Свойства логарифмов примеры – «Понятие логарифма, основные свойства логарифмов..». Скачать бесплатно и без регистрации.

Содержание

ЛОГАРИФМЫ – свойства, формулы, как решать логарифмы

Логарифм числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠ 1) – показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b.

Логарифм числа b по основанию 10 можно записать как lg(b), а логарифм по основанию e (натуральный логарифм) – ln(b).

Основное логарифмическое тождество

Основное логарифмическое тождество часто используется при решении задач с логарифмами:

Свойства логарифмов

Существует четыре основных свойства логарифмов.

Пусть a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Свойство 1. Логарифм произведения

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

loga(x ⋅ y) = logax + logay

Свойство 2. Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов:

loga(x / y) = logax – logay

Свойство 3. Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению степени на логарифм:

Если в степени находится основание логарифма, то действует другая формула:

Свойство 4. Логарифм корня

Данной свойство можно получить из свойства логарифм степени, так как корень n-ой степени равен степени 1/n:

loga(x)1/n = 1/n ⋅ logax

Формула перехода от логарифма в одном основании к логарифму при другом основании

Данная формула также часто применяется при решении различных заданий на логарифмы:

Частный случай:

Сравнение логарифмов (неравенства)

Пусть у нас есть 2 функции f(x) и g(x) под логарифмами с одинаковыми основаниями и между ними стоит знак неравенства:

Чтобы их сравнить, нужно сначала посмотреть на основание логарифмов a:

  • Если a > 0, то f(x) > g(x) > 0
  • Если 0 < a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Как решать задачи с логарифмами: примеры

Задания с логарифмами включены в состав ЕГЭ по математике для 11 класса в задании 5 и задании 7, вы можете найти задания с решениями на нашем сайте в соответствующих разделах. Также задания с логарифмами встречаются в банке заданий по математике. Все примеры вы можете найти через поиск по сайту.

worksbase.ru

Натуральный логарифм и его свойства

Определение и формулы натурального логарифма

Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного действительного числа как площадь под гиперболой для .

Впервые натуральный логарифм встречается в работе «Logarithmotechnika» (1668) немецкого математика Николауса Меркатора (Николас (Николаус) Кауфман, около 1620-1687). Но еще в 1619 г. лондонский учитель математики Джон Спайделл, переиздавший таблицы логарифмов Непера (шотландский математик Джон Непер (1560-1617) и его сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов» 1614 года), составил таблицу натуральных логарифмов.

Первоначально натуральный логарифм называли гиперболическим, поскольку он соответствует площади под гиперболой; иногда называют логарифмом Непера. Термин «натуральный логарифм» («логарифмус натуралис») был предложен итальянским математиком Пьетро Менголи (1626-1686) в середине 16 века.

Свойства натурального логарифма

Натуральный логарифм обладает всеми свойствами, присущими логарифму по произвольному основанию:

1. Основное логарифмическое тождество:

   

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. Переход к новому основанию:

   

8. .

9. .

Функция натурального логарифма

Функцией натурального логарифма есть функция , обладающая следующими свойствами:

1) Область определения: .

2) Множество значений: .

3) Функция общего вида.

4) Функция непериодическая.

5) График функции пересекается с осью абсцисс в точке .

6) Промежутки знакопостоянства: для и для .

7) Функция возрастает на всей области определения.

8) Точек минимума/максимума нет.

9) Вертикальная асимптота — прямая (ось ординат).

10) График:

Функция является обратной к экспоненциальной функции .

Производная логарифма натурального

   

Интеграл от натурального логарифма

   

Ряд Маклорена

   

ru.solverbook.com

Таблица логарифмов, формулы и примеры

Определения и таблица логарифмов

Иногда при расчетах необходимо знать значения логарифмов некоторых величин, но их нельзя вычислить точно. Было составлено ряд таблиц для упрощения вычислений.

Таблица натуральных логарифмов













Единицы

Десятки

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0

0,6931

1,0986

1,3863

1,6094

1,7918

1,9459

2,0794

2,1972

1

2,3026

2,3979

2,4849

2,5649

2,6391

2,7081

2,7726

2,8332

2,8904

2,9444

2

2,9957

3,0445

3,091

3,1355

3,1781

3,2189

3,2581

3,2958

3,3322

3,3673

3

3,4012

3,434

3,4657

3,4965

3,5264

3,5553

3,5835

3,6109

3,6376

3,6636

4

3,6889

3,7136

3,7377

3,7612

3,7842

3,8067

3,8286

3,8501

3,8712

3,8918

5

3,912

3,9318

3,9512

3,9703

3,989

4,0073

4,0254

4,0431

4,0604

4,0775

6

4,0943

4,1109

4,1271

4,1431

4,1589

4,1744

4,1897

4,2047

4,2195

4,2341

7

4,2485

4,2627

4,2767

4,2905

4,3041

4,3175

4,3307

4,3438

4,3567

4,3694

8

4,382

4,3944

4,4067

4,4188

4,4308

4,4427

4,4543

4,4659

4,4773

4,4886

9

4,4998

4,5109

4,5218

4,5326

4,5433

4,5539

4,5643

4,5747

4,5850

4,5951

10

4,6052

4,6151

4,625

4,6347

4,6444

4,654

4,6634

4,6728

4,6821

4,6913

Таблица и формула перехода от натуральных логарифмов к десятичным

Если известен натуральный логарифм некоторого числа , то десятичный логарифм этого числа, согласно свойствам логарифма, будет равен

   

где .

Итак, десятичный логарифм числа равен произведению натурального логарифма этого же числа и числа .












Десятки

Единицы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0,0000

4,3430

8,6859

13,0288

17,3718

21,7147

26,0577

30,4006

34,7436

39,0865

1

0,4343

4,7772

9,1202

13,4631

17,8061

22,1490

26,4920

30,8349

35,1779

39,5208

2

0,8686

5,2115

9,5545

13,8974

18,2404

22,5833

26,9263

31,2692

35,6122

39,9551

3

1,3029

5,6458

9,9888

14,3317

18,6747

23,0176

27,3606

31,7035

36,0464

40,3894

4

1,7372

6,0801

10,4231

14,7660

19,1090

23,4519

27,7948

32,1378

36,4807

40,8237

5

2,1715

6,5144

10,8574

15,2003

19,5433

23,8862

28,2291

32,5721

36,9150

41,2580

6

2,6058

6,9487

11,2917

15,6346

19,9775

24,3205

28,6634

33,0064

37,3493

41,6923

7

3,0401

7,3830

11,7260

16,0689

20,4118

24,7548

29,0977

33,4407

37,7836

42,1266

8

3,4744

7,8173

12,1602

16,5032

20,8461

25,1891

29,5320

33,8750

38,2179

42,5609

9

3,9086

8.2516

12,5945

16,9375

21,2804

25,6234

29,9663

34,3093

38,6522

42,9952

Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным.

Пусть известно значение десятичного логарифма некоторого положительного числа , тогда натуральный логарифм этого числа можно вычислить по формуле

   

то есть натуральный логарифм числа равен произведению десятичного логарифма этого числа и числа, обратного к числу :

   












Десятки

Единицы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

0,0000

23,026

46,052

69,078

92,103

115,129

138,155

161,181

184,207

207,233

1

2,3026

25,328

48,354

71,380

94,406

117,431

140,458

163,484

186,509

209,535

2

4,6052

27,631

50,657

73,683

96,709

119,734

142,760

165,786

188,812

211,838

3

6,9078

29,934

52,959

75,985

99,011

122,037

145,062

166,089

191,115

214,140

4

9,2103

32,236

55,262

78,288

101,314

124,340

147,365

170,391

193,417

216,443

5

11,513

34,539

57,565

80,590

103,616

126,642

149,668

172,694

195,720

218,746

6

13,816

36,841

59,867

82,893

105,919

128,945

151,971

174,997

198,022

221,048

7

16,118

39,144

62,170

85,196

108,221

131,247

154,273

177,299

200,325

223,351

8

18,421

41,447

64,472

87,498

110,524

133,550

156,576

179,602

202,627

225,653

9

20,723

43,749

66,775

89,801

112,827

135,853

158,878

181,904

204,930

227,956



Понравился сайт? Расскажи друзьям!



ru.solverbook.com

Свойства логарифмов, формулы | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалы

Елена Репина
2013-02-18
2013-07-07

Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

Обозначение читается как логарифм по основанию .

Например, , так как  (2 – основание степени, 3 – показатель степени).

 

Логарифмы

Определение

Основное логарифмическое тождество
Свойства логарифмов

Чаще всего используют логарифмы с основаниями (натуральный логарифм, например, ), (десятичный, например, ) и (двоичный).

 

Автор: egeMax |

комментариев 12
| Метки: Логарифмы, шпаргалки-таблицы

egemaximum.ru

Решение логарифмов. Свойства логарифмов.

Решение логарифмов подразумевает не только вычисления, но и преобразования, причем согласно определенным свойствам логарифмов. Рассмотрение свойств и решения логарифмов подразумевает, что вы уже знакомы с общими понятиями. Если вы не уверены, что верно понимаете понятие логарифм, то предварительно прочитайте статью «Логарифмы. Натуральный логарифм, десятичный логарифм.» и освежите это в памяти.

Для рассмотрения решения логарифмов, используем основное выражение:

logab = c

Согласно определения логарифма:

ac = b

Теперь подставим сюда выражение с через логарифм:

a = b

Вот мы и вывели первое свойство логарифмов.

Пойдем дальше, используя элементарную логику.

Возьмем loga1. Для того, чтобы получить 1, надо а возвести в нулевую степень, т.е.

loga1 = 0 – это еще одно свойство логарифмов.

Аналогично получим:

logaа = 1

Остальные свойства логарифмов не будем выводить, их просто надо запомнить, потому как они очень пригодятся в решении логарифмов.

Получилась вот такая сводная таблица свойств логарифмов:

Свойства логарифмов

где х>0, y>0.

Попробуем применить некоторые свойства логарифмов на практике.

Примеры решения логарифмов

Пример.

Необходимо вычислить log123 + log124

И первый, и второй логарифмы ровно не считаются, поэтому выбираем подходящее свойство, им оказывается , только наоборот:

log123 + log124 = log12 (3*4) = log1212 = 1

Как видно, неудобоваримое выражение превратилось в чудное число 1.

Возьмем пример посложнее:

(log37 +2) *log633

log633 = log33 / log363

log33 = 1

log363 = log3(7*9) = log37 + log39 = log37 + log232 = log37 + 2*log33 = log37 + 2

тогда

log633 = 1/(log37 + 2)

подставляем в исходное выражение:

(log37 +2)* 1/(log37 + 2) = 1

Тоже получилась красивая 1.

Далее в статье «Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения» мы рассмотрим новые примеры решения логарифмов.

Если по текущей статье остались какие то вопросы, пишите их в комментариях.

Спасибо за внимание.

Заметка: Летний языковой лагерь замечательная возможность выучить английский язык на каникулах.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:


reshit.ru

Свойства логарифмов

Вопросы
занятия:

· рассмотреть
свойства логарифмов;

· 
подробно
рассмотреть примеры, в которых необходимо преобразовать выражения с
логарифмами.

Материал
урока

Прежде
чем приступить к изучению новой темы, давайте повторим определение логарифма,
основное логарифмическое тождество:

Эти
знания нам пригодятся на сегодняшнем уроке.

Сегодня
мы рассмотрим основные свойства операции логарифмирования. Заметим, что все
свойства мы будем формулировать только для положительных значений переменных,
содержащихся под знаком логарифма.

Итак,
первое свойство формулируется следующей теоремой:

Теорема
1.

Логарифм
произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел, то
есть справедлива следующая формула:

Давайте
докажем эту теорему.

Введём
следующие обозначения.

Нам
надо доказать, что выполняется равенство:

Применим
определение логарифма.

По
свойству произведения степеней с одинаковыми основаниями получим:

Поскольку
степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от
единицы, то равны и показатели степеней. Значит:

Что
и требовалось доказать.

Рассмотрим
пример.

Сформулируем
следующее свойство логарифмов.

Теорема
2.

Если
а, b, c
– положительные числа, причём a ≠ 1, то справедливо равенство:

Другими
словами, логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Или:
логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Эта
теорема доказывается аналогично предыдущей. Поэтому вы можете доказать её
самостоятельно, воспользовавшись свойствами степеней.

Рассмотрим
пример.

Сформулируем
следующее свойство.

Теорема
3.

Если
а и b – положительные числа, причём, a ≠ 1, то для
любого числа r справедливо равенство:

Другими
словами, логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм
основания степени.

Эта
теорема доказывается аналогично предыдущим, поэтому вы можете доказать её
самостоятельно, воспользовавшись свойствами степеней.

Рассмотрим
пример.

Сформулируем
следующее свойство.

Свойство.

Если
а и b – положительные числа, причём, a ≠ 1, то для
любого числа r справедливо равенство:

Другими
словами: логарифм, основанием которого является степень числа а равен
произведению единицы делённой на показатель степени и логарифма числа b
по основанию а.

Эта
теорема доказывается аналогично предыдущим, поэтому доказывать её мы не будем.

Рассмотрим
пример.

Рассмотрим
ещё один пример.

То
есть нам удалось логарифм достаточно громоздкого выражения представить в виде
суммы и разности логарифмов простых выражений. Такое преобразование называют логарифмированием.
Иногда приходиться решать обратную задачу: находить выражение, логарифм которого
представлен через логарифмы некоторых чисел. Такое действие называется потенцированием.
При этом используют следующее утверждение:

Теорема
4.

Равенство:

справедливо
тогда и только тогда, когда

Это
утверждение следует из монотонности логарифмической функции.

Рассмотрим
пример.

Ещё
раз обратите внимание, что все свойства логарифмов мы получили при условии, что
переменные принимают положительные значения. А как быть, если про знак
переменной ничего неизвестно?

Например,
можно ли записать:

Нет,
нельзя, поскольку:

Правильнее
будет записать так:

Мы
должны помнить и о том, что:

только
в том случае, когда b > 0 и с > 0. Если мы в этом не
уверены, но знаем, что произведение bc
> 0
, то, поскольку в этом случае выполняется равенство:

то
следует использовать формулу:

Рассмотрим
ещё несколько примеров.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Итак,
повторим основные свойства логарифмов:

videouroki.net

Логарифмы. Логарифмические формулы. Свойства логарифмов

Факт 1.
\(\bullet\) Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\).
\[\Large{{\color{blue}{\log_a{b}=t\quad\Leftrightarrow\quad
a^t=b }}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in
\mathbb{R}\).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество \[{\Large{a^{\log_ab}=b}}\]
\(\bullet\) Справедливы следующие формулы: \[{\large{\begin{array}{|ll|l|}
\hline \qquad \qquad \qquad \qquad {\small{\text{Формулы}}}
&& \qquad \qquad{\small{\text{Ограничения}}}\\
&&\\
\hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&a>0, a\ne 1\\
&&\\
\textbf{(2)} \log_aa=1 &&a>0, a\ne 1\\
&&\\
\textbf{(3)} \log_{a}{b^m}=m\log_a|b|&(m —
{\small{\text{четн.}}})&a>0, a\ne 1, b\ne 0\\
&&\\
\textbf{(4)}\log_{a}{b^m}=m\log_ab& (m —
{\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(5)} \log_{a^n}{b}=\frac 1n\log_{|a|}b&(n —
{\small{\text{четн.}}})&a\ne 0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(6)}\log_{a^n}b=\frac1n\log_ab&(n —
{\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(7)} \log_a{bc}=\log_a|b|+\log_a|c|&&a>0, a\ne 1, bc\ne 0\\
&&\\
\textbf{(8)}
\log_a{\dfrac bc}=\log_a|b|-\log_a|c|&&a>0, a\ne 1,bc\ne 0 \\
&&\\
\textbf{(9)}
a^{\log_ab}=b &&a>0, a\ne 1, b>0\\
&&\\
\textbf{(10)}c^{\log_ab}=b^{\log_ac}&&a>0, a\ne 1, b>0, c>0\\
&&\\
\textbf{(11)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac && a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\
&&\\
\textbf{(11′}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}&&a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\
&&\\
&&\\
{\small{\text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \\
\textbf{(12)} \log_ab\cdot \log_ba=1 && a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\
&&\\
\textbf{(12′}) \log_ab=\dfrac1{\log_ba}&&a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\
&&\\ \hline
\end{array}}}\]

Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!

 

shkolkovo.net