Средние степенные – средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя гармоническая. Взвешенные и простые средние степенные величины.

14. Средние величины в статистике. Степенная средняя. Средняя арифметическая. Простая и взвешенная.

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Общих принципах применения средних величин. 1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.

2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.

3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии.

4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя считается по не сгруппированным данным: ,

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака; m – показатель степени средней; n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным ,

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта; m – показатель степени средней; fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних: средняя гармоническая, если m = -1; средняя геометрическая, если m –> 0; средняя арифметическая, если m = 1; средняя квадратическая, если m = 2; средняя кубическая, если m = 3.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Средняя арифметическая простая

взвешенная

15. Средние величины в статистике. Степенная средняя. Средняя гармоническая. Простая и взвешенная.

Средняя величина это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Общих принципах применения средних величин. 1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц.

2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц.

3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии.

4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя ,

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака; m – показатель степени средней; n – число вариант.

Взвешенная средняя ,

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта; m – показатель степени средней; fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Средняя гармоническая простая

взвешенная

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

studfiles.net

Степенные средние.

Средние величины играют исключительно большую роль в статистике. Средние величины представляют собой наиболее распространенную форму сводных величин. Они дают общую количественную характеристику элементов массового процесса. Средние величины являются как бы «представителями» всего ряда наблюдений, поскольку вокруг них концентрируются наблюдаемые значения признака. В сущности, средняя величина характеризует однородную совокупность одним числом. Например: средняя температура воздуха в аудитории.

Средняя обладает тем хорошим свойством, что в ней погашаются отклонения отдельных величин от основного типа.

Средняя величина – обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Условиями применения средних величин являются: наличие качественно однородной совокупности и достаточно большой ее объем.

Пример. Рабочие бригады имеют следующую месячную заработную плату (табл. 5.1):

Таблица 5.1

Заработная плата рабочих

Рабочий

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Всего:

10

Зарплата, грн.

493

561

609

718

1070

850

1203

894

901

1251

Всего:

8550

Требуется определить среднюю месячную зарплату рабочих бригады:

Средняя зарплата рабочего составляет 855 грн.

Существуют две категории средних величин: степенные средние (к ним относятся средняя арифметическая, средняя геометрическая и др.), а также структурные средние (мода и медиана). Выбор того или иного вида средней производится в зависимости от цели исследований, экономической сущности усредняемого показателя и характера имеющихся исходных данных.

Общая формула степенной средней имеет вид:

                                                                      (5.1)

где        – средняя статистического признака, а черта – знак символизирующий

       процесс осреденения индивидуальных значений;

х – величина, для которой вычисляется средняя – осредняемый признак;

m – показатель степени средней;

n — количество наблюдений (объем совокупности).

Подставляя различные значения т, получают различные формы средних величин.

Средняя арифметическая (при т = 1) используется для осреднения прямых значений признаков путем их суммирования. Ее логическая формула имеет вид:

                                                      (5.2)

 

Если данные не сгруппированы, применяется средняя арифметическая простая:

,                                                                         (5.3)

где       х – отдельные значения признака;

п – объем совокупности.

По формуле средней арифметической простой вычисляются также средние в хронологическом ряду, если интервалы времени, за которое приводятся значения признаков, равны.

Если в хронологическом ряду приведены моментные показатели, то для вычисления cредней они заменяются полусуммами значений на начало и конец периода. Если моментов более двух и интервалы между ними равны, то средняя вычисляется по формуле средней хронологической простой.

,                                                   (5.4)

где       п – число моментов времени.

Если данные сгруппированы, то используют среднюю арифметическую взвешенную:

             или                   ,                                    (5.5)

где fi – частота,

di – частость i-й группы.

При этом     а   

Осреднению подлежат не только отдельные значения вариант, но и их групповые средние , тогда весом будет частота (частость) каждой группы:

                                                                        (5.6)

Вычисленная таким способом средняя из групповых средних называется общей.

Весом может быть также абсолютная величина, логически связанная с осредняемым показателем. Выбор весов основывается на логической формуле показателя. Поскольку средняя величина вычисляется из расчета на единицу совокупности, то вес всегда будет находиться в знаменателе логической формулы. Например, при определении средней суммы затрат на одно рекламное объявление весом будет количество рекламных объявлений. При вычислении средней суммы затрат на одного рекламодателя весом будет количество рекламодателей.

Средняя арифметическая имеет определенные

математические свойства, раскрывающие ее сущность. Так, сумма отклонений отдельных вариант от средней равна нулю, а сумма квадратов таких отклонений приближается к минимуму. Эти два свойства лежат в основе изучения вариации признаков.

Если отдельные значения вариант увеличить (уменьшить) на одну и ту же величину А или в k раз, то средняя изменится соответственно.

Например, если денежные вклады граждан в сбербанк скорректировать на уровень инфляции, составляющий 1,2, то средний размер вклада увеличится соответственно в 1,2 раза.

Средняя не изменится при пропорциональном изменении всех весов, но ее размер изменится, если произойдут структурные сдвиги.

Например, при неизменной курсовой стоимости акций отдельных эмитентов средняя стоимость акций может увеличиться за счет увеличения доли «дорогих» акций в общем количестве их продажи.

Указанные свойства средней используют в случае осреднения признаков порядковой (ранговой) шкалы. Для 3-х бальной шкалы варианты признака можно оцифровать порядковыми рангами R = 1, 2, 3 или центрированными R0 = — 1, 0, 1.

Средний центрированный балл  отклоняется от среднего порядкового  на величину :

                                                          (5.7)

Аналитические возможности среднего центрированного балла шире, чем среднего порядкового, т.к.  может принимать положительные или отрицательные значения и свидетельствует  о положительной или отрицательной оценке явления. Кроме того, поскольку средний центрированный балл не зависит от размерности шкалы, его используют для сравнения оценок разных явлений.

Пример. В таблице 5.2 приведены данные об отношении населения к приватизации земли. Определим уровень поддержки приватизации земли населением.

Табл. 5.2

Отношение населения к приватизации земли

Отношение к приватизации

Доля ответов, %

Ранги

Rj

R0

Полностью поддерживаю

32

3

1

Частично поддерживаю

47

2

0

Не поддерживаю

21

1

-1

Итого

100

                  

Следовательно, уровень поддержки приватизации земли положительный, но пока невысокий.

Средняя гармоническая (т = – 1) используется для осреднения индивидуальных значений признаков из обратных величин путем их суммирования. Для несгруппированных данных используется средняя гармоническая простая

                                                                           (5.8)

Если данные сгруппированы, то используют среднюю гармоническую взвешенную

,                                                                          (5.9)

где       wi – объем значений признака, т.е.

Пример. Определить среднюю цену единицы продукции, если известны
(табл. 5.3) следующие данные:

Таблица 5.3

Данные о стоимости продукции

 

Продукция

Цена,

грн., хi

Сумма реализации,

тыс., грн., wi

Частота случаев,

fi = wi / xi

А

30

600

20

Б

20

1000

50

В

35

350

10

ИТОГО:

 

1950

80

Средняя цена единицы продукции равна сумме реализации деленной на количество реализованных единиц. Сумма реализации (числитель) – известна, а количество реализованной продукции (знаменатель) – неизвестна. В таком случае, среднюю цену единицы продукции определяют по формуле средней гармонической:

.

Если бы для расчета мы использовали среднюю арифметическую простую, то получили бы неверный результат:

.

Очевидно, что среднюю гармоническую взвешенную целесообразно использовать в тех случаях, когда отсутствует информация о значении знаменателя логической формулы, т.е. отсутствуют веса (когда статистическая информация не содержит конкретных частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена только как их произведение).

Рассчитывать среднюю гармоническую взвешенную можно и в том случае, когда отдельные значения вариантов не указаны, а известны только итоги (суммарные значения числителя и знаменателя) логической формулы.

 

Средняя геометрическая (т = 0) определяется как произведение относительных величин динамики xij , рассчитанных как отношение i-го значения показателя к предыдущему (i – 1).

Формула средней геометрической простой

                                                   (5.10)

где       — символ произведения;

 – число осредняемых величин.

 

Средняя квадратическая (т = 2) используется для характеристики вариации и будет рассматриваться в следующей лекции (тема 6).

Вопрос о том, какой вид средней необходимо применить, решается в каждом конкретном случае путем анализа изучаемой совокупности, определяется материальным содержанием изучаемого явления, а также исходя из осмысления результатов исследований. В статистике правильную характеристику совокупности можно получить при использовании только определенного вида средней, установить которую помогает анализ. Для правильного выбора вида средней величины необходимо составить логическую схему.

Пример. Имеется цех, в котором работает 100 человек. Необходимо определить среднюю зарплату одного рабочего. Среднюю зарплату определим по логической формуле:

 

Случаи использования различных средних величин.

1.     Средняя арифметическая простая используется в том случае, если числитель и знаменатель исследуемой системы приведен в исходных данных.

2.     Средняя арифметическая взвешенная используется в том случае, если знаменатель исследуемой системы (логической схемы) известен, а числитель – нет.

3.     Средняя гармоническая используется в том случае, если числитель исследуемой схемы приведен в исходных данных, а знаменатель – нет.

4.     Средняя квадратическая используется только лишь при определении показателей вариации.

5.     Средняя геометрическая используется только лишь при расчете среденегодового темпа роста.

6.     Структурные средние используются, преимущественно при определении спроса и предложения.

Следует учесть, что разные виды средних величин на одном и том же исходном материале имеют неодинаковые значения.

Пример. Бригада из пяти человек выпускает детали. При этом каждый рабочий выпускает в следующем количестве (табл. 5.4):

Таблица 5.4

Выпуск деталей рабочими

 

Рабочий

Выпуск деталей (хi)

1

10

2

8

3

11

4

14

5

7

ВСЕГО:     5

50

Определим средний выпуск деталей одним рабочим, используя различные виды средних.

среднеарифметическая  

среднеквадратическая  

среднегармоническая  

среднегеометрическая  

В общем виде соотношения между средними имеет вид:

www.ekonomstat.ru

Степенные средние

Количество просмотров публикации Степенные средние — 210

Средняя арифметическая простая применяется в тех случаях, когда веса отсутствует или они равны между собой.

Средняя арифметическая взвешенная применяется, когда значения осредняемого признака встречаются несколько раз.

Средняя квадратическая широко используется при оценке вариации признака, при изучении взаимосвязи явлений.

Средняя гармоническая величина (обратная средней арифметической) применяется в тех случаях, когда неизвестны значения частот у вариант ряда, зато имеются произведения этих вариант на соответствующие им частоты (w = xf).

Средняя геометрическая применяется для расчета среднего коэффициента или темпа роста.

К структурным средним относятся мода, медиана, квартили, децили.

Мода (Мо) — ϶ᴛᴏ наиболее часто встречающееся значение признака в данной совокупности (значение варианты с наибольшей частотой).

В дискретном ряду мода равна значению признака, которому соответствует наибольшая частота.

В интервальном ряду мода определяется по формуле:

где:

Xmo – нижняя граница модального интервала

i – величина модального интервала

fmo – частота модального интервала

fmo-1 – частота интервала, предшествующего модальному

fmo+1 – частота интервала, следующего за модальным

Модальным считается тот интервал, которому соответствует наибольшая частота.

Медиана (Ме) – значение признака, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ находится в серединœе ранжированного (упорядоченного) ряда. Медиана делит статистическую совокупность на две равные части.

В интервальном вариационном ряду медиана определяется по формуле

где:

— нижняя граница медианного интервала;

i — величина медианного интервала;

— полусумма частот;

S — сумма накопленных частот до медианной частоты;

f — частота медианного интервала.

Медианным считается тот интервал, накопленная частота которого равна или превышает половину всœех частот.

Квартили (Q)делят ранжированный ряд на четыре равные части.

Децили (D) делят ранжированный ряд на десять равных частей.

Показатели вариации характеризуют отклонения от средней величины.

Для изменения величины вариации используются абсолютные и относительные показатели вариации:

1. Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака;

2. Среднее линœейное отклонение (l)представляет собой среднюю арифметическую величину из абсолютных значений отклонений отдельных признаков от их средней.

3. Дисперсия (средний квадрат отклонений) представляет собой среднюю арифметическую величину из квадратов отклонений значений признака от их средней .

4. Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии.

5. Коэффициент вариации представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.

6. Коэффициент осцилляции представляет собой процентное отношение размаха вариации к средней арифметической.

Условные обозначения в таблице 4.2:

х – конкретное значение признака;

— среднее значение признака;

n — число вариантов;

A – значение середины интервала с наибольшей частотой;

i –величина интервала.

Таблица 4.2

referatwork.ru

средняя арифметическая, средняя квадратическая, средняя гармоническая. Взвешенные и простые средние степенные величины.

Средние величины открыли ученые Петте и Кетле. Они определили, что постоянные величины действуют одинаково на каждое изучаемое явление. Эти величины похожи друг на друга и создают общие для всех закономерности.

Следствием их изучения явилось выделение средних величин в качестве основного приема статичтического анализа.

Математическая статистика выводит средние из формул степенной средней:

— среднее значение исследуемого явления.

x— значение признака (варианта).

n— число признаков.

m— показатель степени средней.

В зависимости от значения показателя степени m различают следуещие виды степенных средних:

При m = — 1 — среднее гармоническое (xгар )

При m = 0 — среднее геометрическое (xг )

При m = 1 — среднее арифметическое (xар )

При m = 2 — среднее квадратическое(xкв )

При m = 3 — среднее кубическое (xкуб )

Виды средних величин

1.

 
 

средняя арифметическая простая применяется, когда перечислены все значения усредненного признака:

x — значение признака

n — кол-во единиц обладающих данным признаком.

2.среднее арифметическое взвешенное применяется, когда задан «вес признака»( кол-во единиц, обладающих одинаковым признаком)

x— значение признака, f— вес признака

3.средняя гармоническая простая.

4.средняя гармоническая взвешенная применяется, когда задан объем признака – это суммарное значение признака по всей совокупности или по группам.

x — значение признака.

w — объем признака.

5.средняя геометрическая простая.

x— значение признака.

k— кол-во осредняемых величин.

6.средняя геометрическая взвешенная.

7.среднее хронологическое применяется в рядах динамики

x1 — начальный уровень ряда

x n — конечный уровень ряда

n — число уровней в ряду

8.средняя квадратическая простая

9.

 
 

средняя квадратическая взвешенная
 
 

10.средняя кубическая простая
 
 

11.средняя кубическая взвешенная
 
 

Вариация признака. Абсолютные показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Относительные показатели вариации: коэффициенты осцилляции и вариации.

Показатели варьирования осредненных статичтических признаков: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее кватратическое отклонение (дисперсия), коэффициент вариации. Расчетные формулы и порядок расчета показателей вариации.

Применение показателей вариации при анализе статистических данных в деятельности предприятий и организаций, учреждений БР, макроэкономических показателей.

Средний показатель дает обобщающий, типичный уровень признака, но не показывает степень его колеблемости, вариации.

Поэтому средние показатели необходимо дополнять показателями вариации. От размера и распределения от клонений зависит надежность средних показателей.

Важно знать основные показатели вариации, уметь правильно их рассчитывать и использовать.

Основными показателями вариации являются: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Формулы показателей вариации:

1. размах вариации.

 

Xμαχ — максимальное значение признака

Xmin — минимальное значение признака.

Размах вариации может служить лишь приближенной мерой вариации признака, т.к. он исчисляется на основе двух крайних ее значений, а остальные во внимание не принимаются; при этом крайние значения признака для данной совокупности могут быть чисто случайными.

2. среднее линейное отклонение.

 

[X-X] — означает, что отклонения берутся без учета их знака.

Среднее линейное отклонение довольно редко используется в экономическом статистическом анализе.

3. Дисперсия.

 
 

4. Среднее квадратическое отклонение.

 
 

Относительные показатели вариации: коэффициенты осцилляции, вариации.

Коэффициент вариации.

Коэффициент вариации дает относительную оценку вариации и позволяет сравнить степень вариации признаков в рядах с разным уровнем средних.

Если коэффициент вариации V>33%, то она не надежна, ей доверять нельзя, совокупность неоднородна.

Если V<33%, то средняя надежна.

Коэффициент осциляции.

 




infopedia.su

Степенные средние

Математика Степенные средние

просмотров — 75

Средние величины

При анализе и планировании крайне важно опираться не на случайные факты, а на показатели, выражающие основное, типичное. Такую характеристику дают средние величины.

Средняя величина — ϶ᴛᴏ обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени.

При расчете средней величины индивидуальные значения признака заменяются одним средним значением. При этом случайные отклонения значения признака по отдельным единицам в сторону увеличения или уменьшения взаимно уравновешиваются и погашают друг друга, а в величинœе средней проявляется типичный размер признака, свойственный данной группе или совокупности в целом, что позволяет выявить закономерности, присущие массовым общественным явлениям, незаметные в единичных явлениях.

Средняя величина всœегда именованная, она имеет ту же единицу измерения, что и признак у отдельных единиц совокупности.

В статистике применяют две категории средних:

1. Степенные средние – средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая.

2. Структурные средние – мода и медиана.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных бывают простыми и взвешенными.

Простая средняя вычисляется по несгруппированным данным и имеет следующий вид:

,

где хi – значение признака для единицы совокупности i,

m – показатель степени средней,

n – число единиц совокупности.

Взвешенная средняя вычисляется по сгруппированным данным и имеет вид:

,

где хi – значение признака для единицы совокупности i,

m – показатель степени средней,

fi – частота͵ показывающая, сколько раз встречается i-е значение признака.

Формулы расчета степенных средних имеют общий показатель степени m. Учитывая зависимость оттого, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

1. Средняя арифметическая (m=1) – наиболее распространенный вид средней.

простая взвешенная

Примечание. В случае если значения осредняемого признака заданы в виде интервалов, то при расчете средней арифметической величины в качестве значений признаков в группах принимают середины этих интервалов, в результате чего образуется дискретный ряд. При этом величины открытых интервалов условно приравниваются к интервалам, примыкающим к ним.

Свойства средней арифметической:

а) если всœе индивидуальные значения признака (всœе варианты) уменьшить или увеличить в m раз, то среднее значение соответственно уменьшится или увеличится в m раз.

б) если всœе варианты осредняемого признака уменьшить или увеличить на число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это же число А.

в) если частоты (веса) всœех осредняемых вариантов уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая не изменится.

2. Средняя гармоническая (m=-1) – является величиной обратной для средней арифметической и применяется, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение xf.

простая взвешенная
, где w = xf

3. Средняя геометрическая (m=0) – применяется для определœения средней по значениям, имеющим большой разброс, либо в случаях определœения средней величины по относительным показателям, к примеру, среднегодовых темпов роста в рядах динамики, где индивидуальные значения признака представляют собой коэффициенты роста:

простая взвешенная

1. Средняя квадратическая (m=2) – применяется, когда требуется определить средний размер признака, выраженный в квадратных единицах измерения (для вычисления средней стороны квадратных участков) или при расчете среднего квадратического отклонения, являющегося одним из показателœей вариации признаков:

простая взвешенная

В случае если рассчитать всœе виды средних для одних и тех же исходных данных, то их значения окажутся неодинаковыми, т. к. здесь действует правиломажорантности средних: чем больше показатель m, тем больше средняя величина:

.


Читайте также


  • — Степенные средние

    Средние величины в статистике выполняют роль обобщающих показателей, характеризующих изучаемую совокупность единиц по какому-либо признаку. Метод средних величин является одним из наиболее распространенных приемов обобщения первичных статистических данных. Он… [читать подробенее]


  • — Средние величины. Степенные средние.

    Общая формула суммальной средней получается из балансового тождества: (1) Тождество (1) означает, что левая часть в нем должна оставаться неизменной, если каждое из индивидуальных значений xi заменить на некоторую постоянную величину, называемую средней и обозначаемую …. [читать подробенее]


  • — Средние величины. Степенные средние.

    Общая формула суммальной средней получается из балансового тождества: (1) Тождество (1) означает, что левая часть в нем должна оставаться неизменной, если каждое из индивидуальных значений xi заменить на некоторую постоянную величину, называемую средней и обозначаемую …. [читать подробенее]


  • — Степенные средние

    Средние величины При анализе и планировании необходимо опираться не на случайные факты, а на показатели, выражающие основное, типичное. Такую характеристику дают средние величины. Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень… [читать подробенее]


  • — Степенные средние

    Наиболее распространены следующие виды степенных средних: — средняя арифметическая — средняя гармоническая — средняя геометрическая — средняя квадратическая ü Средняя арифметическая исчисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как… [читать подробенее]


  • — Степенные средние величины

    Относительные величины, относящиеся ко второй группе, представляют собой результат сопоставления разноименных абсолютных величин и называются относительными величинами интенсивности. К таким относительным величинам относятся показатели производства продукции на… [читать подробенее]


  • — Степенные средние. Методика их расчета

    К Степенным средним относятся: 1. средняя арифметическая 2. средняя гармоническая 3. средняя геометрическая Запишем формулы степенных средних , придавая К значения: -1,0,1,2. При К = -1 получим среднюю гармоническую величину: При К = 0 получим среднюю… [читать подробенее]


  • — Степенные средние. Методика их расчета

    К Степенным средним относятся: 1. средняя арифметическая 2. средняя гармоническая 3. средняя геометрическая Запишем формулы степенных средних , придавая К значения: -1,0,1,2. При К = -1 получим среднюю гармоническую величину: При К = 0 получим среднюю… [читать подробенее]


  • — Степенные средние взвешенная и простая.

    Степенные средние величины получили свое название по виду функции, используемой для их расчета. Если значения признаков в статистической совокупности не повторяются, степенную среднюю величину вычисляют в простой форме — это простая степенная средняя, при повторяющихся… [читать подробенее]


  • — Средние величины. Степенные средние

    Средняя величина — это обобщающий показатель, выражающий действие общего и необходимого, закономерность развития явления. Средняя величина только тогда будет объективно отражать типичные свойства изучаемого явления, если исчисляется на основе массовых данных о… [читать подробенее]


  • oplib.ru

    Степенные средние

    Математика Степенные средние

    просмотров — 77

    Средние величины в статистике выполняют роль обобщающих показателœей, характеризующих изучаемую совокупность единиц по какому-либо признаку. Метод средних величин является одним из наиболее распространенных приемов обобщения первичных статистических данных. Он позволяет, с одной стороны, выявить то общее, что характерно для изучаемой совокупности по данному признаку, а, с другой стороны, абстрагироваться от её несущественных особенностей.

    Средняя величина типичный уровень признака в конкретных условиях места и времени в расчете на единицу однородной совокупности. Это значит, что значение средней величины будет типичным только для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц по осредняемому признаку. В противном случае средние величины дают искаженное представление об изучаемой совокупности. К примеру, среднедушевой доход населœения в условиях высокой дифференциации различных групп населœения по уровню доходов может не являться характерным для большинства людей. В таких случаях метод средних величин крайне важно сочетать с методом группировок. Первоначально с помощью группировки в рамках неоднородной совокупности выделяются однородные группы, по которым затем рассчитываются групповые средние, имеющие типичный характер для конкретной группы. При таком подходе появляется возможность не только определить характерные черты различных групп единиц совокупности, но и выявить имеющиеся различия между ними. В свою, очередь, это позволяет разработать дифференцированные меры по регулированию изучаемого явления или процесса.

    При этом нельзя сводить назначение средних величин только к характеристике типичных значений признаков в однородной по данному признаку совокупности. К примеру, для международных сравнений используют так называемые «системные средние», которые обобщают неоднородные явления в целом по стране как единой социально-экономической системе (средняя урожайность зерновых культур, уровень потребления продуктов питания на душу населœения и т.д.).

    В статистике используют различные виды средних величин. Различают два базовых типа средних величин: степенные средние и структурные средние. К структурным средним относят моду и медиану.

    Наиболее распространенными в практике статистического анализа степенными средними являются: средняя арифметическая; средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая.

    Для расчёта разных видов степенных средних используется одна формула, в которой меняется только значение степени:

    При k=1 получают среднюю арифметическую, при k=2 – среднюю квадратическую, при k=3 – среднюю кубическую, при k=-1 получают среднюю гармоническую, при k=0 – среднюю геометрическую.

    Значения всœех степенных средних связаны между собой на основе так называемого правила мажорантности, согласно которому при увеличении степени значение средней величины также растёт:

    Выбор вида средней величины определяется содержанием изучаемого признака (показателя), задачами исследования и характером исходной информации. Исходя из этих предпосылок, в каждом конкретном случае может применяться одна из перечисленных видов средних величин. Непродуманный (необоснованный) выбор вида средней приводит к ошибочным результатам и дает искаженную характеристику изучаемой статистической совокупности. Нельзя забывать и о том, что средние величины в статистике являются величинами именованными и выражаются в тех же единицах, в которых выражен признак.

    Поскольку средняя величина является обобщающей характеристикой качественно однородной совокупности по изучаемому признаку, то ее вычисление основано, прежде всœего, на понимании качественного содержания осредняемого показателя. Это значит, что крайне важно первоначально определить исходное соотношение средней (ИСС), ᴛ.ᴇ. логическую формулу, которая соответствует содержанию изучаемого показателя. К примеру, рентабельность продаж рассчитывается как отношение прибыли от продаж к выручке от реализации, а при расчете среднего уровня производительности труда в числителœе средней величины должен быть объем продукции, а в знаменателœе – величина затрат труда.

    Степенные средние бывают рассчитаны как простые и как взвешенные величины. Простые средние обычно рассчитываются, если исходная информация представлена в несгруппированном виде (в виде первичных данных). Взвешенные средние применяются в условиях наличия сгруппированных данных. Основные виды степенных средних представлены в табл. 7.

    Таблица 7


    Читайте также


  • — Степенные средние

    Средние величины в статистике выполняют роль обобщающих показателей, характеризующих изучаемую совокупность единиц по какому-либо признаку. Метод средних величин является одним из наиболее распространенных приемов обобщения первичных статистических данных. Он… [читать подробенее]


  • — Средние величины. Степенные средние.

    Общая формула суммальной средней получается из балансового тождества: (1) Тождество (1) означает, что левая часть в нем должна оставаться неизменной, если каждое из индивидуальных значений xi заменить на некоторую постоянную величину, называемую средней и обозначаемую …. [читать подробенее]


  • — Средние величины. Степенные средние.

    Общая формула суммальной средней получается из балансового тождества: (1) Тождество (1) означает, что левая часть в нем должна оставаться неизменной, если каждое из индивидуальных значений xi заменить на некоторую постоянную величину, называемую средней и обозначаемую …. [читать подробенее]


  • — Степенные средние

    Средние величины При анализе и планировании необходимо опираться не на случайные факты, а на показатели, выражающие основное, типичное. Такую характеристику дают средние величины. Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень… [читать подробенее]


  • — Степенные средние

    Наиболее распространены следующие виды степенных средних: — средняя арифметическая — средняя гармоническая — средняя геометрическая — средняя квадратическая ü Средняя арифметическая исчисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как… [читать подробенее]


  • — Степенные средние величины

    Относительные величины, относящиеся ко второй группе, представляют собой результат сопоставления разноименных абсолютных величин и называются относительными величинами интенсивности. К таким относительным величинам относятся показатели производства продукции на… [читать подробенее]


  • — Степенные средние. Методика их расчета

    К Степенным средним относятся: 1. средняя арифметическая 2. средняя гармоническая 3. средняя геометрическая Запишем формулы степенных средних , придавая К значения: -1,0,1,2. При К = -1 получим среднюю гармоническую величину: При К = 0 получим среднюю… [читать подробенее]


  • — Степенные средние. Методика их расчета

    К Степенным средним относятся: 1. средняя арифметическая 2. средняя гармоническая 3. средняя геометрическая Запишем формулы степенных средних , придавая К значения: -1,0,1,2. При К = -1 получим среднюю гармоническую величину: При К = 0 получим среднюю… [читать подробенее]


  • — Степенные средние взвешенная и простая.

    Степенные средние величины получили свое название по виду функции, используемой для их расчета. Если значения признаков в статистической совокупности не повторяются, степенную среднюю величину вычисляют в простой форме — это простая степенная средняя, при повторяющихся… [читать подробенее]


  • — Средние величины. Степенные средние

    Средняя величина — это обобщающий показатель, выражающий действие общего и необходимого, закономерность развития явления. Средняя величина только тогда будет объективно отражать типичные свойства изучаемого явления, если исчисляется на основе массовых данных о… [читать подробенее]


  • oplib.ru