Решить уравнение биквадратное – Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры. TutoMath.ru

Биквадратное уравнение. Алгоритм решения и примеры. TutoMath.ru

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:
ax⁴+bx²+c=0, где a≠0

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at²+bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

Пример №1:
\(x^{4}-5x^{2}+6=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

\(t^{2}-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

\(\begin{align}
&t_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2\times1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3\\\\
&t_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2\times1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\\\\
\end{align}\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^{2}=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

\(\begin{align}
&x_{1}=\sqrt{3}\\
&x_{2}=-\sqrt{3}\\\\\\
&x^{2}=2\\
&x_{3}=\sqrt{2}\\
&x_{4}=-\sqrt{2}\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=\sqrt{3},\;x_{2}=-\sqrt{3},\;x_{3}=\sqrt{2},\;x_{4}=-\sqrt{2}\)

Пример №2:
Решить биквадратное уравнение.
\(x^{4}-4x^{2}+4=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

\(t^{2}-4t+4=0\)

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\times1}=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

\(\begin{align}
&x^{2}=2\\
&x_{1}=\sqrt{2}\\
&x_{2}=-\sqrt{2}\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=\sqrt{2},\;x_{2}=-\sqrt{2}\)

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

\(-4x^{4}+16x^{2}=0\)

Выносим переменную x² за скобку,

\(x^{2}(-4x^{2}+16)=0\)

Приравниваем каждый множитель к нулю

\(\begin{align}
&x^{2}=0\\
&x_{1}=0\\\\
&-4x^{2}+16=0\\
&-4x^{2}=-16
\end{align}\)

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^{2}=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin{align}
&x^{2}=4\\
&x_{2}=2\\
&x_{3}=-2\\
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=0,\;x_{2}=2,\;x_{2}=-2\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^{4}-16=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
\(\begin{align}
&t^{2}-16=0\\
&t^{2}=16\\
&t_{1}=4
\end{align}\)
\(t_{2}=-4\) не подходит условию \(t\geq0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin{align}
&x^{2}=4\\
&x_{1}=2\\
&x_{2}=-2
\end{align}\)

Ответ: \(x_{1}=2,\;x_{2}=-2\)

Пример №5:
\(x^{4}+10=0\)

Делаем замену,
\(x^{2}=t,\;t\geq0\)

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
\(t^{2}+10=0\)
\(t^{2}=-10\), не подходит условию \(t\geq0\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

tutomath.ru

Биквадратное уравнение | Алгебра

Биквадратное уравнение — это уравнение вида

   

где a, b и c — числа, причём a≠0.

Биквадратные уравнения решают введением новой переменной x²=t. Так как x²≥0, можем сразу ввести условие на t: t≥0.

По следствию из теоремы Безу, многочлен степени n имеет не больше n разных корней. Следовательно, биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней.

Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.

   

Пусть

   

тогда 

   

Получили квадратное уравнение. Дискриминант

   

   

   

   

Оба корня удовлетворяют условию t≥0.

Возвращаемся к исходной переменной:

   

Решаем неполные квадратные уравнения, и получаем корни

   

Ответ:

   

   

Замена

   

   

Так как b= -2 — чётное число, дискриминант можно найти по формуле дискриминанта, делённого на 4:

   

   

   

Второй корень не удовлетворяет условию t≥0. От корня t=4 возвращаемся к исходной переменной

   

   

Ответ: ±2.

   

Замена

   

тогда

   

Корни приведённого квадратного уравнения можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

   

Оба корня удовлетворяют условию t≥0. Возвращаемся к исходной переменной:

   

   

Ответ: ±3; ±1.

В некоторых случаях вывод о том, что  биквадратное уравнение не имеет корней, можно сделать, не решая уравнения. 

   

Так как

   

то

   

то есть

   

не может быть равным нулю, а значит, данное уравнение не имеет корней (Сумма неотрицательных чисел и положительного числа не может равняться нулю).

Ответ: корней нет.

Аналогично, не имеет корней уравнение

   

(Сумма неположительных чисел и отрицательного числа не может равняться нулю).

Если левая часть биквадратного уравнения представляет собой квадрат разности, удобнее свернуть её по формуле и приравнять эту разность к нулю.

   

   

   

   

   

   

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель дроби на квадратный корень из трёх:

   

   

Ответ:

   

Биквадратные уравнения — первый вид уравнений, решаемых заменой переменной. В дальнейшем этот метод применяется очень часто при решении уравнений из самых разных разделов алгебры.

www.algebraclass.ru

Решение биквадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x⁴ — 17x² + 16 = 0.

Решение.

Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x⁴ — 17x² + 16 = 0 t² — 17t + 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,

D = b² — 4ac = (-17)² — 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.

Ответ: ±1, ±4.

Пример 2. Решить уравнение 9x⁴ + 32x² — 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

9x⁴ + 32x² — 16 = 0 9t² + 32t — 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.

Так как b = 32, то есть b делится на 2 (

= 16), вычислим дискриминант D₁:

. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x

2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Первое уравнение x² = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x =

.

Ответ:

.

Пример 3. Решить уравнение x⁴ + 3x² — 10 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x² => x⁴ = t², перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x⁴ + 3x² — 10 = 0 t² + 3t — 10 = 0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,

D = b² — 4ac = 3²

— 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

По найденным значениям t, решая уравнения x² = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Первое уравнение x² = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня .

Ответ: .

intemodino.com

Биквадратное уравнение

Уравнение которое выглядит как ax⁴+bx²+c=0, называют Биквадратным уравнением. В нем х — неизвестная переменная.

a,b,c -имеют различное числовое значение, где, а не равно нулю. Так же при х — стоящем в четвертой степени, коэффициент а — называется старшим, и х — стоящем во -второй степени, коэффициент b — называется вторым, с — является свободным членом.
Корнем биквадратного уравнения является значение х если при его использовании уравнение ax⁴+bx²+c превращается в ноль.

Действие с помощью которого находятся все корни уравнения или выясняется что таковых у него нет, называется — решением биквадратного уравнения.

Для решения биквадратного уравнения существует ряд действий, которые следует придерживаться.

Во-первых: Путем подстановки, где у=х², решаемое биквадратное уравнение переводим в квадратное ау²+bу+с=0.

Во-вторых: В полученном уравнении необходимо найти корни.

В-третьих: Произвести замену введенного нами значения х², путем приравнивания получившихся корней квадратного уравнения.

В- четвертых: После решения полученного уравнения, находим корни в биквадратном уравнении.

Для того чтобы все легче усвоилось, рассмотрим все описанное на нескольких примерах.

1) Дано уравнение 2х⁴ -19х²+9=0, оно биквадратное.
Производим замену х²=у, следовательно, х⁴=у²,
записываем получившееся 2у²-19у+9=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=2, b=-19,с=9.
Дискриминант уравнения: D = b² — 4ac= (-19)² — 4 * 2 * 9 = 361 — 72 = 289
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=289, что больше ноля. Находим их.

у₁ = (-b+ √D)/2a = (-(-19)+ √289)/(2*2) = (19+17)/4 = 36/4 = 9
y₂ = (-b- √D)/2a =(-(-19)±√289)/(2*2) = (19-17)/4 = 2/4 = 1/2
Производим замену х₁ =у₁, и х₂ =у₂
х₂=9 х2= 1/2
х_1,2 = +√9
х₁ = 3
х₂ =-3
х_3.4 = + √(1/2)
х₃ = 1/√2
х₄= — 1/√2

Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х₁ = 3; х₂ =-3; х₃ = 1/√2; х₄= — 1/√2 .

2) Рассмотрим уравнение х⁴ +2х2-8=0
Производим замену х²=у, следовательно, х⁴=у²,
записываем получившееся у²+2у-8=0,
Мы получили полное неприведенное уравнение с коэффициентами а=1, b=2,с=-8.

Дискриминант уравнения: D = b² — 4ac=22 — 4 * 1 *(-8) = 4 + 32 = 36
У квадратного уравнения 2 корня, потому как D=36, что больше ноля. Находим их.

у₁ = (-b+ √D)/2a = (-2+ √36)/(2*1) = (-2+6)/2 = 4/2 = 2
y₂ = (-b- √D)/2a =(-2 — √36)/(2*1) = (-2-6)/2 = (-8)/2 = -4
Производим замену х2 =у1, и х2 =у2
х₁=2
х_1,2= +√2
х₃ = 4 (решения нет)

Данное биквадратное уравнение имеет ответ: х₁ =√2; х₂ = -√2

Из данного уравнения мы можем сделать вывод. Если при решении получается корень со знаком минус или у меньше ноля, больше его не рассматриваем. т.к. он не подходит нам по условию.

Для приведения многочлена к стандартному виду, во многих случаях используют формулы сокращенного умножения. Они решаются с помощью открытия скобок.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

reshit.ru

Биквадратные уравнения решение задач онлайн

Биквадратным уравнением называется уравнение следующего вида:

где — любые действительные числа, но , x – неизвестная искомая переменная.

Коэффициенты  имеют соответственно названия: — старший коэффициент (коэффициент при ), — второй коэффициент (коэффициент при ), — свободный член.

Корнем биквадратного уравнения называется такое значение переменной , при подстановке которого трехчлен обращается в ноль.

Решить биквадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет.

При решении биквадратного уравнения  необходимо придерживаться следующей схемы:

1)       Подстановкой свести заданное биквадратное уравнение к квадратному уравнению вида

2)       Найти корни полученного квадратного уравнения. (См. схему решения квадратных уравнений).

3)       Приравнять полученные значения корней квадратного уравнения к введенной переменной подстановки . То есть провести обратную замену.

4)       Найти корни биквадратного уравнения, решив уравнения обратной замены.

 

Пример 1: Решить уравнение

Данное уравнение является биквадратным.

Введем замену переменных:

Тогда заданное уравнение перепишется в следующем виде:

Полученное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты:

Найдем дискриминант:

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Введем обратную замену  и . И решим полученные уравнения:

 

Ответ:

 

Пример 2: Решить уравнение

Данное уравнение является биквадратным.

Введем замену переменных:

Тогда заданное уравнение перепишется в следующем виде:

Полученное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты:

Найдем дискриминант:

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Введем обратную замену  и . И решим полученные уравнения:

Уравнение же  решения не имеет.

Таким образом, решением биквадратного уравнения будут корни

Ответ:

 

Примечание: Из решенного выше примера видно, что при получении отрицательного значения корня квадратного уравнения , можно сразу исключать его из рассмотрения как неудовлетворяющего условию

 

Пример 3: Решить уравнение

Данное уравнение является биквадратным.

Введем замену переменных:

Тогда заданное уравнение перепишется в следующем виде:

Данное квадратное уравнение является полным неприведенным и имеет следующие коэффициенты: .

Найдем дискриминант: .

Так как , то квадратное уравнение не имеет корней.

Таким образом, биквадратное уравнение тоже не имеет корней.

Ответ:  Корней нет.

 

Пример 4: Решить уравнение

Данное уравнение является биквадратным.

Введем замену переменных:

Тогда заданное уравнение перепишется в следующем виде:

Полученное уравнение является полным приведенным и имеет следующие коэффициенты:

Найдем дискриминант:

Так как , то квадратное уравнение имеет два корня.

Найдем их:

Таким образом, решением квадратного уравнения будут корни

Так как оба полученных корня квадратного уравнения отрицательны , то биквадратное уравнение иметь решений не будет. (Смотри примечание данной главы)

Ответ: Корней нет.

 

Автор статьи: Каташева Г.Г.

ktoreshit.ru

Квадратные и биквадратные уравнения

Впервые квадратные уравнения сумели решить математики древнего Египта. Вавилоняне умели решать неполные квадратные уравнения, так же частные виды полных квадратных уравнений около 2 тысяч лет до нашей эры. Древнегреческие математики умели решать некоторые виды квадратных уравнений, сводя их к геометрическим построениям. Примеры решения уравнений без использования геометрических знаний дает Диофант Александрийский (3 век). Диофант в своих книгах «Арифметика» изложил способ решения полных квадратных уравнений, однако эти книги не сохранились. В Европе формулы для решения квадратных уравнений были впервые изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи в 1202 году.

Общее правило решения квадратных уравнений, преобразованных в вид х² + bх = с, было описано немецким математиком М. Штифелем. Он и сформулировал в 1544 году общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
х² + bх + с = 0 при всевозможных вариациях знаков и коэффициентов b и с.

Франсуа Виет вывел формулы квадратного уравнения в общем виде, однако он работал только с положительными числами.

Тарталья, Кардано, Бомбелли – итальянские ученые, которые среди первых в XVI веке учитывают кроме положительных еще и отрицательные корни.

Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Одно свое утверждение он высказывал лишь для положительных корней (отрицательных чисел он не признавал).

После трудов нидерландского математика Альберта Жирара, а также Декарта и Ньютона, методы решения квадратных уравнений приняли современный вид.

Квадратные уравнения

1. Вспомним уже знакомые способы решения и исследования квадратных уравнений:

• выделение полного квадрата;
• по формуле корней для квадратного уравнения;
• по теореме Виета;
• на основании свойств квадратичной функции.

В процессе решения уравнений необходимо следить за множеством допустимых значений неизвестного, т.к. оно может изменяться. В случае его расширения следует проверять найденное решение, не является ли оно посторонним для данного уравнения. В случае, если произошло сужение, необходимо убедиться, не являются ли потерянные значения неизвестных решениями данного уравнения. Процесс нахождения выпавших решений не всегда легко выполним, поэтому желательно избегать сужение множества допустимых значений неизвестных уравнения.

2. Типичные ошибки при решении уравнений.

По  правилам можно преобразовывать исходное уравнение в равносильное ему, при этом, вы знаете, что: обе части уравнения можно делить или умножать на одно и то же, отличное от нуля, число.

1) Если уравнение имеет вид f(х) · g(х) = p(х) · g(х), то деление обеих частей на одинаковый множитель g(x), как правило, недопустимо. Данное действие может привести к потере корней: могут быть потеряны корни уравнения g(х) = 0, если ни существуют.

Пример 1.

Решить уравнение 2(х – 3) = (х – 3)(х + 5).

Решение.

Здесь нельзя сокращать на множитель (х – 3).

2(х – 3) – (х – 3)(х + 5) = 0, вынесем общую скобку:

(х – 3)(-х – 3) = 0, теперь

х – 3 = 0 или -х – 3 = 0;

х = 3 или х = -3.

Ответ: -3; 3.

2) Уравнение вида f(х) / g(х) = 0 можно заменить системой:

{f(x) = 0,
{g(x) ≠ 0.

Она равносильна исходному уравнению.

Или можно решить уравнение f(x) = 0, а уже затем исключить найденных корней те, которые обращают в нуль знаменатель g(x).

Встречаются дробно-рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

Пример 2.

Решить уравнение: (х + 3) / (х – 3) + (х – 3) / (х + 3) = 10/3 + 36/(х – 3)(х + 3).

Решение.

Умножив обе части уравнения на общий знаменатель и заменив исходное уравнение целым, получим равносильную систему:

{3(х + 3)² + 3(х – 3)² = 10(х – 3)(х + 3) + 3 · 36;
{(х – 3)(х +3) ≠ 0.

В результате получим два корня: х = 3 или х = -3, но х ≠ 3 и х ≠ -3.

Ответ: уравнение корней не имеет.

Пример 3.

Решить уравнение: (х + 5)(х² + 4х — 5)/(х + 5)(х + 2) = 0.

Решение.

Часто ограничиваются таким решением:

(х² + 4х – 5) / (х + 2) = 0.
{х = -5, х = 1,
{х ≠ -2.

Ответ: -5; 1.

Правильный ответ: 1.

Пример 4.

При выполнении распространенных заданий на исследование квадратного уравнения следующего вида: «Не вычисляя действительных корней х₁ и х₂ уравнения 2х² + 3х + 2 = 0, найти значение х₁² + х₂²» банальная невнимательность приводит к грубой ошибке.

Действительно, по теореме Виета,

х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² – х₁х₂ = (-3/2)² – 2 · 1 = 1/4.

Однако, теоремой можно было воспользоваться при существовании действительных корней. В данном примере D < 0 и корней нет.

Ответ: значение х₁² + х₂² не существует.

Пример 5.

Вычислить отрицательный коэффициент b и корни уравнения х² + bх – 1 = 0, если с увеличением каждого из этих корней на единицу они становятся корнями уравнения х² – b²х – b = 0.

Решение.

Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения х² + bх – 1 = 0. Тогда по т. Виета

х₁ + х₂ = -b и х₁х₂ = -1 (*). С другой стороны, по условию

(х₁ + 1) + (х₂ + 1) = b² и (х₁ + 1)(х₂ + 1) = -b.

Перепишем:

х₁ + х₂ = b² – 2 и (х₁ + 1)(х₂ + 1) = -b.

Теперь, учитывая условия (*), получим b² – 2 = -b, следовательно,

b₁ = -2, b₂ = 1. По условию подходит b₁ = -2.

Значит, исходное уравнение имеет вид х² – 2х – 1 = 0, корнями являются числа х_1,2 = 1 ± √2.

Ответ: b₁ = -2, х_1,2 = 1 ± √2.

Уравнения, приводимые к квадратным. Биквадратные уравнения

Уравнения вида ах⁴ + bх² + c = 0, где а ≠ 0, называются биквадратными уравнениями с одной переменной.

Для решения биквадратного уравнения нужно сделать подстановку х² = t, найти корни t₁ и t₂ квадратного уравнения аt² + bt + c = 0 и решить уравнения х² = t₁ и х² = t₂. Они имеют решения лишь в случае, когда  t_1,2 ≥ 0.

Пример 1.

Решить уравнение х⁴ + 5х² – 36 = 0.

Решение.

Подстановка: х² = t.

t² + 5t – 36 = 0. По т. Виета t₁ = -9 и t₂ = 4.

х² = -9 или х² = 4.

Ответ: В первом уравнении корней нет, из второго: х = ±2.

Пример 2.

Решить уравнение (2х – 1)⁴ – 25(2х – 1)² + 144 = 0.

Решение.

Подстановка: (2х – 1)² = t.

t² – 25t + 144 = 0. По т. Виета t₁ = 9 и t₂ = 16.

(2х – 1)² = 9 или (2х – 1)² = 16.

2х – 1 = ±3 или 2х – 1 = ±4.

Из первого уравнения два корня: х = 2 и х = -1, из второго тоже: х = 2,5 и х = -1,5.

Ответ: -1,5; -1; 2; 2,5.

Таким образом, процесс решения любых уравнений состоит в последовательной замене данного уравнения другим, равносильным ему и более простым уравнением.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Электронный учебник

Биквадратные уравнения

Уравнение вида ах⁴ + bх² + с = 0, где х переменная, а a,b,с — действительные числа и а не равно нулю называют биквадратным уравнение. Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной. Пусть x²=y, тогда приведём это уравнение к квадратному ах² + bх + с = 0

Пример 1
Решить уравнение x⁴+3x²-4=0.
Решение
Пусть x²=y,x⁴=y² Тогда y²+3y-4=0. Это уравнение квадратное и в нём a+b+c=0 , а значит у₁=1 ,у₂= -4 — не удовлетворяет условию. Таким образом, х²=1, а х₁= -1, х₂= 1.
Ответ:-1,1.

Пример 2
Решить уравнение x⁴ + 15x² + 50 = 0.
Решение
Введем новую переменную x²=y,x⁴=y²получим уравнение y²+ 15y + 50 = 0. Решим полученное квадратное уравнение, используя теорему Виета: Так как оба корня этого уравнения отрицательны, то данное биквадратное уравнение корней не имеет.
Ответ: решений нет.

Пример 3
Решить уравнение x⁴+4x²-21=0
Решение
Пусть x²=y,x⁴=y², получим квадратное уравнение y²+ 4y — 21 = 0 , откуда находим,у₁= — 7, у₂= 3. Теперь задача сводится к решению уравнений x²= — 7 ,x²= 3. Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим х₁= -, х₂= .
Ответ:-,которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

Проверь себя 9х4 — 6х2 — 3 = 0; 3х4 — 28х2 + 9 = 0; х4 — 10х2 + 9 = 0; (х-1)4 — 5(х-1)2 +4 = 0; 2х8 + х4 — 15 = 0.

bookel.ucoz.ru