Сумма четвертых степеней формула – Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, сумма кубов и разность кубов и разность четвертых степеней. Квадрат суммы и квадрат разности и куб суммы и куб разности.
Сумма степеней
Сумма степеней» сумма степеней …
mathshkola.ru
Формулы разности и суммы степеней
В программу углубленного изучения математики входят две формулы, обобщающие общеизвестные, хрестоматийные формулы разности квадратов и кубов, а также суммы кубов.
Для любого натурального числа n:
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}\times b+ a^{n-3}\times b^2+\ldots+ a^{2}\times b^{n-3}+ a\times b^{n-2}+b^{n-1}$
$a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k-1}\times b+ a^{2k-2}\times b^2-\ldots -a^{2}\times b^{2k-2}- a\times b^{2k-1}+b^{2k}$
Они также входят в программу профильного курса математики. И мы уже видели, насколько полезными являются эти формулы для решения задач на делимость и остатки для натуральных и целых чисел.
Доказательство этих формул несложно, хотя и связано с техническими, достаточно простыми выкладками. Для формулы разности степеней оно получается на основе обязательной для всех формулы суммы геометрической прогрессии: достаточно лишь заметить, что в формуле разности степеней второй множитель в правой части является суммой n членов геометрической прогрессии с первым членом $b_{1}=a^{n-1}$ и знаменателем $q=\frac b a$. Поэтому он равен:
так что $(b-a)S=b^n-a^n$, а это и есть доказываемая формула.
А для доказательства формулы суммы нечетных степеней можно в доказанную формулу подставить -b вместо b и взять n=2к+1.
Применения этих формул к делимости целых и натуральных чисел основываются на их следствиях:
разность степеней двух натуральных или целых чисел с одинаковыми показателями делится на разность оснований;
сумма степеней двух натуральных или целых чисел с одинаковыми нечетными показателями делится на сумму оснований.
Помимо практических приложений, эти формулы полезны и для теории. С их помощью можно доказать в общем виде признаки делимости на 3 и на 9, которые в младших классах были «доказаны» на примерах, т.е., строго говоря, оставлены без доказательства.
В самом деле, натуральное число с с цифрами $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots,a_{k-1},a_k$ в виде суммы разрядных слагаемых представляется как
$c=a_0\times10^k+a_1\times10^{k-1}+ a_2\times10^{k-2}+\ldots+ a_{k-1}\times10+a_k$
и, вычитая из с сумму его цифр
$s=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k-1}+a_k$ получаем число
$c-s= a_0(10^k-1)+a_1(10^{k-1}-1)+ a_2(10^{k-2}-1)+\ldots+a_{k-1}(10-1)$
а поскольку всякое число вида $10^n-1$ записывается с помощью одних девяток, то c-s делится на 9, так что число и сумма его цифр при делении на 9 дают одинаковые остатки, и в частности, делятся или не делятся на 9 одновременно. То же самое рассуждение годится и для числа 3.
Заметим, что с использованием сравнений доказательство проводится в одну строчку: так как $10\equiv1 (\mod {9})$, то
Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Загрузка…matemonline.com
Формулы сокращенного умножения и другие полезные алгебраические тождества
Формулы сокращенного уммножения:
1) Разность квадратов
2) Квадрат суммы
3) Квадрат разности
4) Сумма кубов
5) Разность кубов
Комментарий репетитора по математике:
Перед вами базовый школьный комплект формул, изучаемый в 7 классе по всем программам. Наибольшая доля задач в учебниках приходится на применение первых трех формул.
Трехчлены и называются неполными квадратами суммы и разности соответственно
Из методики репетитора по заучиванию названий: Примите к сведению, что названия всех формул даются по самой короткой их части. Например, в формуле разность квадратов это левая часть, а в формуле квадрат суммы — правая. В начале названия формулы указывается последнее действие в этой короткой части. Например, в формуле разность квадратов -это разность, а в формуле квадрат суммы — это квадрат.
Дополнительные формулы, изучаемые в математических классах:
6)Куб суммы
7) Куб разности
8) Квадрат суммы трех чисел
Комментарий репетитора по математике: Если в последней формуле поставить знак минус, например перед b или c (или сразу оба знака), то в правой части знак минус появится перед тем удвоенным произведением, которое эту букву содержит (или два минуса дадут снова плюс).
Другие полезные алгебраические тождества:
выражение суммы квадратов двух чисел через их сумму
выражение суммы квадратов двух чисел через их разность
Комментарий репетитора по математике: Эти тождества часто используются составителями конкурсных задач по математике (в том числе и на ЕГЭ) для того, чтобы замаскировать в уравнениях и неравенствах замену переменной. Если в вашем задании присутствует сумма квадратов двух выражений попробуйте перейти к сумме или к разности.
Бином Ньютона
Разность n-ных степеней
Сумма нечетных степеней
Колпаков Александр Николаевич, профессиональный репетитор по математике Москва, Строгино.
Метки: Заучивание формул, Справочник репетитора
ankolpakov.ru
Возведение в степень | Формулы с примерами
Формула возведения в степень
Степенью числа a с показателем n, называется произведение n сомножителей, каждый из которых равен a.
a — действительное число,
n — натуральное число.
Калькулятор возведения в степень онлайн
Правило возведения в степень
Возведение в степень — действие нахождения степени:
Умножение числа на себя один раз называется возведением числа в квадрат.
Умножение числа на себя два раза называется возведением в куб.
Свойства возведения в степень
1. Если отрицательно число возвести в четную степень, то получим положительное число.
Пример|
(-2)22 > 0;
(-3)34 > 0; (-5)88 |
2.Если отрицательное число возвести в нечетную степень, то получим отрицательное число.
! Возведение в степень — действие третьей ступени, его выполняют перед действиями второй ступени (умножением и делением) и первой ступени (сложением и вычитанем).
Возведение в степень примеры
1. x3 = x • x • x ;
a = x ;
2. k5 = k • k • k • k • k ;
a = k ;
3. 181 = 18 ;
a = 18;
4. 118 = 1;
a = 1 ;
5. 0 7 = 0;
a = 0;
6. 53 = 5 • 5 • 5 = 125 ;
a = 5 ;
7. 74 = 7 • 7 • 7 • 7 = 2 401 ;
a = 5 ;
formula-xyz.ru