Свойства степеней примеры решения – 11 класс. Алгебра. Степени и корни. Степенные функции. Корни n-ой степени, их свойства. Функция y=ⁿ√x, ее свойства и график. — Свойства корня n-ой степени. Примеры решения типовых задач.
Решение | Преобразуем, степени в числителе по свойству , а степени из знаменателя поднимем в числитель, при этом они изменят знак:
Далее воспользуемся тем фактом, что при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются
Используя свойства степеней: и , получим:
|
ru.solverbook.com
Обобщение понятия степени и решение примеров со степенями
Здравствуйте. Многие ученики испытывают сложности при решении заданий, в которых встречаются выражения с корнями. В данной статье я попытаюсь обобщить материал по темам «Радикал» и «Степень». Покажу как решать некоторые задания. Если у Вас во время прочтения статьи появятся вопросы, Вы можете записаться ко мне на занятие, я с радостью помогу Вам во всем разобраться, помогу с решением именно Ваших задач!
1. Свойства степеней и корней
Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равняется а.
Степень числа а с показателем n обозначают an, например:
В общем случае при n > 1 имеем
Число a называется основой степени, число n — показателем степени.
Приведем основные свойства действий со степенями.
Приведенные свойства обобщаются для любых показателей степени
Часто в вычислениях используются степени с рациональным показателем. При этом удобным оказалось такое обозначение:
Корнем n— ой степени из числа а называется число b, n— я степень которого равняется a:
Корень также называется радикалом.
Корень нечетной степени n всегда существует. Корень четной степени 2n из отрицательного числа не существует. Существуют два противоположных числа, которые являются корнями четной степени из положительного числа
Из формул (3), (4) вытекают такие свойства радикалов
Если степень корня n = 2, то показатель корня обычно не пишется.
Пример 1.1. Найти значение выражения
Подкоренное выражение разложим на простые множители:
Пример 1.2. Упростить выражение
Имеем:
Пример 1.3. Извлечь корень
Имеем:
Пример 1.4. Упростить выражение
Поскольку при
2. Действия с радикалами
1) Преобразование корня по формуле называется внесением множителя под знак радикала.
Пример 2.1. Внести множитель под знак корня 5√2.
Исходя из формулы (7) получим
Пример 2.2. Внести множитель под знак радикала x√y при x< 0
Имеем равенство
2) Преобразование корня исходя из формулы называется вынесением множителя из-под знака радикала.
Пример 2.3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Получим:
Пример 2.4. Вынести множитель из-под знака корня
Имеем:
Пример 2.5. Вынести множитель из-под знака корня:
Радикалы вида , где a, b — рациональные числа, называются подобными. Их можно прибавлять и отнимать:
Пример 2.6. Упростить:
Пример 2.7. Сложить радикалы:
Пример 2.8. Выполнить действие:
Заметим, что равенство не выполняется. В этом можно убедиться на таком примере:
Приведем примеры умножения радикалов.
Пример 2.9.
Аналогично освобождаются от кубических иррациональностей в знаменателе:
Рассмотрим более сложные примеры рационализации знаменателей:
Чтобы перемножить радикалы с разными степенями, их сначала превращают в радикалы с одинаковыми степенями.
Пример 2.10. Перемножим радикалы:
Во время умножения радикалов можно использовать формулы сокращенного умножения. Например:
Если радикалы находятся в знаменателе дроби, то, используя свойства радикалов, можно избавиться от иррациональности.
Пример 2.11. Рационализируем знаменатели дробей
Выражения называются сопряженными. Произведение сопряженных выражений не содержит радикалов:
Это свойство используется для рационализации знаменателей.
Пример 2.12. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:
3. Вычисление иррациональных выражений
С помощью свойств корней можно упрощать и вычислять иррациональные выражения.
Пример 3.1. Вычислить
Выполним последовательно действия:
Пример 3.2. Вычислить:
Выполним действия.
Часто используется формула двойного радикала:
Пример 3.3. Исходя из формулы (8) находим:
Пример 3.4. Вычислить
Исходя из формулы (8) находим:
Окончательно получаем:
Аналогично вычисляются
Возводим обе части равенства в куб:
Сравнивая выражения при √с, получаем однородную систему уравнений:
Поделив уравнение почленно, приходим к уравнению для z = y/x:
Пример 3.5. Вычислить значение радикала
После возведения в куб уравнения приходим к системе уравнений:
Поделив почленно первое уравнение на второе, получим уравнение для z= y/x:
По схеме Горнера находим корень z = — ½
Из системы уравнений и уравнения y/x = — ½ находим x = 2, y = -1. Итак,
Пример 3.6. Вычислить .
Возьмем .
Возведя обе части уравнения в куб, получаем откуда вытекает система уравнений
Система уравнений имеет очевидное решение x= 1, y= 1.
Поэтому .
Вычисляем радикал
Окончательно имеем a = — 1.
Пример 3.7. Вычислить
Поскольку
Дальше имеем:
Итак,
Пример 3.8. Вычислить
Возведем уравнение в куб, воспользовавшись равенством .
Получили для x кубическое уравнение
или x3 – 3x – 18 = 0,
имеет корни
Во множестве действительных чисел имеем корень x = 3.
4. Оценки для радикалов
Если
Это неравенство можно использовать для доведения неровностей, которые содержат радикалы.
Пример 4.1. Доказать, что .
Возведя неравенство в шестую степень, получим очевидное неравенство
Можно приводить радикалы к одной и то й же самой степени :
Пример 4.2. Оценим .
Поскольку
При преобразовании неравенств можно использовать символ V, понимая под ним знаки « > », « < », или « ».
Пример 4.3. Какое число больше
.
Поскольку
На этом все. Напоминаю, что Вы можете записываться ко мне на занятия в расписании, я с радостью помогу Вам с любыми вопросами по математике или высшей математике.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Степень с целым показателем.
I. Определение. (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:
Примеры. Вычислить:
Решение.
II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:
Примеры. Вычислить:
Решение.
Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с любым показателем.
Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.
Примеры на все свойства степени.
Упростить:
Решение.
При решении 7) примера I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n и am:an=am-n. При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем: и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n .
Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.
В примере 9) представим 73как 72∙7, а степень 45как 43∙42, а затем сократим дробь на (72∙43).
В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)n=an∙bn, а затем сократим дробь на (26∙35).
www.mathematics-repetition.com
Степень с целым показателем и ее свойства [wiki.eduVdom.com]
Если a≠0 и n — целое отрицательное число, то $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$.
Выражение $0^n\text{ , при }n\in \mathbb{Z}\,,\, n \leq 0$ не имеет смысла.
Например:
Свойства степени с целым показателем:
Для всех а≠0 и любых $m, n\in\mathbb{Z}$ верны равенства:
$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$
$a^m : a^n = a^{m-n}$
$(a^m)^n = a^{mn}$
Для всех а≠0, b≠0 и любого $n\in \mathbb{R}$ верны равенства
Стандартный вид числа b — это его запись в виде $a\cdot 10^n\text{, где }1\leq a < 10\,, n\in\mathbb{Z}$ . Число n называется порядком числа b.
Пример 1. Вычислите $(5\cdot 10^{-2} + 6^{-1}\cdot 36 — 20^{-1})^2$.
Решение:
$(5\cdot 10^{-2} + 6^{-1}\cdot 36 — 20^{-1})^2 = (5\cdot \frac{1}{10^2} + \frac{1}{6}\cdot 36 — \frac{1}{20})^2 = (\frac{1}{20} + 6 — \frac{1}{20})^2 = 6^2 = 36$
Ответ:
36.
Пример 2. Упростите выражение $(a^{-2} — b^{-2}):\frac{a-b}{ab}$
Решение:
$(a^{-2} — b^{-2}):\frac{a-b}{ab} = (\frac{1}{a^2} — \frac{1}{b^2})\cdot \frac{ab}{(a-b)} = \frac{b^2-a^2}{a^2b^2}\cdot\frac{ab}{a-b} = -\frac{(a-b)(a+b)}{(ab)^2}\cdot\frac{ab}{a-b} = -\frac{a+b}{ab}$
Ответ:
$-\frac{a+b}{ab}$
Пример 3. Представьте число 36782 в стандартном виде и назовите его порядок.
Решение: 36782 = 3678,2 • 10 = 367,82 • 102 = 36,782 • 103 = 3,6782 • 104. Порядок числа равен 4.
Ответ:
3,6782 • 104; порядок 4.
Пример 4. Найдите значение выражения: $5\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^2 — 16\cdot\frac{1}{16}=?$
Видео-решение.
Пример 5. Сократите дробь: $$ \frac{18^{n+3}}{ 3^{2n+5} \cdot 2^{n-2} } $$
Видео-решение.
wiki.eduvdom.com
Свойства степеней | Алгебра
Основные свойства степеней задаются формулами:
(При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают).
(При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя).
(При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают).
(При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают).
(При возведении в степень частного возводят в эту степень и делимое, и делитель, результаты делят).
Кроме того,
(где a≠0)
Если n — натуральное число, то
в частности,
в частности,
Для a>0
В частности,
В школьном курсе алгебры свойства степеней изучаются на протяжении нескольких лет: сначала для степени с натуральным показателем, затем — для степени с целым показателем, далее — для степени с рациональным и иррациональным показателем.
Свойства степеней с натуральным и целым показателем верны и для степеней с рациональными и иррациональными показателем, но накладывается дополнительное условие: основания степеней в этом случае должны быть положительными.
По определению, для любого α
www.algebraclass.ru
отрицательная степень дроби | математика-повторение
Записи с меткой «отрицательная степень дроби»
I. Определение. (- n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а:
Примеры. Вычислить:
Решение.
II. Следующая формула позволяет заменить обыкновенную дробь с отрицательным показателем на обратную ей дробь с положительным показателем:
Примеры. Вычислить:
Решение.
Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с любым показателем.
Свойства степени с натуральным показателем с примерами смотрите в предыдущем уроке здесь.
Примеры на все свойства степени.
Упростить:
Решение.
При решении 7) примера I способом мы использовали свойства умножения и деления степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n и am:an=am-n. При решении II способом мы использовали понятие степени с отрицательным показателем: и свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n .
Пример 8 ) решаем так же, как решали пример 7) вторым способом.
В примере 9) представим 73как 72∙7, а степень 45как 43∙42, а затем сократим дробь на (72∙43).
В 10) примере применим формулу степени произведения: (ab)n=an∙bn, а затем сократим дробь на (26∙35).
www.mathematics-repetition.com
Степень с натуральным показателем и её свойства
Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:
an =
В выражении an :
— число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени
— число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени
Например: 25 = 2·2·2·2·2 = 32, здесь: 2 – основание степени, 5 – показатель степени, 32 – значение степени
Отметим, что основание степени может быть любым числом.
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).
Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108
Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1
Например: 4578 = 4,578 · 103 ;
103000 = 1,03 · 105.
Свойства степени с натуральным показателем:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются
am · an = am + n
например: 71.7 · 7 — 0.9 = 71.7+( — 0.9) = 71.7 — 0.9 = 70.8
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются
am / an = am — n ,
где, m > n,
a ? 0
например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.
(am )n = a m · n
например: (23)2 = 2 3·2 = 26
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
(a · b)n = an · b m ,
например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель
(a / b)n = an / bn
например: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53
mirurokov.ru