Структурные средние в статистике – 11 Структурные средние величины

Структурные средние величины. Общая теория статистики

Структурные средние величины

Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, кᴏᴛᴏᴩые представлены ,в основном, модой и медианой.

Мода — ϶ᴛᴏ наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда будет варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда крайне важно сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:

где:

Медиана — ϶ᴛᴏ значение признака, кᴏᴛᴏᴩое лежит в основе ранжированного ряда и делит ϶ᴛᴏт ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот  , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (В случае если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

Ме = (n(число признаков в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах кᴏᴛᴏᴩого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

Пример. Найти моду и медиану.

Возрастные группы Число студентов Сумма накопленных частот ΣS
До 20 лет 346 346
20 — 25 872 1218
25 — 30 1054 2272
30 — 35 781 3053
35 — 40 212 3265
40 — 45 121 3386
45 лет и более 76 3462
Итого 3462  

Решение:
В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на ϶ᴛᴏт интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды:

Это значит что модальный возраст студентов равен 27 годам.

Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах ϶ᴛᴏго интервала расположена варианта, кᴏᴛᴏᴩая делит совокупность на две равные части (Σf

i/2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

Кроме моды и медианы могут быть использованы такие показатели, как квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.

xn--80aatn3b3a4e.xn--p1ai

Теория статистики — Структурные средние величины. Мода и медиана

Структурные средние величины. Мода и медиана


Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.
Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант.
Модой называется значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.
Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение. Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского спроса и регистрации цен.
В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.

где x0– нижняя граница модального интервала;
h– величина модального интервала;
fm– частота модального интервала;
fm -1 – частота интервала, предшествующего модальному;
fm+ 1 – частота интервала, следующего за модальным.
Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.
31б Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (является величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение (наиболее часто встречающийся тип покупателя).
Медиана (Me)– это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.
Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения.
Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.
Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.
Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:
Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

cribs.me

12.Структурные средние-мода и медиана:понятие и расчет.Особенности нахождения структурных средних в интервальных рядах распределения.

Мода — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены ,в основном, модой и медианой.

M0— значение моды

X0 — нижняя граница модального интервала

n— величина интервала

fm— частота модального интервала

fm-1— частота интервала, предшествующего модальному

fm+1— частота интервала, следующего за модальным

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

Ме = (n(число признаков в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

Me— искомая медиана

Х0 — нижняя граница интервала, который содержит медиану

h— величина интервала

— сумма частот или число членов ряда

Sm-1- сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному

fm— частота медианного интервала

13. Понятие вариации признака совокупности, обобщающие хар-ки вариационного ряда и графический анализ рядов совокупности.

Вариацией называется различие значений признака у отдельных единиц изучаемой совокупности в один и тот же период или момент времени.

Статистический анализ вариации предполагает выполнение сле­дующих основных этапов:

  • Построение вариационного ряда.

  • 2. Графическое изображение вариационного ряда.

  • З. Расчет показателей центра распределения и структурных харак­теристик вариационного ряда.

  • 4. Расчет показателей размера и интенсивности вариации.

  • 5. Оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс.

Построение вариационного ряда (ряда распределения) — это упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим или убывающим значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным его значением.

Вариационные ряды и их характеристики

1.Вариационный ряд.

Результаты измерений, опытов и т.д (в математической статистике здесь употребляют слово выборка ) являются труднообозримым набором данных. Для дальнейшего изучения выборку подвергают перегруппировке. Вариационным рядом называется последовательность всех элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке. Одинаковые элементы повторяются. По этому ряду уже можно сделать несколько выводов. Например, средний элемент вариационного ряда (медиана) может быть оценкой наиболее вероятного результата измерения. Первый и последний элемент вариационного ряда (т.е. минимальный и максимальный элемент выборки) показывают разброс элементов выборки. Иногда если первый или последний элемент сильно отличаются от остальных элементов выборки, то их исключают из результатов измерений, считая, что эти значения получены в результате какого-то грубого сбоя, например, техники.

studfiles.net

Структурные средние.

Количество просмотров публикации Структурные средние. — 636

Понятие средней величины (СВ). Способы расчета средней.

Показатели вариации.

Структурные средние.

Понятие средней величины (СВ). Способы расчета средней.

Каждая однородная статистическая совокупность состоит из массы отдельных единиц, кот. обладают индивидуальными особенностями и в связи с этим отличаются друг от друга по размеру кол-ного признака.

Для получения обобщающей хар-ки большого кол-тва индивид. значений варьирующего признака рассчитываются средние величины.

Следует отметить, что к средней величинœе обращаются не только тогда, когда речь идёт о вариации признака, но и когда крайне важно дать обобщающую инф-цию по всœей совокупности.

Под средней величиной понимают обобщающий показатель, хар-щий типичный уровень или размер варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

Таким образом средняя величина — ϶ᴛᴏ величина, кот. одним значением хар-ет нечто общее для совокупности в целом.

Средняя величина в статистике:

1) хар-ет типичный уровень варьирующего признака;

2) отражает то общее, что хар-но для всœех единиц совокупности;

3) взаимопогашает различия, кот. наблюдаются у отдельных единиц совокупности.

Средние величины бывают исчислены по непосредственному перечню значений варьирующего признака у каждой единицы совокупности.

Т.е. средняя величина должна быть рассчитана по первичным несгруппированным данным и по сгруппированным данным. Такие средние назыв. простыми и взвешенными.

В случае если средние вычисляются по варьирующему ряду сгруппированной инф-ции с учетом статистического веса каждого варианта͵ то их назыв. взвешенными средними.

Способы расчета средней зависят:

1) от того какой инф-цией мы обладаем для расчета средней;

2) от хар-ра осреднённой величины.

Исходной базой расчета и критерием правильности выбора формы средней величины явл. исходное соотношение средней или смысловая формула.

Смысловая формула — ϶ᴛᴏ словесное описание методологии расчета средней величины.

Общий вид смысловой формулы:

Для каждого среднего показателя используемого в соц.-экон. анализе можно составить только одну смысловую формулу для расчета среднего показателя.

Пример.

Составим смысловую формулу для расчета средней ЗП.

Средняя цена ед. продукции:

Средний стаж 1-го работника:

Средний процент выполнения плана по выпуску про-ции:

Выбор формы и вида средней величины происходит след. образом:

1) если известен знаменатель смысловой формулы и неизвестен числитель, то используют среднюю арифметическую;

2) если известен числитель смысловой формулы и неизвестен знаменатель, то выбираем форму средней гармонической;

3) если исходная инф-ция несгруппирована, то используют простую среднюю;

4) если исходная инф-ция сгруппирована, то используют среднюю взвешенную.

В статистике применяются 2 наиболее распространённых вида средней величины: средняя арифметическая и средняя гармоническая. При этом каждый из этих видом может иметь 2 формы: простую или взвешенную.

Средняя арифметическая простая — ϶ᴛᴏ отношение суммы значений признака в отдельных единицах совокупности к числу единиц совокупности.

x – значение признака в каждой единицы совокупности

n – кол-тво единиц совокупности.

Средняя арифметическая взвешенная — ϶ᴛᴏ отношение общего размера значений признака во всœех единицах сгруппированной совокупности к численности единиц во всœех группах.

m – веса, ᴛ.ᴇ. число ед. совокупности в каждой отдельной группе или должна быть удельный вес каждой отдельной группы.

Средняя гармоническая простая — ϶ᴛᴏ обратное значение средней из обратных значений варьирующего признака, ᴛ.ᴇ. вариантов.

Средняя гармоническая взвешенная — ϶ᴛᴏ обратное значение средней из обратных значений варьирующего признака во всœех единицах сгруппированной совокупности.

Стоит сказать, что для наглядности нарисуем схему форм и видов средних величин:

Средние величины:
Формы: Виды:
простая взвешенная суммарные: структурные
    — параболические; — логарифмические; — степенные (арифметическую, гармоническую, гармоническую — мода; — медиана; — децили; — квартили

Пример.

По пр-ю, занимающемуся торговлей ценных бумаг, имеются данные о приобретении акций в 2-х акционерных обществах.

АО Август Сентябрь
Кол-тво приобр.
Размещено на реф.рф
акций, шт (m)
Цена 1 акции, грн (x) Стоим-ть приобр.
Размещено на реф.рф
акций, грн (m)
Цена 1 акции, грн (x)
№1
№2
Итого х х

Опр-ть среднюю цену одной приобретённой акции по 2-м акционерным обществам в августе и сентябре.

Как изменилась средняя цена акции в абсолютном и относительном выражении.

Т.к. инф-ция сгруппирована и в смысловой формуле известен знаменатель и неизвестен числитель будем использовать среднюю арифметическую взвешенную.

В августе по 2-м акционерным обществам акции скупали в среднем по цене 12,80 (грн) за единицу.

Т.к. в сентябре месяце в смысловой формуле известен числитель и неизвестен знаменатель, инф-ция сгруппирована, веса неравны, то будем использовать среднюю гармоническую взвешенную.

В сентябре по 2-м АО в среднем скупали по 13,78 грн за единицу.

Абсолютное значение изменения ед. акции:

Относительное значения изменения ед. акции:

14.09.

В сентябре месяце по сравнению с августом средняя цена одной акции выросла на 0,98 грн или в 1,077 раза, ᴛ.ᴇ. на 7,7%

Модой в статистике назыв. наиболее часто встречающиеся значения признака либо варианта совокупности. В дискретном вариационном ряду мода — ϶ᴛᴏ вариант, обладающий наибольшей частотой.

Для опр-ния моды в интервальном вариационном ряду сначала отыскивается модальный интервал (ᴛ.ᴇ. интервал, обладающий наибольшей частотой), а в рядах с неравными интервалами – по наибольшей плотности распределœения.

Формула моды для интервальных вариационных рядов с равными интервалами:

– нижняя граница модального интервала (интервала,

– частота модального интервала

– частота предмодального интервала

– частота постмодального интервала

– ширина модального интервала.

Медиана — ϶ᴛᴏ значение признака у той единицы совокупности, кот. делит упорядоченный, ранжированный вариационный ряд пополам, ᴛ.ᴇ. половина совокупности имеет значение меньше медианы, а другое – больше.

В дискретном вариационном ряду медиана — ϶ᴛᴏ интервал, кот. находится в центре ранжированного ряда.

Нахождение медианы в интервальном вариационном ряду требует предварительного нахождения медианного интервала.

Таким интервалом будет тот, накопленная (коммулитативная) частота кот. равна или превышает полу сумму частот ряда распределœения.

После опр-ния медианного интервала, медиана вычисляется путём линœейной интерпретации, ᴛ.ᴇ. по формуле:

— ϶ᴛᴏ нижняя граница;

– частота медианного интервала;

– накопленная частота в предмедианном интервале или накопленная частота до медианы;

– ширина медианного интервала.

Пример.

Имеются след. данные о распределœении работников пр-я по уровню ЗП

ЗП, грн Числ. раб., чел. S, чел х’, грн (середина интервала) x’m, грн.
200-300
300-400
(Ме) 400-500 (mме) 4 (Sме) 10
500-600
Итого х х

Опр-ть моду и медиану.

На данном пр-и чаще всœего встречаются работники с ЗП 380 грн.

Половина работников данного пр-я получают ЗП менее 425 грн, другая половина – больше.

Расчет средней величины в интервальном вариационном ряду распределœения несколько отличается от расчета в дискретном вариационном ряду.

Для опр-ния средней величины в интервальном вариационном ряду распределœения крайне важно сначала найти середину ряда, таким образом перейдя от интервального вариационного ряда распределœения к дискретному, потом расчет средней происходит обычным способом.

Обоснование формы и вида ср.
Размещено на реф.рф
величины.

Т.к. в смысловой формуле известен знаменатель, инф-ция сгруппирована, веса неравны, и мы осуществили переход от интервального вариационного ряда к дискретному, то будем использовать среднюю арифметическую взвешенную модифицированную.

Работники данного пр-я в среднем получают 428,57 грн.

Наряду с медианной для более полной хар-ки стр-ры изучаемой совокупности применяют и др.
Размещено на реф.рф
значения вариантов, занимающих в ранжированном ряду опр-ное положение. К ним относятся квартили и децили.

Квартили делят ряд по сумме частот на 4 равные части, а децили – на 10 частей.

Расчет этих показателœей в вариационном ряду аналогичен расчету медианы и начинается с нахождения порядкового номера соотв. варианта и опр-ния по накопленной частоте того интервала, в кот. данный вариант находится. Далее с помощью линœейной интерпретации, ᴛ.ᴇ. по формуле.

Квартиль находится по формуле:

25% работников получают ЗП менее 350 грн, 75% — более.

75% работников получают ЗП менее 512,5 грн, а 25% — ниже.

19.09.

Формула для децилей в интервальном вариационном ряду имеет след. вид:

Вывод 10% получают ЗП получают менее 308 грн, а 90% — более.

90% работников получают ЗП ниже 560 грн, 10% — свыше 560 грн.

referatwork.ru

Структурные средние величины

Особый вид средних величин – структурные средние. Они применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины. В качестве данных величин используют показатели моды и медианы, которые характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду.

Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся значение признака, типичное значение или максимальная точка в теоретической кривой распределения.

Медиана (Ме) соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда, и делит его численность на две равные части. Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. В интервальном ряду распределения для определения моды и медианы необходимо использовать следующие формулы:

, (3.4)

где xMo – начало модального интервала;

fMo – частота, соответствующая модальному интервалу;

f-1 – предмодальная частота;

f+1 – послемодальная частота;

h – величина интервала.

 

Положение медианы определяется ее номером:

, (3.5)

, (3.6)

где xMe – нижняя граница медианного интервала;

h – величина интервала;

S(-1) – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

fMe – частота медианного интервала.

 

Для примера расчета возьмем уже ранее созданную группировку по среднегодовой стоимости ОПФ (основных промышленно-производственных фондов) 20 предприятий нефтяной отрасли промышленности (млн. ден.ед.):

Таблица 3.3

Среднегодовая стоимость основных промышленно-производственных фондов Число предприятий Накопленные частоты
3,7 – 4,6 4,6 – 5,5 5,5 – 6,4 6,4 – 7,3 7,7 – 8,2      
Итого:  

,

 

,

 

 

В отличие от алгебраических средних, которые в значительной мере являются абстрактной характеристикой статистического ряда, мода и медиана выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами этого ряда. Это делает их незаменимыми при решении практических задач.

Задача 3.1

Имеются следующие данные по характеристике нефти, поставляемой в США (см. табл. 3.4).

Примечание: плотность нефти является основным показателем, определяющим поправку к цене импортируемой нефти в США, которая регулируется как мировой конъюнктурой, так и спросом на нефть различных нефтеперерабатывающих заводов. В США при превышении плотности нефти 45 градусов API (менее798 кг/м3) она обычно начинает котироваться ниже.

Таблица 3.4

Плотность нефти, градусы API Число экспортеров Накопленные частоты
17,4 – 25,4 25,4 – 33,4 33,4 – 41,4 41,4 – 49,4 49, 4 – 57,4 57,4 – 65,4 65,4 – 73,4

 

Определите среднюю плотность нефти, моду и медиану. По полученным результатам сделайте выводы.

Задача 3.2

Определить среднегодовой коэффициент роста объема импорта СПГ (сжиженного природного газа) по двум странам и проанализировать предоставленную информацию.

Таблица 3.5

Страна- импортер Объем импорта СПГ, млрд. м3
1998г. 1999г. 2000г. 2001г. 2002г.
Япония 66,1 70,1 73,6 74,1 72,7  
К– роста          
Франция 9,8 10,2 11,8 10,5 11,5
К – роста          

 

Задача 3.3

Определите средний дебит нефти на одну скважину по нефтепромыслу, используя правило выбора формы средней качественного признака.

Таблица 3.6

Номер скв. Добыча нефти за месяц, т Дебит нефти, т/сут.
1149,2 44,2
693,9 25,7
358,8 15,6
1206,2 65,2
144,4 7,6
19,2

Задача 3.4

Рассчитайте моду, медиану и среднюю для интервального вариационного ряда на следующих данных по буровому предприятию:

Таблица 3.7

Проходка на долото, м Количество долот, шт. Сумма накопленных частот
0,5 – 3,0 3,0 – 5,5 5,5 – 8,0 8,0 – 10,5 10,5 – 13,0 13,0 – 15,6 15,6 и выше  
Итого    

Задача 3.5

Имеются следующие данные о трех объектах строительства одинакового назначения.

Таблица 3.8

Объект строительства Сметная стоимость строительства (тыс.д.е.) Продолжительность строительства (мес.)
Итого    

Определите средний срок строительства объекта.

Задача 3.6

Определите средний дебит нефти на одну скважину по нефтепромыслу, используя правило выбора формы средней качественного признака.

Таблица 3.9

Номер скв. Добыча нефти за месяц, т Дебит нефти, т/сут.
1149,2 44,2
693,9 25,7
358,8 15,6
1206,2 65,2
144,4 7,6
19,2

Задача 3.7

Квалификация рабочих-сдельщиков характеризуется следующими данными:

Таблица 3.10

Тарифный разряд X Итого:
Численность рабочих F  

 

Определить средний тарифный разряд рабочего.

Задача 3.8

Определите средний процент обводненности нефти, моду, медиану. Сделайте выводы.

Таблица 3.11

Обводненность нефти, % Число скважин Накопленная частота
8 –25 25 – 42 42 – 59 59 – 76 76 – 93  
Итого:    

3. Показатели вариации

Средняя величина дает обобщающую характеристику всей совокупности изучаемого явления. Однако два ряда распределения, имеющие одинаковую среднюю арифметическую величину, могут значительно отличаться друг от друга по степени колеблемости (вариации) величины изучаемого признака. Если индивидуальные значения признака ряда мало отличаются друг от друга, то средняя арифметическая будет достаточно показательной характеристикой данной совокупности. Если же ряд распределения характеризуется значительным рассеиванием индивидуальных значений признака, то средняя арифметическая будет ненадежной характеристикой данной совокупности и не будет иметь практического значения.

Колеблемость отдельных значений признака характеризуют показатели вариации. Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

 


Похожие статьи:

poznayka.org

3. Структурные средние величины. Мода и медиана. Теория статистики: конспект лекций

3. Структурные средние величины. Мода и медиана

Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.

Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант. Модой называется значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.

Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение.

Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского спроса и регистрации цен.

В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность).

В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой.

где хо – нижняя граница модального интервала;

h – величина модального интервала;

fm – частота модального интервала;

fт—1 – частота интервала, предшествующего модальному;

fm+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.

Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (является величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение (наиболее часто встречающийся тип покупателя).

Медиана (Me  – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения.

Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.

Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.

Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:

где хме– нижняя граница медианного интервала;

iMe – величина медианного интервала;

f/2 – полусумма частот ряда;

SMe—1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

fMe – частота медианного интервала.

Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности.

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

econ.wikireading.ru

Структурные средние величины — Общая теория статистики — СТАТИСТИКА — Учебно-методические материалы для студентов всех ВУЗов: — std72.ru

Структурные средние величины


Мода
 — это наиболее часто встречающийся вариант ряда. Мода применяется, например, при определении размера одежды, обуви, пользующейся наибольшим спросом у покупателей. Модой для дискретного ряда является варианта, обладающая наибольшей частотой. При вычислении моды для интервального вариационного ряда необходимо сначала определить модальный интервал (по максимальной частоте), а затем — значение модальной величины признака по формуле:Кроме степенных средних в статистике для относительной характеристики величины варьирующего признака и внутреннего строения рядов распределения пользуются структурными средними, которые представлены ,в основном, модой и медианой.

где:

Медиана — это значение признака, которое лежит в основе ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот сначала вычисляют полусумму частот  , а затем определяют, какое значение варианта приходится на нее. (Если отсортированный ряд содержит нечетное число признаков, то номер медианы вычисляют по формуле:

Ме = (n(число признаков в совокупности) + 1)/2,

в случае четного числа признаков медиана будет равна средней из двух признаков находящихся в середине ряда).

При вычислении медианы для интервального вариационного ряда сначала определяют медианный интервал, в пределах которого находится медиана, а затем — значение медианы по формуле:

где:

Пример. Найти моду и медиану.

Возрастные группыЧисло студентовСумма накопленных частот ΣS
До 20 лет346346
20 — 258721218
25 — 3010542272
30 — 357813053
35 — 402123265
40 — 451213386
45 лет и более763462
Итого3462 

Решение:
В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054).

Рассчитаем величину моды:

Это значит что модальный возраст студентов равен 27 годам.

Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Σfi/2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы:

Это значит что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

Кроме моды и медианы могут быть использованы такие показатели, как квартили, делящие ранжированный ряд на 4 равные части, децили -10 частей и перцентили — на 100 частей.

www.std72.ru