Решить квадратное уравнение – Решение квадратных уравнений, примеры, тесты. Особые случаи. Разложение квадратного трехчлена на множители. Теорема Виета прямая, обратная

Содержание

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

— это уравнение вида a x2 + b x + c = 0, где a не равно 0.

Геометрический смысл

Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня.

Если коэффициент a положительный, ветви параболы направлены вверх, если отрицательный — ветви параболы направлены вниз. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если отрицательный — в правой полуплоскости.



Вывод формулы для решения квадратного уравнения

Формулу для решения квадратного уравнения a x2 + b x + c = 0 можно получить так:

  • перенесем c в правую часть a x2 + b x = — c

  • умножим уравнение на 4a (2a x)2 + 4a b x = — 4a c

  • добавим b2 к обоим частям (2a x)2 + 4a b x + b2 = b2 — 4a c

  • в левой части выделим полный квадрат (2a x + b)2 = b2 — 4a c

  • извлечем квадратный корень 2a x + b = ± √b2 — 4a c

  • перенесем b в правую часть 2a x = — b ± √b2 — 4a c

  • разделим уравнение на 2a



    x =  -b ± √b2 — 4a c
    2 a



Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминантом

квадратного уравнения называют число равное D = b2 − 4ac

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта:

  • при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле



    x1,2 =  -b ± √D
    2 a
  • при D = 0 корень один (два равных или совпадающих корня), кратности 2:
  • при D
    x1,2 = 

    -b ± i√-D


    2 a




Теорема Виета

Приведенным квадратным уравнением

называется уравнение, в котором коэффициент при x2 равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на коэффициент a: x2 + px + q = 0,
где p = ba, q = ca

Сумма корней приведённого квадратного уравнения

x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
      x1 + x2 = -p,      x1x2 = q.


Разложение квадратного уравнения на множители

Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

ax2 + bx + c = a(x — x1)(x — x2)



Примеры решения квадратных уравнений

Например. Найти корни квадратного уравнения: 2x2 + 5x + 3 = 0

D = 52 — 4·3·2 = 25 — 24 = 1




x1 =  5 + √1  = -1,
2·2



x2 =  5 — √1  = -1 1
2·2 2

Упражнения. Квадратные уравнения.

ru.onlinemschool.com

Решить квадратное уравнение онлайн

Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений. Вы сможете быстро получить решение квадратного уравнения онлайн и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.

Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн, вначале приведите уравнение к общему виду:
ax2 + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:

Как решить квадратное уравнение

Как решить квадратное уравнение: Виды корней:
1. Привести квадратное уравнение к общему виду:
Общий вид Аx2+Bx+C=0
Пример : 3х — 2х2+1=-1 Приводим к -2х2+3х+2=0

2. Находим дискриминант D.
D=B2-4*A*C .

Для нашего примера D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25.

3. Находим корни уравнения.
x1=(-В+D1/2)/2А .

Для нашего случая x1=(-3+5)/(-4)=-0,5
x2=(-В-D1/2)/2А.

Для нашего примера x2=(-3-5)/(-4)=2
Если В — четное число, то дискриманант и корни удобнее считать по формулам:
D=К2-ac
x1=(-K+D1/2)/А
x2=(-K-D1/2)/А,
Где K=B/2

1. Действительные корни. Причем. x1 не равно x2
Ситуация возникает, когда D>0 и A не равно 0.

2. Действительные корни совпадают. x1 равно x2
Ситуация возникает, когда D=0. Однако при этом, ни А, ни В, ни С не должны быть равны 0.

3. Два комплексных корня. x1=d+ei, x2=d-ei, где i=-(1)1/2
Ситуация возникает, когда D

4. Уравнение имеет одно решение.
A=0, B и C нулю не равны. Уравнение становиться линейным.

5. Уравнение имеет бесчисленное множество решений.
A=0, B=0, C=0.

6. Уравнение решений не имеет.
A=0, B=0, C не равно 0.

Для закрепления алгоритма, вот еще несколько показательных примеров решений квадратных уравнений.

Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.

x2 + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B2-4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число1/2!
x1=(-В+D1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5

Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Пример 2. Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.

х2 – 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X2 – 8x + 16

Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х2 – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 — 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.

x1=(-В+D1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1

Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор окажется весьма полезным для вас.



Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:


reshit.ru

Решение (корни) квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0,
где x — переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате, a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0.

Например, квадратным является уравнение

2x² — 3x + 1 = 0,

в котором a = 2, b = — 3, c = 1.

В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0
коэффициент a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.

Уравнения вида ax² + bx = 0,

где c =0,

ax² + c = 0,

где b =0, и

ax² = 0,

где a =0 и b =0,

называются неполными квадратными уравнениями.

Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.

Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b² — 4ac,
которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:

— для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является
приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности,
при нахождении пределов, производных и интегралов;

— для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения,
чаще всего один, являются обычно конечным решением).

График квадратичного трёхлена ax² + bx + c
левой части квадратного уравнения — представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна
оси 0y. Число точек пересечения параболы с осью
0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек
пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения
одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает
ось 0x, то квадратное уравнение не имеет действительных
корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.

Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x
в двух точках, зелёная — в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью
0x.

1. Если дискриминант больше нуля (),
то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Они вычисляются по формулам:

и

.

Часто пишется так: .

2. Если дискриминант равен нулю (),
то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое — два равных действительных корня,
которые равны .

3. Если дискриминант меньше нуля (),
то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней
в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того,
что квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.

Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные
уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, .
О том, как это делается — в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 2. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.

Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих
задач высшей математики, например, при нахождении пределов,
интегралов, исследовании
функций на возрастание и убывание
и других.

Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:

.

В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:

,

Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Корни приведённого квадратного уравнения

Формула корней приведённого уравнения имеет вид:

.

Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его
коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.

Теорема Виета. Если квадратное уравнение
ax² + bx + c = 0
имеет действительные корни, то их сумма равна — b/a,
а произведение равно с/a:

Следствие. Если приведённое квадратное уравнение
x² + px + q = 0
имеет действительные корни и
, то

Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному
члену.

Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней
приведённого квадратного уравнения.


Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно
разложить на множители по следующей формуле:

.

Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.

Пример 9. Упростить выражение:

.

Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x
и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:

.

Корни квадратного уравнения будут следующими:

.

Разложим квадратный многочлен на множители:

.

Упростили выражение, проще не бывает:

.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 10. Упростить выражение:

.

Решение. И числитель, и знаменатель — квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить
на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:

.

Корни первого квадратного уравнения будут следующими:

.

Находим дискриминант второго квадратного уравнения:

.

Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:

.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется
при решении многих задач высшей математики, например, при
нахождении пределов,
интегралов,
исследовании
функций на возрастание и убывание
и других.

Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде,
он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один
из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику
Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу
методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений
видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39).

Площадь большого квадрата равна (x + 5)².
Она складывается из площади x² + 10x
заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх
квадратов со стороной 5/2, равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:

Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше
и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?

Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:

Произведём дальнейшие преобразования:

Получили квадратное уравнение, которое и решим:

Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень — положительный.

Ответ: в отрезке 20 м ткани.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках.
Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом
2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?

Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение.
Процесс записывается так:

Найдём дискриминант:

Найдём корни квадратного уравнения:

Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.

Ответ: в одном ящике взвешивают 12,5 кг ткани.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Другие темы в блоке «Школьная математика»

function-x.ru

Решение квадратных уравнений, формулы и примеры

Коэффициент называется старшим коэффициентом, а — свободным членом.

Если старший коэффициент , то квадратное уравнение (1) имеет вид и называется приведенным.

Чтобы квадратное уравнение (1) записать в виде (2), необходимо его левую и правую части поделить на старший коэффициент .

Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два различных действительных корня:

   

Если дискриминант , то уравнение имеет два равных действительных корня (или корень кратности два)

   

Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) действительных корней не имеет, то есть

   

Решение квадратных уравнений с помощью выделения полного квадрата

В левой части уравнения (2) выделим полный квадрат при помощи формулы сокращенного умножения «квадрат суммы/разности»:

   

Таким образом, уравнение (2) принимает вид:

   

или

   

Если выражение , то применим к левой части последнего равенства формулу «разность квадратов», в результате будем иметь:

   

Использовав тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, придем к следующей совокупности линейных уравнений:

   

Если выражение , то уравнение запишется в виде

   

Оно имеет кратный корень .

В случае, когда , то квадратное уравнение \eqref{GrindEQ__1_} действительных корней не имеет: .

Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Если приведенное квадратное уравнение \eqref{GrindEQ__2_} имеет корни и , то

   

Следствие. Таким образом, целые решения уравнения \eqref{GrindEQ__2_} являются делителями свободного коэффициента .

Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов

Умножим левую и правую части уравнения (1) на старший коэффициент :

или .

В результате старший коэффициент умножается на свободный член, то есть как бы «перебрасывается» к нему.

Делаем замену

   

В результате получаем уравнение

   

которое является равносильным заданному уравнению (1). Его корни та находим, если это возможно, по теореме Виета (если нет, то вычисляем дискриминант).

Искомые решения исходного уравнения

   

Частные случаи квадратных уравнений

Если хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то уравнение (1) называется \textbf{неполным}.

Если , то уравнение (1) принимает вид: , его кратный корень .

Если , то уравнение (1) запишется в виде , откуда

   

Если права часть , то уравнение имеет два корня

   

В случае же, если , то уравнение корней не имеет: .

Если , то уравнение \eqref{GrindEQ__1_} принимает вид , откуда

   

то есть

   

ru.solverbook.com

Решение квадратных уравнений

Квадратным уравнением называется уравнение вида , где . 

— коэффициент при  , или старший коэффициент.

— коэффициент при х, или второй коэффициент.

свободный член.

Например, в уравнении   , , .

B уравнении   , ,

Если в квадратном уравнении  или  , то такое квадратное уравнение называется НЕПОЛНЫМ.

Неполное квадратное уравнение решается с помощью разложения на множители.

1. Если , то нужно вынести за скобки общий множитель.

Например,

Приравняем каждый множитель к нулю:

или

Ответ: {0,  }

2. Если , то нужно разложить на множители по формуле разности квадратов:

Например:

Приравниваем каждый множитель  к нулю, получаем:

или 

Коротко это уравнение решается так:

В этом месте важно не забыть знак  перед корнем!

Ответ: {}

Если  в квадратном уравнении  и  , то такое квадратное уравнение называется ПОЛНЫМ.

Полное квадратное уравнение решается с помощью нахождения ДИСКРИМИНТА.

Дискриминант квадратного уравнения  вычисляется по формуле:

.

Формулы для вычисления корней квадратного уравнения выглядят так:

В этих формулах дискриминант присутствует под знаком квадратного корня, поэтому

Eсли , то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по приведенным выше формулам.

Если ,  то квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Иногда  говорят, что в этом случае квадратное уравнение имеет один корень.

Итак, при решении квадратного уравнения удобно пользоваться таким алгоритмом:

1. Определяем, является ли квадратное уравнение полным, или неполным.

2. Если уравнение неполное, раскладываем левую часть на множители и приравниваем каждый множитель к нулю.

3. Если уравнение полное, то

  • находим дискриминант квадратного уравнения по формуле
  • если дискриминант меньше нуля, то записываем, что квадратное уравнение не имеет действительных корней
  • если дискриминант равен нулю, то находим корни квадратного уравнения по формуле 
  • если дискриминант больше нуля, то находим корни квадратого уравнения по формулам:, 

Если коэффициент   квадратного уравнения — четное число, то есть его можно записать как , или  то для нахождения корней квадратного уравнения удобно пользоваться формулами для четного второго коэффициента:

Два полезных замечания:

1. Если для коэффициентов квадратного уравнения  выполняется равенство , то , 

2. Если для коэффициентов квадратного уравнения  выполняется равенство , то , 

Эти свойства помогают устно решать некоторые громоздкие квадратные уравнения. Например, в квадратном уравнении  сумма коэффициентов равна 0, поэтому ,  .

В уравнении выполняется равенство , поэтому ,  

Рассмотрим несколько примеров.

Решим квадратные уравнения:

1.

а) найдем дискриминант этого уравнения:

Дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два различных корня.

б) Тогда: , 

Ответ:   {1; 1/2}

2.  

а) Найдем дискриминант этого уравнения:

. Очевидно, что  , и даже нет необходимости вычислять его точное значение.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

3

а) Найдем дискриминант этого уравнения:

б) Так как , уравнение имеет два совпадающих корня,

Если внимательно посмотреть на квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения, то становится очевидно, то что его можно преобразовать по формуле квадрата разности к выражению

, отсюда 

Ответ: 1/4.

А теперь я предлагаю вам посмотреть видеоурок с решением квадратного уравнения:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем  решение такого уравнения. Но что-то мне  подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение.

Квадратичная функция.

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Неполные квадратные уравнения.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Теорема Виета.

Квадратное уравнение и ЕГЭ.

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a,b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Пусть пока  будет так. *Далее поясню, некорректность второго пункта.

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

Далее не трудно заметить, что число корней зависит от этого самого дискриминанта:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х1= 3      х2= 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные 

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить  2x2+8x–192=0

а=2   b=8   c= –192

D = b2–4ac = 82–4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х1= 8   х2= –12 

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить  x2–22x+121 = 0

а=1   b=–22   c=121

D = b2–4ac =(–22)2–4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что  х1= 11  и   х2= 11 

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить  x2–8x+72 = 0

а=1   b= –8   c=72

D = b2–4ac =(–8)2–4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b  – действительные числа, i  – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x2–16 = 0     =>   4x2 =16     =>   x2 = 4    =>      x1 = 2     x2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x2–45x = 0   =>   9x (x–5) =0   =>   x = 0   или   x–5 =0

x1 = 0     x2 = 5

Случай 3. Коэффициенты   b = 0   и   c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

— если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0  выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0  выполняется равенство

a + с = b, то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1:   5001x2–4995x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2:   2501x2+2507x+6=0

Выполняется равенство a + с = b, значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1), а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx2 + (а2 +1)∙х+ а= 0    = >   х1= –а    х2= –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение  6х2 +37х+6 = 0.

х1= –6    х2= –1/6.

2. Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1),  а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx2 – (а2 +1)∙х+ а= 0      = >   х1= а    х2= 1/a.

 Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.

х1= 15    х2= 1/15.

3. Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a», то его корни равны

аx2 + (а2 –1)∙х – а= 0    = >    х1= – а    х2= 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.

х1= – 17    х2= 1/17.

4. Если в уравнении  ax2 – bx – c = 0  коэффициент «b» равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx2 –  (а2 –1)∙х – а= 0      = >   х1=  а    х2= – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х2– 99х –10 = 0.

х1= 10    х2= – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

Теорема: Пусть квадратное уравнение  aх2 + bx + c = 0   имеет корни  хи  х2, тогда справедливы формулы Виета

Доказательство:

Пример. Рассмотрим уравнение  х2– 14х + 45 = 0.  Запишем a=1   b= –14   c=45.

Ответ определить  несложно, возможны следующие варианты произведений

45 = 1∙45    45 = 3∙15    45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда. 

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х2 – 11х+5 = 0  (1)      =>     х2 – 11х+10 = 0  (2)     

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что  х1 = 10  х2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х2 «перебрасывали» двойку), получим

х1 = 5  х2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х2:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х1 = 5  х2 = 0,5

 

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий  ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись: 

15+ 9x2— 45x = 0  или  15х+42+9x2— 45x=0  или   15 -5x+10x2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h    и прочими.

3. Если получите большой дискриминант, то посмотрите как можно извлечь такой корень без калькулятора.

На этом всё. Надеюсь, статья была для вас полезной.

Получить материал статьи в формате PDF

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Квадратные уравнения — примеры с решением, особенности и формулы

В современном обществе умение производить действия с уравнениями, содержащими переменную, возведённую в квадрат, может пригодиться во многих областях деятельности и широко применяется на практике в научных и технических разработках. Свидетельством тому может служить конструирование морских и речных судов, самолётов и ракет. При помощи подобных расчётов определяют траектории перемещения самых разных тел, в том числе и космических объектов. Примеры с решением квадратных уравнений находят применение не только в экономическом прогнозировании, при проектировании и строительстве зданий, но и в самых обычных житейских обстоятельствах. Они могут понадобиться в туристических походах, на спортивных состязаниях, в магазинах при совершении покупок и в других весьма распространённых ситуациях.

Разобьём выражение на составляющие множители

Степень уравнения определяется максимальным значением степени у переменной, которую содержит данное выражение. В случае, если она равна 2, то подобное уравнение как раз и называется квадратным.

Если изъясняться языком формул, то указанные выражения, как бы они ни выглядели, всегда можно привести к виду, когда левая часть выражения состоит из трёх слагаемых. Среди них: ax2 (то есть переменная, возведённая в квадрат со своим коэффициентом), bx (неизвестное без квадрата со своим коэффициентом) и c (свободная составляющая, то есть обычное число). Всё это в правой части приравнивается 0. В случае, когда у подобного многочлена отсутствует одно из его составляющих слагаемых, за исключением ax2, оно называется неполным квадратным уравнением. Примеры с решением таких задач, значение переменных в которых найти несложно, следует рассмотреть в первую очередь.

Если выражение на вид выглядит таким образом, что слагаемых у выражения в правой части два, точнее ax2 и bx, легче всего отыскать х вынесением переменной за скобки. Теперь наше уравнение будет выглядеть так: x(ax+b). Далее становится очевидно, что или х=0, или задача сводится к нахождению переменной из следующего выражения: ax+b=0. Указанное продиктовано одним из свойств умножения. Правило гласит, что произведение двух множителей даёт в результате 0, только если один из них равен нулю.

Пример

8x2 — 3x = 0

x(8x – 3) = 0

Далее действуем согласно только что описанному правилу.

x=0 или 8х – 3 = 0

В результате получаем два корня уравнения: 0 и 0,375.

Уравнения такого рода могут описывать перемещение тел под действием силы тяжести, начавших движение из определённой точки, принятой за начало координат. Здесь математическая запись принимает следующую форму: y = v0t + gt2/2. Подставив необходимые значения, приравняв правую часть 0 и найдя возможные неизвестные, можно узнать время, проходящее с момента подъёма тела до момента его падения, а также многие другие величины. Но об этом мы поговорим позднее.

Разложение выражения на множители

Описанное выше правило даёт возможность решать указанные задачи и в более сложных случаях. Рассмотрим примеры с решением квадратных уравнений такого типа.

X2 – 33x + 200 = 0

Этот квадратный трёхчлен является полным. Для начала преобразуем выражение и разложим его на множители. Их получается два: (x-8) и (x-25) = 0. В результате имеем два корня 8 и 25.

Примеры с решением квадратных уравнений в 9 классе позволяют данным методом находить переменную в выражениях не только второго, но даже третьего и четвёртого порядков.

Например: 2x3 + 2x2 – 18x – 18 = 0. При разложении правой части на множители с переменной, их получается три, то есть (x+1),(x-3) и (x+3).

В результате становится очевидно, что данное уравнение имеет три корня: -3; -1; 3.

Извлечение квадратного корня

Другим случаем неполного уравнения второго порядка является выражение, на языке букв представленное таким образом, что правая часть строится из составляющих ax2 и c. Здесь для получения значения переменной свободный член переносится в правую сторону, а после этого из обеих частей равенства извлекается квадратный корень. Следует обратить внимание, что и в данном случае корней уравнения обычно бывает два. Исключением могут служить лишь только равенства, вообще не содержащие слагаемое с, где переменная равна нулю, а также варианты выражений, когда правая часть оказывается отрицательной. В последнем случае решений вообще не существует, так как указанные выше действия невозможно производить с корнями. Примеры решений квадратных уравнений такого типа необходимо рассмотреть.

3x2— 48 = 0

3x2 = 48

В данном случае корнями уравнения окажутся числа -4 и 4.

Вычисление пощади земельного участка

Потребность в подобного рода вычислениях появилась в глубокой древности, ведь развитие математики во многом в те далёкие времена было обусловлено необходимостью определять с наибольшей точностью площади и периметры земельных участков.

Примеры с решением квадратных уравнений, составленных на основе задач такого рода, следует рассмотреть и нам.

Итак, допустим имеется прямоугольный участок земли, длина которого на 16 метров больше, чем ширина. Следует найти длину, ширину и периметр участка, если известно, что его площадь равна 612 м2.

Приступая к делу, сначала составим необходимое уравнение. Обозначим за х ширину участка, тогда его длина окажется (х+16). Из написанного следует, что площадь определяется выражением х(х+16), что, согласно условию нашей задачи, составляет 612. Это значит, что х(х+16) = 612.

Решение полных квадратных уравнений, а данное выражение является именно таковым, не может производиться прежним способом. Почему? Хотя левая часть его по-прежнему содержит два множителя, произведение их совсем не равно 0, поэтому здесь применяются другие методы.

Дискриминант

Прежде всего произведём необходимые преобразования, тогда внешний вид данного выражения будет выглядеть таким образом: x2 + 16x – 612 = 0. Это значит, мы получили выражение в форме, соответствующей указанному ранее стандарту, где a=1, b=16, c=-612.

Это может стать примером решения квадратных уравнений через дискриминант. Здесь необходимые расчёты производятся по схеме: D = b2 – 4ac. Данная вспомогательная величина не просто даёт возможность найти искомые величины в уравнении второго порядка, она определяет количество возможных вариантов. В случае, если D>0, их два; при D=0 существует один корень. В случае, если D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

О корнях и их формуле

В нашем случае дискриминант равен: 256 – 4(-612) = 2704. Это говорит о том, что ответ у нашей задачи существует. Если знать, к примеру, дискриминант, решение квадратных уравнений нужно продолжать с применением ниже приведённой формулы. Она позволяет вычислить корни.

Это значит, что в представленном случае: x1=18, x2=-34. Второй вариант в данной дилемме не может являться решением, потому что размеры земельного участка не могут измеряться в отрицательных величинах, значит х (то есть ширина участка) равна 18 м. Отсюда вычисляем длину: 18+16=34, и периметр 2(34+18)=104(м2).

Примеры и задачи

Продолжаем изучение квадратных уравнений. Примеры и подробное решение нескольких из них будут приведены далее.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Перенесём всё в левую часть равенства, сделаем преобразование, то есть получим вид уравнения, который принято именовать стандартным, и приравняем его нулю.

15x2 + 20x + 5 – 12x2 – 27x – 1 = 0

Сложив подобные, определим дискриминант: D = 49 – 48 = 1. Значит у нашего уравнения будет два корня. Вычислим их согласно приведённой выше формуле, а это значит, что первый из них буде равен 4/3, а второй 1.

2) Теперь раскроем загадки другого рода.

Выясним, есть ли вообще здесь корни x2 – 4x + 5 = 1? Для получения исчерпывающего ответа приведём многочлен к соответствующему привычному виду и вычислим дискриминант. В указанном примере решение квадратного уравнения производить не обязательно, ведь суть задачи заключается совсем не в этом. В данном случае D = 16 – 20 = -4, а значит, корней действительно нет.

Теорема Виета

Квадратные уравнения удобно решать через указанные выше формулы и дискриминант, когда из значения последнего извлекается квадратный корень. Но это бывает не всегда. Однако способов для получения значений переменных в данном случае существует множество. Пример: решения квадратных уравнений по теореме Виета. Она названа в честь Франсуа Виета, который жил в XVI веке во Франции и сделал блестящую карьеру благодаря своему математическому таланту и связям при дворе. Портрет его можно увидеть в статье.

Закономерность, которую заметил прославленный француз, заключалась в следующем. Он доказал, что корни уравнения в сумме численно равны -p=b/a, а их произведение соответствует q=c/a.

Теперь рассмотрим конкретные задачи.

3x2 + 21x – 54 = 0

Для простоты преобразуем выражение:

x2 + 7x – 18 = 0

Воспользуемся теоремой Виета, это даст нам следующее: сумма корней равна -7, а их произведение -18. Отсюда получим, что корнями уравнения являются числа -9 и 2. Сделав проверку, убедимся, что эти значения переменных действительно подходят в выражение.

График и уравнение параболы

Понятия квадратичная функция и квадратные уравнения тесно связаны. Примеры подобного уже были приведены ранее. Теперь рассмотрим некоторые математические загадки немного подробнее. Любое уравнение описываемого типа можно представить наглядно. Подобная зависимость, нарисованная в виде графика, называется параболой. Различные её виды представлены на рисунке ниже.

Любая парабола имеет вершину, то есть точку, из которой выходят её ветви. В случае если a>0, они уходят высоко в бесконечность, а когда a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x2. В данном случае в уравнении x2=0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Наглядные изображения функций помогают решать любые уравнения, в том числе и квадратные. Этот метод называется графическим. А значением переменной х является координата абсцисс в точках, где происходит пересечение линии графика с 0x. Координаты вершины можно узнать по только что приведённой формуле x0 = -b/2a. И, подставив полученное значение в изначальное уравнение функции, можно узнать y0, то есть вторую координату вершины параболы, принадлежащую оси ординат.

Пересечение ветвей параболы с осью абсцисс

Примеров с решением квадратных уравнений очень много, но существуют и общие закономерности. Рассмотрим их. Понятно, что пересечение графика с осью 0x при a>0 возможно только если у0 принимает отрицательные значения. А для a<0 координата у0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противном случае D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

По графику параболы можно определить и корни. Верно также обратное. То есть если получить наглядное изображение квадратичной функции нелегко, можно приравнять правую часть выражения к 0 и решить полученное уравнение. А зная точки пересечения с осью 0x, легче построить график.

Из истории

С помощью уравнений, содержащих переменную, возведённую в квадрат, в старину не только делали математические расчёты и определяли площади геометрических фигур. Подобные вычисления древним были нужны для грандиозных открытий в области физики и астрономии, а также для составления астрологических прогнозов.

Как предполагают современные деятели науки, одними из первых решением квадратных уравнений занялись жители Вавилона. Произошло это за четыре столетия до наступления нашей эры. Разумеется, их вычисления в корне отличались от ныне принятых и оказывались гораздо примитивней. К примеру, месопотамские математики понятия не имели о существовании отрицательных чисел. Незнакомы им были также другие тонкости из тех, которые знает любой школьник современности.

Возможно, ещё раньше учёных Вавилона решением квадратных уравнений занялся мудрец из Индии Баудхаяма. Произошло это примерно за восемь столетий до наступления эры Христа. Правда, уравнения второго порядка, способы решения которых он привёл, были самыми наипростейшими. Кроме него, подобными вопросами интересовались в старину и китайские математики. В Европе квадратные уравнения начали решать лишь в начале XIII столетия, но зато позднее их использовали в своих работах такие великие учёные, как Ньютон, Декарт и многие другие.

fb.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о