Что такое уравнение Что значит решить уравнение Что такое уравнение Что значит решить уравнение Основные правила решения уравнений. Классификация уравнений. Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения. Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения. Решить уравнение – значит найти все его корни( или убедиться, что уравнение не имеет ни одного корня). Решить уравнение – значит найти все его корни( или убедиться, что уравнение не имеет ни одного корня). Основные правила : Алгебраические Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое ( если а + х = b, то х = b – а) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое ( если а + х = b, то х = b – а) 7 + х = 23 х = 23 – 7 х = 16 Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. ( если х – а = d , то х = а + d) х-8 =5 х = 8+5 х=13 Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность ( если а — х =b , то х = а-b) 9-х =1,3 х = 9- 1,3 х = 7,7 Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель ( если ах = b , то х =b: а ) 0,2х = 6 х = 6: 0,2 х=30 Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель ( если х : а = b , то х = аb) Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель ( если х : а = b , то х = аb) х : 0,3 = 4 х = 4 * 0.3 х = 1.2 Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное (если а : х =b , то х = а:b) 0.8 :х=-5 х=0.8(-5) х=-0.16 Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. 3х – 8 = х – 14 3х –х = -14 + 8 2х = -6 х = -3 Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю. Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю. 1) 15+у=78 2) 45-х=29 3) 5х=525 1) 15+у=78 2) 45-х=29 3) 5х=525 4) 35:3х=360 5) 180:y=15 6) 2x=38 Решением уравнения служит х = Решением уравнения служит х = Уравнение ( где а 0 , а равносильно уравнению f (x)=g (x) Уравнение вида с помощью подстановки сводится к квадратному уравнению Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x) Согласно определению логарифма, Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида Это уравнение всегда имеет единственное решение: Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида Это уравнение всегда имеет единственное решение: Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Дискриминантом квадратного уравнения называется число Если D > 0 , то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два решения: Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов равен нулю. При С=0 уравнение принимает вид Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов равен нулю. При С=0 уравнение принимает вид Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида , т.е квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида , т.е квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Определить знаки корней уравнения ТЕОРЕМА ВИЕТА Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т.е. –р, а их произведение- свободному члену q. ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ Т.ВИЕТА Если сумма двух чисел равна числу –р, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведенного квадратного уравнения Уравнение вида называется биквадратным. Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим , тогда . Исходное уравнение примет вид т.е является обыкновенным квадратным уравнением. Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида Заметим, что Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида Заметим, что т.е. решение этого уравнения равносильно совокупности Симметрическим уравнением четвертой степени называется любое из следующих двух уравнений: Для решения первого уравнения введем новую переменную а для решения второго — Для решения первого уравнения введем новую переменную а для решения второго — переменную Имеем: т.е. получены обыкновенные квадратные уравнения. Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо число –х, если число х отрицательно. Обозначение: Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо число –х, если число х отрицательно. Обозначение: Формальная запись этого определения такова: Решить уравнение: Формула для корней уравнения Формула для корней уравнения sin x=a ( ) имеет вид cos x=a tg x=a ctg x=a Решением тригонометрических уравнений может служить метод замены переменной Тригонометрическое уравнение вида Тригонометрическое уравнение вида все члены которого имеют одну и ту же степень относительно синуса и косинуса, называется однородным. Однородное уравнение легко сводиться к уравнению относительно , если все его члены разделить на . При этом если , то такое деление не приведет к потере решений, поскольку значение не удовлетворяет уравнению. Если же , то выносится за скобки. Уравнение вида равносильно уравнению ,где Уравнение вида равносильно уравнению ,где Наиболее часто применяется метод, состоящий в том, что все члены уравнения, состоящие в правой части, переносятся в левую часть; после чего левая часть уравнения разлагается на множители, при этом применяются формулы разложения тригонометрических функций в произведение , формулы понижения степени , формулы преобразования произведения тригонометрических функций в систему. Дробно-рациональные уравнения Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида ,где и –многочлены. Выражение имеет смысл только в том случае, если выполняется условие Значит, рациональное уравнение имеет решение при условии Иррациональные уравнения Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени Возведение обеих частей уравнения в степень. При возведении обеих частей уравнения в четную степень, получается уравнение, неравносильное исходному. Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение и проверяют, верно ли получается числовое равенство. Равенство нулю произведения( частного) двух выражений. Равенство нулю произведения( частного) двух выражений. Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно нулю, а другое при этом имеет смысл. Формально это записывается так: Формальная запись частного от деления двух выражений равных нулю: Метод введения новой переменной Метод введения новой переменной Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени Возведение в квадрат обеих частей уравнения. Сначала уравнение нужно преобразовать так, чтобы в одной части стояли радикалы, а в другой- остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если в уравнении два радикала. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования. Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал(теперь он один!)-в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов. Введение новой переменной: Введение новой переменной: Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степей. При решении уравнений, содержащих радикалы третьей степени, бывает полезно пользоваться следующими тождествами: Решить уравнение: Решение: Возведем обе части этого уравнения в третью степень и воспользуемся выше приведённым тождеством: Заметим, что выражение, стоящее в скобках, равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни х=5 и х=-25/2. Если считать ( по определению), что корень нечетной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения. Ответ:5,-25/2 При каких значениях а уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше? При каких значениях а уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше? Решение: Рассмотрим функцию: и построим эскиз её графика. При а=0 функция становится линейной и двух пересечений с осью Ох( корней уравнения у=0) иметь не может. При а>0 графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Необходимым и достаточным условием существования корней таких, что а в этом случае является единственное условие: Если же а условие, соответственно, (рис.) Итак решение задачи формально задается совокупностью: Ответ: Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Решение системы называется такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество. Решить систему — значит найти все её решения или доказать что их нет. Графическое решение систем Графический способ решения систем уравнений состоит в следующем: Строятся графики каждого уравнения системы; Определяются точки пересечения графиков; Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков. Графический способ решения систем уравнений в большинстве случаев не дает точного решения системы, однако он может быть полезен для наглядной иллюстрации рассуждений. Решение: Графики первого и третьего уравнения – прямые; график второго уравнения – кубическая парабола(рис). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы. Решение: Графики первого и третьего уравнения – прямые; график второго уравнения – кубическая парабола(рис). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы. Ответ:( 0;0) Равносильность уравнений Равносильными ( эквивалентными) уравнения называются в том случае, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, а все корни второго уравнения – корнями первого. Равносильные преобразования уравнения – это преобразования, приводящие к равносильному уравнению: 1)Прибавление одновременно к обеим частям уравнения любого числа ( в частности, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака) 2) Умножение ( и деление ) обеих частей уравнения одновременно на любое число, отличное от нуля. Кроме того, для уравнений в области действительных чисел: 3) Возведением обеих частей уравнения в любую нечетную степень 4) Возведение обеих частей уравнения при условии, что они неотрицательны, в любую четную натуральную степень Список используемой литературы: Д.И.Аверьянов – «Большой справочник для поступающих в ВУЗы» 1998г. В.К.Егерев- «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы под редакцией М.И.Сканави». 1997г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс.» 2003г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 9 класс.» 2003г. Презентацию подготовили: Шманова Виктория Деева Александра 11 класс МОУ «СОШ №1» г. Шумиха 2007г. подробная информация по тел 83524521413 Особая благодарность учителям СОШ №1: Особая благодарность учителям СОШ №1: Терегуловой Ирине Викторовне Шманову Анатолию Ивановичу Решение уравнений, формулы и примеры Уравнения Методы решения уравнений Решение уравнения — Википедия решить уравнение — Что значит решить уравнение? — 22 ответа Что такое уравнение Что значит решить уравнение Что такое уравнение Что значит решить уравнение Основные правила решения уравнений. Классификация уравнений. Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения. Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения. Решить уравнение – значит найти все его корни( или убедиться, что уравнение не имеет ни одного корня). Решить уравнение – значит найти все его корни( или убедиться, что уравнение не имеет ни одного корня). Основные правила : Алгебраические Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое ( если а + х = b, то х = b – а) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое ( если а + х = b, то х = b – а) 7 + х = 23 х = 23 – 7 х = 16 Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. ( если х – а = d , то х = а + d) х-8 =5 х = 8+5 х=13 Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность ( если а — х =b , то х = а-b) 9-х =1,3 х = 9- 1,3 х = 7,7 Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель ( если ах = b , то х =b: а ) 0,2х = 6 х = 6: 0,2 х=30 Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель ( если х : а = b , то х = аb) Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель ( если х : а = b , то х = аb) х : 0,3 = 4 х = 4 * 0.3 х = 1.2 Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное (если а : х =b , то х = а:b) 0.8 :х=-5 х=0.8(-5) х=-0.16 Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. 3х – 8 = х – 14 3х –х = -14 + 8 2х = -6 х = -3 Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю. Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю. 1) 15+у=78 2) 45-х=29 3) 5х=525 1) 15+у=78 2) 45-х=29 3) 5х=525 4) 35:3х=360 5) 180:y=15 6) 2x=38 Решением уравнения служит х = Решением уравнения служит х = Уравнение ( где а 0 , а равносильно уравнению f (x)=g (x) Уравнение вида с помощью подстановки сводится к квадратному уравнению Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x) Согласно определению логарифма, Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида Это уравнение всегда имеет единственное решение: Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида Это уравнение всегда имеет единственное решение: Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Дискриминантом квадратного уравнения называется число Если D > 0 , то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два решения: Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов равен нулю. При С=0 уравнение принимает вид Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов равен нулю. При С=0 уравнение принимает вид Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида , т.е квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида , т.е квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Определить знаки корней уравнения ТЕОРЕМА ВИЕТА Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т.е. –р, а их произведение- свободному члену q. ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ Т.ВИЕТА Если сумма двух чисел равна числу –р, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведенного квадратного уравнения Уравнение вида называется биквадратным. Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим , тогда . Исходное уравнение примет вид т.е является обыкновенным квадратным уравнением. Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида Заметим, что Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида Заметим, что т.е. решение этого уравнения равносильно совокупности Симметрическим уравнением четвертой степени называется любое из следующих двух уравнений: Для решения первого уравнения введем новую переменную а для решения второго — Для решения первого уравнения введем новую переменную а для решения второго — переменную Имеем: т.е. получены обыкновенные квадратные уравнения. Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо число –х, если число х отрицательно. Обозначение: Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо число –х, если число х отрицательно. Обозначение: Формальная запись этого определения такова: Решить уравнение: Формула для корней уравнения Формула для корней уравнения sin x=a ( ) имеет вид cos x=a tg x=a ctg x=a Решением тригонометрических уравнений может служить метод замены переменной Тригонометрическое уравнение вида Тригонометрическое уравнение вида все члены которого имеют одну и ту же степень относительно синуса и косинуса, называется однородным. Однородное уравнение легко сводиться к уравнению относительно , если все его члены разделить на . При этом если , то такое деление не приведет к потере решений, поскольку значение не удовлетворяет уравнению. Если же , то выносится за скобки. Уравнение вида равносильно уравнению ,где Уравнение вида равносильно уравнению ,где Наиболее часто применяется метод, состоящий в том, что все члены уравнения, состоящие в правой части, переносятся в левую часть; после чего левая часть уравнения разлагается на множители, при этом применяются формулы разложения тригонометрических функций в произведение , формулы понижения степени , формулы преобразования произведения тригонометрических функций в систему. Дробно-рациональные уравнения Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида ,где и –многочлены. Выражение имеет смысл только в том случае, если выполняется условие Значит, рациональное уравнение имеет решение при условии Иррациональные уравнения Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени Возведение обеих частей уравнения в степень. При возведении обеих частей уравнения в четную степень, получается уравнение, неравносильное исходному. Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение и проверяют, верно ли получается числовое равенство. Равенство нулю произведения( частного) двух выражений. Равенство нулю произведения( частного) двух выражений. Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно нулю, а другое при этом имеет смысл. Формально это записывается так: Формальная запись частного от деления двух выражений равных нулю: Метод введения новой переменной Метод введения новой переменной Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени Возведение в квадрат обеих частей уравнения. Сначала уравнение нужно преобразовать так, чтобы в одной части стояли радикалы, а в другой- остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если в уравнении два радикала. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования. Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал(теперь он один!)-в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов. Введение новой переменной: Введение новой переменной: Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степей. При решении уравнений, содержащих радикалы третьей степени, бывает полезно пользоваться следующими тождествами: Решить уравнение: Решение: Возведем обе части этого уравнения в третью степень и воспользуемся выше приведённым тождеством: Заметим, что выражение, стоящее в скобках, равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни х=5 и х=-25/2. Если считать ( по определению), что корень нечетной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения. Ответ:5,-25/2 При каких значениях а уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше? При каких значениях а уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше? Решение: Рассмотрим функцию: и построим эскиз её графика. При а=0 функция становится линейной и двух пересечений с осью Ох( корней уравнения у=0) иметь не может. При а>0 графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Необходимым и достаточным условием существования корней таких, что а в этом случае является единственное условие: Если же а условие, соответственно, (рис.) Итак решение задачи формально задается совокупностью: Ответ: Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Решение системы называется такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество. Решить систему — значит найти все её решения или доказать что их нет. Графическое решение систем Графический способ решения систем уравнений состоит в следующем: Строятся графики каждого уравнения системы; Определяются точки пересечения графиков; Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков. Графический способ решения систем уравнений в большинстве случаев не дает точного решения системы, однако он может быть полезен для наглядной иллюстрации рассуждений. Решение: Графики первого и третьего уравнения – прямые; график второго уравнения – кубическая парабола(рис). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы. Решение: Графики первого и третьего уравнения – прямые; график второго уравнения – кубическая парабола(рис). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы. Ответ:( 0;0) Равносильность уравнений Равносильными ( эквивалентными) уравнения называются в том случае, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, а все корни второго уравнения – корнями первого. Равносильные преобразования уравнения – это преобразования, приводящие к равносильному уравнению: 1)Прибавление одновременно к обеим частям уравнения любого числа ( в частности, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака) 2) Умножение ( и деление ) обеих частей уравнения одновременно на любое число, отличное от нуля. Кроме того, для уравнений в области действительных чисел: 3) Возведением обеих частей уравнения в любую нечетную степень 4) Возведение обеих частей уравнения при условии, что они неотрицательны, в любую четную натуральную степень Список используемой литературы: Д.И.Аверьянов – «Большой справочник для поступающих в ВУЗы» 1998г. В.К.Егерев- «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы под редакцией М.И.Сканави». 1997г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс.» 2003г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 9 класс.» 2003г. Презентацию подготовили: Шманова Виктория Деева Александра 11 класс МОУ «СОШ №1» г. Шумиха 2007г. подробная информация по тел 83524521413 Особая благодарность учителям СОШ №1: Особая благодарность учителям СОШ №1: Терегуловой Ирине Викторовне Шманову Анатолию Ивановичу Что такое уравнение Что значит решить уравнение Что такое уравнение Что значит решить уравнение Основные правила решения уравнений. Классификация уравнений. Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения. Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения.Решить уравнение Решить уравнение Основные правила : Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое ( если а + х = b, то х = b – а) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое ( если а + х = b, то х = b – а) 7 + х = 23 х = 23 – 7 х = 16 Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. ( если х – а = d , то х = а + d) х-8 =5 х = 8+5 х=13 Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность ( если а — х =b , то х = а-b) 9-х =1,3 х = 9- 1,3 х = 7,7 Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель ( если ах = b , то х =b: а ) 0,2х = 6 х = 6: 0,2 х=30 Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель ( если х : а = b , то х = аb) Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель ( если х : а = b , то х = аb) х : 0,3 = 4 х = 4 * 0.3 х = 1.2 Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное (если а : х =b , то х = а:b) 0.8 :х=-5 х=0.8(-5) х=-0.16 Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. 3х – 8 = х – 14 3х –х = -14 + 8 2х = -6 х = -3 Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю. Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю. 1) 15+у=78 2) 45-х=29 3) 5х=525 1) 15+у=78 2) 45-х=29 3) 5х=525 4) 35:3х=360 5) 180:y=15 6) 2x=38 Решением уравнения служит х = Решением уравнения служит х = Уравнение ( где а 0 , а равносильно уравнению f (x)=g (x) Уравнение вида с помощью подстановки сводится к квадратному уравнению Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x) Согласно определению логарифма, Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида Это уравнение всегда имеет единственное решение: Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида Это уравнение всегда имеет единственное решение: Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Дискриминантом квадратного уравнения называется число Если D > 0 , то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два решения: Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов равен нулю. При С=0 уравнение принимает вид Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов равен нулю. При С=0 уравнение принимает вид Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида , т.е квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида , т.е квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Определить знаки корней уравнения ТЕОРЕМА ВИЕТА Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т.е. –р, а их произведение- свободному члену q. ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ Т.ВИЕТА Если сумма двух чисел равна числу –р, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведенного квадратного уравнения Уравнение вида называется биквадратным. Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим , тогда . Исходное уравнение примет вид т.е является обыкновенным квадратным уравнением. Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида Заметим, что Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида Заметим, что т.е. решение этого уравнения равносильно совокупности Симметрическим уравнением четвертой степени называется любое из следующих двух уравнений: Для решения первого уравнения введем новую переменную а для решения второго — Для решения первого уравнения введем новую переменную а для решения второго — переменную Имеем: т.е. получены обыкновенные квадратные уравнения. Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо число –х, если число х отрицательно. Обозначение: Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо число –х, если число х отрицательно. Обозначение: Формальная запись этого определения такова: Решить уравнение: Формула для корней уравнения Формула для корней уравнения sin x=a ( ) имеет вид cos x=a tg x=a ctg x=a Решением тригонометрических уравнений может служить метод замены переменной Тригонометрическое уравнение вида Тригонометрическое уравнение вида все члены которого имеют одну и ту же степень относительно синуса и косинуса, называется однородным. Однородное уравнение легко сводиться к уравнению относительно , если все его члены разделить на . При этом если , то такое деление не приведет к потере решений, поскольку значение не удовлетворяет уравнению. Если же , то выносится за скобки. Уравнение вида равносильно уравнению ,где Уравнение вида равносильно уравнению ,где Наиболее часто применяется метод, состоящий в том, что все члены уравнения, состоящие в правой части, переносятся в левую часть; после чего левая часть уравнения разлагается на множители, при этом применяются формулы разложения тригонометрических функций в произведение , формулы понижения степени , формулы преобразования произведения тригонометрических функций в систему. Дробно-рациональные уравнения Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида ,где и –многочлены. Выражение имеет смысл только в том случае, если выполняется условие Значит, рациональное уравнение имеет решение при условии Иррациональные уравнения Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени Возведение обеих частей уравнения в степень. При возведении обеих частей уравнения в четную степень, получается уравнение, неравносильное исходному. Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение и проверяют, верно ли получается числовое равенство. Равенство нулю произведения( частного) двух выражений. Равенство нулю произведения( частного) двух выражений. Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно нулю, а другое при этом имеет смысл. Формально это записывается так: Формальная запись частного от деления двух выражений равных нулю: Метод введения новой переменной Метод введения новой переменной Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени Возведение в квадрат обеих частей уравнения. Сначала уравнение нужно преобразовать так, чтобы в одной части стояли радикалы, а в другой- остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если в уравнении два радикала. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования. Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал(теперь он один!)-в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов. Введение новой переменной: Введение новой переменной: Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степей. При решении уравнений, содержащих радикалы третьей степени, бывает полезно пользоваться следующими тождествами: Решить уравнение: Решение: Возведем обе части этого уравнения в третью степень и воспользуемся выше приведённым тождеством: Заметим, что выражение, стоящее в скобках, равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни х=5 и х=-25/2. Если считать ( по определению), что корень нечетной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения. Ответ:5,-25/2 При каких значениях а уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше? При каких значениях а уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше? Решение: Рассмотрим функцию: и построим эскиз её графика. При а=0 функция становится линейной и двух пересечений с осью Ох( корней уравнения у=0) и меть не может. При а>0 графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Необходимым и достаточным условием существования корней таких, что а в этом случае является единственное условие: Если же а условие, соответственно, (рис.) Итак решение задачи формально задается совокупностью: Ответ: Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Решение системы называется такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество. Решить систему — значит найти все её решения или доказать что их нет.Графическое решение систем Графический способ решения систем уравнений состоит в следующем: Строятся графики каждого уравнения системы; Определяются точки пересечения графиков; Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков. Графический способ решения систем уравнений в большинстве случаев не дает точного решения системы, однако он может быть полезен для наглядной иллюстрации рассуждений. Решение: Графики первого и третьего уравнения – прямые; график второго уравнения – кубическая парабола(рис). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы.Решение: Графики первого и третьего уравнения – прямые; график второго уравнения – кубическая парабола(рис). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы.Ответ:( 0;0) Равносильность уравнений Равносильными ( эквивалентными) уравнения называются в том случае, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, а все корни второго уравнения – корнями первого. Равносильные преобразования уравнения – это преобразования, приводящие к равносильному уравнению: 1)Прибавление одновременно к обеим частям уравнения любого числа ( в частности, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака) 2) Умножение ( и деление ) обеих частей уравнения одновременно на любое число, отличное от нуля. Кроме того, для уравнений в области действительных чисел: 3) Возведением обеих частей уравнения в любую нечетную степень 4) Возведение обеих частей уравнения при условии, что они неотрицательны, в любую четную натуральную степень Список используемой литературы: Д.И.Аверьянов – «Большой справочник для поступающих в ВУЗы» 1998г. В.К.Егерев- «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы под редакцией М.И.Сканави». 1997г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс.» 2003г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 9 класс.» 2003г. Презентацию подготовили: Шманова Виктория Деева Александра 11 класс МОУ «СОШ №1» г. Шумиха 2007г. подробная информация по тел 83524521413 Особая благодарность учителям СОШ №1: Особая благодарность учителям СОШ №1: Терегуловой Ирине Викторовне Шманову Анатолию Ивановичу
rpp.nashaucheba.ru
Решение уравнений, формулы и примеры Определение и степень уравнения Например. .
Например. Уравнение является уравнением седьмой степени, поскольку максимальную — седьмую — степень имеет одночлен .
Решение уравнения и его корни Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Основные свойства уравнений Если хотя бы в одной части уравнения выполнить тождественные преобразования, то в результате получим уравнение, равносильное заданному.
Например. .
Если из одной части уравнения перенести слагаемые в другую его часть, при этом изменив их знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное заданному.
Например. .
Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и тоже ненулевое число, то получим уравнение, равносильное данному.
Например. .
Понравился сайт? Расскажи друзьям!
ru.solverbook.com
Уравнения Определение. Равенство — это два выражения, соединенные знаком равенства («=»).
Определение. Равенство, верное при всех значениях входящих в него букв, называется
Равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти, называется уравнением .
Значение буквы, при котором уравнение превращается в верное равенство, называется решением или корнем уравнения .
Решить уравнение — это значит найти все его решения или показать, что уравнение решений не имеет. Степень неизвестного (буквы) определяет название уравнении и способ его решения. Если неизвестное в первой степени, то уравнение называется линейным .
Например: 6х + 18 = 60 (неизвестное х в первой степени).
Если неизвестное во второй степени, то уравнение называется квадратнгмм .
Например:
2x2 + 18 = 26 (неизвестное x во второй степени).
Для решения линейных уравнений применяются законы сложения (переместительный и сочетательный). Чтобы решить линейное уравнение, надо:
Раскрыть скобки в уравнении, если они есть. Слагаемые с неизвестным перенести в одну часть от знака равенства, а числа — в другую часть. При переносе слагаемого из одной части равенства в другую знак перед этим слагаемым изменяется на противоположный («+» на «-». а «-» на «+»). Привести подобные слагаемые в обеих частях уравнения. Вычислить значение неизвестного, используя свойство действия умножения (чтобы найти один из множителей. надо произведение разделить на второй множитель). Например: 7 (4 — х) + 3 (х — 5) = 9х .
Раскрыть скобки: 28 — 7х + Зх — 15 = 9х Перенести слагаемые с неизвестным в левую часть равенства, а числа — в правую часть равенства: -7х + Зх — 9x = -28 + 15 . Привести подобные члены: -13x = -13 . Вычислить неизвестное x. Определив значение неизвестного, мы решили уравнение.
Чтобы произвести проверку правильности решения уравнения , надо полученное значение неизвестного (буквы) подставить в условие (заданное уравнение) и решить числовое равенство. Если числовое равенство обращается в уравнение решено верно.
7 (4 — 1) + 3 (1 — 5) = 9 * 1 7 * 3 + 3 * (-4) = 9 21 — 12 = 9 9 = 9 Уравнение решено верно, так как в результате проверки получено тождество.
shkolo.ru
Методы решения уравнений Автор Сергей
Понедельник, Июль 9, 2012
методах решения уравнений . Задач, которые связаны с решением уравнений, довольно много в вариантах ЕГЭ и ГИА по математике. Поэтому как репетитор по математике рекомендую освежить с памяти связанный с этим вопросом материал. К каждому разобранному в статье примеру прилагается аналогичное задание для самопроверки. Все свои вопросы вы можете смело задавать в комментариях. Ни один вопрос без ответа не останется. В статье также имеется видеоразбор одного из заданий.
Основные методы решения уравнений Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что их не существует. Стандартных методов решения уравнений много, нестандартных — еще больше. Последние подходят для решения небольшого количества (часто вообще одного) типа уравнений. При решении уравнений почти всегда приходится прибегать к тождественным преобразованиях алгебраических выражений. Поэтому целесообразно разобраться сперва с этим материалом, прежде чем переходить к решению уравнений. В данной статье разобраны в основном стандартные методы решения уравнений. Некоторые нестандартные методы кратко охарактеризованы в завершающей части статьи. Также на сайте есть отдельные статьи о решении тригонометрических, логарифмических и показательных уравнений, с которыми я также рекомендую читателю ознакомиться.
Метод разложения на множители Суть данного метода в том, чтобы путем равносильных преобразований представить левую часть исходного уравнения, содержащую неизвестную величину в какой-либо степени, в виде произведения двух выражений, содержащих неизвестную величину в меньшей степени. При этом справа от знака равенства должен оказаться ноль. Проще всего уяснить эту идею на конкретном примере.
Пример 1. Решите уравнение методом разложения на множители:
Решение. Осуществим разложение на множители (представим исходное выражение в виде произведения). Для этого вынесем переменную за скобки:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, или Из последнего уравнения получаем: или
Ответ: и
Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение методом разложения на множители:
Показать ответ
Ответ: 0 или
Решение уравнения — Википедия Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 22 июля 2018;
проверки требуют 12 правок.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 22 июля 2018;
проверки требуют 12 правок.
решение уравнения — это задача по нахождению таких значений аргументов (чисел, функций, наборов и т. д.), при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными). Значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается, называются решениями или
корнями данного уравнения. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.
Например, уравнение x+y=2x−1{\displaystyle x+y=2x-1} решается для неизвестного x{\displaystyle x} с помощью замены x=y+1,{\displaystyle x=y+1,} так как замена переменной x{\displaystyle x} на выражение y+1{\displaystyle y+1} превращает уравнение в тождество: (y+1
решить уравнение — Что значит решить уравнение? — 22 ответа
реши уравнение В разделе Домашние задания на вопрос Что значит решить уравнение? заданный автором Алена Пономарева лучший ответ это Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что их нет. Корнями уравнения называются те значения неизвестных, при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство.
Ответ от
22 ответа [гуру]
Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Что значит решить уравнение?
Ответ от ~ _D’jazzz_ ~ [активный]
Ответ от Alecsw [гуру]
Ответ от Alex Soldatkin [активный]
Ответ от Оксана ( Малышк@ ) [гуру]
Ответ от Орлова Лиза [гуру]
Ответ от Оля [активный]
Ответ от
Ответ от Ђатьяна Рябинина [новичек]
Ответ от Герман Губанов [новичек]
Ответ от Вероника цыганок [новичек]
Ответ от
2 ответа [гуру]
Привет! Вот еще темы с нужными ответами:
VIDEO
Решение уравнения на Википедии
Уравнение на Википедии
Ответить на вопрос: 22oa.ru
Что такое уравнение Что значит решить уравнение Что такое уравнение Что значит решить уравнение Основные правила решения уравнений. Классификация уравнений. Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения. Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы при которой из уравнения получается верное числовое равенство , называют корнем уравнения.Решить уравнение Решить уравнение Основные правила : Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое ( если а + х = b, то х = b – а) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое ( если а + х = b, то х = b – а) 7 + х = 23 х = 23 – 7 х = 16 Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. ( если х – а = d , то х = а + d) х-8 =5 х = 8+5 х=13 Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность ( если а — х =b , то х = а-b) 9-х =1,3 х = 9- 1,3 х = 7,7 Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель ( если ах = b , то х =b: а ) 0,2х = 6 х = 6: 0,2 х=30 Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель ( если х : а = b , то х = аb) Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель ( если х : а = b , то х = аb) х : 0,3 = 4 х = 4 * 0.3 х = 1.2 Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное (если а : х =b , то х = а:b) 0.8 :х=-5 х=0.8(-5) х=-0.16 Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. Корни уравнения не изменяются, если какое – нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. 3х – 8 = х – 14 3х –х = -14 + 8 2х = -6 х = -3 Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю. Корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число , не равное нулю. 1) 15+у=78 2) 45-х=29 3) 5х=525 1) 15+у=78 2) 45-х=29 3) 5х=525 4) 35:3х=360 5) 180:y=15 6) 2x=38 Решением уравнения служит х = Решением уравнения служит х = Уравнение ( где а 0 , а равносильно уравнению f (x)=g (x) Уравнение вида с помощью подстановки сводится к квадратному уравнению Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Решение логарифмического уравнения вида основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x) при дополнительных условиях f(x) Согласно определению логарифма, Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида Это уравнение всегда имеет единственное решение: Линейным уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида Это уравнение всегда имеет единственное решение: Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Квадратным уравнение с одним неизвестным называется уравнение вида Дискриминантом квадратного уравнения называется число Если D > 0 , то уравнение решений не имеет Если D=0, то уравнение имеет единственное решение: Если D > 0, то уравнение имеет два решения: Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов равен нулю. При С=0 уравнение принимает вид Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов равен нулю. При С=0 уравнение принимает вид Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида , т.е квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида , т.е квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Определить знаки корней уравнения ТЕОРЕМА ВИЕТА Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т.е. –р, а их произведение- свободному члену q. ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ Т.ВИЕТА Если сумма двух чисел равна числу –р, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведенного квадратного уравнения Уравнение вида называется биквадратным. Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим , тогда . Исходное уравнение примет вид т.е является обыкновенным квадратным уравнением. Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида Заметим, что Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида Заметим, что т.е. решение этого уравнения равносильно совокупности Симметрическим уравнением четвертой степени называется любое из следующих двух уравнений: Для решения первого уравнения введем новую переменную а для решения второго — Для решения первого уравнения введем новую переменную а для решения второго — переменную Имеем: т.е. получены обыкновенные квадратные уравнения. Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо число –х, если число х отрицательно. Обозначение: Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо число –х, если число х отрицательно. Обозначение: Формальная запись этого определения такова: Решить уравнение: Формула для корней уравнения Формула для корней уравнения sin x=a ( ) имеет вид cos x=a tg x=a ctg x=a Решением тригонометрических уравнений может служить метод замены переменной Тригонометрическое уравнение вида Тригонометрическое уравнение вида все члены которого имеют одну и ту же степень относительно синуса и косинуса, называется однородным. Однородное уравнение легко сводиться к уравнению относительно , если все его члены разделить на . При этом если , то такое деление не приведет к потере решений, поскольку значение не удовлетворяет уравнению. Если же , то выносится за скобки. Уравнение вида равносильно уравнению ,где Уравнение вида равносильно уравнению ,где Наиболее часто применяется метод, состоящий в том, что все члены уравнения, состоящие в правой части, переносятся в левую часть; после чего левая часть уравнения разлагается на множители, при этом применяются формулы разложения тригонометрических функций в произведение , формулы понижения степени , формулы преобразования произведения тригонометрических функций в систему. Дробно-рациональные уравнения Рациональным алгебраическим уравнением называется уравнение вида ,где и –многочлены. Выражение имеет смысл только в том случае, если выполняется условие Значит, рациональное уравнение имеет решение при условии Иррациональные уравнения Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени Возведение обеих частей уравнения в степень. При возведении обеих частей уравнения в четную степень, получается уравнение, неравносильное исходному. Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т.е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение и проверяют, верно ли получается числовое равенство. Равенство нулю произведения( частного) двух выражений. Равенство нулю произведения( частного) двух выражений. Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно нулю, а другое при этом имеет смысл. Формально это записывается так: Формальная запись частного от деления двух выражений равных нулю: Метод введения новой переменной Метод введения новой переменной Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени Уравнения, содержащие два(три) знака радикала второй степени Возведение в квадрат обеих частей уравнения. Сначала уравнение нужно преобразовать так, чтобы в одной части стояли радикалы, а в другой- остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если в уравнении два радикала. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат и проводятся необходимые преобразования. Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал(теперь он один!)-в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов. Введение новой переменной: Введение новой переменной: Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степей. При решении уравнений, содержащих радикалы третьей степени, бывает полезно пользоваться следующими тождествами: Решить уравнение: Решение: Возведем обе части этого уравнения в третью степень и воспользуемся выше приведённым тождеством: Заметим, что выражение, стоящее в скобках, равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим: Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни х=5 и х=-25/2. Если считать ( по определению), что корень нечетной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения. Ответ:5,-25/2 При каких значениях а уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше? При каких значениях а уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше? Решение: Рассмотрим функцию: и построим эскиз её графика. При а=0 функция становится линейной и двух пересечений с осью Ох( корней уравнения у=0) и меть не может. При а>0 графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Необходимым и достаточным условием существования корней таких, что а в этом случае является единственное условие: Если же а условие, соответственно, (рис.) Итак решение задачи формально задается совокупностью: Ответ: Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Решение системы называется такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество. Решить систему — значит найти все её решения или доказать что их нет.Графическое решение систем Графический способ решения систем уравнений состоит в следующем: Строятся графики каждого уравнения системы; Определяются точки пересечения графиков; Записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков. Графический способ решения систем уравнений в большинстве случаев не дает точного решения системы, однако он может быть полезен для наглядной иллюстрации рассуждений. Решение: Графики первого и третьего уравнения – прямые; график второго уравнения – кубическая парабола(рис). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы.Решение: Графики первого и третьего уравнения – прямые; график второго уравнения – кубическая парабола(рис). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы.Ответ:( 0;0) Равносильность уравнений Равносильными ( эквивалентными) уравнения называются в том случае, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, а все корни второго уравнения – корнями первого. Равносильные преобразования уравнения – это преобразования, приводящие к равносильному уравнению: 1)Прибавление одновременно к обеим частям уравнения любого числа ( в частности, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака) 2) Умножение ( и деление ) обеих частей уравнения одновременно на любое число, отличное от нуля. Кроме того, для уравнений в области действительных чисел: 3) Возведением обеих частей уравнения в любую нечетную степень 4) Возведение обеих частей уравнения при условии, что они неотрицательны, в любую четную натуральную степень Список используемой литературы: Д.И.Аверьянов – «Большой справочник для поступающих в ВУЗы» 1998г. В.К.Егерев- «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы под редакцией М.И.Сканави». 1997г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 класс.» 2003г. Ю.Н.Макарычев – «Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику. 9 класс.» 2003г. Презентацию подготовили: Шманова Виктория Деева Александра 11 класс МОУ «СОШ №1» г. Шумиха 2007г. подробная информация по тел 83524521413 Особая благодарность учителям СОШ №1: Особая благодарность учителям СОШ №1: Терегуловой Ирине Викторовне Шманову Анатолию Ивановичу
dok.opredelim.com
Статья о методах решения уравнений. Задач, которые связаны с решением уравнений, довольно много в вариантах ЕГЭ и ГИА по математике. Поэтому как репетитор по математике рекомендую освежить с памяти связанный с этим вопросом материал. К каждому разобранному в статье примеру прилагается аналогичное задание для самопроверки. Все свои вопросы вы можете смело задавать в комментариях. Ни один вопрос без ответа не останется. В статье также имеется видеоразбор одного из заданий.