Стьюдента формула – Т-критерий (табличные значения коэффициента Стьюдента) | Таблицы | Справочные материалы | База знаний

Алгоритм расчета t-критерия Стьюдента для независимых выборок измерений

1. Определить расчетное значение t-критерия по формуле

где f – степень свободы, которая определяется как

2. Определить критическое значение t-критерия с использованием таблицы 1 приложения, при заданном уровне значимости и степени свободы.

3. Сравнить расчетное и критическое значение t — критерия. Если расчетное значение больше или равно критическому, то гипотеза равенства средних значений в двух выборках изменений отвергается (Но). Во всех других случаях она принимается на заданном уровне значимости.

Пример. Две группы студентов обучались по двум различным методикам. В конце обучения с ними был проведен тест по всему курсу. Необходимо оценить, насколько существенны различия в полученных знаниях. Результаты тестирования представлены в таблице 4.

Таблица 4

25	18	9	13	8	20	25	18	6	12
19	13	12	12	18	9	7	10	18	20

Рассчитаем выборочное среднее, дисперсию и стандартное отклонение:

Определим значение t_p по формуле t_p = 0,45

По таблице 1 (см. приложение) находим критическое значение t_k для уровня значимости р = 0,01

t_k = 2,88

Вывод: так как расчетное значение критерия меньше критического 0,45<2,88 гипотеза Но подтверждается и существенных различий в методиках обучения нет на уровне значимости 0,01.

Алгоритм расчета t-критерия Стьюдента для зависимых выборок измерений

1. Определить расчетное значение t-критерия по формуле

, где

2. Рассчитать степень свободы f

3. Определить критическое значение t-критерия по таблице 1 приложения.

4. Сравнить расчетное и критическое значение t-критерия. Если расчетное значение больше или равно критическому, то гипотеза равенства средних значений в двух выборках изменений отвергается (Но). Во всех других случаях она принимается на заданном уровне значимости.

U—критерий Манна—Уитни

Назначение критерия

Критерий предназначен для оценки различий между двумя непараметрическими выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками, когда n < 30.

Описание критерия

Этот метод определяет, достаточно ли мала зона пересекающихся значений между двумя рядами. Чем меньше эта область, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше U, тем более вероятно, что различия достоверны.

Гипотезы

НО: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.

HI: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.

Алгоритм расчета критерия Манна-Уитни (u)

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.

2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 – другим, например, синим.

1. Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания признака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной большой выборкой.

3. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему значению меньший ранг.

4. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие – в другой.

5. Подсчитать сумму рангов отдельно на красных карточках (выборка 1) и на синих карточках (выборка 2). Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

6. Определить большую из двух ранговых сумм.

7. Определить значение U по формуле:

где n₁ – количество испытуемых в выборке 1;

n₂ – количество испытуемых в выборке 2,

Т_х – большая из двух рантовых сумм;

n_х – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

9. Определить критические значения U по таблице 2 (см. приложение).

Если U_эмп.> U_кр0,05, то гипотеза Но принимается. Если U_эмп.≤ U_кр, то отвергается. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Пример. Сравнить эффективность двух методов обучения в двух группах. Результаты испытаний представлены в таблице 5.

Таблица 5

18	10	7	15	14	11	13
15	20	10	8	16	10	19	7	15	14	29

Перенесем все данные в другую таблицу, выделив данные второй группы подчеркиванием и сделаем ранжирование общей выборки (см. алгоритм ранжирования в методических указаниях к заданию 3).

Значения	7	7	8	10	10	10	11	13	14	14	15	15	15	16	18	19	20	29
Ранги	1,5	1,5	3	5	5	5	7	8	9,5	9,5	12	12	12	14	15	16	17	18
Номер	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Найдем сумму рангов двух выборок и выберем большую из них: Т_х = 113

Рассчитаем эмпирическое значение критерия по формуле 2: U_p = 30.

Определим по таблице 2 приложения критическое значение критерия при уровне значимости р = 0.05 : U_k = 19.

Вывод: так как расчетное значение критерия U больше критического при уровне значимости р = 0.05 и 30 > 19, то гипотеза о равенстве средних принимается и различия в методиках обучения несущественны.

studfiles.net

Пример расчета t-критерия Стьюдента для независимых выборок

Предположим, что надо сравнить между собой результаты выполнения тестов на внимание в двух группах. Чтобы узнать различаются ли группы между собой необходимо вычислить t-критерий Стьюдента для независимых выборок.

1. Внесем данные по группам в таблицу:

№	Результаты группы №1 (сек.)	Результаты группы №2 (сек.)
1	30	46
2	45	49
3	41	52
4	38	55
5	34	56
6	36	40
7	31	47
8	30	51
9	49	58
10	50	46
11	51	46
12	46	56
13	41	53
14	37	57
15	36	44
16	34	42
17	33	40
18	49	58
19	32	54
20	46	53
21	41	51
22	44	57
23	38	56
24	50	44
25	37	42
26	39	49
27	40	50
28	46	55
29	42	43

Шаг 2. Проверить распределения на нормальность.

Шаг 3. Рассчитать среднее арифметическое, стандартное отклонение и количество человек в каждой группе.

Шаг 4. Вычисляем эмпирическое значения по формуле t-критерия Стьюдента для независимых выборок

Шаг 5. Вычисляем степени свободы.

Шаг 6. Определяем по таблице критических значений t-Стьюдента уровень значимости.

Значение 6,09 больше чем значение 3,473 следовательно уровень значимости меньше 0,001

Шаг 7. Если уровень значимости меньше 0,05 делается вывод о наличи различий между группами. Таким образом между двумя группами есть различия в скорости выполнения тестов на внимание.

 

statpsy.ru

1) T-критерий Стьюдента

Критерий t Стьюдента направлен на оценку различий величин среднихX иУ двух выборокX и У, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине.

Критерий t-Стьюдента для одной выборки

Метод позволяет проверить гипотезу о том, что среднее значение изучае­мого признака М_х отличается от некоторого известного значенияА. Проверя­емая статистическая гипотеза: Н₀:М = А. При ее отклонении принимается альтернативная гипотеза о том, чтоМ_х меньше (больше)А.

Исходное предположение: распределение признака в выборке приблизитель­но соответствует нормальному виду.

Структура исходных данных: значения изучаемого признака определены для каждого члена выборки, которая репрезентативна изучаемой генеральной со­вокупности.

Альтернатива методу: нет.

Формула для эмпирического значения критерияt-Стьюдента(1):

ПРИМЕР РАСЧЕТА

Предположим, исследовалось влияние условий воспитания в детском доме на ин­теллектуальное развитие детей. При использовании стандартного теста интеллекта для случайной выборки воспитанников детдома, состоящей из 36 детей, были получены следующие результаты: М_х = 106; σ = 15;N = 36. Исследователя интересовало, превышает ли интел­лект воспитанников детдома нормативный показательА = 100. Для принятия ста­тистического решения был определен уровень α = 0,05.

Ш aг 1. Вычисляем по формуле (1) эмпирическое значение критерия и число сте­пеней свободы:t_э= 2,4;df= 35.

Ш а г 2. Определяем по таблице критических значений критерия f-Стьюдентар-уровень значимости. Дляdf = 35 эмпирическое значение находится между критическими дляр = 0,05 ир = 0,01. Следовательно,р < 0,05.

Ш а г 3. Принимаем статистическое решение и формулируем вывод. Статистичес­кая гипотеза о равенстве среднего значения заданной величине отклоняется. Ин­теллект воспитанников детдома (М= 106; σ = 15; N= 36) статистически достоверно превышает нормативный показатель интеллектаА = 100 (на уровне значимости р < 0,05).

2) T-критерий Стьюдента для независимых выборок

Метод позволяет проверить гипотезу о том, что средние значения двух ге­неральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые независимые выборки, отличаются друг от друга. Допущение независимости предполагает, что представители двух выборокне составляют пары коррелирующих значений признака. Это предположение нарушилось бы, если, например, 1-я выборка состояла из мужей, а 2-я — из их жен, и два ряда значений измеренного при­знака могли бы коррелировать.

Проверяемая статистическая гипотеза Н₀:М₁ = М₂ (средние значения в выборках 1 и 2 равны). При ее отклонении при­нимается альтернативная гипотеза о том, чтоМ₁ больше (меньше)М₂.

Исходные предположения для статистической проверки:

□ одна выборка извлекается из одной генеральной совокупности, а другая выборка, независимая от первой, извлекается из другой генеральной со­вокупности;

□ распределение изучаемого признака и в той, и в другой выборке при­близительно соответствует нормальному;

□ дисперсии признака в двух выборках примерно одинаковы (гомогенны).

Структура исходных данных: изучаемый признак измерен у объектов (ис­пытуемых), каждый из которых принадлежит к одной из двух сравниваемых независимых выборок.

Ограничения: распределения признака и в той, и в другой выборке должно суще­ственно не отличаться от нормального;в случае разной численности сравнива­емых выборок их дисперсии статистически достоверно не различаются (про­веряется по критериюF-Фишера — при вычислениях «вручную», по критерию Ливена — при вычислениях на компьютере).

Альтернатива методу: непараметрический критерийU-Манна-Уитни — если распределение признака хотя бы в одной выборке существенно отлича­ется от нормального и (или) дисперсии различаются статистически достоверно.

Формулы для эмпирического значения критерияt-Стьюдента(2):

или

Первая формула применяется для приближенных расчетов, для близких по численности выборок, а вторая формула — для точных расчетов, когда выбор­ки заметно различаются по численности.

Пример расчета: Психолог измерял время сложной сенсомоторной реакции выбора (в миллисекундах) в контрольной и экспериментальной группах. В экспериментальную группу (X) входили 9 спортсменов высокой квалификации. Контрольной группой (Y) являлись 8 человек, активно не занимающихся спортом. Психолог проверяет гипотезу о том, что средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора у спортсменов выше, чем эта же величина у людей, не занимающихся спортом.

Результаты эксперимента представим в виде табл. 2, в которой произведем ряд необходимых расчетов:

Таблица 2

№ п/п	Группы		Отклонение от среднего			Квадраты отклонения
	X	Y	dx=Xi-Mx	dy=Yi-Mx	dx2		dy2
1	504	580	— 22	— 58	484		3368
2	560	692	34	54	1156		2916
3	420	700	— 106	62	11236		3844
4	600	621	74	— 17	5476		289
5	580	640	54	— 2	2916		4
6	530	561	4	— 77	16		5929
7	490	680	— 36	42	1296		1764
8	580	630	54	— 8	2916		64
9	470	—	— 56	—	3136		—
Сумма	4734	5104	0	0	28632		18174
Среднее (Mx)	526	638

Средние арифметические составляют в экспериментальной группе 4734/9=526, в контрольной группе 5104/8 = 638.

Абсолютная разница средних выборок равна |526-638|=112 (верхняя часть формулы 2).

(для выборок N<30).

Верхняя часть этих формул посчитана в последних двух столбцах таблицы 2.

Подставляем значения в формулу для сигмы (стандартного отклонения):

σ_x= = 59,82;σ_y= = 50,95

Теперь подставляем все необходимые значения в точную формулу для расчета критерия (т.к. у нас не равные по численности выборки):

t_э= == 4,128

Число степеней свободы df= 9 + 8 – 2 = 15.

По таблице критических значений (она была роздана студентам прошлый раз) для данного числа степеней свободы находимt_кр. Определяем, между какими значениями попало наше эмпирическое значение:

df	Р
	0,05	0,01	0,001
15	2,131	2,947	4,073

Таким образом, обнаруженные психологом различия между экспериментальной и контрольной группами значимы более чем на 0,001 уровне, или, иначе говоря, средняя скорость сложной сенсомоторной реакции выбора в группе спортсменов существенно выше, чем в группе людей, активно не занимающихся спортом.

studfiles.net

Пример расчета t-критерия Стьюдента для зависимых выборок

Предположим, что необходимо сравнить между собой результаты выполнения логических задач до и после курса обучения. Чтобы узнать различаются ли результаты до курса обучения и после необходимо вычислить t-критерий Стьюдента для зависимых выборок.

Шаг 1. Занесем данные в общую таблицу:

№	Результаты выполнения логических задач до курса (сек.)	Результаты выполнения логических задач после курса (сек.)
1	25	22
2	23	25
3	28	23
4	29	22
5	35	30
6	31	27
7	24	20
8	24	19
9	38	32
10	26	25
11	20	20

Шаг 2.Рассчитаем разность для каждой пары значений

№	Разность значений в каждой паре (до-после)
1	3
2	-2
3	5
4	7
5	5
6	4
7	4
8	5
9	6
10	1
11	0

Шаг 3. Вычисляем среднюю разность значений, стандартное отклонение и степени свободы

Для того, чтобы рассчитать стандартное отклонение нам необходимо знать среднее арифметическое в разности значений, а затем подставить имеющиеся значения в формулу стандартного отклонения.

3.1. Рассчитаем среднюю разность значений (среднее арифметическое по разности)

3.2. Подставим значение среднего арифметического в формулу стандартного отклонения:

Шаг 4. Подставляем полученные значения в формулу t-критерия Стьюдента для зависимых выборок.

Шаг 5. Определим по таблице критических значений t-Стьюдента уровень значимости:

Шаг 5.1. Найдем в таблице строку с количеством степеней свободы 10. df = 10

Шаг 5.2. В строке с df=10 найдем значения . Оно располагается между p<0,01 и p<0,001

Шаг 6. Следовательно уровень значимости меньше 0,01.
Результаты выполнения логических задач до и после курса различаются между собой.

 

statpsy.ru

Пример расчета t-критерия Стьюдента

Поиск Лекций

---

В каких случаях можно использовать t-критерий Стьюдента?

Для применения t-критерия Стьюдента необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. В случае применения двухвыборочного критерия для независимых выборок также необходимо соблюдение условия равенства (гомоскедастичности) дисперсий.

При несоблюдении этих условий при сравнении выборочных средних должны использоваться аналогичные методы непараметрической статистики, среди которых наиболее известными являются U-критерий Манна — Уитни(в качестве двухвыборочного критерия для независимых выборок), а также критерий знакови критерий Вилкоксона (используются в случаях зависимых выборок).

Как рассчитать t-критерий Стьюдента?

Для сравнения средних величин t-критерий Стьюдента рассчитывается по следующей формуле:

 

где М₁ — средняя арифметическая первой сравниваемой совокупности (группы), М₂ — средняя арифметическая второй сравниваемой совокупности (группы), m₁ — средняя ошибка первой средней арифметической, m₂ — средняя ошибка второй средней арифметической.

Как интерпретировать значение t-критерия Стьюдента?

Полученное значение t-критерия Стьюдента необходимо правильно интерпретировать. Для этого нам необходимо знать количество исследуемых в каждой группе (n₁ и n₂). Находим число степеней свободы f по следующей формуле:

f = (n₁ + n₂) — 2

После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например, p=0,05) и при данном числе степеней свободы f по таблице (см. ниже).

Сравниваем критическое и рассчитанное значения критерия:

· Если рассчитанное значение t-критерия Стьюдента равно или больше критического, найденного по таблице, делаем вывод о статистической значимости различий между сравниваемыми величинами.

· Если значение рассчитанного t-критерия Стьюдента меньше табличного, значит различия сравниваемых величин статистически не значимы.

Пример расчета t-критерия Стьюдента

Для изучения эффективности нового препарата железа были выбраны две группы пациентов с анемией. В первой группе пациенты в течение двух недель получали новый препарат, а во второй группе — получали плацебо. После этого было проведено измерение уровня гемоглобина в периферической крови. В первой группе средний уровень гемоглобина составил 115,4±1,2 г/л, а во второй — 103,7±2,3 г/л (данные представлены в формате M±m), сравниваемые совокупности имеют нормальное распределение. При этом численность первой группы составила 34, а второй — 40 пациентов. Необходимо сделать вывод о статистической значимости полученных различий и эффективности нового препарата железа.

Решение: Для оценки значимости различий используем t-критерий Стьюдента, рассчитываемый как разность средних значений, поделенная на сумму квадратов ошибок:

После выполнения расчетов, значение t-критерия оказалось равным 4,51. Находим число степеней свободы как (34 + 40) — 2 = 72. Сравниваем полученное значение t-критерия Стьюдента 4,51 с критическим при р=0,05 значением, указанным в таблице: 1,993. Так как рассчитанное значение критерия больше критического, делаем вывод о том, что наблюдаемые различия статистически значимы (уровень значимости р<0,05).

 

 

Распределение Фишера – это распределение случайной величины

где случайные величины Х₁ и Х₂ независимы и имеют распределения хи – квадрат с числом степеней свободы k₁ и k₂ соответственно. При этом пара (k₁, k₂) – пара «чисел степеней свободы» распределения Фишера, а именно, k₁ – число степеней свободы числителя, а k₂ – число степеней свободы знаменателя. Распределение случайной величины F названо в честь великого английского статистика Р.Фишера (1890-1962), активно использовавшего его в своих работах.

Распределение Фишера используют при проверке гипотез об адекватности модели в регрессионном анализе, о равенстве дисперсий и в других задачах прикладной статистики.

Таблица критических значений Стьюдента.

Начало формы

Число степеней свободы, f	Значение t-критерия Стьюдента при p=0.05
	12.706
	4.303
	3.182
	2.776
	2.571
	2.447
	2.365
	2.306
	2.262
	2.228
	2.201
	2.179
	2.160
	2.145
	2.131
	2.120
	2.110
	2.101
	2.093
	2.086
	2.080
	2.074
	2.069
	2.064
	2.060
	2.056
	2.052
	2.048
	2.045
	2.042
	2.040
	2.037
	2.035
	2.032
	2.030
	2.028
	2.026
	2.024
40-41	2.021
42-43	2.018
44-45	2.015
46-47	2.013
48-49	2.011
50-51	2.009
52-53	2.007
54-55	2.005
56-57	2.003
58-59	2.002
60-61	2.000
62-63	1.999
64-65	1.998
66-67	1.997
68-69	1.995
70-71	1.994
72-73	1.993
74-75	1.993
76-77	1.992
78-79	1.991
80-89	1.990
90-99	1.987
100-119	1.984
120-139	1.980
140-159	1.977
160-179	1.975
180-199	1.973
	1.972
∞	1.960

Конец формы

 

poisk-ru.ru

t-критерий Стьюдента для независимых выборок

t-критерий Стьюдента для независимых выборок применяется для сравнения средних значений двух независимых между собой выборок.

Условия применения:

1. Сравниваемые значения не составляют пару коррелирующих значений
2. Распределение признаков в каждой выборке соответствует нормальному распределению
3. Дисперсии признака в выборках примерно равны (проверяется с помощью критерия F-Фишера)

Альтернатива:

Формула t-критерий Стьюдента для независимых выборок:

,
где — среднее арифметическое первой выборки; — среднее арифметическое второй выборки; — стандартное отклонение первой выборки; — стандартное отклонение второй выборки; — объем первой выборки; — объем второй выборки.

statpsy.ru

Коэффициенты Стьюдента

Число измерений N	Надежность Р
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,99
2	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	637
3	0,82	1,06	1,5	1,9	2,9	4,3	35
4	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	12,9
5	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	8,6
6	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	6,9
7	0,72	0,91	1,1	1,4	1,9	2,4	6,0
8	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	5,4
9	0,71	0,89	1,1	1,4	1,9	2,3	5,0
10	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	4,8

2.2. Расчет случайной погрешности

При обработке прямых измерений результаты наблюдений и вычислений удобно оформлять в виде табл. 2.

Таблица 2

Расчет среднего значения и случайной погрешности по методу Стьюдента

№	ai		ai	ai2		P	tPN	aсл
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1
2
3

В колонке 1указывается номер опыта по порядку (обычно проводится 3-7 измерений).

В колонке 2 записываютсязначения измеряемой величины.

В колонку 3вноситсясреднее значениеизмеряемой величины, рассчитанное по формуле:

. (1)

В колонке 4представленыотклонениякаждого значенияизмеряемой величины от среднего:

. (2)

Каждый результат, полученный по последней формуле, возводится в квадрат и заносится в колонку 5.

В колонке 6следует расположитьсреднеквадратичную погрешность , рассчитанную по формуле:

. (3)

Она характеризует разброс средних значений измеряемой величины. Среднеквадратичная погрешность тем больше, чем сильнее измеренные величины отличаются друг от друга.

В колонку 7заносится значение доверительной вероятности (или надежности) Обычно достаточно выбрать значениеР= 0,95 (или, что то же самое, 95%).

Коэффициент Стьюдента, учитывающий заданную доверительную вероятность и число измерений t_PN ,находится по табл. 1 и располагаетсяв колонке 8.

Случайная погрешностьрассчитывается по формуле

a_сл=t_PN S(4)

и заносится в колонку 9.

2.3. Учет систематических погрешностей

К учитываемым систематическим погрешностям относятся погрешности средств измерения и погрешности отсчета.

В форме абсолютных погрешностейзадаются погрешности линеек, штангенциркулей, секундомеров, термометров и т.п. Абсолютная погрешность средства измерения в этом случае может быть вычислена по формуле

, (5)

где - цена деления прибора.

В форме приведенных погрешностейзадаются пределы допускаемых погрешностей электроизмерительных приборов, манометров. Этим приборам присваиваются классы точности.Класс точностиравен пределу допускаемой приведенной погрешности, выраженной в процентах, которая определяется по формуле

,

где а_п—нормирующее значениеприбора илипредел измерений;

 — предел допускаемой приведенной погрешности прибора в процентах от нормирующего значения;

а_си— абсолютная погрешность прибора.

Пользуясь этой формулой, можно определить абсолютную погрешность измерительного прибора:

. (6)

Полная абсолютная погрешностьпрямых измерений рассчитывается по формуле

. (7)

Чаще всего случайная погрешность и погрешность средств измерения — величины разных порядков; в таких случаях меньшей погрешностью пренебрегают. Например, если , то

studfiles.net