Свойства логарифмов примеры – «Понятие логарифма, основные свойства логарифмов..». Скачать бесплатно и без регистрации.

ЛОГАРИФМЫ – свойства, формулы, как решать логарифмы

Логарифм числа b (b > 0) по основанию a (a > 0, a ≠ 1) – показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b.

Логарифм числа b по основанию 10 можно записать как lg(b), а логарифм по основанию e (натуральный логарифм) – ln(b).

Основное логарифмическое тождество

Основное логарифмическое тождество часто используется при решении задач с логарифмами:

Свойства логарифмов

Существует четыре основных свойства логарифмов.

Пусть a > 0, a ≠ 1, x > 0 и y > 0.

Свойство 1. Логарифм произведения

Логарифм произведения равен сумме логарифмов:

log_a(x ⋅ y) = log_ax + log_ay

Свойство 2. Логарифм частного

Логарифм частного равен разности логарифмов:

log_a(x / y) = log_ax – log_ay

Свойство 3. Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению степени на логарифм:

Если в степени находится основание логарифма, то действует другая формула:

Свойство 4. Логарифм корня

Данной свойство можно получить из свойства логарифм степени, так как корень n-ой степени равен степени 1/n:

log_a(x)^1/n = 1/n ⋅ log_ax

Формула перехода от логарифма в одном основании к логарифму при другом основании

Данная формула также часто применяется при решении различных заданий на логарифмы:

Частный случай:

Сравнение логарифмов (неравенства)

Пусть у нас есть 2 функции f(x) и g(x) под логарифмами с одинаковыми основаниями и между ними стоит знак неравенства:

Чтобы их сравнить, нужно сначала посмотреть на основание логарифмов a:

• Если a > 0, то f(x) > g(x) > 0
• Если 0 < a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Как решать задачи с логарифмами: примеры

Задания с логарифмами включены в состав ЕГЭ по математике для 11 класса в задании 5 и задании 7, вы можете найти задания с решениями на нашем сайте в соответствующих разделах. Также задания с логарифмами встречаются в банке заданий по математике. Все примеры вы можете найти через поиск по сайту.

worksbase.ru

Натуральный логарифм и его свойства

Определение и формулы натурального логарифма

Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного действительного числа как площадь под гиперболой для .

Впервые натуральный логарифм встречается в работе «Logarithmotechnika» (1668) немецкого математика Николауса Меркатора (Николас (Николаус) Кауфман, около 1620-1687). Но еще в 1619 г. лондонский учитель математики Джон Спайделл, переиздавший таблицы логарифмов Непера (шотландский математик Джон Непер (1560-1617) и его сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов» 1614 года), составил таблицу натуральных логарифмов.

Первоначально натуральный логарифм называли гиперболическим, поскольку он соответствует площади под гиперболой; иногда называют логарифмом Непера. Термин «натуральный логарифм» («логарифмус натуралис») был предложен итальянским математиком Пьетро Менголи (1626-1686) в середине 16 века.

Свойства натурального логарифма

Натуральный логарифм обладает всеми свойствами, присущими логарифму по произвольному основанию:

1. Основное логарифмическое тождество:

   

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. Переход к новому основанию:

   

8. .

9. .

Функция натурального логарифма

Функцией натурального логарифма есть функция , обладающая следующими свойствами:

1) Область определения: .

2) Множество значений: .

3) Функция общего вида.

4) Функция непериодическая.

5) График функции пересекается с осью абсцисс в точке .

6) Промежутки знакопостоянства: для и для .

7) Функция возрастает на всей области определения.

8) Точек минимума/максимума нет.

9) Вертикальная асимптота — прямая (ось ординат).

10) График:

Функция является обратной к экспоненциальной функции .

Производная логарифма натурального

   

Интеграл от натурального логарифма

   

Ряд Маклорена

   

ru.solverbook.com

Таблица логарифмов, формулы и примеры

Определения и таблица логарифмов

Иногда при расчетах необходимо знать значения логарифмов некоторых величин, но их нельзя вычислить точно. Было составлено ряд таблиц для упрощения вычислений.

Таблица натуральных логарифмов

Единицы Десятки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	–	0	0,6931	1,0986	1,3863	1,6094	1,7918	1,9459	2,0794	2,1972
1	2,3026	2,3979	2,4849	2,5649	2,6391	2,7081	2,7726	2,8332	2,8904	2,9444
2	2,9957	3,0445	3,091	3,1355	3,1781	3,2189	3,2581	3,2958	3,3322	3,3673
3	3,4012	3,434	3,4657	3,4965	3,5264	3,5553	3,5835	3,6109	3,6376	3,6636
4	3,6889	3,7136	3,7377	3,7612	3,7842	3,8067	3,8286	3,8501	3,8712	3,8918
5	3,912	3,9318	3,9512	3,9703	3,989	4,0073	4,0254	4,0431	4,0604	4,0775
6	4,0943	4,1109	4,1271	4,1431	4,1589	4,1744	4,1897	4,2047	4,2195	4,2341
7	4,2485	4,2627	4,2767	4,2905	4,3041	4,3175	4,3307	4,3438	4,3567	4,3694
8	4,382	4,3944	4,4067	4,4188	4,4308	4,4427	4,4543	4,4659	4,4773	4,4886
9	4,4998	4,5109	4,5218	4,5326	4,5433	4,5539	4,5643	4,5747	4,5850	4,5951
10	4,6052	4,6151	4,625	4,6347	4,6444	4,654	4,6634	4,6728	4,6821	4,6913

Таблица и формула перехода от натуральных логарифмов к десятичным

Если известен натуральный логарифм некоторого числа , то десятичный логарифм этого числа, согласно свойствам логарифма, будет равен

   

где .

Итак, десятичный логарифм числа равен произведению натурального логарифма этого же числа и числа .

Десятки Единицы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0,0000	4,3430	8,6859	13,0288	17,3718	21,7147	26,0577	30,4006	34,7436	39,0865
1	0,4343	4,7772	9,1202	13,4631	17,8061	22,1490	26,4920	30,8349	35,1779	39,5208
2	0,8686	5,2115	9,5545	13,8974	18,2404	22,5833	26,9263	31,2692	35,6122	39,9551
3	1,3029	5,6458	9,9888	14,3317	18,6747	23,0176	27,3606	31,7035	36,0464	40,3894
4	1,7372	6,0801	10,4231	14,7660	19,1090	23,4519	27,7948	32,1378	36,4807	40,8237
5	2,1715	6,5144	10,8574	15,2003	19,5433	23,8862	28,2291	32,5721	36,9150	41,2580
6	2,6058	6,9487	11,2917	15,6346	19,9775	24,3205	28,6634	33,0064	37,3493	41,6923
7	3,0401	7,3830	11,7260	16,0689	20,4118	24,7548	29,0977	33,4407	37,7836	42,1266
8	3,4744	7,8173	12,1602	16,5032	20,8461	25,1891	29,5320	33,8750	38,2179	42,5609
9	3,9086	8.2516	12,5945	16,9375	21,2804	25,6234	29,9663	34,3093	38,6522	42,9952

Таблица и формула для перехода от десятичных логарифмов к натуральным.

Пусть известно значение десятичного логарифма некоторого положительного числа , тогда натуральный логарифм этого числа можно вычислить по формуле

   

то есть натуральный логарифм числа равен произведению десятичного логарифма этого числа и числа, обратного к числу :

   

Десятки Единицы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0,0000	23,026	46,052	69,078	92,103	115,129	138,155	161,181	184,207	207,233
1	2,3026	25,328	48,354	71,380	94,406	117,431	140,458	163,484	186,509	209,535
2	4,6052	27,631	50,657	73,683	96,709	119,734	142,760	165,786	188,812	211,838
3	6,9078	29,934	52,959	75,985	99,011	122,037	145,062	166,089	191,115	214,140
4	9,2103	32,236	55,262	78,288	101,314	124,340	147,365	170,391	193,417	216,443
5	11,513	34,539	57,565	80,590	103,616	126,642	149,668	172,694	195,720	218,746
6	13,816	36,841	59,867	82,893	105,919	128,945	151,971	174,997	198,022	221,048
7	16,118	39,144	62,170	85,196	108,221	131,247	154,273	177,299	200,325	223,351
8	18,421	41,447	64,472	87,498	110,524	133,550	156,576	179,602	202,627	225,653
9	20,723	43,749	66,775	89,801	112,827	135,853	158,878	181,904	204,930	227,956

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Свойства логарифмов, формулы | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалы

Елена Репина 2013-02-18 2013-07-07

Логарифм числа по основанию определяется как показатель степени, в которую нужно возвести основание , чтобы получить число .

Обозначение читается как логарифм по основанию .

Например, , так как  (2 – основание степени, 3 – показатель степени).

 

Логарифмы

Определение

Основное логарифмическое тождество

Свойства логарифмов

Чаще всего используют логарифмы с основаниями (натуральный логарифм, например, ), (десятичный, например, ) и (двоичный).

 

Автор: egeMax | комментариев 12 | Метки: Логарифмы, шпаргалки-таблицы

egemaximum.ru

Решение логарифмов. Свойства логарифмов.

Решение логарифмов подразумевает не только вычисления, но и преобразования, причем согласно определенным свойствам логарифмов. Рассмотрение свойств и решения логарифмов подразумевает, что вы уже знакомы с общими понятиями. Если вы не уверены, что верно понимаете понятие логарифм, то предварительно прочитайте статью «Логарифмы. Натуральный логарифм, десятичный логарифм.» и освежите это в памяти.

Для рассмотрения решения логарифмов, используем основное выражение:

log_ab = c

Согласно определения логарифма:

a^c = b

Теперь подставим сюда выражение с через логарифм:

a = b

Вот мы и вывели первое свойство логарифмов.

Пойдем дальше, используя элементарную логику.

Возьмем log_a1. Для того, чтобы получить 1, надо а возвести в нулевую степень, т.е.

log_a1 = 0 – это еще одно свойство логарифмов.

Аналогично получим:

log_aа = 1

Остальные свойства логарифмов не будем выводить, их просто надо запомнить, потому как они очень пригодятся в решении логарифмов.

Получилась вот такая сводная таблица свойств логарифмов:

Свойства логарифмов

где х>0, y>0.

Попробуем применить некоторые свойства логарифмов на практике.

Примеры решения логарифмов

Пример.

Необходимо вычислить log₁₂3 + log₁₂4

И первый, и второй логарифмы ровно не считаются, поэтому выбираем подходящее свойство, им оказывается , только наоборот:

log₁₂3 + log₁₂4 = log₁₂ (3*4) = log₁₂12 = 1

Как видно, неудобоваримое выражение превратилось в чудное число 1.

Возьмем пример посложнее:

(log₃7 +2) *log₆₃3

log₆₃3 = log₃3 / log₃63

log₃3 = 1

log₃63 = log₃(7*9) = log₃7 + log₃9 = log₃7 + log₂3² = log₃7 + 2*log₃3 = log₃7 + 2

тогда

log₆₃3 = 1/(log₃7 + 2)

подставляем в исходное выражение:

(log₃7 +2)* 1/(log₃7 + 2) = 1

Тоже получилась красивая 1.

Далее в статье «Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения» мы рассмотрим новые примеры решения логарифмов.
Если по текущей статье остались какие то вопросы, пишите их в комментариях.

Спасибо за внимание.

Заметка: Летний языковой лагерь замечательная возможность выучить английский язык на каникулах.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

reshit.ru

Свойства логарифмов

Вопросы занятия:

· рассмотреть свойства логарифмов;

·  подробно рассмотреть примеры, в которых необходимо преобразовать выражения с логарифмами.

Материал урока

Прежде чем приступить к изучению новой темы, давайте повторим определение логарифма, основное логарифмическое тождество:

Эти знания нам пригодятся на сегодняшнем уроке.

Сегодня мы рассмотрим основные свойства операции логарифмирования. Заметим, что все свойства мы будем формулировать только для положительных значений переменных, содержащихся под знаком логарифма.

Итак, первое свойство формулируется следующей теоремой:

Теорема 1.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел, то есть справедлива следующая формула:

Давайте докажем эту теорему.

Введём следующие обозначения.

Нам надо доказать, что выполняется равенство:

Применим определение логарифма.

По свойству произведения степеней с одинаковыми основаниями получим:

Поскольку степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от единицы, то равны и показатели степеней. Значит:

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим пример.

Сформулируем следующее свойство логарифмов.

Теорема 2.

Если а, b, c – положительные числа, причём a ≠ 1, то справедливо равенство:

Другими словами, логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

Или: логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Эта теорема доказывается аналогично предыдущей. Поэтому вы можете доказать её самостоятельно, воспользовавшись свойствами степеней.

Рассмотрим пример.

Сформулируем следующее свойство.

Теорема 3.

Если а и b – положительные числа, причём, a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

Другими словами, логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени.

Эта теорема доказывается аналогично предыдущим, поэтому вы можете доказать её самостоятельно, воспользовавшись свойствами степеней.

Рассмотрим пример.

Сформулируем следующее свойство.

Свойство.

Если а и b – положительные числа, причём, a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

Другими словами: логарифм, основанием которого является степень числа а равен произведению единицы делённой на показатель степени и логарифма числа b по основанию а.

Эта теорема доказывается аналогично предыдущим, поэтому доказывать её мы не будем.

Рассмотрим пример.

Рассмотрим ещё один пример.

То есть нам удалось логарифм достаточно громоздкого выражения представить в виде суммы и разности логарифмов простых выражений. Такое преобразование называют логарифмированием. Иногда приходиться решать обратную задачу: находить выражение, логарифм которого представлен через логарифмы некоторых чисел. Такое действие называется потенцированием. При этом используют следующее утверждение:

Теорема 4.

Равенство:

справедливо тогда и только тогда, когда

Это утверждение следует из монотонности логарифмической функции.

Рассмотрим пример.

Ещё раз обратите внимание, что все свойства логарифмов мы получили при условии, что переменные принимают положительные значения. А как быть, если про знак переменной ничего неизвестно?

Например, можно ли записать:

Нет, нельзя, поскольку:

Правильнее будет записать так:

Мы должны помнить и о том, что:

только в том случае, когда b > 0 и с > 0. Если мы в этом не уверены, но знаем, что произведение bc > 0, то, поскольку в этом случае выполняется равенство:

то следует использовать формулу:

Рассмотрим ещё несколько примеров.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Итак, повторим основные свойства логарифмов:

videouroki.net

Логарифмы. Логарифмические формулы. Свойства логарифмов

Факт 1.
\(\bullet\) Логарифм по основанию \(a\) от \(b\) – это число \(t\), которое показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).
Ограничения: числа \(a\) и \(b\) такие, что \(a>0,\ a\ne 1,\ b>0\).
\[\Large{{\color{blue}{\log_a{b}=t\quad\Leftrightarrow\quad a^t=b }}}\]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то \(t\in \mathbb{R}\).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество \[{\Large{a^{\log_ab}=b}}\]
\(\bullet\) Справедливы следующие формулы: \[{\large{\begin{array}{|ll|l|} \hline \qquad \qquad \qquad \qquad {\small{\text{Формулы}}} && \qquad \qquad{\small{\text{Ограничения}}}\\ &&\\ \hline \textbf{(1)} \log_a1=0&&a>0, a\ne 1\\ &&\\ \textbf{(2)} \log_aa=1 &&a>0, a\ne 1\\ &&\\ \textbf{(3)} \log_{a}{b^m}=m\log_a|b|&(m — {\small{\text{четн.}}})&a>0, a\ne 1, b\ne 0\\ &&\\ \textbf{(4)}\log_{a}{b^m}=m\log_ab& (m — {\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(5)} \log_{a^n}{b}=\frac 1n\log_{|a|}b&(n — {\small{\text{четн.}}})&a\ne 0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(6)}\log_{a^n}b=\frac1n\log_ab&(n — {\small{\text{нечетн.}}})&a>0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(7)} \log_a{bc}=\log_a|b|+\log_a|c|&&a>0, a\ne 1, bc\ne 0\\ &&\\ \textbf{(8)} \log_a{\dfrac bc}=\log_a|b|-\log_a|c|&&a>0, a\ne 1,bc\ne 0 \\ &&\\ \textbf{(9)} a^{\log_ab}=b &&a>0, a\ne 1, b>0\\ &&\\ \textbf{(10)}c^{\log_ab}=b^{\log_ac}&&a>0, a\ne 1, b>0, c>0\\ &&\\ \textbf{(11)} \log_ab\cdot \log_bc=\log_ac && a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\ &&\\ \textbf{(11′}) \log_bc=\dfrac{\log_ac}{\log_ab}&&a>0, a\ne 1,b>0, b\ne 1, c>0\\ &&\\ &&\\ {\small{\text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \\ \textbf{(12)} \log_ab\cdot \log_ba=1 && a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\ &&\\ \textbf{(12′}) \log_ab=\dfrac1{\log_ba}&&a>0, a\ne 1, b>0, b\ne 1\\ &&\\ \hline \end{array}}}\]

Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!

 

shkolkovo.net