Сумма двух матриц – умножение на число, сложение, вычитание, умножение матриц. Свойства операций над матрицами.

Сложение и вычитание матриц: формула, свойства, примеры

Формула

Сложение матриц и это арифметическая операция, в результате которой, должна получаться матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов складываемых матриц:

Более подробно формула сложения двух матриц выглядит так:

Обратите внимание, что складывать и вычитать матрицы можно только одинаковой размерности. При сумме или разности будет получаться матрица такой же размерности как и слагаемые (вычитаемые) матрицы и . Если матрицы и отличаются друг от друга размерами, то сложение (вычитание) таких матриц будет ошибкой!

В формуле складываются матрицы 3 на 3, значит и получиться должна матрица 3 на 3.

Вычитание матриц полностью аналогично по алгоритму сложения, только знак минус. Каждый элемент искомой матрицы получается благодаря вычитанию соответствующих элементов матриц и :

Запишем подробную формулу вычитания двух матриц:

Стоит так же заметить, что нельзя складывать и вычитать матрицы с обычными числами, а так же с другими какими-то элементами

Будет полезно знать для дальнейших решений задач с матрицами знать свойства сложения (вычитания).

Свойства

  1. Если матрицы одинаковые по размеру, тогда для них действует свойство ассоциативности:
  2. Для каждой матрицы существует нулевая матрица, обозначаемая , при сложении (вычитании) с которой исходная матрица не изменяется:
  3. Для каждой ненулевой матрицы есть противоположная матрица сумма с которой обращается в нуль:
  4. При сложении (вычитании) матриц допустимо свойство коммутативности, то есть матрицы и можно менять местами:

Примеры решений

Пример 1

Даны матрицы и .

Выполнить сложение матриц, а затем вычитание.

Решение

Первым делом проверяем матрицы на размерность. У матрицы размерность , у второй матрицы размерность тоже . Это значит, что с данными матрицами можно провести совместную операцию по сложению и вычитанию.

Напомним, что для суммы нужно выполнить попарное сложение соответствующих элементов матриц .

Аналогично сумме находим разность матриц с помощью замены знака «плюс» на «минус»:

Ответ
Пример 2

Даны матрицы и .

Найти сумму и разность матриц.

Решение

Как обычно сначала проверяем матрицы на одинаковую размерность.

Для матрицы , а у матрицы .

Видим, что размерности двух матриц не совпадают, поэтому по определению суммы и разности матриц операции провести не возможно! На этом заканчиваем решение данного примера и записываем ответ.

Ответ
Данные матрицы нельзя складывать и вычитать из-за разного размера

В статье: «Сложение и вычитание матриц» были даны определения, правила, замечания, свойства операций и практические примеры решения.

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Умножение матриц.

Определение.

Результатом умножения матриц Am×n и Bn×k будет матрица Cm×k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (cij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

cij = ai1 · b1j + ai2

· b2j + … + ain · bnj

Замечание.

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Пример 1.

Найти матрицу C равную произведению матриц A = 4290 и B = 31-34

Решение:

С = A · B = 4290· 31-34 = 612279

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 — 6 = 6

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Пример 2

Найти матрицу C равную произведению матриц A = 21-304-1 и B = 5-16-307.

Решение:

C = A · B = 21-304-1· 5-16-307 = 7-219-153-1823-417

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·5 + 1·(-3) = 10 — 3 = 7

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c13 = a11·b13 + a12·b23 = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c21 = a21·b11 + a22·b21 = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c22 = a21·b12 + a22·b22 = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c23 = a21·b13 + a22·b23 = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c31

= a31·b11 + a32·b21 = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c32 = a31·b12 + a32·b22 = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c33 = a31·b13 + a32·b23 = 4·6 + (-1)·7 = 24 — 7 = 17

ru.onlinemschool.com

Определение суммы двух матриц, вычисление суммы. — КиберПедия

 

Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.

 

 

Умножение матрицы на число.

 

 

Произведение двух матриц.

Определитель квадратной матрицы.

Определитель — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленомот элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

Определение через разложение по первой строке

Схема расчета определителя матрицы .

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы детерминант определяется как

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где — дополнительный минор к элементу . Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:


Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке):

Доказательство


Также справедливо и аналогичное разложение по любой строке (столбцу):

Доказательство Обобщением вышеуказанных формул является разложение детерминанта по Лапласу (Теорема Лапласа), дающее возможность вычислять определитель по любым k строкам (столбцам):

Определение через перестановки

Для матрицы справедлива формула:

,

где — перестановка чисел от 1 до , — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка . Таким образом, в определитель войдёт слагаемых, которые также называют «членами определителя». Важно заметить, что во многих курсах линейной алгебры это определение даётся как основное.

Схема вычисления определителя третьего порядка.

 

Вычисление определителя по схеме.

 

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

(2)

Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка (см. рис. 1 и рис. 2).

По схеме, приведенной на рис. 1, произведения соединеных элементов берутся со своим знаком, а по схеме рис. 2 — с обратным. Величина определителя равна алгебраической сумме полученных шести произведений



Системы линейных уравнений.

 

 

 

Решение систем уравнений методом Крамера.

 

 

Решение систем уравнений методом Гаусса.

 

 

Основные правила дифференцирования функции, простейшие производные.

 

 

13. Производная сложной функции.

 

cyberpedia.su

Сложение матриц | Сумма матриц

Что такое сложение матриц? Как находить сумму двух и более матриц? Все это вы узнаете прочитав данную статью.


 Определение: Суммой матриц A и B одинакового размера называется матрица того же размера, определяемая равенством:

Таким образом, сложение 2 и более матриц, сводиться к сложению их элементов.

Примеры с решением на нахождение суммы матриц

Рассмотрим несколько примеров на поиск суммы матриц.

Пример: Найти сумму двух матриц A и B, если

Таким образом, чтобы найти сумму двух матриц A и B нам нужно найти сумму элементов матриц.


В следующем примере найдем сумму матриц размерность 4 на 2.


В следующем примере нам нужно найти сумму матриц A, B и C.

Свойства операции сложения матриц

  1. Сложение матриц коммутативно, то есть A+B=B+A
  2. Сложение матриц ассоциативно, то есть (A+B)+C=A+(B+C)

Видеоурок по математике: сложение матриц

Также вы можете посмотреть видеоурок по математике на тему: «Сумма матриц», где демонстрируется как вычислить сумму матриц.

shkolnaiapora.ru

умножение на число, сложение, вычитание, умножение матриц. Свойства операций над матрицами.

Сложение матриц:

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. С = А + В cij = aij + bij Аналогично определяется разность матриц.

Умножение матрицы на число:

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что

bij = k × aij. В = k × A bij = k × aij. Матрица   — А = (-1) × А   называется противоположной матрице А.

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С; 3. А + 0 = А; 4. А — А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , где А, В и С — матрицы, α и β — числа.

Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + … + ain × bnk, т. е. находиться сумма произведений элементов i — ой строки матрицы А на соответствующие элементы j — ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е — единичная матрица того же размера.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких — либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А × Е = Е × А = А

Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ)Т = ВТАТ; 7. (АВС)Т = СТВТАТ; 8. (А + В)Т = АТ + ВТ;

2. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Определить количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы, в алгебраической сумме, можно вычислив факториал: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Свойства определителей матриц

Свойства определителей матриц:

Свойство № 1:

Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А|Т

Следствие:

Столбцы и строки определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов.

Свойство № 2:

При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.:

Свойство № 3:

Определитель матрицы, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство № 4:

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя.

Следствия из свойств № 3 и № 4:

Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю.

Свойство № 5:

Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю.

Свойство № 6:

Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле:

Свойство № 7:

Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины.

Пример применения свойств для вычисления определителя матрицы:

studfiles.net

Сложение матриц онлайн

Сложение матриц

Сложение матриц А и В – это нахождение такой матрицы С, все элементы которой представляют собой сложенные попарно соответствующие элементы исходных матриц А и В. Складывать допускается только матрицы одинаковой размерности (допустим m × n), т.е. имеющие равное количество строк и равное количество столбцов.

Таким образом, математически сумма матриц выглядит так:

Аm×n + Bm×n = Cm×n

Каждый элемент искомой матрицы равен сумме соответствующих элементов заданных матриц:

cij = aij + bij,

где i принимает значение от 1 до m, j имеет значения от 1 до n.

Рассмотрим пример сложения двух матриц размера 2 × 3.
Даны две матрицы:

Найти сумму матриц А и В.
Решение:

Свойства сложения матриц:

  1. Коммутативность – переместительный математический закон, согласно которому результат сложения матриц не зависит от их перестановки.
    A + В = В + А
  2. Ассоциативность – сочетательный математический закон, согласно которому результат сложения матриц не зависит от последовательности расстановки скобок.
    А + (В + С) = (А + В) + С
  3. Сложение с нулевой матрицей – для любой матрицы существует нейтральный элемент, которым является нулевая матрица, сложение с которым не изменяет исходную матрицу.
    Нулевая матрица O – матрица, все элементы которой имеют нулевое значение.
    А + О = А
  4. Существование противоположной матрицы – для ненулевой матрицы А всегда существует матрица –А, суммой которых является нулевая матрица.
    А + (-А) = О
Вы также можете

в качестве элементов матрицы вводить целые и дробные числа, а также выражения с переменной x (например, в ячейку матрицы можно ввести 2x, или sin(x), или даже ((x+2)^2)/lg(x)).
Полный список доступных функций можно найти в справке.

www.yotx.ru

Сложение матриц онлайн

www.matcabi.net позволяет найти сумму матриц онлайн. Сайт производит сложение матриц онлайн. За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Суммой матриц будет являться матрица, каждый элемент которой вычисляется как сумма соответствующих элементов суммируемых матриц онлайн. При сложении матриц, каждый элемент полученной матрицы будет результатом сложения соответствующих элементов складываемых матриц онлайн. Найти онлайн сумму двух матриц одинаковых размерностей сводится к нахождению матрицы этой же размерности. Операция сложения онлайн двух матриц одинаковых размерностей сводится к нахождению матрицы этой же размерности. Элементы этой матрицы составляют алгебраическую сумму элементов суммируемых матриц, это результат сложения матриц онлайн. Задача по нахождению суммы матриц онлайн или операция сложения матриц онлайн заключается в простом алгебраическом сложении элементов матриц. www.matcabi.net находит сумму матриц заданных размерностей в режиме онлайн. Сложение матриц онлайн заданной размерности — это нахождение той же размерности матрицы, элементами которой будут суммы чисел соответствующих элементов складываемых матриц. Относительно алгебраического сложения матрицы образуют абелеву группу. Нахождение суммы матриц онлайн широко распространено в теории матриц. Сложение матриц онлайн используется для определения результирующей матрицы от сложения заданных матриц. Для того, чтобы вычислить сумму матриц или определить сложение матриц онлайн, необходимо затратить не мало времени, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет сумму матриц онлайн от сложения двух заданных матриц онлайн. При этом ответ по нахождению суммы матриц будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при сложении матриц онлайн будут иррациональными. На сайте www.matcabi.net допускаются символьные записи в элементах матриц, то есть сумма матриц онлайн может быть представлена в общем символьном виде при сложении матриц онлайн. Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи на сложение матриц онлайн, используя сайт www.matcabi.net. При совершении операции сложения матриц онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему сложение матриц онлайн. Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.matcabi.net безусловно будет являться удобным инструментом для проверки сложения матриц онлайн.

www.matcabi.net