была надежда. Корабли были сожжены; не было другого спасения, кроме совокупного бегства, и на это совокупное бегство были устремлены все силы французов.
Чем дальше бежали французы, чем жальче были их остатки, в особенности после Березины, на которую, вследствие петербургского плана, возлагались особенные надежды, тем сильнее разгорались страсти русских начальников, обвинявших друг друга и в особенности Кутузова. Полагая, что неудача Березинского петербургского плана будет отнесена к нему, недовольство им, презрение к нему и подтрунивание над ним выражались сильнее и сильнее. Подтрунивание и презрение, само собой разумеется, выражалось в почтительной форме, в той форме, в которой Кутузов не мог и спросить, в чем и за что его обвиняют. С ним не говорили серьезно; докладывая ему и спрашивая его разрешения, делали вид исполнения печального обряда, а за спиной его подмигивали и на каждом шагу старались его обманывать.
Всеми этими людьми, именно потому, что они не могли понимать его, было признано, что со стариком говорить нечего; что он никогда не поймет всего глубокомыслия их планов; что он будет отвечать свои фразы (им казалось, что это только фразы) о золотом мосте, о том, что за границу нельзя прийти с толпой бродяг, и т. п. Это всё они уже слышали от него. И все, что он говорил: например, то, что надо подождать провиант, что люди без сапог, все это было так просто, а все, что они предлагали, было так сложно и умно, что очевидно было для них, что он был глуп и стар, а они были не властные, гениальные полководцы.
В особенности после соединения армий блестящего адмирала и героя Петербурга Витгенштейна это настроение и штабная сплетня дошли до высших пределов. Кутузов видел это и, вздыхая, пожимал только плечами. Только один раз, после Березины, он рассердился и написал Бенигсену, доносившему отдельно государю, следующее письмо:
«По причине болезненных ваших припадков, извольте, ваше высокопревосходительство, с получения сего, отправиться в Калугу, где и ожидайте дальнейшего повеления и назначения от его императорского величества».
Но вслед за отсылкой Бенигсена к армии приехал великий князь Константин Павлович, делавший начало кампании и удаленный из армии Кутузовым. Теперь великий князь, приехав к армии, сообщил Кутузову о неудовольствии государя императора за слабые успехи наших войск и за медленность движения. Государь император сам на днях намеревался прибыть к армии.
Старый человек, столь же опытный в придворном деле, как и в военном, тот Кутузов, который в августе того же года был выбран главнокомандующим против воли государя, тот, который удалил наследника и великого князя из армии, тот, который своей властью, в противность воле государя, предписал оставление Москвы, этот Кутузов теперь тотчас же понял, что время его кончено, что роль его сыграна и что этой мнимой власти у него уже нет больше. И не по одним придворным отношениям он понял это. С одной стороны, он видел, что военное дело, то, в котором он играл свою роль, – кончено, и чувствовал, что его призвание исполнено. С другой стороны, он в то же самое время стал чувствовать физическую усталость в своем старом теле и необходимость физического отдыха.
29 ноября Кутузов въехал в Вильно – в свою добрую Вильну, как он говорил. Два раза в свою службу Кутузов был в Вильне губернатором. В богатой уцелевшей Вильне, кроме удобств жизни, которых так давно уже он был лишен, Кутузов нашел старых друзей и воспоминания. И он, вдруг отвернувшись от всех военных и государственных забот, погрузился в ровную, привычную жизнь настолько, насколько ему давали покоя страсти, кипевшие вокруг него, как будто все, что совершалось теперь и имело совершиться в историческом мире, нисколько его не касалось.
Чичагов, один из самых страстных отрезывателей и опрокидывателей, Чичагов, который хотел сначала сделать диверсию в Грецию, а потом в Варшаву, но никак не хотел идти туда, куда ему было велено, Чичагов, известный своею смелостью речи с государем, Чичагов, считавший Кутузова собою облагодетельствованным, потому что, когда он был послан в 11 м году для заключения мира с Турцией помимо Кутузова, он, убедившись, что мир уже заключен, признал перед государем, что заслуга заключения мира принадлежит Кутузову; этот то Чичагов первый встретил Кутузова в Вильне у замка, в котором должен был остановиться Кутузов. Чичагов в флотском вицмундире, с кортиком, держа фуражку под мышкой, подал Кутузову строевой рапорт и ключи от города. То презрительно почтительное отношение молодежи к выжившему из ума старику выражалось в высшей степени во всем обращении Чичагова, знавшего уже обвинения, взводимые на Кутузова.
Разговаривая с Чичаговым, Кутузов, между прочим, сказал ему, что отбитые у него в Борисове экипажи с посудою целы и будут возвращены ему.
– C’est pour me dire que je n’ai pas sur quoi manger… Je puis au contraire vous fournir de tout dans le cas meme ou vous voudriez donner des diners, [Вы хотите мне сказать, что мне не на чем есть. Напротив, могу вам служить всем, даже если бы вы захотели давать обеды.] – вспыхнув, проговорил Чичагов, каждым словом своим желавший доказать свою правоту и потому предполагавший, что и Кутузов был озабочен этим самым. Кутузов улыбнулся своей тонкой, проницательной улыбкой и, пожав плечами, отвечал: – Ce n’est que pour vous dire ce que je vous dis. [Я хочу сказать только то, что говорю.]

wiki-org.ru

Числовая последовательность — Википедия

Последовательность

Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта[1][2], принадлежащий Ш. Мерэ[1]) — это последовательность элементов числового пространства.

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

Определение

Пусть X{\displaystyle X} — это либо множество вещественных чисел R{\displaystyle \mathbb {R} }, либо множество комплексных чисел C{\displaystyle \mathbb {C} }. Тогда последовательность (xn)n=1∞{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }} элементов множества X{\displaystyle X} называется числовой последовательностью.

Видео по теме

Примеры

  • Функция ((−1)n)n=1∞{\displaystyle \left((-1)^{n}\right)_{n=1}^{\infty }} является бесконечной последовательностью целых чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨−1,1,−1,1,−1,…⟩{\displaystyle \langle -1,1,-1,1,-1,\ldots \rangle }.
  • Функция (1/n)n=1∞{\displaystyle (1/n)_{n=1}^{\infty }} является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ⟨1,1/2,1/3,1/4,1/5,…⟩{\displaystyle \langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots \rangle }.
  • Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу n⩽12{\displaystyle n\leqslant 12} одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида (xn)n=112{\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{12}}. В частности, пятым элементом x5{\displaystyle x_{5}} этой последовательности является слово «май».

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества X{\displaystyle X} можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X{\displaystyle X}. Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве X{\displaystyle X} определена N{\displaystyle N}-арная операция f{\displaystyle f}:

f:XN→X{\displaystyle f\colon X^{N}\rightarrow X}

Тогда для элементов x1=(x1n)n=1∞{\displaystyle x_{1}=(x_{1n})_{n=1}^{\infty }}, x2=(x2n)n=1∞{\displaystyle x_{2}=(x_{2n})_{n=1}^{\infty }}, …, xN=(xNn)n=1∞{\displaystyle x_{N}=(x_{Nn})_{n=1}^{\infty }} множества всех последовательностей элементов множества X{\displaystyle X} операция f{\displaystyle f} будет определяться следующим образом:

f(x1,x2,⋯,xN)=(f(x1n,x2n,⋯,xNn))n=1∞{\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\right)=(f\left(x_{1n},x_{2n},\cdots ,x_{Nn}\right))_{n=1}^{\infty }}

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей (xn){\displaystyle (x_{n})} и (yn){\displaystyle (y_{n})} называется числовая последовательность (zn){\displaystyle (z_{n})} такая, что zn=xn+yn{\displaystyle z_{n}=x_{n}+y_{n}}.

Разностью числовых последовательностей (xn){\displaystyle (x_{n})} и (yn){\displaystyle (y_{n})} называется числовая последовательность (zn){\displaystyle (z_{n})} такая, что zn=xn−yn{\displaystyle z_{n}=x_{n}-y_{n}}.

Произведением числовых последовательностей xn{\displaystyle x_{n}} и yn{\displaystyle y_{n}} называется числовая последовательность (zn){\displaystyle (z_{n})} такая, что zn=xn⋅yn{\displaystyle z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}}.

Частным числовой последовательности xn{\displaystyle x_{n}} и числовой последовательности yn{\displaystyle y_{n}}, все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность zn=(xnyn)n=1∞{\displaystyle z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{n=1}^{\infty }}. Если в последовательности yn{\displaystyle y_{n}} на позиции k≠1{\displaystyle k\neq 1} всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность zn=(xnyn)n=1k−1{\displaystyle z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{n=1}^{k-1}}.

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности (xn){\displaystyle (x_{n})} — это последовательность (xnk){\displaystyle (x_{n_{k}})}, где (nk){\displaystyle (n_{k})} — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

  • Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
  • Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

  • Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
  • Для всякой подпоследовательности (xkn){\displaystyle (x_{k_{n}})} верно, что ∀n∈N:kn⩾n{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon k_{n}\geqslant n}.
  • Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
  • Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
  • Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
  • Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
  • Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

  • Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
    (xn){\displaystyle (x_{n})} стационарная ⇔(∃N∈N ∀i,j∈N:(i⩾N)∧(j⩾N)⇒(xi=xj)){\displaystyle \Leftrightarrow \left(\exists N\in \mathbb {N} ~\forall i,j\in \mathbb {N} \colon \left(i\geqslant N\right)\land \left(j\geqslant N\right)\Rightarrow \left(x_{i}=x_{j}\right)\right)}

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества X{\displaystyle X} элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

  • Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X{\displaystyle X}, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
    (xn){\displaystyle (x_{n})} ограниченная сверху ⇔∃M∈X ∀n∈N:xn⩽M{\displaystyle \Leftrightarrow \exists M\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant M}
  • Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X{\displaystyle X}, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
    (xn){\displaystyle (x_{n})} ограниченная снизу ⇔∃m∈X ∀n∈N:xn⩾m{\displaystyle \Leftrightarrow \exists m\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant m}
  • Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
    (xn){\displaystyle (x_{n})} ограниченная ⇔∃m,M∈X ∀n∈N:m⩽xn⩽M{\displaystyle \Leftrightarrow \exists m,M\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon m\leqslant x_{n}\leqslant M}
  • Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.
    (xn){\displaystyle (x_{n})} неограниченная ⇔∀m,M∈X ∃n∈N:(xn<m)∨(xn>M){\displaystyle \Leftrightarrow \forall m,M\in X~\exists n\in \mathbb {N} \colon \left(x_{n}<m\right)\lor \left(x_{n}>M\right)}
Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

(xn){\displaystyle (x_{n})} ограниченная ⇔∃A∈R ∀n∈N:|xn|⩽A{\displaystyle \Leftrightarrow \exists A\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \colon |x_{n}|\leqslant A}
Свойства ограниченных последовательностей
  • Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
  • Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
  • Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
  • У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
  • Для любого наперёд взятого положительного числа ε{\displaystyle \varepsilon } все элементы ограниченной числовой последовательности (xn)n=1∞{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}, начиная с некоторого номера, зависящего от ε{\displaystyle \varepsilon }, лежат внутри интервала (lim_n→∞⁡xn−ε,lim¯n→∞⁡xn+ε){\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}+\varepsilon \right)}.
  • Если за пределами интервала (a,b){\displaystyle \left(a,b\right)} лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности (xn)n=1∞{\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}, то интервал (lim_n→∞⁡xn,lim¯n→∞⁡xn){\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n},\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}\right)} содержится в интервале (a,b){\displaystyle \left(a,b\right)}.
  • Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

  • Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
  • Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
  • Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
  • Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
  • Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
  • Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
  • Если (xn){\displaystyle (x_{n})} — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1/xn){\displaystyle (1/x_{n})}, которая является бесконечно малой. Если же (xn){\displaystyle (x_{n})} всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1/xn){\displaystyle (1/x_{n})} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n{\displaystyle n}, и всё равно будет бесконечно малой.
  • Если (αn){\displaystyle (\alpha _{n})} — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1/αn){\displaystyle (1/\alpha _{n})}, которая является бесконечно большой. Если же (αn){\displaystyle (\alpha _{n})} всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1/αn){\displaystyle (1/\alpha _{n})} всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n{\displaystyle n}, и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

  • Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X{\displaystyle X}, имеющая предел в этом множестве.
  • Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.
Свойства сходящихся последовательностей
  • Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
  • Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
  • Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
  • Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
  • Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
  • Если последовательность (xn){\displaystyle (x_{n})} сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1/xn){\displaystyle (1/x_{n})}, которая является ограниченной.
  • Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
  • Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
  • Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
  • Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
  • Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
  • Любую сходящуюся последовательность (xn){\displaystyle (x_{n})} можно представить в виде (xn)=(a+αn){\displaystyle (x_{n})=(a+\alpha _{n})}, где a{\displaystyle a} — предел последовательности (xn){\displaystyle (x_{n})}, а αn{\displaystyle \alpha _{n}} — некоторая бесконечно малая последовательность.
  • Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Примечания

  1. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — С. 44. — 608 с.
  2. Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов / Под ред. к.ф.-м.н. А. П. Савина. — М.: Русский язык, 1989. — С. 16. — 244 с. — ISBN 5-200-01253-8.

См. также

wikipedia.green

Свойства сходящихся числовых последовательностей

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Математический анализ»

для направления 080100 «Экономика»

 

Рязань 2012

Тема 1. Числовая последовательность, ее предел

 

Понятие числовой последовательности.

Свойства числовых последовательностей

Рассмотрим функцию , где .

Определение 1.Функцию, аргументом которой служит натуральное число n, называют числовой последовательностью.

Значения функции называются членами или элементами этой последовательности и обозначаются, как правило,

, так что , ,…, .

Сокращенно последовательность обозначается символом . Геометрически последовательность изображается на координатной прямой в виде последовательности точек, координаты которых равны соответствующим элементам последовательности.

Суммой, разностью, произведением и частным последовательностей и называются соответственно последовательности

, , …, ,…,

, , …, ,…,

, , …, , … .

Символически вышеуказанные действия записываются следующим образом:

, , .

Заметим, что значения членов последовательности не должны быть обязательно различными. Например, если , , , то соответствующие последовательности имеют вид

; ; .

В первом случае имеем просто постоянную величину, во втором члены последовательности принимают два различных значения, в третьем множество значений переменной бесконечно.

Определение 2.Последовательность назовем ограниченной сверху (снизу), если существует такое число ( ), что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству ( ).

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху, то есть существуют такие числа и , что для любого : . Обозначим . Тогда условие ограниченности можно записать в виде .

Например, последовательность ограничена снизу, но не ограничена сверху;

последовательность ограничена сверху, но не ограничена снизу;

последовательность ограничена, так как любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству .

 

Предел числовой последовательности, его геометрический смысл.

Свойства сходящихся числовых последовательностей

Определение 1.Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного , сколь бы мало оно ни было, существует такой номер , что для всех выполняется неравенство

. (2.1)

Тот факт, что a является пределом последовательности , записывают так:

или . (2.2)

Если предел последовательности существует, то говорят также, что последовательность сходится.

Заметим, что номер N зависит от выбора , то есть .

Используя логические символы, это определение можно записать следующим образом:

.

Если изобразить числа , , и значения точками числовой оси, то получится геометрическая интерпретация предела последовательности (рис).

Какой бы малый промежуток длины с центром в точке a ни взять, все точки , начиная с некоторой из них, должны попасть внутрь этого промежутка. Особый интерес вызывает случай, когда , который рассмотрим позднее.

Рассмотрим некоторые свойства сходящихся последовательностей, сформулировав их в виде теорем.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, равный a, и , то и члены последовательности , начиная с некоторого номера.

■ Пусть и . Подберем число так, чтобы ; для этого достаточно взять . Но тогда по определению предела найдется такой номер N, что для выполняется , а, следовательно, тем более . ■

Теорема 2. Если и , то и , начиная с некоторого номера.

Для доказательства следует применить предыдущее утверждение, выбрав .

Теорема 3. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

■ Так как , то по определению предела последовательности для . Но , следовательно, ; откуда для .

Обозначим . Тогда для всех n , что и означает ограниченность последовательности . ■

Теорема 4. Последовательность не может стремиться одновременно к двум различным пределам.

■ Предположим, что и , причем . Выберем любое число , . Так как и , то существует такой номер , что для (на основании теоремы 1). С другой стороны, так как и , то существует такой номер , что для . Тогда для N, большего и , одновременно и больше c и меньше c. Полученное противоречие доказывает утверждение. ■

3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение 1.Последовательность называется бесконечно малой, если .

Если в определении 1 положить , то неравенство (2.1) примет вид . Следовательно, определение бесконечно малой последовательности может быть сформулировано следующим образом.

Определение 2.Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого существует такой номер N, что для .

( – бесконечно малая )

Пример 1. Последовательность является бесконечно малой.

В самом деле, лишь только . Следовательно, в качестве можно взять целую часть числа . Заметим, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно малой последовательности (если оно не нуль) не может рассматриваться как «малое». Дело в том, что это переменная величина, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться меньшей произвольно выбранного числа .

Вернемся к общему случаю существования предела последовательности.

Если , то разность будет бесконечно малой, так как в силу (1) при .

Обратно, если – бесконечно малая, то . Эти рассуждения приводят к следующему утверждению.

Теорема 1. Для того, чтобы последовательность имела своим пределом число a, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была бесконечно малой.

Итак, если , то , где – бесконечно малая, и обратно, если , то .

Бесконечно малым последовательностям противопоставляются в некотором смысле бесконечно большие последовательности.

Определение 3.Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа существует такой номер , что для всех номеров .

Как и в случае бесконечно малых, следует заметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой не может рассматриваться как «большое». Это переменная величина, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться большей произвольно взятого числа M.

Пример 2. Последовательность является бесконечно большой, так как , лишь только . Следовательно, в качестве можно взять целую часть числа .

Если последовательность бесконечно большая, то говорят также, что она имеет предел или стремится к и записывают

( ).

Если при этом бесконечно большая сохраняет определенный знак, то в соответствии со знаком говорят, что или ( либо ).

( .)

Существует связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями, которая устанавливается теоремой 6.

Теорема 2.

1) Если – бесконечно большая, то – бесконечно малая последовательность;

2) если ( ) – бесконечно малая, то – бесконечно большая последовательность.

■ Выберем любое число . Так как , то для числа найдется такой номер N, что , как только . Тогда для тех же значений , что и доказывает утверждение. Аналогично доказывается и вторая часть утверждения. ■

Символически утверждение теоремы запишем так:

, .

Пример 3. – бесконечно малая последовательность, а – бесконечно большая.

studopedya.ru