Степень на степень деление – Свойства отрицательных степеней. Как умножать отрицательные степени. Деление отрицательных степеней. Степени чисел
Как делить степени | Алгебра
Как делить степени? При каких условиях деление степеней возможно?
В алгебре найти частное степеней можно в двух случаях:
1) если степени имеют одинаковые основания;
2) если степени имеют одинаковые показатели.
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя (или коротко: при делении степеней показатели вычитают):
или
или
(последнюю формулу удобно использовать, если показатель степени в знаменателе больше показателя степени в числителе).
При делении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:
Рассмотрим, как делить степени, на конкретных примерах.
Единицу в показателе степени не пишут, но при делении степеней ее следует учесть:
При делении степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями получаем единицу:
Вынесение общего показателя при делении степеней позволяет упростить вычисления:
В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.
Если нужно число разделить на степень либо степень разделить на число, сначала следует выполнить возведение в степень, а затем — деление:
www.algebraclass.ru
Деление степеней с одинаковыми основаниями
Пусть надо a9 ÷ a3; здесь, согласно смыслу деления, дано произведение = a9 и дан один множитель = a
a · a · a · a · a · a · a · a · a
и отделим, например, подчеркивая, данный множитель, т. е. a3 или a · a · a. Тогда мы увидим, каков другой множитель, а именно осталось неподчеркнутым
a · a · a · a · a · a,
что = a6. Итак,
a9 ÷ a3 = a6.
Пусть надо b47 ÷ b18. Данное произведение есть b47 или такое произведение, где b повторяется множителем 47 раз; отделим один данный множитель, b18, или произведение, где b повторяется 18 раз множителем. Тогда мы сообразим, что искомым множителем является произведение, где b повторяется 29 раз множителем, т. е. b
Также
x15 ÷ x5 = x10
(a + b)7 ÷ (a + b) = (a + b)6
323 ÷ 320 = 33 = 27 и т. д.
Вообще
am ÷ an = am-n (если m > n)
или словами: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание степени остается без изменения, а показатель делителя вычитается из показателя делимого (если показатель делимого больше показателя делителя).
Пусть теперь надо
20a
Здесь дано произведение (20a5b4c2d) и один множитель 5a3b3c2; надо найти другой множитель. У произведения коэффициент (+20), он получился от умножения коэффициента данного множителя (+5) на коэффициент искомого множителя. Чтобы найти этот коэффициент, надо (+20) ÷ (+5), получим +4. В данном произведении a взято множителем 5 раз, в данном множителе a входит множителем 3 раза. Поэтому в искомом множителе a должно входить множителем 2 раза, т. е. в искомом множителе должно быть a2. В данном произведении b берется множителем 4 раза, а в данном множителе – 3 раза; следовательно, в искомом множителе b должно входить множителем лишь 1 раз. В данном произведении имеем c
20a5b4c2d ÷ 5a3b3c2 = 4a2bd.
Еще примеры:

В предыдущем встречались деления, вроде c2 ÷ c2; a ÷ a; b3 ÷ b3; и т. д. Здесь уместно заметить, что частное от деления какого-либо числа на самое себя всегда равно 1.
maths-public.ru
4. Степень с натуральным показателем и её свойства ⋆ Social AstroWay- Развлекательно-информационный портал
На этом уроке мы продолжим изучение умножения и деления степеней с одинаковыми показателями. В начале урока сделаем краткую сводку уже известных нам формул действий со степенями. Далее будем решать примеры на все действия со степенями.
Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства
Урок: Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями (продолжение)
1. Напоминание основных определений и теорем
Напоминание:
Основные определения:
Здесь a — основание степени,
n — показатель степени,
— n-ая степень числа.
Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:
При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.
Теорема 2. Для любого числа а и любых натуральных n иk, таких, что n >k справедливо равенство:
При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели отнимаются, а основание остается неизменным.
Теорема 3. Для любого числа а и любых натуральных n и k справедливо равенство:
Теорема 4.
Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
Теорема 5.
Для любого числа а и b () и любого натурального n справедливо равенство:
Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями, достаточно разделить одно основание на другое, а показатель степени оставить неизменным.
2. Решение примеров на возведение дроби в степень с помощью теоремы 5
Пример 1: Возвести дробь в степень.
Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 5.
а)
б)
Для решения следующего примера вспомним формулы:
в)
д)
Замечание: ,
е)
ж)
3. Решение примеров на вычисление с помощью теоремы 5
Пример 2:Вычислите.
а)
б)
4. Решение различных типовых задач с помощью выученных теорем
Пример 3: Представить выражение в виде степени с показателем больше 1.
а)
б)
б)
б) или по-другому:
5. Вычисление примеров наиболее рациональным способом
Пример 4: Вычислить наиболее рациональным способом.
а)
б)
в)
г)
д)
Список рекомендованной литературы
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Школьный помощник (Источник).
2. Школьный помощник (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. 583, 584, 585 стр. 152. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Вычислить наиболее рациональным способом.
а) б) в)
3. Представить выражение в виде степени с показателем больше 1.
а) б) в)
Источник Редактор InternetUrok.ru
astroway.info
Свойства отрицательных степеней. Как умножать отрицательные степени. Деление отрицательных степеней. Степени чисел
Свойства отрицательных степеней
Свойства степени с отрицательным показателем
Свойства отрицательных степеней рассмотрим при следующих условиях:
a и b действительные числа, отличные от нуля, m и n – целые числа
Тогда можно указать следующие свойства степени с отрицательным показателем:
1. aman = am + n
2. (am)n = am * n
3. ambm = (ab)m
4. am : bm = (a/b)m
5. am : an = am — n
6. a-m = 1/am
Свойства отрицательных степеней рассмотрим на примерах. Из примеров будет понятно как использовать свойства отрицательных степеней.
Как умножать отрицательные степени?
Как умножать отрицательные степени? Точно так же как и положительные. Здесь речь идет о целых степенях.
Пример умножения отрицательных степеней:
2-2 * 2-3
2(-2 + (-3)) =
2(-2 — 3) =
2-5 =
1/25
Ещё пример на умножение чисел с отрицательными степенями:
4-3 * 4-5 =
4(-3 + (-5)) =
(4-3 — 5) =
4-8 =
1/48
Деление отрицательных степеней
Деление отрицательных степеней делается так же как и деление положительных степеней.
Деление отрицательных степеней опирается на свойства отрицательных степеней.
Пример на деление отрицательных степеней:
2-3 : 24 =
2(-3 — 4) =
2-7 =
1/27
Дополнительные материалы по теме
www.sbp-program.ru
Свойства степени с натуральным показателем. Примеры с решениями
Возведение произведения в степень
Выражение (ab)n является степенью произведения множителей a и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней anbn. Докажем это на примере.
По определению степени:
Раскрываем скобки, а затем, используя переместительный закон умножения, переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом:
Группируем отдельно множители a и множители b, и получаем:
Воспользовавшись определением степени, находим:
Следовательно:
(ab)n = anbn
Свойство степени произведения распространяется на степень произведения двух и более множителей:
(3a2b)2 = 9a4b2
Отсюда следует правило:
Чтобы возвести произведение в степень, можно отдельно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.
Возведение частного в степень
Для возведения в степень частного, надо возвести в степень отдельно делимое и делитель.
Если говорить иначе, то степень частного равна частному степеней:
Так как частное в алгебре часто записывается в виде дроби (знак деления заменяется дробной чертой), то правило возведения частного в степень можно переформулировать так, чтобы оно подходило и для дробей:
Чтобы возвести дробь в степень надо возвести в эту степень отдельно её числитель и знаменатель.
Общая формула возведения в степень частного будет выглядеть так:
Возведение степени в степень
Для возведения степени числа в степень, надо перемножить показатели степеней, а основание оставить без изменений.
Например, нам нужно возвести 72 в третью степень:
(72)3
Чтобы нам не возводить 7 сначала во вторую степень, а после этого ещё в третью, вспоминаем, что степень числа это сокращённая форма умножения одинаковых сомножителей, а это значит, что:
(72)3 = 72 · 72 · 72 = 72+2+2 = 72·3 = 76
Следовательно, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.
Общая формула возведения степени в степень:
(ax)y = axy
Примеры на свойства степеней
Пример 1. Выполните действия:
а) (x5)3; б) 2(n3)5; в) -4(a4)2
Решение:
а) (x5)3 = x5 · 3 = x15
б) 2(n3)5 = 2n3 · 5 = 2n15
в) -4(a4)2 = -4a4 · 2 = -4a8
Пример 2. Возведите в степень:
а) (-2mn)4; б) (3bc)3; в) (-6a4b)2
Решение:
а) (-2mn)4 = (-2)4 · m4 · n4 = 16m4n4
б) (3bc)3 = 33 · b3 · c3 = 27b3c3
в) (-6a4b)2 = (-6)2 · (a4)2 · b2 = 36 · a8 · b2 = 36a8b2
Пример 3. Возведите дробь в степень:
а) ( | 2a | )2; б) (- | xy | )5; в) ( | a2b | )3 |
5 | z | 2c3 |
Решение:
а) ( | 2a | )2 = | (2a)2 | = | 4a2 |
5 | 52 | 25 |
б) (- | xy | )5 = — | (xy)5 | = — | x5y5 |
z | z5 | z5 |
в) ( | a2b | )3 = | (a2b)3 | = | (a2)3 · b3 | = | a6b3 |
2c3 | (2c3)3 | 23 · (c3)3 | 8c9 |
naobumium.info
Как делить степени Как? Так!
Содержимое:
2 метода:
Делить выражения и числа в степенях не так уж и сложно. Если у вас одно основание (число или выражение в степени), то степени просто вычитаются, а основание остается тем же. Если у вас ничего не получается, читайте дальше!
Шаги
Часть 1 Основы
- 1 Запишите пример. Например, самый простой вариант это ma ÷ mb. В таком случае, m8 ÷ m2. Запишите.
- 2 Вычтите вторую степень из первой. Т.е. m8-2.
- 3 Запишите результат. Т.е. m6. Все просто. Если у вас не неизвестная буква, а число, например, 2, вам придется возвести его в степень (26 = 64), чтобы получить окончательный ответ.
Часть 2 Больше информации
-
1
Убедитесь, что основы в примере одинаковые. Если они разные, у вас не получится вычесть степени. Вот, что вам надо знать:
- Если у вас есть пример m6 ÷ x4, его уже никак не упростишь, т.к. тут разные основы.
- Хотя, если основы не буквы, а числа, вы можете решить пример. Например, сократив их: 23 ÷ 41, приведите все основы к «2.» Вместо 4 будет 22, посчитайте: 23 ÷ 22 = 21, или 2.
-
2
Деление выражений в степенях с несколькими переменными. Вам нужно разделить степени и основания, пока не получится финальный ответ. Вот так:
- x6y3z2 ÷ x4y3z =
- x6-4y3-3z2-1 =
- x2z
-
3
Разделите выражения с коэффициентами. Когда у вас одинаковые основания, не сложно если у выражений разные коэффициенты. Просто разделите степени как обычно, потом разделите коэффициенты. Вот так:
- 6x4 ÷ 3x2 =
- 6/3x4-2 =
- 2x2
-
4
Разделите выражения с отрицательными степенями. Чтобы разделить выражения с отрицательными степенями, нужно подвинуть основание на другую сторону, за знак равенства. Тогда, если у вас было 3-4 в числителе, его нужно передвинуть в знаменатель. Вот примеры:
-
Пример 1:
- x-3/x-7 =
- x7/x3 =
- x7-3 =
- x4
-
Пример 2:
- 3x-2y/xy =
- 3y/(x2 * xy) =
- 3y/x3y =
- 3/x3
-
Пример 1:
Советы
- Если у вас есть калькулятор, проверьте ответ.
- Не волнуйтесь, если у вас ничего не получается! Продолжайте тренироваться.
Прислал: Осипова Жанна . 2017-11-06 10:59:28
kak-otvet.imysite.ru
Степень с натуральным показателем и её свойства. Степень на степень деление
Как делить степени | Алгебра
Как делить степени? При каких условиях деление степеней возможно?
В алгебре найти частное степеней можно в двух случаях:
1) если степени имеют одинаковые основания;
2) если степени имеют одинаковые показатели.
Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя (или коротко: при делении степеней показатели вычитают):
или
или
(последнюю формулу удобно использовать, если показатель степени в знаменателе больше показателя степени в числителе).
При делении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:
Рассмотрим, как делить степени, на конкретных примерах.
Единицу в показателе степени не пишут, но при делении степеней ее следует учесть:
При делении степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями получаем единицу:
Вынесение общего показателя при делении степеней позволяет упростить вычисления:
В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.
Если нужно число разделить на степень либо степень разделить на число, сначала следует выполнить возведение в степень, а затем — деление:
www.algebraclass.ru
Как умножать и делить степени? Что делают при умножении и делении степеней?
Если говорить простыми словами, то возведение числа в степень — это операция, при которой число многократно умножается само на себя.
Здесь число a — это основание степени, а число n — это показатель степени.
Умножение степеней.
При умножении степеней их основания могут совпадать, а могут различаться.
_
Сначала рассмотрим, как умножать степени с одинаковыми основаниями.
Для этого нужно сложить показатели степеней, а основания оставить без изменений.
Здесь a — основание степеней, а n и m — показатели.
Например:
6² * 6³ = 6^5 = 7776.
Проверить эту формулу очень легко — достаточно возвести в степень каждый множитель, а затем перемножить полученные числа.
6² * 6³ = (6*6) * (6*6*6) = 36 * 216 = 7776.
_
Теперь об умножении степеней с разными основаниями.
Здесь возможны 3 варианта:
1) Основания степеней различаются, но показатели совпадают.
В этом случае нужно перемножить основания и возвести их в указанную степень.
Например:
5³ * 6³ = (5 * 6)³ = 30³ = 27000.
2) Основания и показатели различаются, но имеется возможность привести степени к одному основанию.
Например:
9² * 81².
Здесь 81 можно представить в виде 9².
Поэтому 81² = (9²)² = 9^4 (при возведении степени в степень показатели перемножаются).
В итогу получим, что 9² * 81² = 9^2 * 9^4 = 9^6 = 531441.
3) Основания и показатели различаются, но можно привести данные степени к одному показателю.
Например:
5² * 8^4.
8^4 можно представить как 8² * 8².
Поэтому:
5² * 8^4 = 5² * 8² * 8² = (5*8*8)² = 320² = 102400.
4) Основания и показатели различаются, возможность приведения степеней к одному основанию и показателю отсутствует.
Например:
3² * 7³.
Основания и показатели в этом случае являются простыми числами. Поэтому здесь единственный вариант — возводить в степень каждый множитель отдельно, а затем перемножать результаты.
3² * 7³ = 9 * 343 = 3087.
Деление степеней.
Здесь всё по аналогии с умножением — основания степеней бывают одинаковыми, а бывают разными.
_
Если вы выполняете деление степеней с одинаковыми основаниями, то нужно делать следующее:
Основания оставить без изменений, а показатели степеней отнять друг от друга.
Например:
7³ : 7² = 7^1 = 7.
Проверка выполняется описанным выше способом:
7³ : 7² = 343 : 49 = 7.
_
Что касается деления степеней с разными основаниями, то здесь все принципы будут аналогичны умножению.
Если основания и показатели степеней — простые числа, то нужно отдельно возводить в степень делимое и делитель.
В ином случае степени можно привести либо к одному основанию, либо к одному показателю.
Вот несколько примеров:
4² : 2^4 = 4² : (2²)² = 4² : 4² = 1.
10³ : 5³ = (10 : 5)³ = 2³ = 8.
9³ : 2^6 = 9³ : (2³ * 2³) = 4,5³ : 2³ = 2,25³ = 11,390625.
www.bolshoyvopros.ru
Умножение и деление чисел со степенями
Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться таблицей степеней натуральных чисел от 2 до 25 по алгебре. А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней.
Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.
Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.
Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.
А теперь используем правило возведения числа в степень. 16=42, или 24, 64=43, или 26, в то же время 1024=64=45, или 210.
Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 42х43=45 или 24х26=210, и каждый раз мы получаем 1024.
Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени, или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.
Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 24х22х214=220.
Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого. Таким образом, 25:23=22, что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 22. Подведем итоги:
amх an=am+n, am: an=am-n, где m и n — целые числа.
С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 23 и 24, но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 23х32, и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 25 и ни 35 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.
Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огромные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.
Для того чтобы легче было двигаться дальше, давайте подробнее рассмотрим понятие экспоненты и попробуем дать ей более обобщенное толкование.
До сих пор мы считали, что экспонента – это количество одинаковых сомножителей. В этом случае минимальная величина экспоненты – это 2. Однако если мы производим операцию деления чисел, или вычитания экспонент, то можем получить также число меньше 2, значит, старое определение нас больше не может устроить. Подробнее читайте в следующей статье.
Материалы по теме:
Поделиться с друзьями:
Загрузка…matemonline.com
Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями
Умножение степеней с одинаковыми основаниями
При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.
Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень — это сокращённая запись умножения:
23 = 2 · 2 · 2
Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:
23 · 22 = | (2 · 2 · 2) | · | (2 · 2) | = | 2 · 2 · 2 · 2 · 2 | = 25 |
3 множ. | 2 множ. | 5 множ. |
Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней, мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:
ax · ay = ax+y
Примеры умножения степеней
Пример 1. Запишите в виде степени:
n3n5
Решение:
n3n5 = n3 + 5 = n8
Пример 2. Упростите:
xy2z3x4y5z6
Решение: чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями можно сначала сгруппировать степени по основаниям:
(xx4)(y2y5)(z3z6)
Теперь выполним умножение степеней:
(xx4)(y2y5)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9
Следовательно:
xy2z3x4y5z6 = x5y7z9
Пример 3. Выполните умножение:
а) nxn5; б) xxn; в) amam
Решение:
а) nxn5 = nx + 5 б) xxn = xn + 1 в) amam = am + m = a2m
Пример 4. Упростите выражение:
а) -a2 · (-a)2 · a; б) -(-a)2 · (-a) · a
Решение:
а) -a2 · (-a)2 · a = -a2 · a2 · a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = -a5 б) -(-a)2 · (-a) · a = -a2 · (-a) · a = a3 · a = a4
Деление степеней с одинаковыми основаниями
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:
n12 : n5
где n – это число не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:
Представим n12 в виде произведения n7 · n5, тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель n5:
n12 | = | n7 · n5 | = n7 |
n5 | n5 |
Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:
n7 · n5 = n7+5 = n12
Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:
ax : ay = ax-y
Примеры деления степеней
Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:
а) | a5 | ; б) | m18 |
a | m10 |
Решение:
а) | a5 | = | a4 · a | = a4 |
a | a |
б) | m18 | = | m8 · m10 | = m8 |
m10 | m10 |
Пример 2. Выполните деление:
а) x7 : x2; б) n10 : n5; в) a30 : a10
Решение:
а) x7 : x2 = x7 — 2 = x5 б) n10 : n5 = n10 — 5 = n5 в) a30 : a10 = a30 — 10 = a20
Пример 3. Чему равно значение выражения:
а) | an | ; б) | mx | ; в) | b5 · b8 |
a2 | m | b3 |
Решение:
в) | b5 · b8 | = | b2 · b3 · b8 | = b2 · b8 = b10 |
b3 | b3 |
naobumium.info
Отрицательная степень числа | Алгебра 8 класс
Степень с отрицательным показателем
Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.
d -c = | 1 | ; 7 -5 = | 1 | ; a -5 = | 1 |
d c | 7 5 | a 5 |
Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:
a 5 : a 8 = a 5-8 = a -3
Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:
Значит:
Действия над степенями с отрицательными показателями
При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:
При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:
naobumium.info
Правило деление степеней — Aiki-group.ru
Правило деления степеней
Правило деления степеней. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Примеры:
Слайд 11 из презентации «Деление и умножение степеней» к урокам алгебры на тему «Степень»
Размеры: 960 х 720 пикселей, формат: jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке алгебры, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Деление и умножение степеней.ppt» можно в zip-архиве размером 1313 КБ.
«Деление и умножение степеней» — a2 a3 = a2+3 = a5. a3 = a · a · a. Найдем произведение a2 и a3. 100. 2+3. 5 раз. 64 = 144 = 1 0000 =. Умножение и деление степеней. 3 раза. a2 a3 =.
«Степени двойки» — 1024+. Правила перевода из одной системы счисления в другую. Гусельникова Е.В. Школа №130. Содержание. Таблица степеней двойки. Переведём число 1998 из десятичной в двоичную систему. Кислых В.Н. 11Э Зинько К.О. 11Э. Преподаватель: Выполнили: Рассмотрим схему преобразования на примере.
«Степень с отрицательным показателем» — Степень с отрицательным показателем. 5 12?3 (27?3 ). -2. -1. Вычислите: -3.
«Степень с рациональным показателем» — по теме: «Степень с рациональным показателем». Цели урока: I. Организационная часть. Проверка домашнего задания 1.Математический диктант 2. Взаимопроверка III.Самостоятельная работа IV. Обобщающий урок. Ход урока. Подготовка к контрольной работе V. Подведение итогов урока VI. II.
«Степень с целым показателем» — Представьте выражение в виде степени. X-12. Расположите в порядке убывания. Представьте выражение x-12 в виде произведения двух степеней с основанием x, если один множитель известен. Вычислите. Упростите.
«Свойства степени» — Обобщение знаний и умений по применению свойств степени с натуральным показателем. Вычислительная пауза. Свойства степени с натуральным показателем. Проверь себя! Применение знаний для решения различных по сложности задач. Тест. Физминутка. Развитие настойчивости, мыслительной активности и творческой деятельности.
900igr.net
Правило деление степеней
1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):
(abc…) n = a n b n c n …
Пример 1. (7•2•10) 2 = 7 2 •2 2 •10 2 = 49•4•100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2 ) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3
Практически более важно обратное преобразование:
a n b n c n … = (abc…) n
т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.
Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2 ) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2 )] 2 =(a 3 +b 3 ) 2
2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:
Пример 5. Пример 6.
Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..
3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:
Пример 9.2 2 •2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .
4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого
Пример 11. 12 5 :12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3 :(x-y) 2 =x-y.
5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:
Пример 13. (2 3 ) 2 =2 6 =64. Пример 14.
maths.yfa1.ru
Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней
Сложение и вычитание степеней
Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.
Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 . Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .
Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.
Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .
Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.
Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.
Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .
Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.
Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.
Или: 2a 4 — (-6a 4 ) = 8a 4 3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6 5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6
Умножение степеней
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.
Или: x -3 ⋅ a m = a m x -3 3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2 a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных. Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .
Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.
Так, a n .a m = a m+n .
Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;
И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Или: 4a n ⋅ 2a n = 8a 2n b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4 (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1
Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) ⋅ (x — y). Ответ: x 4 — y 4 . Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.
1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2 : то есть
Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.
Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.
Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 . (a 2 — y 2 )⋅(a 2 + y 2 ) = a 4 — y 4 . (a 4 — y 4 )⋅(a 4 + y 4 ) = a 8 — y 8 .
Деление степеней
Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.
Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .
Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac$. Но это равно a 2 . В ряде чисел a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 . любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..
Так, y 3 :y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac= y$.
И a n+1 :a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.
Или: y 2m : y m = y m 8a n+m : 4a m = 2a n 12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней. Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 . Также, $\frac : \frac = \frac.\frac= \frac= \frac$.
h 2 :h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac= h^3$
Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.
Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями
1. Уменьшите показатели степеней в $\frac$ Ответ: $\frac$.
2. Уменьшите показатели степеней в $\frac$. Ответ: $\frac$ или 2x.
3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю. a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель. a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель. a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель. После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .
4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю. Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .
5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.
6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).
7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .
8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.
www.math30.com
Алгебра – 7 класс. Умножение и деление степеней
Урок на тему: «Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями. Примеры»
Дополнительные материалы Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Умножение и деление степеней
Цель урока: научится производить действия со степенями числа.
Для начала вспомним понятие «степень числа». Выражение вида $\underbrace_$ можно представить, как $a^n$.
Справедливо также обратное: $a^n= \underbrace_$.
Это равенство называется «запись степени в виде произведения». Оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени. Запомните: a – основание степени. n – показатель степени. Если n = 1, значит, число а взяли один раз и соответственно: $a^n= 1$. Если n= 0, то $a^0= 1$.
Почему так происходит, мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.
Правила умножения
a) Если умножаются степени с одинаковым основанием. Чтобы $a^n * a^m$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace_ * \underbrace_$. На рисунке видно, что число а взяли n+m раз, тогда $a^n * a^m = a^$.
Пример. $2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу при возведении числа в большую степень. Пример. $2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
б) Если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем. Чтобы $a^n * b^n$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace_ * \underbrace_$. Если поменять местами множители и посчитать получившиеся пары, получим: $\underbrace_$.
Значит, $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Пример. $3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Правила деления
a) Основание степени одинаковое, показатели разные. Рассмотрим деление степени с большим показателем на деление степени с меньшим показателем.
Запишем степени в виде дроби:
Для удобства деление запишем в виде простой дроби. Теперь сократим дробь.
Получается: $\underbrace_= a^$. Значит, $\frac=a^$.
Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень. Допустим, что n=m, тогда $a^0= a^=\frac =1$.
б) Основания степени разные, показатели одинаковые. Допустим, необходимо $\frac$. Запишем степени чисел в виде дроби:
Для удобства представим. Используя свойство дробей, разобьем большую дробь на произведение маленьких, получим. $\underbrace* \frac * \ldots * \frac >_$. Соответственно: $\frac=( \frac)^n$.
mathematics-tests.com
Степени и корни
Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,
нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.
Операции со степенями.
1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :
a m · a n = a m + n .
2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .
3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.
4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):
( a / b ) n = a n / b n .
5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:
Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.
П р и м е р . ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .
Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).
1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:
2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:
3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:
4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:
5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:
Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.
Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:
Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .
П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m — n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.
Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.
П р и м е р ы . 2 0 = 1, ( – 5 ) 0 = 1, ( – 3 / 5 ) 0 = 1.
Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :
О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.
где a ≠ 0 , не существует .
В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0
— любое число.
В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.
Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то
0 0 — любое число.
Р е ш е н и е . Рассмотрим три основных случая:
1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению
2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,
что x – любое число; но принимая во внимание, что в
нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;
www.bymath.net
Это интересно:
- Правила безопасности с утюгом Правила техники безопасности при работе утюгом Правила техники безопасности при работе утюгом. 1.Перед включением утюга в электросеть нужно проверить изоляцию шнура и положение утюга на подставке. 2.Включение и […]
- Проблемы водного налога Проблемы водного налога Состояние, анализ и проблемы совершенствования водного налога При заборе воды сверх установленных квартальных (годовых) лимитов водопользования налоговые ставки в части такого превышения […]
- Этапы исполнения приказа как составить приказ о переходе с 223фз на 44 фз Сергей Антонов 30 Ответ написан год назад Профессор 455 Ответ написан год назад Например: приказ об отмене применения положения о закупках. Оценка ответа: 0 Добавить […]
- Правило на умножение и деление положительных и отрицательных чисел Деление отрицательных чисел Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению. Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « […]
- Разрешением 960h Разрешения D1, 960Н, 720Р, 960Р, 1080Р Системы видеонаблюдения получают все большее распространение по всему миру. Оборудование постоянно совершенствуется, и данная сфера постоянно развивается. Как и в любой […]
- Виды собственности по конституций Конституционное право Российской Федерации. Баглай М.В. 6-е изд., изм. и доп. — М.: Норма, 200 7 . — 7 84 с. Настоящий учебник, представляющий собой шестое, измененное и дополненное, издание, написан известным […]
aiki-group.ru
Степень с натуральным показателем и её свойства
Степень с натуральным показателем и ее свойства.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:
an =
В выражении an :
— число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени
— число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени
Например: 25 = 2·2·2·2·2 = 32, здесь: 2 – основание степени, 5 – показатель степени, 32 – значение степени
Отметим, что основание степени может быть любым числом.
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).
Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108
Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1
Например: 4578 = 4,578 · 103 ;
103000 = 1,03 · 105.
Свойства степени с натуральным показателем:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются
am · an = am + n
например: 71.7 · 7 — 0.9 = 71.7+( — 0.9) = 71.7 — 0.9 = 70.8
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются
am / an = am — n ,
где, m > n,
a ? 0
например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.
(am )n = a m · n
например: (23)2 = 2 3·2 = 26
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
(a · b)n = an · b m ,
например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель
(a / b)n = an / bn
например: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53
mirurokov.ru
avtobaiki.ru