Сумма обратных квадратов – Ряд обратных квадратов — Википедия

Содержание

Сумма ряда обратных квадратов (Basel problem)

В истории математики имеется много случаев, когда кто-либо ставил задачу перед математическим миром в целом, и эта задача оставалась нерешенной в течение десятилетий или даже веков. Часто в процессе решения такой задачи появлялись новые области математики.

Этот пост – рассказ об одном из таких случаев, так называемой Basel problem (задаче о сумме ряда обратных квадратов, Базель – город в Швейцарии), впервые поставленной в качестве вызова европейским математикам в 1644 году. Она сопротивлялась всем попыткам ее решить до тех пор, пока молодой Леонард Эйлер в 1734 году не нашел ответ. Как увидит читатель, решение Эйлера – работа удивительной изобретательности, хотя уровень математики не превосходит в ней начального курса алгебры.

Задача

Basel problem формулируется просто: требуется найти точное значение следующей бесконечной суммы:

Как и для всех остальных бесконечных рядов, для этого ряда возникает вопрос, сходится ли он к конечному значению. Тот факт, что его члены становятся бесконечно малыми, не является достаточным для обеспечения сходимости. Например, следующий ряд

имеет бесконечную сумму, т.е. расходится, несмотря на то, что его члены становятся сколь угодно малыми (этот ряд называется гармоническим, и доказательство его расходимости приведено ниже).

Тем не менее, для ряда обратных квадратов ранее было показано, что он сходится к числу, меньшему 2, только не было известно точное значение, к которому он сходится.

Два соперника и их учитель делают безуспешную попытку

Первыми математиками мирового уровня, пытавшимися решить Basel problem, были швейцарцы, братья Якоб Бернулли (1654-1705) и Иоганн Бернулли (1667-1748). Задача названа так, потому что Базель — их родной город. Бернулли были среди первых, кто понял и начал применять новое исчисление, о котором они узнали от Готфрида Лейбница (1646-1716), — одного из его авторов. К 1690 году они считались ведущими европейскими математиками. К сожалению, к этому времени они стали ожесточенными, непримиримыми соперниками, и казалось, испытывали практически убийственную ненависть друг к другу. Каждый из них мог бы лгать, воровать, пошел бы на плагиат, если бы это помогло ему казаться лучше другого. Соперничество не прекратилось даже со смертью Якоба — Иоганн пытался выдать некоторые неопубликованные работы своего покойного брата за свои собственные, и он также отказался помочь опубликовать трактат Якоба по теории вероятности, опасаясь, что это поднимет репутацию брата. По крайней мере, Иоганн, вполне возможно, был просто… нехорошим человеком — когда его собственный сын Даниил позже выиграл математический приз, за который Иоганн также боролся, он выгнал Даниила из дома и лишил его наследства.

В течение многих лет братья Бернулли пытались решить задачу о сумме ряда обратных квадратов, что, вероятно, частично было обусловлено желанием победить соперника, но они не добились успеха. Лейбниц также работал над проблемой в течение многих лет и не получил никакого результата.

Вступление Эйлера

Леонард Эйлер (1707–1786) родился в Базеле, и так случилось, что его отец знал Иоганна Бернулли. Когда Леонарду было 14 лет, его отец попросил Иоганна, чтобы тот учил юношу математике. Иоганн нехотя согласился, но затем быстро обнаружил, что его новый ученик имеет способности, превосходящие все те, какие он когда-либо видел. Вскоре роли поменялись, и Иоганн учился у Эйлера. Иоганн посоветовал отцу Леонарда отказаться от идеи сделать Леонарда министром, предложив ему стать математиком. К чести его, отец согласился.

Через несколько лет Эйлер занял пост в Академии в Санкт-Петербурге, в России. Именно там, в 1734 году, Эйлер нашел решение Basel problem. В результате его сразу же стали считаеть ведущим математиком Европы.

Решение

Для начала рассмотрим алгебраическое уравнение, степень которого я произвольно полагаю равной четырем:

Предположим, что его корни и . Тогда мы можем разложить полином на линейные множители следующим образом:

Если ни один из этих корней не равен нулю, мы можем записать также

Далее, имеются некоторые полиномы бесконечной степени, например,

Эти особые бесконечные ряды были открыты Ньютоном, и довольно легко вывести такие разложения с помощью математического анализа. Здесь я буду считать его известным. Мы знаем нули синуса, это Первой идеей Эйлера было предположение, что теорема о разложении на множители верна для бесконечных полиномов, т.е.

Заметим, что каждая пара множителей и перепишем равенство

Теперь Эйлер получил, что бесконечная сумма равна бесконечному произведению!? (также обратите внимание на знаменатели в этом произведении — в них имеются квадраты натуральных чисел, что намекает о присутствии где-то здесь ряда обратных квадратов).

Хотя произведение состоит из бесконечного числа множителей, мы можем выяснить, какой коэффициент будет при каждой степени . Рискуя обидеть читателя, я все же объясню: рассмотрим конечное произведение

Каждый элемент при раскрытии скобок в произведении, скажем , равен произведению слагаемых, взятых из каждой скобки слева по одному. Так, Эйлер увидел, что в нашем бесконечном произведении член, содержащий , будет равен

Однако, поскольку бесконечное произведение равно бесконечному ряду для , коэффициент при должен быть равен . Приравняем коэффициенты и умножим полученное равенство на , получим

Итак, через 90 лет был найден ответ. Он остается одним из самых странных, самых удивительных результатов в математике. Мы связываем постоянную с кругами, а Basel problem содержит обратные квадраты. И что здесь вдобавок делает синус из тригонометрии? Когда Иоганн Бернулли увидел решение Эйлера, он должен был сказать: “Был бы только мой брат жив, чтобы увидеть это’’. Возможно, Иоганн смягчился с годами.

Это не все, что установил Эйлер в своей исторической работе. Используя подобные методы, он показал, что

Оставался очевидный вопрос: а что с нечетными степенями натуральных чисел? Оказывается, что подобные методы не работают для нечетных степеней. В течение всей своей жизни Эйлер много раз пытался найти эти суммы, но ему этого сделать не удалось. В конце концов он просто сказал: “Задача представляется сложной’’. Когда Эйлер сказал о математической задаче, что она сложная, обычным математикам, вероятно, не стоит заботиться о ее решении. И конечно же, сегодня, спустя 200 с лишним лет, эти суммы не найдены.

Следствия

Практики могут задать вопрос, оправданы ли все эти усилия, принесшие результат, не имеющий никакой очевидной пользы. Простой ответ состоит в том, что эта задача из теории чисел, а в теории чисел подобные вопросы просто не возникают. Менее циничным ответом будет тот, что теория чисел иногда находит свой путь в реальный мир. Хорошим примером тому является теорема Ферма, открытая им в 1640 году, так называемая малая теорема Ферма. На этом абстрактном результате основан алгоритм криптографии, который применяется в Интернете для передачи секретной информации, такой как номера кредитных карт. Без него электронная коммерция была бы невозможна.

Что касается задачи о сумме ряда обратных квадратов, то позже оказалось, что она тесно связана с гипотезой Римана, которая сегодня считается одной из самых важных нерешенных проблем в математике. Эта гипотеза была предложена в 1859 году. Она считается верной, но до сих пор ее еще никто не доказал. Нам нужен новый Леонард Эйлер.

Приложение. Расходимость гармонического ряда

Как было написано выше, это ряд:

Якоб Бернулли доказал, что эта сумма бесконечна. Якоб заметил, что ряд может быть разделен на группы слагаемых:

Он предположил, что сумма слагаемых в каждой группе единица или больше. Если так, то сумма гармонического ряда бесконечна, поскольку она равна сумме бесконечного числа слагаемых, каждое из которых единица или больше (групп бесконечно много). Чтобы доказать предположение, рассмотрим одну группу без первого слагамого:

Число слагаемых в этой группе равно . Наименьшее слагаемое — последнее, так что

или

Добавляя к обеим частям равенства, получаем требуемый результат.

Перевод статьи The Basel Problem.

hijos.ru

Ряд обратных квадратов — Википедия

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

112+122+132+142+152+…{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }

Задача нахождения суммы этого ряда долгое время оставалась нерешённой. Поскольку внимание европейских математиков на данную проблему обратил базельский профессор математики Якоб Бернулли (1689 год), в истории она нередко называется «базельской задачей» (или «базельской проблемой»). Первым сумму ряда сумел найти в 1735 году 28-летний Леонард Эйлер, она оказалась равна

16π2≈1,6449340668{\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}\approx 1{,}6449340668} (см. A013661).

Решение данной проблемы не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число π{\displaystyle \pi } вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана^[1].

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в работах итальянского математика Пьетро Менголи (1644), но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они вычислили несколько значащих цифр суммы ряда, Якоб Бернулли строго доказал, что ряд сходится к некоторому конечному значению, однако никто не смог определить, с чем это значение могло бы быть связано^[2].

Леонард Эйлер

Якоб Бернулли призвал в своей книге «Арифметические предложения о бесконечных рядах» (1689): «Если кому-либо удастся найти то, что до сих пор не поддавалось нашим усилиям, и если он сообщит это нам, то мы будем очень ему обязаны»^[1]^[3]. Но при жизни Якоба Бернулли решение так и не появилось.

Первым успеха добился Эйлер, спустя почти полвека после обращения Бернулли. Скорее всего, о данной проблеме Эйлеру рассказал Иоганн Бернулли, брат Якоба. Эйлер сообщил об открытии в заметке «О суммах обратных рядов» (De summis serierum reciprocarum, Commentarii, 1735 год)^[4] для журнала Петербургской академии наук. Найденное им значение суммы Эйлер также сообщил письмом своему другу Даниилу Бернулли, сыну Иоганна Бернулли^[5]:

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Даниил рассказал отцу, который выразил сомнение в справедливости эйлеровского разложения синуса в бесконечное произведение (см. ниже). Поэтому в 1748 году Эйлер более строго обосновал результат в своей монографии «Введение в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum, том I, глава X)^[6].

Для контроля Эйлер вычислил вручную сумму ряда с 20 знаками (видимо, используя формулу Эйлера — Маклорена, так как ряд обратных квадратов сходится довольно медленно). Далее он сопоставил сумму со значением π26,{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}},} используя уже известное в тот период приближённое значение числа π{\displaystyle \pi }, и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают^[7]. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов^[8], один из них описан ниже как 4-й способ из книги Г. М. Фихтенгольца.

Достаточно доказать, что сходится ряд:

1+11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5⋯ ,{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}\cdots \ ,}

потому что каждое слагаемое в нём (кроме первого) больше, чем в ряде обратных квадратов. Представим новый ряд в виде:

1+(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯ {\displaystyle 1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \ }

Очевидно, частичная сумма Sn{\displaystyle S_{n}} этого ряда равна 2−1n,{\displaystyle 2-{1 \over n},} поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале (1, 2).

Метод Эйлера для нахождения суммы ряда[править | править код]

К концу XVII века, благодаря работам Ньютона и других математиков, было известно разложение в ряд функции синуса:

sin⁡(x)=x−x33!+x55!−x77!+⋯{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }

Эйлер сумел получить другое разложение синуса — не в сумму, а в бесконечное произведение:

sin⁡(x)=x(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)(1−x216π2)⋯{\displaystyle \sin(x)=x\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdots }

Приравняв оба выражения и сократив на x,{\displaystyle x,} получим:

(1−x2π2)(1−x24π2)(1−x29π2)(1−x216π2)⋯=1−x23!+x45!−x67!+⋯{\displaystyle \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }

(1)

Поскольку это тождество выполняется при всех x,{\displaystyle x,} коэффициенты при x2{\displaystyle x^{2}} в обеих его частях должны быть равны:

−1π2−14π2−19π2−116π2−⋯=−16{\displaystyle -{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2}}}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\cdots =-{\frac {1}{6}}}

Умножив обе части равенства на (−π2),{\displaystyle (-\pi ^{2}),} окончательно получаем^[9]:

112+122+132+142+152+⋯=π26{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

Альтернативные способы нахождения суммы[править | править код]

Ряд Фурье[править | править код]

Аппарат разложения в ряд Фурье в применении к функции f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} позволяет особенно легко и быстро получить сумму ряда обратных квадратов. Для чётной функции это разложение имеет следующий общий вид:

f(x)=a0+∑n=1∞ancos⁡nx{\displaystyle f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx}

Вычислим коэффициенты an{\displaystyle a_{n}} по стандартным формулам:

a0=12π∫−ππx2dx=π23;an=1π∫−ππx2cos⁡(nx)dx=(−1)n4n2{\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \over 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=(-1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}}

В итоге разложение приобретает вид:

x2=π23+∑n=1∞(−1)n4cos⁡(nx)n2{\displaystyle x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos(nx)}{n^{2}}}}

Подставив в эту формулу x=π,{\displaystyle x=\pi ,} получаем

π2=π23+∑n=1∞(−1)n4(−1)nn2,{\displaystyle \pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(-1)^{n}}{n^{2}}},} или:

23π2=4∑n=1∞1n2{\displaystyle {2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}

Разделив на 4, получим окончательный результат.

Если вместо x=π{\displaystyle x=\pi } подставить x=0,{\displaystyle x=0,} получится ещё одна сумма:

112−122+132−142+152+⋯=π212{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\pi ^{2} \over 12}}

Другой путь к решению задачи — использовать равенство Парсеваля для функции f(x)=x{\displaystyle f(x)=x}.

Методы из курса анализа Г. М. Фихтенгольца[править | править код]

Во втором томе трёхтомного «Курсе дифференциального и интегрального исчисления» Г. М. Фихтенгольца приводятся несколько способов суммирования ряда обратных квадратов^[10].

Первый способ (стр. 461) основан на разложении арксинуса:

2(arcsin⁡y)2=∑m=1∞[(m−1)!]2(2m)!(2y)2m{\displaystyle 2(\arcsin y)^{2}=\sum _{m=1}^{\infty }{{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}(2y)^{2m}}}

При y=12{\displaystyle y={1 \over 2}} получаем

∑m=1∞[(m−1)!]2(2m)!=π218{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}}

Но ранее в томе 2 (стр. 340) было показано, что левая часть последнего уравнения равна трети суммы ряда обратных квадратов, откуда получаем сумму ряда.

Второй способ (стр. 490) по существу совпадает с приведенным выше методом Эйлера.

Третий способ замечателен тем, что сразу даёт суммы всех рядов обратных чётных степеней:

S2n=∑m=1∞1m2n{\displaystyle S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}}

Он основан на двух формулах разложения гиперболического котангенса. Первая (стр. 484) справедлива при |x|<1{\displaystyle |x|<1}:

πx⋅cth⁡(πx)=1+2∑n=1∞(−1)n−1S2nx2n{\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x^{2n}}

Вторая (стр. 495) связывает гиперболический котангенс с числами Бернулли Bn{\displaystyle B_{n}}:

πx⋅cth⁡(πx)=1+∑n=1∞(−1)n−1(2π)2nBn(2n)!x2n{\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n}}{(2n)!}}x^{2n}}

Приравнивая одинаковые степени в обеих формулах, получаем формулу связи сумм рядов с числами Бернулли:

Bn=2(2n)!(2π)2nS2n{\displaystyle B_{n}={\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}S_{2n}}

Для n=1{\displaystyle n=1}, с учётом B1=16,{\displaystyle B_{1}={1 \over 6},} получаем ожидаемый результат.

Четвёртый способ (стр. 671), найденный ещё Эйлером в 1741 году, основан на интегрировании рядов. Обозначим:

E=∫01arcsin⁡x1−x2 dx=∫01arcsin⁡x darcsin⁡x=π28{\displaystyle E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx}=\int \limits _{0}^{1}{\arcsin x\ d\arcsin x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}

Воспользуемся разложением арксинуса в ряд для промежутка [0, 1]:

arcsin⁡x=x+∑n=1∞(2n−1)!!(2n)!!⋅x2n+12n+1{\displaystyle \arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}

Этот ряд сходится равномерно, и можно интегрировать его почленно:

E=∫01×1−x2 dx+∑n=1∞(2n−1)!!(2n)!!(2n+1)∫01x2n+11−x2 dx{\displaystyle E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx}

Первый интеграл равен 1, а второй после подстановки x=sin⁡t{\displaystyle x=\sin t} оказывается равен (2n)!!(2n+1)!!,{\displaystyle {\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}},} поэтому получаем:

E=1+∑n=1∞1(2n+1)2=∑n=1∞1(2n−1)2{\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}}

Эта сумма содержит обратные квадраты нечётных чисел. Нужная нам сумма S{\displaystyle S} ряда всех обратных квадратов состоит из двух частей, первая из которых равна E,{\displaystyle E,} а вторая содержит обратные квадраты чётных чисел:

S=112+122+132+142+⋯=E+122+142+162+⋯=π28+14S{\displaystyle S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dots =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S}

То есть 34S=π28,{\displaystyle {3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8}},} откуда: S=π26.{\displaystyle S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Другие подходы[править | править код]

Огюстен Луи Коши в 1821 году предложил оригинальный и строгий, хотя довольно сложный, метод суммирования ряда^[11]. См. подробное изложение в статье И. В. Терещенко^[12].

В статье К. П. Кохася^[9] приводятся несколько различных способов суммирования ряда: через интегралы, комплексные вычеты, гамма-функцию, разложение арксинуса или котангенса, возведение в квадрат ряда Лейбница. Ещё одна коллекция методов суммирования изложена в статье Чепмена^[13].

Исходя из формулы (1), Эйлер рассчитал суммы не только для ряда обратных квадратов, но и для рядов из других чётных степеней, вплоть до 26-й, например^[1]:

114+124+134+144+154+⋯=π490{\displaystyle {\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}

116+126+136+146+156+⋯=π6945{\displaystyle {\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}}

и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числами Бернулли следующим образом^[6]:

S2k=(−1)k−1(2π)2k2(2k)!B2k,{\displaystyle S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k},}

где B2k{\displaystyle B_{2k}} — числа Бернулли.

Эйлер просуммировал и модификацию ряда обратных квадратов, содержащую (в знаменателях) квадраты или иные чётные степени нечётных чисел^[14]; суммы рядов оказались также связаны с числом π.{\displaystyle \pi .}

Для рядов из нечётных степеней теоретическое выражение их сумм до сих пор не известно. Доказано лишь, что сумма ряда обратных кубов (постоянная Апери) — иррациональное число^[1].

Если рассматривать показатель степени в общем ряде обратных степеней как переменную (не обязательно целочисленную), то получится дзета-функция Римана, играющая огромную роль в анализе и теории чисел:

ζ(s)=∑n=1∞1ns.{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}

Таким образом, сумма ряда обратных квадратов есть ζ(2).{\displaystyle \zeta (2).} Первые исследования свойств дзета-функции выполнил Эйлер. В 1859 году появилась глубокая работа Бернхарда Римана, которая расширила определение дзета-функции на комплексную область. На основе тождества Эйлера Риман детально рассмотрел связь дзета-функции с распределением простых чисел.

В 1768 году Эйлер предложил ещё одно обобщение ряда обратных квадратов — дилогарифм Эйлера^[15]:

Li2⁡(x)=−∫0xln⁡(1−t)tdt=x112+x222+x332+…{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+\dots }

Дуран, Антонио. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9.
Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. II. — С. 461—462, 490, 496, 671. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2.

ru.wikiyy.com

Ряд обратных квадратов — WiKi

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

112+122+132+142+152+…{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots }

16π2≈1,6449340668{\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{2}\approx 1{,}6449340668} (см. A013661).

История

Леонард Эйлер

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Для контроля Эйлер вычислил вручную сумму ряда с 20 знаками (видимо, используя формулу Эйлера — Маклорена, так как ряд обратных квадратов сходится довольно медленно). Далее он сопоставил сумму со значением π26,{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}},} используя уже известное в тот период приближённое значение числа π{\displaystyle \pi } , и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают^[7]. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов^[8], один из них описан ниже как 4-й способ из книги Г. М. Фихтенгольца.

Доказательство сходимости ряда

Достаточно доказать, что сходится ряд:

1+11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5⋯ ,{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}\cdots \ ,}

1+(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯ {\displaystyle 1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \ }

Метод Эйлера для нахождения суммы ряда

Альтернативные способы нахождения суммы

Ряд Фурье

f(x)=a0+∑n=1∞ancos⁡nx{\displaystyle f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx}

Вычислим коэффициенты an{\displaystyle a_{n}} по стандартным формулам:

В итоге разложение приобретает вид:

x2=π23+∑n=1∞(−1)n4cos⁡(nx)n2{\displaystyle x^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos(nx)}{n^{2}}}}

Подставив в эту формулу x=π,{\displaystyle x=\pi ,} получаем

π2=π23+∑n=1∞(−1)n4(−1)nn2,{\displaystyle \pi ^{2}={\pi ^{2} \over 3}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(-1)^{n}}{n^{2}}},} или:

23π2=4∑n=1∞1n2{\displaystyle {2 \over 3}\pi ^{2}=4\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}

Разделив на 4, получим окончательный результат.

Если вместо x=π{\displaystyle x=\pi } подставить x=0,{\displaystyle x=0,} получится ещё одна сумма:

112−122+132−142+152+⋯=π212{\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\pi ^{2} \over 12}}

Другой путь к решению задачи — использовать равенство Парсеваля для функции f(x)=x{\displaystyle f(x)=x} .

Методы из курса анализа Г. М. Фихтенгольца

Первый способ (стр. 461) основан на разложении арксинуса:

2(arcsin⁡y)2=∑m=1∞[(m−1)!]2(2m)!(2y)2m{\displaystyle 2(\arcsin y)^{2}=\sum _{m=1}^{\infty }{{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}(2y)^{2m}}}

При y=12{\displaystyle y={1 \over 2}} получаем

∑m=1∞[(m−1)!]2(2m)!=π218{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {[(m-1)!]^{2}}{(2m)!}}={\frac {\pi ^{2}}{18}}}

Второй способ (стр. 490) по существу совпадает с приведенным выше методом Эйлера.

Третий способ замечателен тем, что сразу даёт суммы всех рядов обратных чётных степеней:

S2n=∑m=1∞1m2n{\displaystyle S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n}}}}

πx⋅cth⁡(πx)=1+2∑n=1∞(−1)n−1S2nx2n{\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x^{2n}}

Вторая (стр. 495) связывает гиперболический котангенс с числами Бернулли Bn{\displaystyle B_{n}} :

πx⋅cth⁡(πx)=1+∑n=1∞(−1)n−1(2π)2nBn(2n)!x2n{\displaystyle \pi x\cdot \operatorname {cth} (\pi x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n}}{(2n)!}}x^{2n}}

Приравнивая одинаковые степени в обеих формулах, получаем формулу связи сумм рядов с числами Бернулли:

Bn=2(2n)!(2π)2nS2n{\displaystyle B_{n}={\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}S_{2n}}

Для n=1{\displaystyle n=1} , с учётом B1=16,{\displaystyle B_{1}={1 \over 6},} получаем ожидаемый результат.

Четвёртый способ (стр. 671), найденный ещё Эйлером в 1741 году, основан на интегрировании рядов. Обозначим:

Воспользуемся разложением арксинуса в ряд для промежутка [0, 1]:

arcsin⁡x=x+∑n=1∞(2n−1)!!(2n)!!⋅x2n+12n+1{\displaystyle \arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}

Этот ряд сходится равномерно, и можно интегрировать его почленно:

E=1+∑n=1∞1(2n+1)2=∑n=1∞1(2n−1)2{\displaystyle E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}}

То есть 34S=π28,{\displaystyle {3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8}},} откуда: S=π26.{\displaystyle S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

Другие подходы

Вариации и обобщения

114+124+134+144+154+⋯=π490{\displaystyle {\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}

116+126+136+146+156+⋯=π6945{\displaystyle {\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}}

и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числами Бернулли следующим образом^[6]:

S2k=(−1)k−1(2π)2k2(2k)!B2k,{\displaystyle S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k},}

где B2k{\displaystyle B_{2k}} — числа Бернулли.

ζ(s)=∑n=1∞1ns.{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}

В 1768 году Эйлер предложил ещё одно обобщение ряда обратных квадратов — дилогарифм Эйлера^[15]:

Литература

Дуран, Антонио. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9.
Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. II. — С. 461—462, 490, 496, 671. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2.

Ссылки

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — С. 90—92, 103—109. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
↑ Leonhard Euler biography (неопр.). Проверено 16 апреля 2016.
↑ Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: Наука, 1975. — С. 40.
↑ E41 — De summis serierum reciprocarum (неопр.). Проверено 17 апреля 2016.
↑ Наварро, Хоакин. До предела чисел (неопр.). Проверено 10 августа 2016.
↑ ¹ ² История математики, том III, 1972, с. 337.
↑ Антонио Дуран, 2014, с. 109.
↑ Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 143—144. — 468 с.
↑ ¹ ² Кохась К. П., 2004.
↑ Фихтенгольц Г. М., 1966.
↑ Cauchy A. L. Cours d’analyse de l’École royale polytechnique I.re partie: Analyse algébrique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — 576 p.
↑ Терещенко И. В. Базельская задача i. Метод Коши и его обобщение для вычисления сумм чисел обратных четвёртой степени // Научные труды КубГТУ. — 2014. — № №2.
↑ Robin Chapman.
↑ Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — С. 145. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
↑ Leonhard Euler, Institutiones calculi integrals

ru-wiki.org

Ряд обратных квадратов — Википедия (с комментариями)

Ты — не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: «Истинное обустройство мира».
http://noslave.org

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ряд обратных квадратов — бесконечный ряд:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{6}\pi^2\approx 1{,}6449340668 (см. A013661).

Решение данной проблемы не только принесло молодому Эйлеру мировую славу, но и оказало значительное влияние на дальнейшее развитие анализа, теории чисел, а впоследствии — комплексного анализа. В очередной раз (после открытия ряда Лейбница) число Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \pi вышло за пределы геометрии и подтвердило свою универсальность. Наконец, ряд обратных квадратов оказался первым шагом к введению знаменитой дзета-функции Римана^[1].

История

Впервые рассуждения о ряде обратных квадратов историки обнаружили в работах итальянского математика Пьетро Менголи (1644), но тогда задача не вызвала общего интереса. Позднее найти сумму ряда безуспешно пытались найти многие выдающиеся математики, в том числе Лейбниц, Стирлинг, де Муавр, братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они вычислили несколько значащих цифр суммы ряда, Якоб Бернулли строго доказал, что ряд сходится к некоторому конечному значению, однако никто не смог определить, с чем это значение могло бы быть связано^[2].

Недавно я нашёл, и совсем неожиданно, изящное выражение для суммы ряда, связанного с квадратурой круга… А именно, шестикратная сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр которого 1.

Для контроля Эйлер вычислил вручную сумму ряда с 20 знаками (видимо, используя формулу Эйлера — Маклорена, так как ряд обратных квадратов сходится довольно медленно). Далее он сопоставил сумму со значением Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{\pi^2}{6}, используя уже известное в тот период приближённое значение числа Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \pi , и убедился, что оба значения, в пределах точности счёта, совпадают^[7]. Впоследствии (1743) Эйлер опубликовал ещё два разных способа суммирования ряда обратных квадратов^[8], один из них описан ниже как 4-й способ из книги Г. М. Фихтенгольца.

Доказательство сходимости ряда

Достаточно доказать, что сходится ряд:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): 1 + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 5} \cdots\ ,

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): 1 + \left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) + \cdots\

Очевидно, частичная сумма Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S_n этого ряда равна Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): 2-{1\over n}, поэтому ряд сходится, и его сумма равна 2. Следовательно, и ряд обратных квадратов сходится к некоторому числу в интервале (1, 2).

Метод Эйлера для нахождения суммы ряда

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \sin(x) = x — \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} — \frac{x^7}{7!} + \cdots

Эйлер сумел получить другое разложение синуса — не в сумму, а в бесконечное произведение:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \sin(x)=x \left(1 — \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 — \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 — \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\left(1 — \frac{x^2}{16\pi^2}\right) \cdots

Приравняв оба выражения и сократив на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x, получим:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \left(1 — \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 — \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 — \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\left(1 — \frac{x^2}{16\pi^2}\right) \cdots = 1 — \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} — \frac{x^6}{7!} + \cdots

(1)

Поскольку это тождество выполняется при всех Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x, коэффициенты при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x^2 в обеих его частях должны быть равны:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): -\frac{1}{\pi^2} — \frac{1}{4\pi^2} — \frac{1}{9\pi^2} — \frac{1}{16\pi^2} — \cdots = -\frac{1}{6}

Умножив обе части равенства на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): (-\pi^2), окончательно получаем^[9]:

Альтернативные способы нахождения суммы

Ряд Фурье

Аппарат разложения в ряд Фурье в применении к функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): f(x)=x^2 позволяет особенно легко и быстро получить сумму ряда обратных квадратов. Для чётной функции это разложение имеет следующий общий вид:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): f(x)=a_0 + \sum^{\infin}_{n=1} a_n \cos nx

Вычислим коэффициенты Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a_n по стандартным формулам:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): a_0= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = {\pi^2 \over 3};\quad a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx = (-1)^n \frac{4}{n^2}

В итоге разложение приобретает вид:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x^2 = {\pi^2 \over 3} + \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^n \frac{4 \cos(nx)}{n^2}

Подставив в эту формулу Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x=\pi, получаем

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \pi^2 = {\pi^2 \over 3} + \sum^{\infin}_{n=1} (-1)^n \frac{4 (-1)^n}{n^2}, или:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): {2 \over 3}\pi^2 = 4\sum^{\infin}_{n=1} \frac{1}{n^2}

Разделив на 4, получим окончательный результат.

Если вместо Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x=\pi подставить Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x=0, получится ещё одна сумма:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{1^2} — \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} — \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \dots = {\pi^2 \over 12}

Другой путь к решению задачи — использовать равенство Парсеваля для ряда Фурье той же чётной функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): f(x)=x^2 .

Методы из курса анализа Г. М. Фихтенгольца

Первый способ (стр. 461) основан на разложении арксинуса:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): 2 (\arcsin y)^2 = \sum^\infty_{m=1} {\frac{[(m-1)!]^2}{(2m)!} (2y)^{2m}}

При Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): y={1 \over 2} получаем

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \sum^\infty_{m=1} {\frac{[(m-1)!]^2}{(2m)!}} = \frac{\pi^2}{18}

Второй способ (стр. 490) по существу совпадает с приведенным выше методом Эйлера.

Третий способ замечателен тем, что сразу даёт суммы всех рядов обратных чётных степеней:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S_{2n} = \sum^\infty_{m=1} \frac{1}{m^{2n}}

Он основан на двух формулах разложения гиперболического котангенса. Первая (стр. 484) справедлива при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): |x| < 1 :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \pi x\cdot \operatorname{cth}(\pi x) = 1 + 2\sum^\infty_{n=1} (-1)^{n-1}S_{2n} x^{2n}

Вторая (стр. 495) связывает гиперболический котангенс с числами Бернулли Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): B_n :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \pi x\cdot \operatorname{cth}(\pi x) = 1 + \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n-1} \frac{(2\pi)^{2n} B_n} {(2n)!} x^{2n}

Приравнивая одинаковые степени в обеих формулах, получаем формулу связи сумм рядов с числами Бернулли:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): B_n = \frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}} S_{2n}

Для Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): n=1 , с учётом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): B_1={1\over 6}, получаем ожидаемый результат.

Четвёртый способ (стр. 671), найденный ещё Эйлером в 1741 году, основан на интегрировании рядов. Обозначим:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): E = \int\limits_0^1{\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx} = \int\limits_0^1{\arcsin x\ d\arcsin x } = \frac{\pi^2}{8}

Воспользуемся разложением арксинуса в ряд для промежутка [0, 1]:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \arcsin x = x + \sum^\infty_{n=1} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}

Этот ряд сходится равномерно, и можно интегрировать его почленно:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): E=\int\limits_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx + \sum^\infty_{n=1} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!! (2n+1)} \int\limits_0^1 \frac{x^{2n+1}}{\sqrt{1-x^2}}\ dx

Первый интеграл равен 1, а второй после подстановки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): x=\sin t оказывается равен Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}, поэтому получаем:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): E = 1+\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{(2n+1)^2} = \sum^\infty_{n=1}\frac{1}{(2n-1)^2}

Эта сумма содержит обратные квадраты нечётных чисел. Нужная нам сумма Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S ряда всех обратных квадратов состоит из двух частей, первая из которых равна Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): E, а вторая содержит обратные квадраты чётных чисел:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots = E + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \dots = \frac{\pi^2}{8} + {1 \over 4} S

То есть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): {3 \over 4} S = \frac{\pi^2}{8}, откуда: Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S=\frac{\pi^2}{6}.

Другие подходы

Вариации и обобщения

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \frac{1}{5^4} + \dots = \frac{\pi^4}{90}

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \frac{1}{1^6} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{4^6} + \frac{1}{5^6} + \dots = \frac{\pi^6}{945}

и т. д. Эйлер также выяснил, что суммы таких рядов связаны с числами Бернулли следующим образом^[6]:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): S_{2k} = (-1)^{k-1} \frac{(2\pi)^{2k}}{2(2k)!} B_{2k},

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): B_{2k} — числа Бернулли.

Эйлер просуммировал и модификацию ряда обратных квадратов, содержащую (в знаменателях) квадраты или иные чётные степени нечётных чисел^[13]; суммы рядов оказались также связаны с числом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \pi.

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.

Таким образом, сумма ряда обратных квадратов есть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл <code>texvc</code> не найден; См. math/README — справку по настройке.): \zeta(2). Первые исследования свойств дзета-функции выполнил Эйлер. В 1859 году появилась глубокая работа Бернхарда Римана, которая расширила определение дзета-функции на комплексную область. На основе тождества Эйлера Риман детально рассмотрел связь дзета-функции с распределением простых чисел.

Напишите отзыв о статье «Ряд обратных квадратов»

Литература

Дуран, Антонио. Поэзия чисел. Прекрасное и математика. — М.: Де Агостини, 2014. — 160 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9.
[http://ilib.mccme.ru/djvu/istoria/istmat3.htm Математика XVIII столетия] // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. II. — С. 461—462, 490, 496, 671. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2.

Ссылки

Кохась К. П. [http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=mp&paperid=146&what=fullt&option_lang=rus Сумма обратных квадратов] // Математическое просвещение. — 2004. — Вып. 8. — С. 142–163.
Соболевский А., доктор физ.-мат. наук (ИППИ РАН). [https://events.yandex.ru/lib/talks/2554/ Вокруг Базельской задачи: Бернулли, Эйлер, Риман] (2014). — видеолекция. Проверено 24 мая 2016.
Chapman, Robin. [https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cillerue/Curso/zeta2.pdf Evaluating ζ(2)] (англ.) (1999). Проверено 17 апреля 2016.
Pengelley, David J. [http://www.math.nmsu.edu/~davidp/euler2k2.pdf Dances between continuous and discrete: Euler’s summation formula] (англ.). Euler 2K+2 conference, Rumford, Maine (2002). Проверено 17 апреля 2016.
Weisstein, Eric W. [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html Riemann Zeta Function zeta(2)] (англ.). MathWorld — -A Wolfram Web Resource. Проверено 17 апреля 2016.

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — С. 90—92, 103—109. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
↑ [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Euler.html Leonhard Euler biography]. Проверено 16 апреля 2016.
↑ Пойа, Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: Наука, 1975. — С. 40.
↑ [http://eulerarchive.maa.org/pages/E041.html E41 — De summis serierum reciprocarum]. Проверено 17 апреля 2016.
↑ Наварро, Хоакин. [http://www.rulit.me/books/do-predela-chisel-ejler-matematicheskij-analiz-read-438285-17.html До предела чисел]. Проверено 10 августа 2016.
↑ ¹ ² История математики, том III, 1972, с. 337.
↑ Антонио Дуран, 2014, с. 109.
↑ Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 143—144. — 468 с.
↑ ¹ ² Кохась К. П., 2004.
↑ Фихтенгольц Г. М., 1966.
↑ Cauchy A. L. Cours d’analyse de l’École royale polytechnique I.re partie: Analyse algébrique. — Paris: Impr. royale Debure frères, 1821. — 576 p.
↑ Терещенко И. В. [http://ntk.kubstu.ru/file/41 Базельская задача i. Метод Коши и его обобщение для вычисления сумм чисел обратных четвёртой степени] // Научные труды КубГТУ. — 2014. — № №2.
↑ Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — С. 145. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.

Отрывок, характеризующий Ряд обратных квадратов

– Как это не можешь?!.. – буквально взвилась Стелла. – Как это не можешь – ещё как можешь!.. Только попробуй отказаться!!! Ты только посмотри, какая она красавица! А говоришь – не можешь…
Арно грустно улыбался, глядя на бушующую Стеллу. Потом ласково обнял её и тихо, тихо произнёс:
– Вы ведь несказанное счастье мне принесли, а я вам такую страшную боль… Простите меня милые, если когда-нибудь сможете. Простите…
Стелла ему светло и ласково улыбнулась, будто желая показать, что она прекрасно всё понимает, и, что прощает ему всё, и, что это была совсем не его вина. Арно только грустно кивнул и, показав на тихо ждущих детишек, спросил:
– Могу ли я взять их с собой «наверх», как ты думаешь?
– К сожалению – нет, – грустно ответила Стелла. – Они не могут пойти туда, они остаются здесь.
– Тогда мы тоже останемся… – прозвучал ласковый голос. – Мы останемся с ними.
Мы удивлённо обернулись – это была Мишель. «Вот всё и решилось» – довольно подумала я. И опять кто-то чем-то добровольно пожертвовал, и снова побеждало простое человеческое добро… Я смотрела на Стеллу – малышка улыбалась. Снова было всё хорошо.
– Ну что, погуляешь со мной ещё немножко? – с надеждой спросила Стелла.
Мне уже давно надо было домой, но я знала, что ни за что её сейчас не оставлю и утвердительно кивнула головой…

Настроения гулять у меня, честно говоря, слишком большого не было, так как после всего случившегося, состояние было, скажем так, очень и очень «удовлетворительное… Но оставлять Стеллу одну я тоже никак не могла, поэтому, чтобы обоим было хорошо хотя бы «посерединушке», мы решили далеко не ходить, а просто чуточку расслабить свои, почти уже закипающие, мозги, и дать отдохнуть измордованным болью сердцам, наслаждаясь тишиной и покоем ментального этажа…
Мы медленно плыли в ласковой серебристой дымке, полностью расслабив свою издёрганную нервную систему, и погружаясь в потрясающий, ни с чем не сравнимый здешний покой… Как вдруг Стелла восторженно крикнула:
– Вот это да! Ты посмотри только, что же это там за красота такая!..
Я огляделась вокруг и сразу же поняла, о чём она говорила…
Это и правда было необычайно красиво!.. Будто кто-то, играясь, сотворил настоящее небесно-голубое «хрустальное» царство!.. Мы удивлённо рассматривали невероятно огромные, ажурные ледяные цветы, припорошенные светло-голубыми снежинками; и переплёты сверкающих ледяных деревьев, вспыхивающих синими бликами при малейшем движении «хрустальной» листвы и высотой достигавших с наш трёхэтажный дом… А среди всей этой невероятной красоты, окружённый вспышками настоящего «северного сияния», гордо возвышался захватывающий дух величавый ледяной дворец, весь блиставший переливами невиданных серебристо голубых оттенков…
Что это было?! Кому так нравился этот холодный цвет?..
Пока почему-то никто нигде не показывался, и никто не высказывал большого желания нас встречать… Это было чуточку странно, так как обычно хозяева всех этих дивных миров были очень гостеприимны и доброжелательны, за исключением лишь тех, которые только что появились на «этаже» (то есть – только что умерли) и ещё не были готовы к общению с остальными, или просто предпочитали переживать что-то сугубо личное и тяжёлое в одиночку.
– Как ты думаешь, кто живёт в этом странном мире?.. – почему-то шёпотом спросила Стелла.
– Хочешь – посмотрим? – неожиданно для себя, предложила я.
Я не поняла, куда девалась вся моя усталость, и почему это я вдруг совершенно забыла данное себе минуту назад обещание не вмешиваться ни в какие, даже самые невероятные происшествия до завтрашнего дня, или хотя бы уж, пока хоть чуточку не отдохну. Но, конечно же, это снова срабатывало моё ненасытное любопытство, которое я так и не научилась пока ещё усмирять, даже и тогда, когда в этом появлялась настоящая необходимость…
Поэтому, стараясь, насколько позволяло моё измученное сердце, «отключиться» и не думать о нашем неудавшемся, грустном и тяжёлом дне, я тут же с готовностью окунулась в «новое и неизведанное», предвкушая какое-нибудь необычное и захватывающее приключение…
Мы плавно «притормозили» прямо у самого входа в потрясающий «ледяной» мир, как вдруг из-за сверкавшего искрами голубого дерева появился человек… Это была очень необычная девушка – высокая и стройная, и очень красивая, она казалась бы совсем ещё молоденькой, почти что если бы не глаза… Они сияли спокойной, светлой печалью, и были глубокими, как колодец с чистейшей родниковой водой… И в этих дивных глазах таилась такая мудрость, коей нам со Стеллой пока ещё долго не дано было постичь… Ничуть не удивившись нашему появлению, незнакомка тепло улыбнулась и тихо спросила:
– Что вам, малые?
– Мы просто рядом проходили и захотели на вашу красоту посмотреть. Простите, если потревожили… – чуть сконфузившись, пробормотала я.
– Ну, что вы! Заходите внутрь, там наверняка будет интереснее… – махнув рукой в глубь, опять улыбнулась незнакомка.
Мы мигом проскользнули мимо неё внутрь «дворца», не в состоянии удержать рвущееся наружу любопытство, и уже заранее предвкушая наверняка что-то очень и очень «интересненькое».
Внутри оказалось настолько ошеломляюще, что мы со Стеллой буквально застыли в ступоре, открыв рты, как изголодавшиеся однодневные птенцы, не в состоянии произнести ни слова…
Никакого, что называется, «пола» во дворце не было… Всё, находящееся там, парило в искрящемся серебристом воздухе, создавая впечатление сверкающей бесконечности. Какие-то фантастические «сидения», похожие на скопившиеся кучками группы сверкающих плотных облачков, плавно покачиваясь, висели в воздухе, то, уплотняясь, то почти исчезая, как бы привлекая внимание и приглашая на них присесть… Серебристые «ледяные» цветы, блестя и переливаясь, украшали всё вокруг, поражая разнообразием форм и узорами тончайших, почти что ювелирных лепестков. А где-то очень высоко в «потолке», слепя небесно-голубым светом, висели невероятной красоты огромнейшие ледяные «сосульки», превращавшие эту сказочную «пещеру» в фантастический «ледяной мир», которому, казалось, не было конца…
– Пойдёмте, гостьи мои, дедушка будет несказанно рад вам! – плавно скользя мимо нас, тепло произнесла девушка.
И тут я, наконец, поняла, почему она казалась нам необычной – по мере того, как незнакомка передвигалась, за ней всё время тянулся сверкающий «хвост» какой-то особенной голубой материи, который блистал и вился смерчами вокруг её хрупкой фигурки, рассыпаясь за ней серебристой пыльцой…
Не успели мы этому удивиться, как тут же увидели очень высокого, седого старца, гордо восседавшего на странном, очень красивом кресле, как бы подчёркивая этим свою значимость для непонимающих. Он совершенно спокойно наблюдал за нашим приближением, ничуть не удивляясь и не выражая пока что никаких эмоций, кроме тёплой, дружеской улыбки.
Белые, переливающиеся серебром, развевающиеся одежды старца сливались с такими же, совершенно белыми, длиннющими волосами, делая его похожим на доброго духа. И только глаза, такие же таинственные, как и у нашей красивой незнакомки, потрясали беспредельным терпением, мудростью и глубиной, заставляя нас ёжиться от сквозящей в них бесконечности…
– Здравы будете, гостюшки! – ласково поздоровался старец. – Что привело вас к нам?
– И вы здравствуйте, дедушка! – радостно поздоровалась Стелла.
И тут впервые за всё время нашего уже довольно-таки длинного знакомства я с удивлением услышала, что она к кому-то, наконец, обратилась на «вы»…
У Стеллы была очень забавная манера обращаться ко всем на «ты», как бы этим подчёркивая, что все ею встреченные люди, будь то взрослый или совершенно ещё малыш, являются её добрыми старыми друзьями, и что для каждого из них у неё «нараспашку» открыта душа… Что конечно же, мгновенно и полностью располагало к ней даже самых замкнутых и самых одиноких людей, и только очень чёрствые души не находили к ней пути.
– А почему у вас здесь так «холодно»? – тут же, по привычке, посыпались вопросы. – Я имею в виду, почему у вас везде такой «ледяной» цвет?
Девушка удивлённо посмотрела на Стеллу.
– Я никогда об этом не думала… – задумчиво произнесла она. – Наверное, потому, что тепла нам хватило на всю нашу оставшуюся жизнь? Нас на Земле сожгли, видишь ли…
– Как – сожгли?!. – ошарашено уставилась на неё Стелла. – По-настоящему сожгли?.. – Ну, да. Просто там я была Ведьмой – ведала многое… Как и вся моя семья. Вот дедушка – он Ведун, а мама, она самой сильной Видуньей была в то время. Это значит – видела то, что другие видеть не могли. Она будущее видела так же, как мы видим настоящее. И прошлое тоже… Да и вообще, она многое могла и знала – никто столько не знал. А обычным людям это видимо претило – они не любили слишком много «знающих»… Хотя, когда им нужна была помощь, то именно к нам они и обращались. И мы помогали… А потом те же, кому мы помогли, предавали нас…

Девушка-ведьма потемневшими глазами смотрела куда-то вдаль, на мгновение не видя и не слыша ничего вокруг, уйдя в какой-то ей одной известный далёкий мир. Потом, ёжась, передёрнула хрупкими плечами, будто вспомнив что-то очень страшное, и тихо продолжила:
– Столько веков прошло, а я до сих пор всё чувствую, как пламя пожирает меня… Потому наверное и «холодно» здесь, как ты говоришь, милая, – уже обращаясь к Стелле, закончила девушка.
– Но ты никак не можешь быть Ведьмой!.. – уверенно заявила Стелла. – Ведьмы бывают старые и страшные, и очень плохие. Так у нас в сказках написано, что бабушка мне читала. А ты хорошая! И такая красивая!..
– Ну, сказки сказкам рознь… – грустно улыбнулась девушка-ведьма. – Их ведь именно люди и сочиняют… А что нас показывают старыми и страшными – то кому-то так удобнее, наверное… Легче объяснить необъяснимое, и легче вызвать неприязнь… У тебя ведь тоже вызовет большее сочувствие, если будут сжигать молодую и красивую, нежели старую и страшную, правда ведь?
– Ну, старушек мне тоже очень жаль… только не злых, конечно – потупив глаза, произнесла Стелла. – Любого человека жаль, когда такой страшный конец – и, передёрнув плечиками, как бы подражая девушке-ведьме, продолжала: – А тебя правда-правда сожгли?!. Совсем-совсем живую?.. Как же наверное тебе больно было?!. А как тебя зовут?
Слова привычно сыпались из малышки пулемётной очередью и, не успевая её остановить, я боялась, что хозяева под конец обидятся, и из желанных гостей мы превратимся в обузу, от которой они постараются как можно быстрее избавиться.
Но никто почему-то не обижался. Они оба, и старец, и его красавица внучка, дружески улыбаясь, отвечали на любые вопросы, и казалось, что наше присутствие почему-то и вправду доставляло им искреннее удовольствие…
– Меня зовут Анна, милая. И меня «правда-правда» совсем сожгли когда-то… Но это было очень-очень давно. Уже прошло почти пять сотен земных лет…
Я смотрела в совершенном шоке на эту удивительную девушку, не в состоянии отвести от неё глаза, и пыталась представить, какой же кошмар пришлось перенести этой удивительно красивой и нежной душе!..
Их сжигали за их Дар!!! Только лишь за то, что они могли видеть и делать больше, чем другие! Но, как же люди могли творить такое?! И, хотя я уже давно поняла, что никакой зверь не в состоянии был сделать то, что иногда делал человек, всё равно это было настолько дико, что на какое-то мгновение у меня полностью пропало желание называться этим же самым «человеком»….
Это был первый раз в моей жизни, когда я реально услышала о настоящих Ведунах и Ведьмах, в существование которых верила всегда… И вот, увидев наконец-то самую настоящую Ведьму наяву, мне, естественно, жутко захотелось «сразу же и всё-всё» у неё расспросить!!! Моё неугомонное любопытство «ёрзало» внутри, буквально визжа от нетерпения и умоляло спрашивать сейчас же и обязательно «обо всём»!..
И тут, видимо, сама того не замечая, я настолько глубоко погрузилась в столь неожиданно открывшийся мне чужой мир, что не успела вовремя правильно среагировать на вдруг мысленно открывшуюся картинку… и вокруг моего тела вспыхнул до ужаса реальный по своим жутким ощущениям, пожар!..
Ревущий огонь «лизал» мою беззащитную плоть жгучими языками пламени, взрываясь внутри, и почти что лишая рассудка… Дикая, невообразимо жестокая боль захлестнула с головой, проникая в каждую клеточку!.. Взвившись «до потолка», она обрушилась на меня шквалом незнакомого страдания, которого невозможно было ничем унять, ни остановить. Ослепляя, огонь скрутил мою, воющую от нечеловеческого ужаса, сущность в болевой ком, не давая вздохнуть!.. Я пыталась кричать, но голоса не было слышно… Мир рушился, разбиваясь на острые осколки и казалось, что обратно его уже не собрать… Тело полыхало, как жуткий праздничный факел… испепеляя, сгоравшую вместе с ним, мою израненную душу. Вдруг, страшно закричав… я, к своему величайшему удивлению, опять оказалась в своей «земной» комнате, всё ещё стуча зубами от так неожиданно откуда-то обрушившейся нестерпимой боли. Всё ещё оглушённая, я стояла, растерянно озираясь вокруг, не в состоянии понять, кто и за что мог что-то подобное со мной сотворить…

o-ili-v.ru

Ряд обратных квадратов Википедия