Свойства кубического корня – Свойства кубического корня. Существование единственного значения кубического корня из числа

МАТЕМАТИКА

СТЕПЕНИ, КОРНИ, ЛОГАРИФМЫ

Основные свойства кубического корня

Для любых действительных чисел a и b:

1) а = ()³;

2) = а;

3) = ;

4) если b ≠ 0, то ;

5) = только тогда, когда а = b;

6) < только тогда, когда а < b;

7) < только тогда, когда а ≤ b.

Логарифм числа b > 0 по основанию а (а > 0 и а ≠ 1) —показатель степени, в который надо возвести число а, чтобы получить число b. Логарифм числа b по основанию а обозначаемое log_ab.

Основное логарифмическое тождество логарифм числа b по основанию а можно записать в виде равенства: а

schooled.ru

Кубический корень — это… Что такое Кубический корень?

Куби́ческий (куби́чный) ко́рень из a — решение уравнения (обычно подразумеваются вещественные решения). Операция извлечения кубического корня эквивалентна операции возведения числа в степень, при условии, что число неотрицательно.

Свойства

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический может быть извлечён и из отрицательных чисел:

Общее правило — из отрицательных чисел корни нечётной степени (в том числе и кубический) извлекаются, корни чётной степени — нет. Данное утверждение справедливо только для диапазона вещественных чисел.

Кубический корень из комплексного числа (из любого числа) имеет ровно три значения (частный случай свойства корня n-ой степени):

Здесь под понимается арифметический корень из положительного числа

В частности

Два комплексных значения кубического корня получаются из вещественных по формуле:

Эти значения необходимо знать для решения кубических уравнений по формуле Кардано.

Интересные факты

Кубический корень не может быть извлечён с помощью циркуля и линейки. Именно поэтому неразрешимы сводимые к извлечению кубического корня классические задачи: удвоение куба, трисекция угла, а также построение правильного семиугольника.

При постоянной плотности вещества размеры двух подобных тел относятся друг к другу как кубические корни их масс. Так, если один арбуз весит вдвое больше, чем другой, то его диаметр (а также окружность) будет всего лишь чуть больше, чем на четверть (на 26%) больше, чем у первого; и на глаз будет казаться, что разница в весе не столь существенна. Поэтому при отсутствии весов (продажа на глазок) обычно более выгодно покупать бо́льший плод.

См. также

Литература

• Корн Г., Корн Т. 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 32—33.

dic.academic.ru

Основные свойства кубического корня — СТЕПЕНИ, КОРНИ, ЛОГАРИФМЫ — МАТЕМАТИКА

na-uroke.in.ua

9 класс. Алгебра. Степенная функция. — Функция кубического корня.

Комментарии преподавателя

На данном уроке вы ознакомитесь с понятием кубического корня из действительного числа, также вы узнаете, что такое функция . Мы изучим различные основные ее свойства и рассмотрим график. Также решим типовые примеры по данной теме

Прак­ти­че­ская за­да­ча

Необ­хо­ди­мо скон­стру­и­ро­вать ку­би­че­ский ре­зер­ву­ар, объем ко­то­ро­го равен  (). Как от­ме­рить ве­ли­чи­ну ребра?

Ре­ше­ние:

Пред­по­ло­жим, что ребро куба имеет длину  (м). В этом слу­чае объем будет равен (). По­лу­ча­ет­ся, что необ­хо­ди­мо по­до­брать такое число , куб ко­то­ро­го равен  ().

На­при­мер: если объем равен , то длина ребра будет равна 2 м ().

На ос­но­ва­нии этого при­ме­ра можно сде­лать вывод, что необ­хо­ди­мо уметь на­хо­дить число, если из­ве­стен его куб.

На дан­ном этапе эту за­да­чу можно срав­нить с квад­рат­ным кор­нем. И на­хож­де­ние ис­ко­мо­го числа будет про­ис­хо­дить по ана­ло­гии.

Опре­де­ле­ние:

Число  на­зы­ва­ет­ся ку­би­че­ским кор­нем или кор­нем тре­тьей сте­пе­ни числа , если вы­пол­ня­ет­ся со­от­но­ше­ние . Это можно за­пи­сать как, в этом слу­чае  – под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние, 3 – по­ка­за­тель корня.

Таким об­ра­зом, вы­ра­же­ния  эк­ви­ва­лент­ны, то есть вы­ра­жа­ют одну и ту же за­ви­си­мость между дей­стви­тель­ны­ми чис­ла­ми  и .

На­при­мер:

Ку­би­че­ский ко­рень из  су­ще­ству­ет для лю­бо­го дей­стви­тель­но­го числа .

Как и в слу­чае квад­рат­но­го корня, при из­вле­че­нии ку­би­че­ско­го корня из ра­ци­о­наль­но­го числа часто будет по­яв­лять­ся ир­ра­ци­о­наль­ный ре­зуль­тат.

До­ка­за­тель­ство ир­ра­ци­о­наль­но­сти

По­стро­им до­ка­за­тель­ство ме­то­дом от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что  – ра­ци­о­наль­ное число, то есть его можно пред­ста­вить в виде , где  чисто целое,  – на­ту­раль­ное. При­чем  – это несо­кра­ти­мая обык­но­вен­ная дробь. Тогда по опре­де­ле­нию: , от­ку­да сле­ду­ет, что . По­след­нее ра­вен­ство озна­ча­ет, что пя­тер­ка яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа , то есть на­ту­раль­ное число  де­лит­ся на пять без остат­ка. Од­на­ко это воз­мож­но тогда и толь­ко тогда, когда пя­тер­ка яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем са­мо­го числа , то есть , где  – неко­то­рое на­ту­раль­ное число.

Под­ста­вим зна­че­ние  из по­след­не­го ра­вен­ства в на­чаль­ное:

По­след­нее ра­вен­ство озна­ча­ет, что два­дцать пять яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем числа  и тем более, что  де­лит­ся на пять, тогда и число  де­лит­ся без остат­ка на пять.

Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли, что  и  де­лят­ся на пять, а это зна­чит, что  – со­кра­ти­мая дробь, так как и чис­ли­тель и зна­ме­на­тель можно со­кра­тить на пять, но это про­ти­во­ре­чит на­ше­му пред­по­ло­же­нию. Зна­чит,  – ир­ра­ци­о­наль­ное число.

Ре­зуль­тат воз­ве­де­ния в куб от­ри­ца­тель­но­го числа будет чис­лом от­ри­ца­тель­ным, сле­до­ва­тель­но, и ко­рень ку­би­че­ский из от­ри­ца­тель­но­го числа будет от­ри­ца­тель­ным чис­лом.

До­ка­зать: 

До­ка­за­тель­ство:

Пусть , , тогда, по опре­де­ле­нию ку­би­че­ско­го корня, , . От­сю­да сле­ду­ет, что  или . Из по­след­не­го ра­вен­ства сле­ду­ет, что , а зна­чит, спра­вед­ли­во ис­ход­ное тож­де­ство .

За­да­ча о про­ек­ти­ро­ва­нии ку­би­че­ско­го ре­зер­ву­а­ра

Необ­хо­ди­мо ав­то­ма­ти­зи­ро­вать про­цесс свар­ки. На вход по­сту­па­ет число – объем куба – ав­то­мат дол­жен сам по­счи­тать длину ребра.

Как на­учить ав­то­мат из­вле­кать ко­рень ку­би­че­ский из лю­бо­го дей­стви­тель­но­го числа? Для этого вве­дем по­ня­тие функ­ции, об­ласть опре­де­ле­ния ко­то­рой – все дей­стви­тель­ные числа.

Рас­смот­рим функ­цию , вы­яс­ним ее свой­ства и по­сто­им гра­фик.

1. Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции – мно­же­ство дей­стви­тель­ных чисел ().

2. Дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся нечет­ной.

3. Функ­ция воз­рас­та­ет на луче от нуля до плюс бес­ко­неч­но­сти ( при ).

До­ка­за­тель­ство

Возь­мем два зна­че­ния ар­гу­мен­та, рас­по­ло­жен­ные сле­ду­ю­щим об­ра­зом: . Необ­хо­ди­мо до­ка­зать: .

По­стро­им до­ка­за­тель­ство ме­то­дом от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что , тогда, по свой­ству чис­ло­вых нера­венств, при воз­ве­де­нии левую и пра­вую часть в куб знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся . Таким об­ра­зом, , что про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи. Ис­хо­дя из этого, можно сде­лать вывод, что наше пред­по­ло­же­ние невер­но и .

В силу нечет­но­сти функ­ции, свой­ство можно обоб­щить на всю об­ласть опре­де­ле­ния ( при ).

4. Функ­ция не огра­ни­че­на свер­ху на луче от нуля до плюс бес­ко­неч­но­сти ()

До­ка­за­тель­ство

Дано: .

До­ка­зать: .

По­стро­им до­ка­за­тель­ство ме­то­дом от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что су­ще­ству­ет такое по­ло­жи­тель­ное число , что для лю­бо­го  вы­пол­ня­ет­ся нера­вен­ство . Возь­мем на луче от нуля до плюс бес­ко­неч­но­сти некую точку . Тогда зна­че­ние функ­ции в этой точке будет равно , а это боль­ше . Зна­чит, мы нашли точку, такую, что  что про­ти­во­ре­чит на­ше­му пред­по­ло­же­нию.

Функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния и не огра­ни­че­на ни свер­ху, ни снизу.

Не огра­ни­че­на свер­ху при , не огра­ни­че­на снизу при .

До­ка­зы­ва­ет­ся это ана­ло­гич­но при­ве­ден­ным до­ка­за­тель­ствам для по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси .

5. Функ­ция огра­ни­че­на снизу ()

По­стро­им гра­фик функ­ции  на луче от нуля до плюс бес­ко­неч­но­сти (). Для этого спер­ва со­ста­вим таб­ли­цу зна­че­ний:

По­стро­им че­ты­ре точки на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых возь­мем из таб­ли­цы. По дан­ным точ­кам можно по­стро­ить неко­то­рую линию, ко­то­рую можно по­стро­ить, учи­ты­вая воз­рас­та­ю­щий ха­рак­тер функ­ции и ее неогра­ни­чен­ность свер­ху. Вос­поль­зо­вав­шись нечет­но­стью функ­ции, до­ба­вим к при­ве­ден­ной линии ветвь, сим­мет­рич­ную ей от­но­си­тель­но на­ча­ла ко­ор­ди­нат (рис. 1).

www.kursoteka.ru

Кубический корень Википедия

Куби́ческий ко́рень из a, обозначающийся как a3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}} или как a^1/3 — это число x,{\displaystyle x,} куб которого равен a.{\displaystyle a.} Другими словами, это решение уравнения x3=a{\displaystyle x^{3}=a} (обычно подразумеваются вещественные решения).

Вещественный корень

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел (так, чтобы получился действительный результат):

−x3=−x3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-x}}=-{\sqrt[{3}]{x}}}

Комплексный корень

Кубический корень из комплексного числа (из любого числа) c{\displaystyle c} имеет ровно три значения (частный случай свойства корня n-ой степени):

c3=|c|3(cos⁡ϕ+2kπ3+isin⁡ϕ+2kπ3),k=0,1,2,ϕ=arg⁡c.{\displaystyle {\sqrt[{3}]{c}}={\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}\left(\cos {\frac {\phi +2k\pi }{3}}+i\sin {\frac {\phi +2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2,\quad \phi =\arg {c}.}

Здесь под |c|3{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\left|c\right|}}} понимается арифметический корень из положительного числа |c|.{\displaystyle \left|c\right|.}

В частности

13={1cos⁡2π3+isin⁡2π3=−12+i32cos⁡2π3−isin⁡2π3=−12−i32{\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\begin{cases}1\\\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\cos {\frac {2\pi }{3}}-i\sin {\frac {2\pi }{3}}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{cases}}}

−13={−1cos⁡π3+isin⁡π3=12+i32cos⁡π3−isin⁡π3=12−i32{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-1}}={\begin{cases}-1\\\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{cases}}}

Два комплексных значения кубического корня получаются из вещественных по формуле:

x32,3=x3(−12±i32).{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{2,3}={\sqrt[{3}]{x}}\left(-{\frac {1}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right).}

Эти значения необходимо знать для решения кубических уравнений по формуле Кардано.

Показательная форма

Корень из комплексных чисел можно определить так:

x1/3=exp⁡(13ln⁡x){\displaystyle x^{1/3}=\exp({\tfrac {1}{3}}\ln {x})}

Где ln — главная ветвь натурального логарифма.

Если представить x{\displaystyle x} как

x=rexp⁡(iθ){\displaystyle x=r\exp(i\theta )}

то формула кубического числа такова:

x3=r3exp⁡(13iθ).{\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}={\sqrt[{3}]{r}}\exp({\tfrac {1}{3}}i\theta ).}

Это геометрически означает, что в полярных координатах мы берем кубический корень радиуса и делим полярный угол на три, для того, чтобы определить кубический корень. Значит, если x{\displaystyle x} комплексное, то −83{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}} будет обозначать не −2{\displaystyle -2}, а будет 1+i3.{\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}.}

Интересные факты

Кубический корень не может быть извлечён с помощью циркуля и линейки. Именно поэтому неразрешимы сводимые к извлечению кубического корня классические задачи: удвоение куба, трисекция угла, а также построение правильного семиугольника.

При постоянной плотности вещества размеры двух подобных тел относятся друг к другу как кубические корни их масс. Так, если один арбуз весит вдвое больше, чем другой, то его диаметр (а также окружность) будет всего лишь чуть больше, чем на четверть (на 26 %) больше, чем у первого; и на глаз будет казаться, что разница в весе не столь существенна. Поэтому при отсутствии весов (продажа на глазок) обычно более выгодно покупать бо́льший плод.

Способы вычисления

Столбиком

Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.

Алгоритм таков:

1. Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становиться больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3.
2. Запишите куб найденного числа под первой группой цифр и произведите вычитание. Результат после вычитания запишите под вычитаемым. Далее снесите следующую группу цифр.
3. Далее найденный промежуточный ответ заменим буквой a{\displaystyle a}. Вычислите по формуле 300×a2×x+30×a×x2+x3{\displaystyle 300\times a^{2}\times x+30\times a\times x^{2}+x^{3}} такое число x{\displaystyle x}, что его результат меньше нижнего числа, но при увеличении на 1 становится больше. Запишите найденное x{\displaystyle x} справа от ответа. Если достигнута необходимая точность, прекратите вычисления.
4. Запишите под нижним числом результат вычисления по формуле 300×a2×x+30×a×x2+x3{\displaystyle 300\times a^{2}\times x+30\times a\times x^{2}+x^{3}} и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.

См. также

Литература

• Корн Г., Корн Т. 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 32—33.

wikiredia.ru

Кубический корень

Содержание

• 1 Вещественный корень
• 2 Комплексный корень
  • 2.1 Показательная форма
• 3 Интересные факты
• 4 Алгоритмы решения
• 5 См. также
• 6 Литература

Вещественный корень

Кубический корень — нечётная функция. В отличие от квадратного корня, кубический корень может быть извлечён и из отрицательных чисел (так, чтобы получился действительный результат):

Комплексный корень

Кубический корень из комплексного числа (из любого числа) имеет ровно три значения (частный случай свойства корня n-ой степени):

Здесь под понимается арифметический корень из положительного числа

В частности

Два комплексных значения кубического корня получаются из вещественных по формуле:

Эти значения необходимо знать для решения кубических уравнений по формуле Кардано.

Показательная форма

Корень из комплексных чисел можно определить так:

Где ln — главная ветвь натурального логарифма.

Если представить как

то формула кубического числа такова:

Это геометрически означает, что в полярных координатах мы берем кубический корень радиуса и делим полярный угол на три, для того, чтобы определить кубический корень. Значит, если комплексное, то будет обозначать не , а будет

Интересные факты

Кубический корень не может быть извлечён с помощью циркуля и линейки. Именно поэтому неразрешимы сводимые к извлечению кубического корня классические задачи: удвоение куба, трисекция угла, а также построение правильного семиугольника.

При постоянной плотности вещества размеры двух подобных тел относятся друг к другу как кубические корни их масс. Так, если один арбуз весит вдвое больше, чем другой, то его диаметр (а также окружность) будет всего лишь чуть больше, чем на четверть (на 26 %) больше, чем у первого; и на глаз будет казаться, что разница в весе не столь существенна. Поэтому при отсутствии весов (продажа на глазок) обычно более выгодно покупать бо́льший плод.

Алгоритмы решения

Столбиком

Перед началом необходимо разделить число на тройки (целую часть — справа налево, дробную — слева направо). Когда Вы достигли десятичной запятой, в конце результата необходимо поставить десятичную запятую.

Алгоритм таков:

1. Найдите число, куб которого меньше первой группы цифр, но при её увеличении на 1 она становиться больше. Выпишите найденное число справа от данного числа. Под ним запишите число 3.
2. Запишите куб найденного числа под первой группой цифр и произведите вычитание. Результат после вычитания запишите под вычитаемым. Далее снесите следующую группу цифр.
3. Далее найденный промежуточный ответ заменим буквой . Вычислите по формуле такое число , что его результат меньше нижнего числа, но при увеличении на 1 становится больше. Запишите найденное справа от ответа. Если достигнута необходимая точность, прекратите вычисления.
4. Запишите под нижним числом результат вычисления по формуле и произведите вычитание. Перейдите к пункту 3.

См. также

• Корень (математика)
• Квадратный корень

Литература

• Корн Г., Корн Т. 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 32—33.

извлечь кубический корень, извлечь кубический корень из 80, как посчитать кубический корень, кубический корень, кубический корень из числа, кубический корень онлайн

Кубический корень Информацию О

Кубический корень Комментарии

Кубический корень
Кубический корень
Кубический корень Вы просматриваете субъект

Кубический корень что, Кубический корень кто, Кубический корень описание

There are excerpts from wikipedia on this article and video

www.turkaramamotoru.com