Сумма бесконечно убывающей прогрессии – Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами. Упр 108 параграф 5 Алгебра Алимов 10-11 класс

Геометрическая прогрессия. Часть 1

Геометрическая прогрессия — это еще один частный случай числовых последовательностей.

Геометрической  прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. 

Очевидно, что первый член последовательности, и, следовательно, все ее члены, отличны от нуля.

Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

 

Основное свойство геометрической прогрессии.

Мы видим, что

Перемножив эти два равенства, получим:

Итак,

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних:

Нетрудно доказать, что

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с номера , равен произведению двух соседних:

Формулу n-го члена геометрической прогрессии можно получить аналогично формуле n-го члена арифметической прогрессии, выписав несколько первых членов и установив закономерность.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

ВАЖНО! Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти любой ее член.

Несложно получить формулу суммы n членов геометрической прогрессии.

…  (1)

Умножим обе части равенства на

… (2)

Вычтем из равенства (2) равенство (1). Получим:

(остальные слагаемые в правой части равенства взаимно уничтожатся)

Отсюда получаем формулу суммы n членов геометрической прогрессии:

(1)

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Если знаменатель геометрической прогрессии , то каждый следующий член прогрессии по модулю меньше предыдущего. Если в этой прогрессии бесконечное число членов, то при

Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей.

Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы находим по формуле:

(2)

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (2) мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов. Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой (1) суммы n членов, даже если .

Рассмотрим примеры задач.

1. Дана последовательность . Докажите, что эта последовательность является геометрической прогрессией.

Докажем, что для любого номера n отношение

—  мы видим, что отношение не зависит от номера n и равно числу -2, следовательно, данная последовательность является геометрической прогрессией.

 

2. Дана геометрическая прогрессия

1. Найдите пятый член прогрессии.

2. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

1.

2.

Найдем и .

Ответ: 1. -162; 2. -366

 

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии

Сумму бесконечной геометрической прогрессии найдем по формуле . (В задаче в явном виде указано, что мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией.)

;

Ответ:

 

4. Дана геометрическая прогрессия с положительными членами, в которой .

а) Найдите .

б) Определите количество членов прогрессии, начиная с первого, сумма которых равна 45.

а) Запишем условие задачи, выразив его через и . Получим систему уравнений:

Разделим второе уравнение на первое, получим

; .

По условию наша прогрессия с положительными членами, поэтому .

Найдем . Для этого подставим в первое уравнение системы.

б) По условию

Ответ: а) 3; б) 4.

 

5. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии в три раза больше ее первого члена. Найдите отношение .

Выразим условие задачи через и

Т.к. по условию , получим

. Отсюда

Нам нужно найти .

Ответ: 2,25

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Урок математики в 9-м классе по теме «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия»

Разделы: Математика

---

Цели урока:

1. ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией;
2. формулирование начального представления о пределе числовой последовательности;
3. знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Два ученика готовят записи формул у доски.

2) Остальные учащиеся выполняют математический диктант по теме «Формулы суммы».

Задания:

№1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен 6 (1-й вариант), -20 (2-й вариант), а пятый член -6 (1-й вариант), 20 (2-й вариант).

№2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен -20(1-й вариант), 6 (2-й вариант), а разность равна 10(1-й вариант), -3(2-й вариант).

№3. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её первый член равен 1(1-й вариант), -1 (2-й вариант), а знаменатель равен -2(1-й вариант), 2(2-й вариант).

По окончании диктанта, выборочно, у двоих учеников работы проверяются на оценку, остальные выполняют самопроверку по готовым решениям, записанным на отворотах доски.

Решения:

   

2. Изучение новой темы. (демонстрация презентации. Приложение 1)

1) Слайд №2.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.

Например, последовательность площадей квадратов:

. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

2) Слайд №3.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Фронтальная работа.

Записать определение: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Задача №1.

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

а)

Решение:

а) (фронтальная работа, запись на доске)

данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) (самостоятельно)

данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Продолжить работу с презентацией.

3) Слайд №4.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

 

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .

Если n неограниченно возрастает, то

4) Слайд №5.

Записать определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →. Теперь получим формулу, с помощью которой будем вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим формулу n первых членов геометрической прогрессии.

Тренировочные упражнения.

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.

Решение:

Задача №3. учебник [1], стр. 160, №433(1)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Решение:

Задача №4. учебник [1], стр. 160, №434(1)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если

Решение:

Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.

1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… /•10         2-й способ. 0,(5)=0,555…=

Задача №5. учебник [1], стр. 162, №445(3) (самостоятельное решение)

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 0,(12)= 4/33.

5) Слайд №6.

Подведение итогов.

1. С какой последовательностью сегодня познакомились?
2. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
3. Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?
4. Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Самостоятельная работа. (выполняется в рабочих тетрадях с использованием копирок и чистых листов бумаги, по окончании работы, откопированные записи решений сдаются на проверку, а по записям в тетрадях учащиеся выполняют самопроверку по готовым решениям).

Задания (слайд №6):

1. Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b₇= -30; b₆= 15?
2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;…
3. Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби.

Самопроверка (слайд №7).

Домашнее задание.

№435(1;3), 445(4), 436. [1]

Литература:

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров и др.- 8-е изд.-М.: Просвещение, 2002.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

««Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии»

Филиал Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Трудовская школа» при ГБУЗ РК «КПБ №5»

Урок в 9 классе на тему:

«Сумма бесконечно убывающей

геометрической прогрессии»

Подготовила:

Павловская Светлана Фёдоровна,

учитель математики МБУО

«Трудовская школа» при ГБУЗ РК

«КПБ №5»

2016 год

ЦЕЛИ УРОКА.

Образовательные цели:

закрепить навыки решения задач по нахождению суммы n первых членов геометрической прогрессии; ввести понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии; вывести формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сформировать умение в её применении.

Развивающие цели:

развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, сообразительность, речь учащихся.

Воспитательные цели:

повысить интерес к решению нестандартных задач, сформировать положительный мотив учения.

Образовательные технологи:

Тип урока: урок изучения и закрепления полученных знаний.

Оборудование: проектор, компьютер, экран, презентация, карточки с домашней контрольной работой.

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент (2 минуты): приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, определение личностных целей (приложение 1).

. Познакомить учащихся с порядком работы на уроке.

2. Математическая разминка (8 минут).

1. Сообщение исторического содержания (приложение 2).

2. Математический диктант.

с) Фронтальный опрос:

1. Какая последовательность называется геометрической прогрессией?

2. Что называется знаменателем геометрической прогрессии?

3. Какова формула n –го члена геометрической прогрессии?

4. Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии?

5. Такие геометрические прогрессии называются бесконечно убывающими.

3. Самостоятельная работа контролирующего характера (7 мин.). (Учащиеся выполняют работу по карточкам и сдают на проверку учителю)

Уровень 1.

1. b₁ = -4, q = 2. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии.

2. Найдите сумму первых 5 членов геометрической прогрессии: 2; 4; …

Уровень 2.

1. b₁ = 8, q = 1/2. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии.

2. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии: 3; — 6; ….

3. Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (b_n), в которой: b₂ = 2, b₄ = 18, q > 0.

Уровень 3.

1. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если b₁ = 2 , q = .

2. Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (b_n), в которой: b₂ = 6, b₄ = 24, q > 0.

3. Докажите, что последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, и найдите сумму n первых ее членов, если b_n = 32^n-1.

4. Изучение нового материала (8 мин.).

1. Устные упражнения:

Укажите знаменатель геометрической прогрессии сравните его модуль с 1:

1,

1; 0,1; 0,01; ……

25; — 5; 1; ……..

1; 0,25; ……….

Сделайте вывод. Предллагаю учащимся самостоятельно сформулировать определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии. (определение записывают в тетрадь)

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.

а) Задача практического характера.

Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой. Первый шаг он делает длиной 1 м., второй 1/2м, третий 1/4 м и т. д. так, что длина следующего шага в два раза меньше длины предыдущего.

Дойдет ли ученик до двери, если расстояние от стола до двери по прямой 5 м?

(после практического решения задачи делается вывод, что не дойдёт). Возникает вопрос: «А какое расстояние он пройдёт?»

5. Актуализация знаний учащихся, подготовка к восприятию нового. Устные упражнения (8 мин).

Сообщение темы и цели урока.

В результате, мы получили последовательность шагов: образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

Применяя формулу суммы первых членов геометрической прогрессии

Получим: = = — 2( -1) = 2, т.к. 0, при n

б) Вывод формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →∞

6. Практическое применение нового материала (6 мин.). (приложения 2-3).

Задача №1 (самостоятельно на местах).

b₁ = , b₂ = , S — ?

q = : 1, то

S = = = Ответ:

Задача №2 (один учащийся у доски, остальные помогают и записывают в тетрадь).

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь

а = 0,(15) = =0,151515 в виде обыкновенной дроби.

Решение этой задачи знакомит учащихся с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

0,(15) = 0,15 + 0,0015 + 0,000015 + …………

0,15; 0,0015; ……- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

b₁ = 0,15

b₂ = 0,0015

S — ?

Решение:

q = = 0,0015 : 0,15 = 0,01

S = = : = = =

Ответ: 0,(15) =

7. Самостоятельная работа на закрепление материала с последующей проверкой (4 мин).

Уровень 1.

Представьте бесконечную десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной. Ответ:

Уровень 2.

Представьте бесконечную десятичную дробь 0,(18) в виде обыкновенной. Ответ:

Уровень 3.

Представьте бесконечную десятичную дробь 0,4(6) в виде обыкновенной. Ответ:

8. Итог урока. Рефлексия (2 мин.)

1. С каким видом геометрической прогрессии мы познакомились на уроке?

2. Какую последовательность чисел можно назвать геометрической прогрессией?

3. Какую геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей?

4. Как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии?

Спасибо за урок! П. 27-28. Выполнить домашнюю контрольную работу (приложение 4).

Приложение 2.

ДЛЯ ЧЕГО НУЖНА ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

И ИСТОРИЯ ЕЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ.

Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16…Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период. Иными словами, если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на 7%, умноженному на 1,07. Ещё через год уже эта сумма увеличится на 7%, т.е. получившаяся в тот раз сумма вновь умножится на 1,07. Подобная ситуация описана в задачах на вычисление так называемых сложных процентов – процент берется каждый раз от суммы, которая есть на счете с учетом предыдущих процентов. Об этих задачах мы поговорим чуть позднее.

Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил 4 человек, те в свою очередь заразили еще по 4 человека, и таким образом вторая волна заражения – 16 человек, а те в свою очередь, заразили еще 4… и так далее…

Кстати, финансовая пирамида, та же МММ – это простой и сухой расчет по свойствам геометрической прогрессии. Интересно? Давай разбираться.

Приложение 3.

Приложение 4.

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Уровень 1.

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = — 3, q = 2.

2. Первый член геометрической прогрессии (b_n) равен 2, а знаменатель 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 24, 12, 6, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,(27).

Уровень 2.

1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 0,81, q = .

2. Второй член геометрической прогрессии (b_n) равен 21 , а четвёртый равен 189. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии, если все члены прогрессии положительны.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии — 40, 20, — 10, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,5(6).

Уровень 3.

1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b₁ = 729, q = .

2. Третий член геометрической прогрессии (b_n) равен 3,6, а пятый равен 32,4. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии, если все члены прогрессии положительны.

3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии -54, 18, — 6, ……

4. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную дробь 0,7(4).

infourok.ru

Сумма геометрической прогрессии

На этой странице даны формулы, с помощью которых вычисляется сумма геометрической прогрессии, и совет, как их запомнить.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

   

Здесь b1 — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а q — знаменатель геометрической прогрессии. Эту формулу можно применять при условии

   

Формула, по которой находится сумма бесконечной геометрической прогрессии простая, и запомнить ее не составляет труда.

Сумма первых членов геометрической прогрессии

вычисляется по формуле, запоминание которой обычно вызывает затруднения:

   

Здесь b1 и q — первый член и знаменатель  геометрической прогрессии, а n — количество взятых первых членов прогрессии (считая от b1).

Посмотрите внимательно на эту формулу. Это та же формула суммы бесконечно убывающее геометрической прогрессии:

   

только дополненная в числителе множителем

   

который от знаменателя отличается только тем, что q взято в степени n. Собственно, формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии — это сумма первых членов геометрической прогрессии при условии 

   

Если запомнить эту деталь, то формулу суммы первых членов геометрической прогрессии специально учить не придется. Достаточно дополнить формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

В следующий раз я расскажу, как легко запомнить формулы суммы арифметической прогрессии.

www.uznateshe.ru

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии — Математика — Ашық сабақтар

Тема урока: Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Цели и задачи урока:   Научить приёмам комбинирования формул, определений, свойств арифметической и геометрической прогрессий. Научить приёму оформления задач через таблицу.

     Развить навыки применения формул, составления уравнений, систем уравнений и методов их решений. Развить математический кругозор, мышление, математическую речь; 

     Воспитать активную работу на уроке, сознательное отношение к учёбе, интерес к изучению математики, воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию.

План урока. 

I. Организационный момент.

II. Немного истории.

III. Теоретический опрос.

IV. Решение задания  PISA.

V. Решение задач.

VI. Составление алгоритма  решения комбинированных задач на арифметическую и геометрическую прогрессии.

VII. Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.

VIII. Домашнее задание. 

Ход урока.

I. Организационный момент.

II. Немного истории. 

            В клинописных табличках вавилонян,  в   египетских папирусах, относящихся ко         2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.  Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным.   Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге  абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи. А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», в 1484 году.

III. Теоретический опрос.

Задание.  Записать номер формулы.

1) Определение арифметической прогрессии.

6) Формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии через первый член и последний.

12) Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

11) Формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии.

2)    Общую формулу для вычисления разности арифметической прогрессии.

0) Формулу свойства членов геометрической прогрессии.

5) Формулу суммы n-первых членов арифм-кой прогрессии через первый член и разность.

8) Общую формулу для вычисления знаменателя  геометрической прогрессии.

7) Определение геометрической прогрессии.

9) Формулу n-го члена геометрическую прогрессии.

4) Формулу свойства членов арифметической прогрессии.

3) Формулу n-го члена арифметической прогрессии.

1) an+1  = an  + d                                   7)   

2)                           8)  

3) an = a1 + (n – 1)d                            9)  

4)                             0)  

6)                   11)  

                      12)  

Проверить код ответов (      1, 6, 12, 11, 2,0.

Расшифровать полученные числа, как день16.12.11.  20-летия Независимости Казахстана.

IV. Решение комбинированных задач.

1. Даны 4 числа. Первые 3 из них составляют  геометрическую 

            прогрессию со знаменателем 2, а последние 3 — арифметическую прогрессию с 

            разностью 6. Найти данные числа.

Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр.  прогрессия{ а, в, с} и q = 2,

           арифмет.прогрессия{ в, с, е} и d = 6.

Найти: а, в, с, е.

Решение: 

а в с е

Геометр.

прогрессия а

аq = 2а аq2 = 4а —

 

Арифмет.

прогрессия —

в

в +  d = в + 6 в +  2d = в + 12

По данным составим таблицу.

По таблице видно, что 2а = в     и     4а = в + 6. 

Имеем  4а = 2а + 6, 2а = 6, а = 3. Тогда в = 2 

Ответ: 3, 6, 12, 18.

2. Сумма трёх чисел, образующих  арифмет. прогрессию, равна 27. 

            Если от этих чисел отнять соответственно 1; 3; 2, то полученные числа будут

            образовывать геометрическую прогрессию. Найти исходные три числа.

Дано: а, в, с – искомые числа, арифмет.  прогрессия { а, в, с},

           геометр.  прогрессия {а – 1, в – 3, с – 1}.

Найти: а, в, с. 

Искомые числа а в с

Арифмет.

прогрессия а

в = а + d

с = а + 2d

 

Геометр.

прогрессия а — 1

(а + d) – 3 а + 2d – 2 

 

Решение:

По данным составим таблицу.

 

1)   По условию сумма трёх чисел, образующих  арифметическую прогрессию, равна 27, тогда можно записать: а + а + d + а + 2d = 27,        3а + 3d = 27,       а + d = 9 (1). 

По данным таблицы получили при решении в = 9, так как в = а + d.

2) Используем свойство членов геометрической прогрессии. Получим уравнение:

(а + d – 3)2 = (а – 1)(а + 2d – 2),      (9 – 3)2 = (а – 1)( а + d + d – 2),        62 = (а – 1)(7 + d) (2)

Составим систему уравнений из уравнений (1) и (2) решим её.

 

   d2 – d –  20 = 0

По теореме Виета и ей обратной найдём корни полученного уравнения: 

Найдём искомые числа: 1) а = 9 – (– 4) = 13,      в = 9,        с = 9 – 4 = 5.

                                           2) а = 9 – 5 = 4,             в = 9,        с = 9 + 5 = 14.

Ответ: 13, 9, 4 или  4, 9, 14.

3. Даны 4 числа,  составляющих  геометрическую прогрессию. Если от

            этих чисел отнять соответственно 10; 11; 9; 1, то полученные числа будут 

            образовывать арифметическую прогрессию. Найти данные числа.

Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр.  прогрессия { а, в, с, е},

            арифмет.  прогрессия { а – 10, в – 11, с – 9, е – 1}.

Найти: а, в, с, е.  Решение:    По данным составим таблицу.

Числа а в с е

Геометр.

прогрессия а

аq

аq2

аq3

 

Арифмет.

прогрессия а – 10

в  – 11 = аq – 11

с  –  9 = аq2 – 9

е – 1 = аq3 – 1

 

 

По таблице используем данные и применим свойство арифметической  прогрессии                1)       ,      2аq – 22 = a + аq2 – 19,       аq2 — 2аq + a = – 3,     

 a(q2 — 2q + 1) = – 3,          a(q – 1)2 = – 3  (1).

2)   ,      2аq2 – 18 = aq + аq3 – 12,       аq3 — 2аq2 + aq = – 6,     

 aq(q2 — 2q + 1) = – 6,          aq(q – 1)2 = – 6  (2).

3) Почленно разделим  равенство (2) на равенство (1)          =  ,  

После сокращения  дробей получим  q = 2. 

4) Найдём значение а из равенства (1)   а =  – 3.

Вычислим остальные числа: в =  – 3 • 2 = –  6,  с = – 6 •2 = – 12,  е = – 12 • 2 = –24.

 Ответ: – 3, – 6, – 12,  – 24.

4. Даны 3 различных числа,  составляющих  геометрическую 

            прогрессию. Необходимо между вторым и третьим членом этой   

            последовательности вставить число, чтобы получившаяся последовательность

            была  арифметической прогрессией. Найти знаменатель заданной

            геометрической  прогрессии.

 

Дано: а, в, с – искомые числа,  геометрическая  прогрессия { а, в, с},

            арифметическая  прогрессия { а, в, х, с}.

Найти: q

 

Решение: Так как по условию 3 различных числа,  составляющих  геометрическую прогрессию, то q  для арифметической  прогрессии d   

 

а в х с

Геометр.

прогрессия а

аq

— аq2

 

Арифмет.

прогрессия а  

а + d

 

а + 2d

а + 3d

По данным составим таблицу.

По таблице видно, что   1)  аq = а + d,         d = аq – а,         d = а(q – 1) (1)

2 ) аq2 = а + 3d,        3d = аq2 – а ,      3 d = а(q2 – 1) (2)

3) Подставим равенство (1) в равенство (2)  3а(q – 1) = а(q2 – 1).

Разделим полученное равенство на а(q – 1)  , получим  3 = q + 1,  q = 2.  Ответ: 2. 

5. Решить неравенство (3х + 7 + 3 – 1 – …)(2 + 4 + 8 + …+ х)   0, где в скобках по 6 числовых слагаемых.

Решение. 1)  Рассмотрим числовые слагаемые первой скобки: 7; 3; — 1;…

 Заметим, что 3 – 7 = – 4,      – 1 – 3 = – 4 раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 6 слагаемых и они  образуют арифметическую  прогрессию с  d = – 4 и а1 = 7. 

По формуле суммы n-первых членов арифметической  прогрессии найдём сумму 6 членов:      

2) Рассмотрим числовые слагаемые второй скобки: 2; 4; 8;…

Заметим, что 4 : 2 = 8: 4 = 2 раз не другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все 6 слагаемых образуют геометрическую  прогрессию с

 q = 2 и  в1 = 2.

По формуле суммы n-первых членов геометрической  прогрессии найдём сумму  6 членов:  

3) Полученные данные подставим в заданное неравенство (3х – 18)(126 + х)   0 и решим его методом интервалов.

 

Построим чертёж +                           ––                       +

 – 126                                      6

Ответ: (-  

6. Решить уравнение х2 – 6│х│ – 21 – 15 – 9 — … = 3 + 2 + 1 + 0,5 + ….. где в левой части уравнения 8 числовых слагаемых.

Решение.

1) Рассмотрим числовые слагаемые левой части уравнения: — 21; — 15; — 9;…

 Заметим, что – 21 – (– 15) =  – 15 – (– 9) =  6,   раз  другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 8 слагаемых образуют арифметическую  прогрессию с  d = 6 и а1 = – 21. 

По формуле суммы n-первых членов арифмет.  прогрессии найдём сумму  8 членов:              

4) Рассмотрим числовые слагаемые правой части уравнения без числа 3: 2; 1; 0,5;…

Заметим, что 1 : 2 = 0,5: 1 = 0,5 раз не другие слагаемые из этой последовательности не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все  слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую  прогрессию с  q = 0,5 и  в1 = 2.

По формуле суммы  членов бесконечно убывающей геометрической  прогрессии найдём сумму всех членов:  

1) Подставим полученные результаты в уравнение х2 – 6│х│+ 0  = 3 + 4 и решим его.

х2 – 6│х│ = 7,   х2 – 6│х│ – 7 = 0. Раскроем модуль по определению.

Если х то уравнение примет вид  х2 – 6х – 7 = 0. Найдём его корни по второму свойству коэффициентов квадратного уравнения  

Если х то уравнение примет вид х2 + 6х – 7 = 0. Найдём его корни по первому свойству коэффициентов квадратного уравнения  

Ответ:  

V. Рефлексия.  Ответьте на вопросы сами себе.

VI.  Домашнее задание.

1. Три числа составляют арифметическую  прогрессию с разностью равной 4. Если к третье число увеличить на 8, эти три числа будут образовывать геометрическую  прогрессию. Найти данные числа. (2, 6, 10)

2. Даны три числа образующих геометрическую прогрессию, первое из которых равно 8. Если второе число увеличить на 1, то эта последовательность станет арифметической  прогрессией. Найти знаменатель геометрической прогрессии.(1,5 или 0,5)

3. Даны четыре числа. Первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три — арифметическую  прогрессию. Сумма первого и последнего чисел равна 32, а сумма средних чисел – 24. Найти данные числа.(32, 16, 8, 0 или 2, 6, 18, 30) 

myblo.ucoz.ru

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6, а сумма её первых

УСЛОВИЕ:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6, а сумма её первых двух членов равна 9/2. Найдите знаменатель прогрессии

РЕШЕНИЕ:

S=b1/(1-q), где  b1 — первый член прогрессии,  q — знаменатель (| q |<1).

Известно, что^

S=6, т. е.   b1/(1-q)=6, откуда  b1=6*(1-q)   (1 уравнение)

b1  +b2= 9/2 или b1 + b1 *   q=9/2, откуда    b1*(1+q)=9/2 (2 уравнение) 

 

Подставим выражение для   b1 из 1-го уравнения во 2-е уравнение и получим:

  6*(1-q)* (1+q)=9/2, откуда  1-q^2=3/4, т. е.  q^2=1/4, откуда q=1/2 или  q=-1/2.

 

 

Похожие примеры:

Найдите знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма всех членов равна 36, а сумма всех членов этой прогрессии с четными номерами равна 3

3. Найдите все значения х, при которых значения выражений 3х – 2, 3 – х, 8х являются тремя последовательными членами арифметической прогрессии.
4. Найдите сумму первых 95 членов арифметич. прогрессии, если ее шестой член равен -23, а четырнадцатый -27
5. Сумма седьмого и четвертого членов арифметической прогрессии равна 6. Пятый ее член на 12 больше второго. Найдите второй и третий члены этой прогрессии.

Первый, второй и пятый члены арифметической прогрессии представляют собой первые три члена геометрической прогрессии. Если к первым двум членам этой
геометрической прогрессии прибавить по 1, а от третьего отнять 3, то получатся первые три члена некоторой арифметической прогрессии. Найдите сумму первых ста членов исходной арифметической прогрессии.

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 45, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

1) Геометрическая прогрессия 5,10,20 пятый член равен?
2)Геометрическая прогрессия (bn) n-член bn=2*4 (^n) Этой прогрессии знаменатель равен?
3)Вкладчик в банк положил 6000 Евро, банк выплачивает 2,5 % составных годовых. Сколько денег будет на счету вкладчика через 2 года?
4) Запишите первых пять членов геометрическое прогрессии, если их первый член равен 24, а каждый другой в два раза меньше того что перед ним.
5)Найдите Геометрическую прогрессию 3,12,48. знаменатель q, 6 члена b6, и первых шести членов сумма S6
6) Первый член геометрической прогрессии b1=90, а четвертый b4=(там на листе увидите эту дробь) Найдите знаменатель этой прогрессии q и сумму первых 4 членов S4.
7) Посчитайте геометрическую прогрессию ( на листе цифры)
8) Посчитайте геометрическую прогрессию 432,b2, b3, 16, второй и третий член

mathshkola.ru

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Онлайн калькулятор, который поможет найти площадь треугольника по трем сторонам используя формулу Герона.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма её первых пяти членов 31. Найдите первый член прогрессии

Ответы и объяснения

S = b1/(1-q) — формула суммы бесконечно убивающей геометрической прогрессии, где b1 — ее первый член, а q — знаменатель прогрессии.

Кто учится в школе? Мы, или ты?

Комментарии Отметить нарушение

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Cумма первых пяти членов геометрической прогрессии:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 32, а сумма её первых пяти членов 31. Найдите первый член прогрессии

Ответы и объяснения

S = b1/(1-q) — формула суммы бесконечно убивающей геометрической прогрессии, где b1 — ее первый член, а q — знаменатель прогрессии.

Кто учится в школе? Мы, или ты?

Комментарии Отметить нарушение

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Cумма первых пяти членов геометрической прогрессии:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой отношение между последующим и предыдущим членами остается неизменным. Это неизменное отношение называется знаменателем прогрессии.

Геометрическая прогрессия называется возрастающей, когда абсолютная величина ее знаменателя больше единицы, и убывающей, когда она меньше единицы.

Знаменатель прогрессии может быть и отрицательным числом, но прогрессии с отрицательным знаменателем практического значения не имеют.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле

Сумма первых n членов геометрической прогрессии (знаменатель которой не равен единице) выражается формулой

Первое из выражений удобнее брать, когда прогрессия возрастающая, второе — когда она убывающая

Если же q = 1, то сумма прогрессии равна

Суммой бесконечно убывающей прогрессии называется число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов убывающей прогрессии при неограниченном возрастании числа n.

Сумма бесконечно убывающей прогрессии прогрессии выражается формулой

poiskvstavropole.ru