Сумма четвертых степеней формула – Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.

Разность пятой степени | Формулы с примерами

1. 3⁵ — 2⁵ = (3 — 2) • (3⁴ + 3³ • 2 + 3² • 2² + 3 • 2³ + 2⁴) =
(3 — 2) • (81 + 27 • 2 + 9 • 4 + 3 • 8 + 16) =
1 • (81 + 54 + 36 + 24 + 16) =
1 • 211 = 211 ;
a = 3⁵ ;
b = 2⁵ ;

2. 4⁵ — 3⁵ = (4 — 3) • (4⁴ + 4³ • 3 + 4² • 3² + 4 • 3³

+ 3⁴) =
(4 — 3) • (256 + 64 • 3 + 16 • 9 + 4 • 27 + 81) =
1 • (256 + 192 + 144 + 108 + 81) =
1 • 781 = 781 ;
a = 4⁵ ;
b = 3⁵ ;

3. 5⁵ — 2⁵ = (5 — 2) • (5⁴ + 5³ • 2 + 5² • 2² + 5 • 2³ + 2⁴

) =
(5 — 2) • (625 + 125 • 2 + 25 • 4 + 5 • 8 + 16) =
3 • (625 + 250 + 100 + 40 + 16) =
3 • 1 031 = 3 093 ;
a = 5⁵ ;
b = 2⁵ ;

formula-xyz.ru

Суммы степеней — арифметические прогрессии, геометрические прогрессии, суммы степеней, различные прогрессии

Арифметические прогрессии

$a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\{a+(n-1)d\}=$$\left(\frac{1}{2}\right)n\{2a+(n-1)d\}=$$\left(\frac{1}{2}\right)n(a+l)$
где $l=a+(n-1)d$ есть последним членом.

Некоторые особые случаи есть
$1+2+3+\cdots+n=$$\left(\frac{1}{2}\right)n(n+1)$

$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

Геометрические прогрессии

$a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n=$$\frac{a(1-r^n)}{1-r}=$$\frac{a-rl}{1-r}s$
где $l=ar^{n-1}$ есть последним членом и $r\neq1$.

Если $-1 $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n=$$\frac{a}{1 — r}$

Арифметическо-геометрические прогрессии

$a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots+\{a+(n-1)d\}r^{n-1}=$$\frac{a(1-r^n)}{1-r}+\frac{rd\{1-nr^{n-1}+(n-1)r^n\}}{(1-r)^2}$
где $r\neq1$.

Если $-1$a+(a+d)r+(a+2d)r^2+\cdots=$$\frac{a}{1-r}+\frac{rd}{(1-r)^2}$

Суммы степеней натуральных чисел

$1^p+2^p+3^p+\cdots+n^p=$$\frac{n^{p+1}}{p+1}+\frac{1}{2}n^p+$$\frac{B_1pn^{p-1}}{2!}-\frac{B_2p(p-1)(p-2)n^{p-3}}{4!}+\cdots$
где последовательность чисел заканчивается в $n^2$ или $n$ соответственно когда $p$ есть нечетное или четное и $B_k$ есть числа Бернулли.

Некоторые особые случаи есть

$1+2+3+\cdots+n=$$\frac{n(n+1)}{2}$

$1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=$$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=$$\frac{n^2(n+1)^2}{4}=$$(1+2+3+\cdots+n)^2$

$1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4=$$\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$

If $S_k=1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k$ где $k$ и $n$ есть натуральные числа, тогда
$\binom{k+1}{1}S_1+\binom{k+1}{2}S_2+\cdots+\binom{k+1}{k}S_k=$$(n+1)^{k+1}-(n+1)$

Прогрессии с обратными степенями натуральных чисел

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots=$$\ln2$

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots=$$\frac{\pi}{4}$

$1-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\frac{1}{13}-\cdots=$$\frac{\pi\sqrt{3}}{9}+\frac{1}{3}\ln2$

$1-\frac{1}{5}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+\frac{1}{17}-\cdots=$$\frac{\pi\sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}\ln(1+\sqrt{2})}{4}$

$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{8}-\frac{1}{11}+\frac{1}{14}-\cdots=$$\frac{\pi\sqrt{3}}{9}-\frac{1}{3}\ln2$

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=$$\frac{\pi^2}{6}$

$\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots=$$\frac{\pi^4}{90}$

$\frac{1}{1^6}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{4^6}+\cdots=$$\frac{\pi^6}{945}$

$\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\cdots=$$\frac{\pi^2}{12}$

$\frac{1}{1^4}-\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}-\frac{1}{4^4}+\cdots=$$\frac{7\pi^4}{720}$

$\frac{1}{1^6}-\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}-\frac{1}{4^6}+\cdots=$$\frac{31\pi^6}{30,240}$

$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots=$$\frac{\pi^2}{8}$

$\frac{1}{1^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{7^4}+\cdots=$$\frac{\pi^4}{96}$

$\frac{1}{1^6}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{5^6}+\frac{1}{7^6}+\cdots=$$\frac{\pi^6}{960}$

$\frac{1}{1^3}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots=$$\frac{\pi^3}{32}$

$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots=$$\frac{3\pi^3\sqrt{2}}{128}$

$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\frac{1}{7\cdot9}+\cdots=$$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot4}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{4\cdot6}+\cdots=$$\frac{3}{4}$

$\frac{1}{1^2\cdot3^2}+\frac{1}{3^2\cdot5^2}+\frac{1}{5^2\cdot7^2}+\frac{1}{7^2\cdot9^2}+\cdots=$$\frac{\pi^2-8}{16}$

$\frac{1}{1^2\cdot2^2\cdot3^2}+\frac{1}{2^2\cdot3^2\cdot4^2}+\frac{1}{3^2\cdot4^2\cdot5^2}+\cdots=$$\frac{4\pi^2-39}{16}$

$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+d}+\frac{1}{a+2d}-\frac{1}{a+3d}+\cdots=$$\int\limits_0^1\frac{u^{a-1}\ du}{1+u^d}$

$\frac{1}{1^{2p}}+\frac{1}{2^{2p}}+\frac{1}{3^{2p}}+\frac{1}{4^{2p}}+\cdots=$$\frac{2^{2p-1}\pi^{2p}B_p}{(2p)!}$

$\frac{1}{1^{2p}}+\frac{1}{3^{2p}}+\frac{1}{5^{2p}}+\frac{1}{7^{2p}}+\cdots=$$\frac{(2^{2p}-1)\pi^{2p}B_p}{2(2p)!}$

$\frac{1}{1^{2p}}-\frac{1}{2^{2p}}+\frac{1}{3^{2p}}-\frac{1}{4^{2p}}+\cdots=$$\frac{(2^{2p-1}-1)\pi^{2p}B_p}{(2p)!}$

$\frac{1}{1^{2p+1}}-\frac{1}{3^{2p+1}}+\frac{1}{5^{2p+1}}-\frac{1}{7^{2p+1}}+\cdots=$$\frac{\pi^{2p+1}E_p}{2^{2p+2}(2p)!}$

Различные прогрессии

$\frac{1}{2}+\cos\alpha+\cos2\alpha+\cdots+\cos n\alpha=$$\frac{\sin(n+\frac{1}{2})\alpha}{2\sin\frac{\alpha}{2}}$

$\sin\alpha+\sin2\alpha+\sin3\alpha+\cdots+\sin n\alpha=$$\frac{\sin\left[\frac{1}{2}(n+1)\right]\alpha\sin\frac{1}{2}n\alpha}{\sin\frac{\alpha}{2}}$

$1+r\cos\alpha+r^2\cos2\alpha+r^3\cos3\alpha+\cdots=$$\frac{1-r\cos\alpha}{1-2r\cos\alpha+r^2}$,   $|r|

$r\sin\alpha+r^2\sin2\alpha+r^3\sin3\alpha+\cdots=$$\frac{r\sin\alpha}{1-2r\cos\alpha+r^2}$,   $|r|

$1+r\cos\alpha+r^2\cos2\alpha+\cdots+r^n\cos n\alpha=$$\frac{r^{n+2}\cos n\alpha-r^{n+1}\cos(n+1)\alpha-r\cos\alpha+1}{1-2r\cos\alpha+r^2}$

$r\sin\alpha+r^2\sin2\alpha+\cdots+r^n\sin n\alpha=$$\frac{r\sin\alpha-r^{n+1}\sin(n+1)\alpha+r^{n+2}\sin n\alpha}{1-2r\cos\alpha+r^2}$

Формулы суммирования Эйлера — Маклорена

$\sum\limits_{k=1}^{n-1}F(k)=$$\int\limits_0^nF(k)dk-\frac{1}{2}\{F(0)+F(n)\}+\frac{1}{12}\{F'(n)-F'(0)\}-$$\frac{1}{720}\{F»'(n)-F»'(0)\}+$$\frac{1}{30,240}\{F^{(v)}(n)-F^{(v)}(0)\}-\frac{1}{1,209,600}\{F^{(vii)}(n)-F^{(vii)}(0)\}$
$+\cdots(-1)^{p-1}\frac{B_p}{(2p)!}\{F^{(2p-1)}(n)-F^{(2p-1)}(0)\}+\cdots$

Формула суммирования Пуассона

$\sum\li

www.math10.com

Разложение на множители разности степеней

Частично использовать разложение на множители разность степеней мы уже умеем — при изучении темы «Разность квадратов» и «Разность кубов» мы научились представлять как произведение разность выражений, которые можно представить как квадраты или как кубы некоторых выражений или чисел.

Формулы сокращенного умножения

По формулам сокращенного умножения:

разность квадратов можно представить как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму

Разность кубов можно представить как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы

Переход к разности выражений в 4 степени

Опираясь на формулу разности квадратов, попробуем разложить на множители выражение $a^4-b^4$

Вспомним, как возводится степень в степень — для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е ${(a^n)}^m=a^{n*m}$

Тогда можно представить:

$a^4={{(a}^2)}^2$

$b^4={{(b}^2)}^2$

Значит, наше выражение можно представить, как $a^4-b^4={{(a}^2)}^2$-${{(b}^2)}^2$

Далее можно заметить, что теперь многочлен представляет собой разность квадратов одночленов $a^2$ и $b^2$ .Разложим многочлен на множители как произведение разности одночленов на их сумму

Теперь в первой скобке мы вновь получили разность чисел, значит вновь можно разложить на множители как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму: $a^2-b^2=\left(a-b\right)(a+b)$.

Исходное выражение принимает вид

Теперь вычислим произведение второй и третьей скобок используя правило произведения многочленов, — умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат. Для этого сначала первый член первого многочлена — $a$ — умножим на первый и второй член второго (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, затем второй член первого многочлена -$b$- умножим на первый и второй члены второго многочлена (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ и составим сумму получившихся выражений

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

Запишем разность одночленов 4 степени с учетом вычисленного произведения:

$a^4-b^4={{(a}^2)}^2$-${{(b}^2)}^2={(a}^2-b^2)(a^2+b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\ $=

Переход к разности выражений в 6 степени

Опираясь на формулу разности квадратов попробуем разложить на множители выражение $a^6-b^6$

Вспомним, как возводится степень в степень — для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е ${(a^n)}^m=a^{n\cdot m}$

Тогда можно представить:

$a^6={{(a}^3)}^2$

$b^6={{(b}^3)}^2$

Значит, наше выражение можно представить, как $a^6-b^6={{(a}^3)}^2-{{(b}^3)}^2$

Далее можно заметить, что теперь многочлен представляет собой разность квадратов одночленов $a^2$ и $b^2$ .Разложим многочлен на множители как произведение разности одночленов на их сумму

В первой скобке мы получили разность кубов одночленов, во второй сумму кубов одночленов, теперь вновь можно разложить на множители разность кубов одночленов как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы $a^3-b^3=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)$

Исходное выражение принимает вид

$a^6-b^6={(a}^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)$

Вычислим произведение второй и третье скобок используя правило произведения многочленов, — умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат.

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

Запишем разность одночленов 6 степени с учетом вычисленного произведения:

$a^6-b^6={(a}^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

Разложение на множители разности степеней

Проанализируем формулы разности кубов, разности $4$ степеней, разности $6$ степеней

Мы видим, что в каждом из данных разложений присутствует некоторая аналогия, обобщая которую получим:

Пример 1

Разложить на множители ${32x}^{10}-{243y}^{15}$

Решение: Сначала представим каждый одночлен как некоторый одночлен в 5 степени:

\[{32x}^{10}={(2x^2)}^5\]\[{243y}^{15}={(3y^3)}^5\]

Используем формулу разности степеней

Рисунок 1.

spravochnick.ru

Сумма пятой степени | Формулы с примерами

1. 2⁵ + 3⁵ = (2 + 3) • (2³ • 3 + 2² • 3² — 2 • 3³ + 3⁴) =
5 • (16 — 8 • 3 + 4 • 9 — 2 • 27 + 81) =
5 • (16 — 24 + 36 — 54 + 81) =
5 • 55 = 275 ;
a = 2⁵ ;
b = 3⁵ ;

2. 7⁵ + 5⁵ = (7 + 5) • (7⁴ — 7³ • 5 + 7² • 5² — 7 • 5³ + 5⁴) =
12 • (2 401 — 343 • 5 + 49 • 25 — 7 • 125 + 625) =
12 • (2 401 — 1 715 + 1 225 — 875 + 625) =
12 • 1 661 = 19 932 ;
a = 7⁵ ;
b = 5⁵ ;

3. 3⁵ + 3⁵ = (3 + 5) • (3⁴ — 3³ • 5 + 3² • 5² — 3 • 5³ + 5⁴) =
8 • (81 — 27 • 5 + 9 • 25 — 3 • 125 + 625) =
8 • (81 — 135 + 225 — 375 + 625) =
8 • 421 = 3 368 ;
a = 3⁵ ;
b = 5⁵ ;

formula-xyz.ru

Сумма седьмой степени | Формулы с примерами

1. 1⁷ + 3⁷ = (1 + 3) • (1⁶ — 1⁵ • 3 + 1⁴ • 3² — 1³ • 3³ + 1² • 3⁴ — 1 • 3⁵ + 3⁶) =
4 • (1 — 3 + 9 — 27 + 81 — 243 + 729) =
4 • 547 = 2 188 ;
a = 1⁷ ;
b = 3⁷ ;

2. 2⁷ + 3⁷ = (2 + 3) • (2⁶ — 2⁵ • 3 + 2⁴ • 3² — 2³ • 3³ + 2⁴ • 3⁴ — 2 • 3⁵ + 3⁶) =
5 • (64 — 32 • 3 + 16 • 9 — 8 • 27 + 4 • 81 — 2 • 243 + 729) =
5 • (64 — 96 + 144 — 216 + 324 — 486 + 729) =
5 • 463 = 2 315 ;
a = 2⁷ ;
b = 3⁷ ;

3. 3⁷ + 5

7 = (3 + 5) • (3⁶ — 3⁵ • 5 + 3⁴ • 5² — 3³ • 5³ + 3² • 5⁴ — 3 • 5⁵ + 5⁶) =
8 • (729 — 125 • 5 + 81 • 25 — 27 • 125 + 9 • 625 — 3 • 3 125 + 15 625) =
8 • (729 — 625 + 2 025 — 3 375 + 5 625 — 9 375 + 15 625) =
80 312 ;
a = 3⁷ ;
b = 5⁷ ;

formula-xyz.ru

Формулы сумм ряда натуральных чисел в целочисленной степени

 

Сумма натурального ряда

Это известная формула, открытая еще Гауссом  в шестилетнем возрасте.

 

Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен во  вторую степень

 

 

Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в третью степень

 

 

Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в четвертую степень

 

 

Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в пятую степень

 

 

Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в шестую степень

 

 

Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в седьмую степень

 

 

Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в восьмую степень

 

 

Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в девятую степень

 

 

Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в десятую степень

 

Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в одинадцатую степень

 

Сумма натурального ряда где каждый элемент возведен в двенадцатую степень

 

 

• Функция ошибок >>

www.abakbot.ru

Правила возведения в степень

---

a— основание степени, действительное число (

aϵ R )

n — показатель степени, натуральное число ( n ϵ N )

 

 

 

Произведение степеней с одинаковым основанием:

 

Деление степеней с одинаковым основанием:

если  n > m

 

если  n = m

 

если  n < m

 

Возведение степени в степень:

 

Произведение в степени:

 

Деление в степени:

---

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 24 августа 2012

Обновлено: 24 мая 2017

www-formula.ru