Среднее гармоническое оснований трапеции – предмет статистика В каких случаях используется средняя гармоническая и может ли она быть равна ср.арифметической?action

Содержание

Среднее гармоническое Википедия

Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что

nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.

Можно получить явную формулу для среднего гармонического:

H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},

т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.

Свойства[ | ]

  • Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
  • Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
  • Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).

ru-wiki.ru

Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом   и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —  и ,  то

 

Площадь

 

или где   – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

egemaximum.ru

Среднее гармоническое — WiKi

Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны

положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что

nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.

Можно получить явную формулу для среднего гармонического:

H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},

т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.

Свойства

  • Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})} .
  • Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
  • Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})}  и
A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})}  (когда последнее определено).
H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,} 
где H{\displaystyle H}  — среднее гармоническое;
G{\displaystyle G}  — среднее геометрическое;
A{\displaystyle A}  — среднее арифметическое;
S{\displaystyle S}  — среднее квадратическое.

Взвешенное среднее гармоническое

Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}  и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}} , где wi{\displaystyle w_{i}} называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}} . Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число

H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}} .

Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0} (то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.

  У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований[1]

Приложения и примеры

В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.

В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.

Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).

Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).

Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равна среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.

Примечания

См. также

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource

ru-wiki.org

Среднее гармоническое — Gpedia, Your Encyclopedia

Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что

nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.

Можно получить явную формулу для среднего гармонического:

H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},

т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.

Свойства

  • Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
  • Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
  • Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
где H{\displaystyle H} — среднее гармоническое;
G{\displaystyle G} — среднее геометрическое;
A{\displaystyle A} — среднее арифметическое;
S{\displaystyle S} — среднее квадратическое.

Взвешенное среднее гармоническое

Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}, где wi{\displaystyle w_{i}}называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}}. Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число

H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}.

Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}(то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.

У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований[1]

Приложения и примеры

В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.

В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.

Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).

Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).

Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равна среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.

Примечания

См. также

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource

www.gpedia.com

Среднее гармоническое — Википедия РУ

Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что

nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.

Можно получить явную формулу для среднего гармонического:

H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},

т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.

Свойства

  • Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})} .
  • Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
  • Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})}  и
A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})}  (когда последнее определено).
H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,} 
где H{\displaystyle H}  — среднее гармоническое;
G{\displaystyle G}  — среднее геометрическое;
A{\displaystyle A}  — среднее арифметическое;
S{\displaystyle S}  — среднее квадратическое.

Взвешенное среднее гармоническое

Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}  и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}} , где wi{\displaystyle w_{i}} называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}} . Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число

H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}} .

Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0} (то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.

  У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований[1]

Приложения и примеры

В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.

В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.

Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).

Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).

Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равна среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.

Примечания

См. также

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource

http-wikipediya.ru

Среднее гармоническое Википедия

Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}, тогда их средним гармоническим будет такое число H{\displaystyle H}, что

nH=1×1+…+1xn{\displaystyle {\frac {n}{H}}={\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}.

Можно получить явную формулу для среднего гармонического:

H(x1,…,xn)=n1x1+1×2+⋯+1xn=11n∑i=1n1xi{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}},

т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}.

Свойства

  • Среднее гармоническое действительно является «средним», в том смысле что min(x1,…,xn)⩽H(x1,…,xn)⩽max(x1,…,xn){\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant H(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}.
  • Вообще, среднее гармоническое является средним степени -1.
  • Среднее гармоническое двойственно среднему арифметическому в следующем смысле:
H(x1,…,xn)=A−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n})=A^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} и
A(x1,…,xn)=H−1(x1−1,…,xn−1){\displaystyle A(x_{1},\ldots ,x_{n})=H^{-1}(x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1})} (когда последнее определено).
H≤G≤A≤S,{\displaystyle H\leq G\leq A\leq S,}
где H{\displaystyle H} — среднее гармоническое;
G{\displaystyle G} — среднее геометрическое;
A{\displaystyle A} — среднее арифметическое;
S{\displaystyle S} — среднее квадратическое.

Взвешенное среднее гармоническое

Пусть есть набор неотрицательных чисел x1,…,xn{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} и набор чисел w1,…,wn{\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}, где wi{\displaystyle w_{i}}называется весом величины xi{\displaystyle x_{i}}. Тогда их взвешенным средним гармоническим называется число

H(x1,…,xn;w1,…,wn)=w1+…+wnw1x1+…+wnxn{\displaystyle H(x_{1},\ldots ,x_{n};w_{1},\ldots ,w_{n})={\frac {w_{1}+\ldots +w_{n}}{{\frac {w_{1}}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {w_{n}}{x_{n}}}}}}.

Легко заметить, что при w1=…=wn≠0{\displaystyle w_{1}=\ldots =w_{n}\neq 0}(то есть когда все величины «равноправны») получается обычное среднее гармоническое.

У трапеции длина отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равна среднему гармоническому длин оснований[1]

Приложения и примеры

В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.

В формуле тонкой линзы удвоенное фокусное расстояние равно среднему гармоническому расстояния от линзы до предмета и расстояния от линзы до изображения. Подобным образом среднее гармоническое входит и в аналогичную формулу для сферического зеркала.

Средняя скорость на пути, разделенном на равные участки, скорость на которых постоянна, равна среднему гармоническому скоростей на этих участках пути. Более обще, если путь разбит на участки, скорость на каждом из которых постоянна, то средняя скорость будет равна взвешенному среднему гармоническому скоростей (каждая скорость идет с весом, равным длине соответствующего ей отрезка).

Средняя плотность сплава равна взвешенному среднему гармоническому плотностей сплавляемых веществ (веса — массы частей соответствующих веществ).

Сопротивление, получающееся при параллельном подключении нескольких резисторов, равна среднему гармоническому их сопротивлений, деленному на их количество. Аналогичное утверждение верно для емкостей последовательно соединенных конденсаторов.

Примечания

См. также

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Harmonic Mean / MathWorld—A Wolfram Web Resource

wikiredia.ru

Конспект для старшеклассников по свойствам трапеции

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

  1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два: ХТ = (a – b)/2.
  2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
    Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k2.
  3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
  4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении  меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
    Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
  5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ.
  6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле
    2ab/(a + b)
    .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

  1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2.
  2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

  1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 1800: α + β = 1800  и γ + δ = 1800.
  2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 900 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2.
  3. Если через стороны  угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

  1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
  2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
  3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
  4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 1800 – обязательное условие для этого.
  5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
  6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2.
  7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
  8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2. Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим  на два: (a – b)/2.

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

  1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
  2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
  3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
  4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:
    МАЕ = ½МОЕ
    .
  5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ. Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
  6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S
    АМЕ
    .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

  1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2.
  2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ.
  3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
  4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab.
  5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
    Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

  1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
  3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

  • Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 1800 — МЕТ = 1800 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной:

  • Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 1500 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 1800. Поэтому КАН = 300 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 300. Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: SАКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см2.

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru