Системы линейных уравнений матрицы и определители – Методическая разработка на тему: Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. | скачать бесплатно

Содержание

Определители и системы линейных уравнений

1.1. Системы двух линейных уравнений и определители второго порядка

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Коэффициенты при неизвестных и имеют два индекса: первый указывает номер уравнения, второй – номер переменной.

Главным определителем системы называется таблица, составленная из коэффициентов при неизвестных и заключенная в прямые скобки:

Вспомогательным определителем называют определитель, полученный из главного определителя заменой одного из столбцов на столбец свободных членов:

Главнаядиагональ определителя – это диагональ, направленная из левого верхнего угла в правый нижний угол. Вторая диагональ называется

побочной.

Определитель второго порядка равен разности между произведением элементов главной диагонали и произведением элементов побочной диагонали:

Правило Крамера: Решение системы находят путем деления вспомогательных определителей на главный определитель системы

Замечание 1.Использование правила Крамера возможно, если определитель системы не равен нулю.

Замечание 2.Формулы Крамера обобщаются и на системы большего порядка.

Пример 1. Решить систему: .

Решение.

; ;

;

Проверка:

Вывод: Система решена верно: .

1.2. Системы трех линейных уравнений и определители третьего порядка

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы или главным определителем:

Если то система имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

где

где определители – называются вспомогательными и получаются из определителя путем замены его первого, второго или третьего столбца столбцом свободных членов системы.

Пример 2.Решить систему .

Сформируем главный и вспомогательные определители:

Осталось рассмотреть правила вычисления определителей третьего порядка. Их три: правило дописывания столбцов, правило Саррюса, правило разложения.

а) Правило дописывания первых двух столбцов к основному определителю:

Вычисление проводятся следующим образом: со своим знаком идут произведения элементов главной диагонали и по параллелям к ней, с обратным знаком берут произведения элементов побочной диагонали и по параллелям к ней.

б) Правило Саррюса:

Со своим знаком берут произведения элементов главной диагонали и по параллелям к ней, причем недостающий третий элемент берут из противоположного угла. С обратным знаком берут произведения элементов побочной диагонали и по параллелям к ней, третий элемент берут из противоположного угла.

в) Правило разложения по элементам строки или столбца:

Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения.

Если , тогда .

Алгебраическое дополнение– это определитель более низкого порядка, получаемый путем вычеркивания соответствующей строки и столбца и учитывающий знак

, где

– номер строки,

– номер столбца.

Например,

, ,

и т.д.

Вычислим по этому правилу вспомогательные определители и , раскрывая их по элементам первой строки.

Вычислив все определители, по правилу Крамера найдем переменные:

Проверка:

Вывод: система решена верно: .

Основные свойства определителей

Необходимо помнить, что определитель – это число, найденное по некоторым правилам. Его вычисление может быть упрощено, если пользоваться основными свойствами, справедливыми для определителей любого порядка.

Свойство 1.Значение определителя не изменится от замены всех его строк соответствующими по номеру столбцами и наоборот.

Операция замены строк столбцами называется транспонированием. Из этого свойства вытекает, что всякое утверждение, справедливое для строк определителя, будет справедливым и для его столбцов.

Свойство 2.Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то знак определителя поменяется на противоположный.

Свойство 3.Если все элементы какой-нибудь строки определителя равны 0, то определитель равен 0.

Свойство 4.Если элементы строки определителя умножить (разделить) на какое-нибудь число , то и значение определителя увеличится (уменьшится) в

раз.

Если элементы какой-нибудь строки, имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Свойство 5. Если определитель имеет две одинаковые или пропорциональные строки, то такой определитель равен 0.

Свойство 6. Если элементы какой-нибудь строки определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей.

Свойство 7. Значение определителя не изменится, если к элементам какой-нибудь строки добавить элементы другой строки, умноженной на одно и то же число.

В этом определителе вначале ко второй строке прибавили третью, умноженную на 2, затем из третьего столбца вычли второй, после чего вторую строку прибавили к первой и третьей, в результате получили много нулей и упростили подсчет.

Элементарными преобразованиями определителя называются упрощения его благодаря использованию указанных свойств.

Пример 1.Вычислить определитель

Непосредственный подсчет по одному из рассмотренных выше правил приводит к громоздким вычислениям. Поэтому целесообразно воспользоваться свойствами:

а) из І строки вычтем вторую, умноженную на 2;

б) из ІІ строки вычтем третью, умноженную на 3.

В результате получаем:

Разложим этот определитель по элементам первого столбца, содержащего лишь один ненулевой элемент.

Системы и определители высших порядков

Систему линейных уравнений с неизвестными можно записать в таком виде:

Для этого случая также можно составить главный и вспомогательные определители, а неизвестные определять по правилу Крамера. Проблема состоит в том, что определители более высокого порядка могут быть вычислены только путем понижения порядка и сведения их к определителям третьего порядка. Это может быть осуществлено способом прямого разложения по элементам строк или столбцов, а также с помощью предварительных элементарных преобразований и дальнейшего разложения.

Пример 4. Вычислить определитель четвертого порядка

Решение найдем двумя способами:

а) путем прямого разложения по элементам первой строки:

б) путем предварительных преобразований и дальнейшего разложения

	а) из І строки вычтем ІІІ
	б) ІІ строку прибавим к ІV

а) из IV строки вынесем 2
б) сложим III и IV столбцы
в) умножим на 2 III столбец и прибавим ко II

Пример 5.Вычислить определитель пятого порядка, получая нули в третьей строке с помощью четвертого столбца

из первой строки вычтем вторую, из третьей вычтем вторую, из четвертой вычтем вторую, умноженную на 2.

из второго столбца вычтем третий:

из второй строки вычтем третью:

Пример 6.Решить систему:

Решение.Составим определитель системы и, применив свойства определителей, вычислим его:

(из первой строки вычтем третью, а затем в полученном определителе третьего порядка из третьего столбца вычитаем первый, умноженный на 2). Определитель , следовательно, формулы Крамера применимы.

Вычислим остальные определители:

Четвертый столбец умножили на 2 и вычли из остальных

Четвертый столбец вычли из первого, а затем, умножив на 2, вычли из второго и третьего столбцов.

Здесь выполнили те же преобразования, что и для .

При нахождении первый столбец умножили на 2 и вычли из остальных.

По правилу Крамера имеем:

После подстановки в уравнения найденных значений убеждаемся в правильности решения системы.

2. МАТРИЦЫ и ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

В РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

studfiles.net

Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

Реферат

по дисциплине: «Математика»

на тему:

«Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij , где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Пример.

— симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида

называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

a (А+В) =aА ±aВ

А(a±b) = aА ±bА

матрица алгебраический линейный уравнение

Пример. Даны матрицы А =

; B = , найти 2А + В.

2А =

, 2А + В = .

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

A×B = C;

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить едини чная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

А×Е = Е×А = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^Т А^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^Т А^Т , где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А =

; В = А^Т =;

другими словами, b_ji = a_ij .

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)^T = C^T B^T A^T ,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А =

, В = , С = и число a = 2. Найти А^Т В+aС.

A^T =

; A^T B = × = = ;

aC =

; А^Т В+aС = + = .

Пример. Найти произведение матриц А =

и В = .

АВ =

× = .

ВА =

× = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=

, В =

АВ =

×= = .

Определение. Определителем квадратной матрицы А=

называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: det A = , где

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A =

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n.

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a_1k . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

det A = det A^T ;

Свойство 2. det (AB) = detA×detB

Свойство 3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

mirznanii.com

Определители Решение систем линейных уравнений

КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ

Кафедра «Автоматизации управления войсками»

Только для преподавателей

«Утверждаю»

Начальник кафедры № 9

полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.

«____»______________ 2004 г.

доцент А.И.СМИРНОВА

«ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»

ЛЕКЦИЯ № 2 / 1

Обсуждено на заседании кафедры № 9

«____»___________ 2004г.

Протокол № ___________

Кострома, 2004.

Содержание

Введение

1. Определители второго и третьего порядка.

2. Свойства определителей. Теорема разложения.

3. Теорема Крамера.

Заключение

Литература

1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.

2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.

ВВЕДЕНИЕ

На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме «Векторная алгебра» при вычислении векторного произведения векторов.

1-ый учебный вопросОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО

ПОРЯДКА

Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида

Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка называют выражение вида :

(1)

Числа а _{11, …,}а ₂₂ называют э л е м е т а м и определителя.

Диагональ, образованная элементами а ₁₁ ; а ₂₂ называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а ₁₂ ; а ₂₁ -п о б о ч н ой.

Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Заметим, что в ответе получается число.

ПРИМЕРЫ. Вычислить:

Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка называется выражение вида :

Элементы а _11;а ₂₂ ; а ₃₃ – образуют главную диагональ.

Числа а _13;а ₂₂ ; а ₃₁ – образуют побочную диагональ.

Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:

» + » » – »

С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.

Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.

Это правило вычисления определителя третьего порядка называют

п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.

ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:

ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.

2-ой учебный вопросСВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

Приведенные далее свойства выполняются для определителей любого порядка. Все они могут быть доказаны непосредственной проверкой, основанной на правилах вычисления определителей.

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.

Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.

Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.

Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину .

Свойство 3. Общий множитель элементов строки (или столбца ) можно выносить за знак определителя.

Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.

Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.

Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.

D = — DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.

Свойство 5. Если все элементы какой–то строки (или столбца ) равны нулю, то определитель равен нулю.

Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при

k = 0

Свойство 6. Если элементы двух строк (или столбцов ) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.

Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.

Доказывается непосредственной проверкой.

Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.

Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента а _i _j обозначается М _i _j . Так для элемента а ₁₁ минор

Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1)^k , где k — сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Алгебраическое дополнение элемента а _i _j обозначается А _i _j .

Таким образом, А _i _j =

Выпишем алгебраические дополнения для элементов а ₁₁ и а _12.

. .

Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс , если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус , если эта сумма нечетная .

ПРИМЕР. Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:

Ясно, что миноры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком.

Рассмотрим без доказательства важную теорему – теорему разложения определителя.

ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.

В развернутом виде:

Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка.

Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.

Рекомендуется раскладывать определитель по той строке или столбцу, где есть нули, т.к. для нулевых элементов не надо находить алгебраические дополнения.

Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.

ПРИМЕРЫ. Вычислить определитель, используя теорему разложения.

mirznanii.com

Матрицы, определители, системы линейных уравнений

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

^ квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если и , то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу ^ называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице ^ , обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры. Найти сумму матриц:

.
— нельзя, т.к. размеры матриц различны.
.

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному ^ и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

.
Найти 2A-B, если , .

Найти C=–3A+4B.

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице ^ ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

Примеры.

Пусть

Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.

Найти произведение матриц.

.
— нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
Пусть

Найти АВ и ВА.

, B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы ^ на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

^ , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

.
Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

^ , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

.
.
Решите уравнение..

(x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

(x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

(x-4)(x-1)=0.

x₁ = 4, x₂ = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

te.zavantag.com

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Министерство образования и науки РФ

–––––––——————————–––––––

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

————————————————————

Матрицы, определители

и системы линейных уравнений

Методические рекомендации к решению задач

Санкт-Петербург

2006

УДК 00000000

Матрицы, определители и системы линейных уравнений: Методические указания к решению задач / Сост.: Е.А. Толкачева, М.Н. Абрамова, А.И. Куприянов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006. 32 с.

Содержат решения основных типов задач элементарной линейной алгебры. Разобраны различные методы решения этих задач.

Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний

 СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2004

Методические указания предназначены для студентов-заочников младших курсов. При изучении курса высшей математики делается упор на умение решать задачи. Основные методы решения тех или иных задач целиком переносятся на самостоятельную проработку. Программа курса высшей математики включает в себя, наряду с другими разделами, и определители, матрицы, системы линейных уравнений. Студент в своей работе может ориентироваться на любые источники, содержащие сведения по линейной алгебре. В качестве основного источника выбрана книга Писменного [3] – наиболее доступная, с точки зрения авторов. В начале каждого параграфа дается ссылка на этот учебник. Ответы каждого примера либо подчеркнуты, либо, при необходимости выделены отдельно.

Настоящие указания являются составной частью цикла методических разработок кафедры высшей математики №2 СПбГЭТУ «ЛЭТИ», и призванных помочь студентам-заочникам в самостоятельной работе.

Глава 1. Матрицы и определители §1. Алгебра матриц

Основные определения и утверждения по данному разделу можно найти на стр.10-14, ч.1, [3]. Матрицу, по главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы – нули, называют единичной и обозначают E.

При решении задач в параграфе, будем использовать матрицы:

, ,и. ()

Вычислите A+Bдля матриц из ().

Решение:

Суммой матриц будет матрица, элементы которой получены суммированием элементов слагаемых. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности, причем результат будет той же размерности.

Вычислите 3A+2B для матриц из ().

Решение:

Найдем сначала матрицы 3Aи 2B. При умножении матрицы на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

Для матрицы Bаналогично:.

Сложим результаты: .

Вычислите A∙BиB∙A для матриц из ().

Решение:

Перемножить матрицы можно, если количество столбцов первого сомножителя совпадает с количеством строк второго сомножителя. Если умножается матрица порядка m×kна матрицу порядкаk×n, то в результате получится матрица порядкаm×n. Для получения ее—го элемента необходимо элементыi—ой строки левой матрицы умножить на соответствующие элементыj—го столбца правой матрицы и сложить полученные результаты.

. =. Произведение матриц не коммутативно, то есть для любых матрицAиB:A∙BB∙A, что и показывают полученные результаты.

Вычислите A²для матрицы из ().

Возвести матрицу в n—ую степень, значит умножить ее на себяnраз.

==.

Вычислите C∙D иD∙Cдля матриц из ().

Решение:

Произведение C∙D не определено, так как число столбцов матрицы, которых три, не совпадает с числом строк матрицы, которых два. Напоминаем, что перемножить матрицы можно, если количество столбцов первого сомножителя совпадает с количеством строк второго сомножителя.

Если умножается матрица порядка 2×2на матрицу порядка2×3, то в результате получится матрица порядка 2×3.

Вычислите C^T∙Dдля матриц из ().

Решение:

При выполнении операций над матрицами в первую очередь выполняется транспонирование, затем умножение матриц. Для того чтобы найти транспонированную матрицу надо строки матрицы записать в столбцы (или наоборот, столбцы в строки).

Вычислите D∙Eдля матриц из ().

Решение:

На главной диагонали матрицы Eстоят 1, другие элементы равны нулю.

Легко проверить, что E∙D=D. Полученные равенства верны для произвольных матриц. Единичная матрицаEпри умножении матриц играет роль числа 1 при умножении чисел.

Найти значение многочлена f(x)=x²+x+2для матрицы∙D().

Решение:

Запись f(D)=D²+D+2будет не корректна: выражениеD²+Dесть матрица размера 2×2, к которой нельзя прибавить число 2. А потомуf(D)=D²+D+2E, гдеE— единичная матрица подходящего размера.

=== .

Вычислите: .

Решение:

При вычислениях следует помнить о последовательности выполнения действий: сначала умножение матриц и умножения матрицы на число, потом сложение матриц.

studfiles.net

Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

Пример. Определить ранг матрицы.

~, Þ Rg = 2.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A =

; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать: A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1 ×A×X = A^-1 ×B,

т.к. А^-1 ×А = Е, то Е×Х = А^-1 ×В

Х = А^-1 ×В

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Пример. Решить систему уравнений:

Х =

, B = , A =

Найдем обратную матрицу А^-1 .

D = det A =

5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M₁₁ =

= -5; M₂₁ = = 1; M₃₁ = = -1;

M₁₂ =

M₂₂ = M₃₂ =

M₁₃ =

M₂₃ = M₃₃ = A^-1 = ;

Cделаем проверку:

A×A^-1 =

=E.

Находим матрицу Х.

Х =

= А^-1 В = ×= .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A ¹ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = D_i /D, где

D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i .

D_i =

Пример.

A =

; D₁ = ; D₂ = ; D₃ = ;

x₁ = D₁ /detA; x₂ = D₂ /detA; x₃ = D₃ /detA;

Пример. Найти решение системы уравнений:

D =

= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ =

= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

x₁ = D₁ /D = 1;

D₂ =

= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x₂ = D₂ /D = 2;

D₃ =

= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x₃ = D₃ /D = 3.

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выш е матричным методом.

Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

Для самостоятельного решения:

; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А =

называется матрицей системы, а матрица

А^* =

называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b₁ , b₂ , …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

mirznanii.com

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Матрицы

Матрицей размера m ´ n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

Числа называются элементами матрицы. Таким образом, первый индекс элемента указывает на номер строки, второй – на номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Если m=n, т.е. число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Диагональ квадратной матрицы, составленная из элементов a₁₁, a₂₂, …, a_nn, называется главной диагональю.

Квадратная матрица называется единичной, если на главной диагонали у нее стоят единицы, а остальные элементы – нули.

Пусть дана произвольная матрица .Матрица , у которой каждая строка является столбцом матрицы А с тем же номером (и, следовательно, каждый столбец является строкой матрицы А), называется транспонированной к матрице А. Переход от матрицы А к В называется транспонированием. Будем обозначать транспонированную матрицу А^Т.

Заметим, что .

Определители

Для квадратных матриц существует численная характеристика, которая также имеет и многочисленные другие приложения. Прежде чем сформулировать определение определителя матрицы, введем одно вспомогательное понятие.

Пусть (s₁, s₂, … ,s_n) – строка из n различных чисел от 1 до n. Будем говорить, что в строке имеется нарушение, если существует такая пара чисел (s_i, s_j), что i < j, а s_i> s_j. Другими словами, если в этой строке большее число стоит раньше меньшего. Например, в строке (1, 4, 2, 3) имеется два нарушения (4, 2) и (4, 3).

Определителем матрицы порядка n (или определителем n-го порядка) называется сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце и расположенных по возрастанию номеров строк, причем член берется со знаком плюс, если строка из номеров столбцов его элементов имеет четное число нарушений, и со знаком минус – в противном случае.

Для обозначения определителя будем употреблять запись:

или det A .

Основываясь на определении, мы можем записать явные формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков:

(1.1)

(1.2)

Примеры:

1) ,

2) .

Выражение определителя третьего порядка является достаточно громоздким. Для запоминания формулы существуют два удобных способа. Первый способ вычисления определителя третьего порядка схематично можно изобразить следующим образом:

Второй способ заключается в том, что под элементами матрицы выписываются снова первая и вторая строки. Тогда вычисление определителя схематично можно изобразить следующим образом:

Свойства определителей

Перечислим некоторые простейшие свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Пример.

2. Если матрица содержит строку, состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю.

3. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки, то ее определитель изменит знак.

Пример.

4. Если в матрице есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

5. При умножении строки матрицы на число, ее определитель умножается на это число.

6. Если все элементы i-й строки матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых , то ее определитель равен сумме определителей двух матриц, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в заданной матрице, а i-я строка в первой матрице состоит из элементов b_j, а во второй – из элементов c_j.

Прежде чем перейти к следующему свойству, сформулируем важное определение.

Будем говорить, что строка является линейной комбинацией строк

если существуют некоторые числа a₁, …, a_m, такие, что для любого i = 1, …, n выполняется следующее: , или то же самое можно записать в обозначениях строк:

7. Если одна из строк матрицы есть линейная комбинация остальных строк этой матрицы, то ее определитель равен нулю.

Пример.

Этот определитель равен нулю, так как третья строка есть сумма первой строки и второй строки, умноженной на 2.

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-нибудь ее строке прибавить линейную комбинацию остальных строк этой матрицы.

Пример.

Второй определитель получен из первого прибавлением к первой строке второй и третьей строк, затем общий множитель первой строки был вынесен за знак определителя по свойству 5 и получился определитель, имеющий две одинаковые строки, который по свойству 4 равен нулю.

Заметим, что из первого свойства вытекает, что все остальные свойства могут быть сформулированы не только для строк матрицы, но и для ее столбцов.

Алгебра матриц

Понятие матрицы, благодаря своим многочисленным применениям, стало предметом самостоятельной теории, в основе которой лежат алгебраические операции над матрицами: сложение и умножение.

Определим сначала равенство и сложение матриц.

Матрицы А и В одинаковых размеров n´m с элементами и называются равными, если для i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m. Равенство матриц обозначается А = В.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров n´m с элементами и называется матрица С = А + В, элементы которой получаются путем сложения соответствующих элементов данных матриц: для i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Определенное таким образом сложение будет, очевидно, коммутативным и ассоциативным.

Для сложения существует и обратная операция – вычитание матриц А – В. Роль нуля играет при этом нулевая матрица, составленная из одних нулей.

Введем операцию умножения матрицы на число.

Произведением матрицы А на число lназывается матрица С = l × А, элементы которой получаются умножением элементов матрицы А на число l: , где i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Все перечисленные выше операции над матрицами аналогичны операциям над числами и являются вполне естественными.

Следующая операция умножения матриц на первый взгляд покажется не столь очевидной.

Произведением матрицы А размера m´n с элементами и матрицы В размера n´p с элементами называется матрица С = АВ размера m´p c элементами , если

, (1.7)

где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p.

Пример.

Теперь можно легко составлять и вычислять матричные выражения.

Пример. Если , то .

Нахождение обратной матрицы

Существует два способа нахождения обратной матрицы.

1.Первый способ основан на теореме о существовании обратной матрицы.

Пример. Найти обратную матрицу к матрице .

Вычислим определитель этой матрицы . Так как detA ¹ 0, то обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения всех элементов (см. форулу (1.3):

Составим присоединенную матрицу

Находим обратную матрицу, поделив каждый элемент присоединенной матрицы на определитель матрицы А:

2.Метод элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования этой матрицы:

а) перестановка двух строк или двух столбцов,

б) умножение строки или столбца на отличное от нуля число,

в) прибавление к одной строке или столбцу другой строки или столбца.

Заметим, что если матрица А получается из матрицы В элементарными преобразованиями, то, обратив эти преобразования, можно и матрицу В получить из матрицы А.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из этих матриц получается из другой элементарными преобразованиями.

Пусть – матрицы, выражающие элементарные преобразования, которые данную матрицу А приводят к единичной матрице, т.е.

Умножив левую и правую части этого матричного равенства справа на матрицу , получим

Таким образом, одни и те же элементарные преобразования приводят матрицу А к единичной, а единичную матрицу к матрице .

Метод элементарных преобразований нахождения обратной матрицы заключается в том, что к данной матрице А справа приписывается единичная матрица такого же порядка. Затем над строками полученной прямоугольной матрицы производятся элементарные преобразования такие, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица. При этом на месте единичной матрицы получится матрица, которая будет как раз обратной к матрице А.

Пример. Найти обратную к матрице .

Припишем справа единичную матрицу

Разделив первую строку на три и обнулив элемент в первом столбце ниже тройки, получим

Умножив вторую строку на три и обнулив элемент во втором столбце выше , получим

Таким образом,

Метод Крамера

Изложенная выше теория определителей позволяет исследовать на совместность системы, имеющие одинаковое количество уравнений и неизвестных.

Теорема 1.3. (Крамера).Система n уравнений с n неизвестными

(1.10)

имеет единственное решение, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Это решение находится по формулам Крамера:

, (1.11)

где D – определитель матрицы системы, а D_k – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой k-го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Выберем произвольное число k = 1,…,n. Умножим левую и правую части первого уравнения системы (1.10) на , второго уравнения – на , …, последнего – на . Затем сложим левые и правые части полученных равенств, сгруппировав слагаемые с одинаковыми переменными х_i. Получим равенство

или

При х_k получим коэффициент . Это есть определитель матрицы системы D. Коэффициенты при остальных х_j, j ¹ k, имеют вид и будут равны нулю, так как сумма представляет собой определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (вместо k-го столбца в определителе D стоит j-й столбец).

Таким образом, получили равенство

Выражение справа, очевидно, является разложением по k-му столбцу определителя

получающегося из определителя D заменой k-го столбца столбцом из чисел b₁, b₂, …, b_n, т.е. D_k. Тогда имеем . Отсюда, так как D ¹ 0, получаем .

Пример. Решить систему.

Вычислим определители:

Так как определитель матрицы системы Δ отличен от нуля, то система совместна, тогда решения системы находятся по формулам (1.11):

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Матрицы

Матрицей размера m ´ n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

Диагональ квадратной матрицы, составленная из элементов a₁₁, a₂₂, …, a_nn, называется главной диагональю.

Заметим, что .

Определители

Для обозначения определителя будем употреблять запись:

или det A .

(1.1)

(1.2)

Примеры:

1) ,

2) .

Свойства определителей

Перечислим некоторые простейшие свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Пример.

2. Если матрица содержит строку, состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю.

3. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки, то ее определитель изменит знак.

Пример.

4. Если в матрице есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

5. При умножении строки матрицы на число, ее определитель умножается на это число.

Прежде чем перейти к следующему свойству, сформулируем важное определение.

Будем говорить, что строка является линейной комбинацией строк

Пример.

Этот определитель равен нулю, так как третья строка есть сумма первой строки и второй строки, умноженной на 2.

Пример.

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

РубрикаПолезно знать

Системы линейных уравнений матрицы и определители – Методическая разработка на тему: Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. | скачать бесплатно

Определители и системы линейных уравнений

1.2. Системы трех линейных уравнений и определители третьего порядка

Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

Определители Решение систем линейных уравнений

Литература

2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.

Матрицы, определители, системы линейных уравнений

МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Глава 1. Матрицы и определители §1. Алгебра матриц

Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Добавить комментарий Отменить ответ