Решение матричных уравнений примеры – Тема 3. Нахождение обратных матриц. Решение матричных уравнений. — КиберПедия

Матричные уравнения

Рассмотрим матричное уравнение вида

[cbm]A\cdot X=B[/cbm]

(4.5)

где [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] — данные матрицы, имеющие одинаковое количество строк, причем матрица [cbm]A[/cbm] квадратная. Требуется найти матрицу [cbm]X[/cbm] , удовлетворяющую уравнению (4.5).

Теорема 4.2 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.5). Если определитель матрицы [cbm]A[/cbm] отличен от нуля, то матричное уравнение (4.5) имеет единственное решение [cbm]X=A^{-1}B[/cbm] .

В самом деле, подставляя [cbm]X=A^{-1}B[/cbm] в левую часть равенства (4.5), получаем [cbm]A(A^{-1}B)=\underbrace{AA^{-1}}_{E}B=B[/cbm] , т.е. правую часть этого равенства.

Заметим, что решением матричного уравнения [cbm]AX=E[/cbm] служит обратная матрица [cbm]X=A^{-1}[/cbm] .

Рассмотрим также матричное уравнение вида

[cbm]Y\cdot A=B,[/cbm]

(4.6)

где [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] — данные матрицы, имеющие одинаковое количество столбцов, причем матрица [cbm]A[/cbm] квадратная. Требуется найти матрицу [cbm]Y[/cbm] , удовлетворяющую уравнению (4.6).

Теорема 4.3 о существовании и единственности решения матричного уравнения (4.6). Если определитель матрицы [cbm]A[/cbm] отличен от нуля, то уравнение (4.6) имеет единственное решение [cbm]Y=BA^{-1}[/cbm] .

Заметим, что матрица [cbm]X[/cbm] является как бы «левым» частным от «деления» матрицы [cbm]B[/cbm] на матрицу [cbm]A[/cbm] , поскольку матрица [cbm]X[/cbm] в (4.5) умножается на [cbm]A[/cbm] слева, а матрица [cbm]Y[/cbm] — «правым» частным, так как матрица [cbm]Y[/cbm] в (4.6) умножается на [cbm]A[/cbm] справа.

Пример 4.5. Даны матрицы

[cbm]A=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&3&5\\ 2&4&6 \end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!.[/cbm]

Решить уравнения: а) [cbm]AX=B[/cbm] ; б) [cbm]YB=B[/cbm] ; в) [cbm]YA=C[/cbm] .

Решение. Обратная матрица [cbm]A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}[/cbm] была найдена в примере 4.2.

а) Решение уравнения [cbm]AX=B[/cbm] находим, умножая обе его части слева на [cbm]A^{-1}:[/cbm]

[cbm]X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&3&5\\ 2&4&6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&2&4\\1/2&1/2&1/2\end{pmatrix}\!.[/cbm]

б) Уравнение не имеет решений, так как матрицы [cbm]A[/cbm] и [cbm]B[/cbm] имеют разное количество столбцов [cbm](2\ne3)[/cbm] .

в) Решение уравнения [cbm]YA=C[/cbm] находим, умножая обе его части справа на [cbm]A^{-1}:[/cbm]

[cbm]Y=CA^{-1}= \begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\4&-1\\7&-2\end{pmatrix}\!.[/cbm]

---

Пример 4.6. Решить уравнение: [cbm]BX+2X=E[/cbm] , где [cbm]B=\begin{pmatrix}-1&2\\1&2\end{pmatrix}[/cbm] .

Решение. Преобразуя левую часть уравнения:

[cbm]B\cdot X+2\cdot X=B\cdot X+2\cdot E\cdot X=(B+2\cdot E)\cdot X,[/cbm]

приведем его к виду (4.1)

[cbm]A\cdot X=E,[/cbm] где [cbm]A=B+2\cdot E=\begin{pmatrix}-1&2\\1&2\end{pmatrix}+ 2\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}\!.[/cbm]

Следовательно, [cbm]X=A^{-1}E=A^{-1}[/cbm] . Обратная матрица найдена в примере 4.2:

[cbm]A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!.[/cbm] Значит, [cbm]X=A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!.[/cbm]

---

Пример 4.7. Решить уравнение [cbm]AXB=C[/cbm] , где

[cbm]A=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 0&1&0\\ 0&2&2\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}\!.[/cbm]

Решение. Обратные матрицы

[cbm]A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!,\qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}[/cbm]

были найдены в примерах 4.2, 4.3 соответственно. Решение уравнения находим по формуле

[cbm]\begin{aligned}X&=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}= \begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&3&5\\ 2&4&6\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}=\\[2pt] &= \begin{pmatrix}0&2&4\\ 1/2&1/2&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&-2&2\\ 1/2&-1/2& 0\end{pmatrix}\!.\end{aligned}[/cbm]

---

Пример 4.8. Решить уравнение [cbm]AX=B[/cbm] , где

[cbm]A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\!,\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\ 2&0 \end{pmatrix}\!.[/cbm]

Решение. Определитель матрицы [cbm]A[/cbm] равен нулю, следовательно, обратная матрица не существует. Поэтому нельзя использовать формулу [cbm]X=A^{-1}B[/cbm] . Будем искать элементы матрицы [cbm]X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}[/cbm] . Подставляя в уравнение, получаем

[cbm]\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}\!.[/cbm]

Находим произведение, а затем приравниваем соответствующие элементы матриц в левой и правой частях уравнения:

[cbm]\begin{pmatrix} a+2c&b+2d\\ 2a+4c&2b+4d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases}a+2c=1,\\b+2d=0.\end{cases}[/cbm]

Здесь, учитывая пропорциональность уравнений, в системе оставлены только два уравнения из четырех. Выразим неизвестные [cbm]a[/cbm] и [cbm]b:[/cbm]

[cbm]\begin{cases}a=1-2c,\\b=-2d.\end{cases}[/cbm]

Следовательно, решение матричного уравнения имеет вид

[cbm]X=\begin{pmatrix}1-2c&-2d\\c&d\end{pmatrix}\!,[/cbm]

где параметры [cbm]c[/cbm] и [cbm]d[/cbm] могут принимать любые значения. Таким образом, данное матричное уравнение имеет бесконечное множество решений.В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

calcsbox.com

Решение матричных уравнений

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Свойства обратной матрицы:

1.jA 1j =jA1j,

2.(A 1)1 = A,

3.(A B) 1 = B1 A1, где A и B – квадратные,

4.(A 1)T = (AT )1.

Спомощью обратной матрицы могут быть решены некоторые матричные уравнения. Рассмотрим их.

Уравнения вида A X = B.

Здесь X – матрица, значения элементов которой неизвестны, их требуется найти; матрицы A и B – заданные матрицы, причём матрица A – квадратная невырожденная, т.е jAj =6 0.

Умножим обе части уравнения на A 1 слева, равенство при этом сохранится:

A 1 A X = A1 B.

По определению обратной матрицы, A 1 A = E, где E – единичная матрица. Получим:

E X = A 1 B.

Так как E X = X, имеем:

X = A 1 B.

Итак, для решения матричного уравнения вида A X = B нужно умножить матрицу B на A 1 слева.

Пример. Решить уравнение						1	1			0	1	!.
						1	2 ! X =			0	3
Обозначим A =				1	1	!, B =		0	1	!. Тогда
			1		2			0	3
уравнение примет вид A X = B.
Найдём для матрицы A обратную:
	jAj = 2 + 1 = 1 6= 0;
	1		2		1	! =	2	1	!.
A 1 =				1			1 1
	1		1
Отсюда находим неизвестную матрицу X:
X = A 1 B =			2	1	!	0	1		0	1	!:
			1 1			0 3 ! =			0	2

Сделаем проверку: если матрица X найдена верно, то при подстановке её в данное уравнение получим верное равенство.

1	2 !		0	2 !	=	0	3 !	;
1	1		0	1		0	1

!!

Следовательно, уравнение решено верно.

37

Уравнения вида X A = B.

Отличие этого вида уравнений от предыдущего в том, что здесь матрица A умножается на матрицу X справа. Значит, и матрицу A 1 нужно умножать на B справа. В остальном решение проводится аналогично:

X A A 1 = B A1;

X E = B A 1;

X = B A 1:

Пример. Решить уравнение X							1	1	! =		0	1	!.
							1	2			0	3
			1 2								!. Тогда
Обозначим A =					!, B =				0	3
			1	1					0	1
уравнение примет вид X A = B.							!.
	A 1 =			1		1
					2	1
Отсюда находим неизвестную матрицу X:										3 3 !
X = B A 1 =	0 3		!		1 1 ! =								:
	0	1				2	1			1	1
Сделаем проверку:			1 2 !					0 3 !;
3 3 !							=
1	1		1	1				0	1

!!

Следовательно, уравнение решено верно.

Аналогичными рассуждениями можно получить решение уравнений вида A X B = C, где A и B – квадратные невырожденные матрицы:

X = A 1 C B1

.

Пример. Решить уравнение A X B = C, если

A =	0 3		0	2 1		; B =	0	1	2	2 1		;
	B	2	1	1	C		B	3	0	1	C
		1	4	2				0	1	0
	B				C		B				C
	@				A		@				A

01

8 1 2

BC

Для матрицы A получаем, что jAj = 8, обратная мат-

рица

			0	8	2	2	1
A 1 =	1		B				C	;
				4	3	1
	8
				12	7	3
			B				C
			@				A

для матрицы B: jBj = 7, обратная матрица

			0	2	1	2	1
		1	B				C
		7		1	3	6
B 1 =			B	0	0	7	C	:
			@				A

Следовательно, решением уравнения является матрица

				0			X = A 1 C B1 =							3 1
= 1						4	3	1	1 0 9				6
				B		8	2	2	C B			8	1		2	C
						12	7	3				11	10		15
8				B					C		B					C
				@				0	A @				1			A

2 1 2

						1					B			1					3	6			C
							7
											B			0					0			7	C		=
				0							@					1 0 0							A			7 1
=	1					16 32 32																			0			=
	56			B		24					0		8			C		B				2			1	2	C
						0 24 0																1			3	6
				B												C B											C
				@						0						A @								1			A
				=		1							0				112						0			=
					56 B							56							0				0	C
										B														C
										@	0		0						0	168				A
													1		0			0		1
										= B			0		2			0		C	:
											B									C
											@		0		0			3		A

Чтобы проверить, что найденная матрица X действи-

тельно является решением , подставим её в уравнение:

A X B = C;

0 3		0		2 1 0		0	2	0 1
B	2		1	1	C B	1	0	0	C
	1		4	2		0	0	3
B					C B				C
@					A @				A

0	1	2	2	1 =	0 9		6	3 1:
B	3	0	1	C B		8	1		2	C
	0	1	0			11	10		15
B				C	B					C
@				A	@					A

Перемножив матрицы A и X, получим:

0 3		0	6 1 0		1	2	2 1		=
B	2	2	3	C B	3	0	1	C
	1	8	6		0	1	0
B				C B				C
@				A @				A

01

8 1 2

BC

Таким образом,

0 9		6	3 1			=	0 9		6	3 1:
B	8	1		2	C		B	8	1		2	C
@					A		@					A
B	11	10		15	C		B	11	10		15	C

Значит уравнение решено верно.

4.3Задачи

1.Найдите матрицы, обратные для следующих матриц:

A =	2 4 ,						B =	4 6 ,
		4	0						3	2	0 1 ,
C =	0 3		9 4 1 ,				D =	0 0 2
	@	2	7	3	A			@	1	0	0	A
		1	5	3					0	0	3
F =	0 2		0		4 1	,	G =	0 0		1		6 1 .
		3	2		1				2	1		5
	@ 1		1		0 A			@ 0		0		2 A

2.Если A 1 BT (B A)T T B1 = E, то чему равен определитель матрицы B?

3.Для матрицы

01

найдите обратную. При каком значении параметра

обратная матрица не существует?

4.Решите матричные уравнения:

а)	3	4	X =		5	9 ;
	1	2	1		3	5	3
б) X 0				=	1			;
		1	1			2	0

studfiles.net

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом

Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений — вывод формулы.

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц A ⋅ X и Впозволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как , а по определению обратной матрицы (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому

Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .

Мы знаем, что квадратная матрица А порядка n на n имеет обратную матрицу только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Следовательно, СИСТЕМУ nЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С n НЕИЗВЕСТНЫМИ МОЖНО РЕШАТЬ МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ ОТЛИЧЕН ОТ НУЛЯ.

К началу страницы

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Рассмотрим матричный метод на примерах. В некоторых примерах мы не будем подробно описывать процесс вычисления определителей матриц, при необходимости обращайтесь к статье вычисление определителя матрицы.

Пример.

С помощью обратной матрицы найдите решение системы линейных уравнений .

Решение.

В матричной форме исходная система запишется как , где . Вычислим определитель основной матрицы и убедимся, что он отличен от нуля. В противном случае мы не сможем решить систему матричным методом. Имеем , следовательно, для матрицы А может быть найдена обратная матрица . Таким образом, если мы отыщем обратную матрицу, то искомое решение СЛАУ определим как . Итак, задача свелась к построению обратной матрицы . Найдем ее.

Мы знаем, что для матрицы обратная матрица может быть найдена как , где — алгебраические дополнения элементов .

В нашем случае

Тогда

Выполним проверку полученного решения , подставив его в матричную форму исходной системы уравнений . Это равенство должно обратиться в тождество, в противном случае где-то была допущена ошибка.

Следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

или в другой записи .

Пример.

Решите СЛАУ матричным методом.

Решение.

Первое уравнение системы не содержит неизвестной переменной x₂, второе –x₁, третье – x₃. То есть, коэффициенты перед этими неизвестными переменными равны нулю. Перепишем систему уравнений как . От такого вида проще перейти к матричной форме записи СЛАУ . Убедимся в том, что эта система уравнений может быть решена с помощью обратной матрицы. Другими словами, покажем что :

Построим обратную матрицу с помощью матрицы из алгебраических дополнений:

тогда,

Осталось найти решение СЛАУ:

Рекомендуем выполнить проверку.

Ответ:

.

При переходе от обычного вида системы линейных алгебраических уравнений к ее матричной форме следует быть внимательным с порядком следования неизвестных переменных в уравнениях системы. К примеру, СЛАУ НЕЛЬЗЯ записать как . Нужно сначала упорядочить все неизвестные переменные во всех уравнениях системы, а потом переходить к матричной записи:

или

Также будьте внимательны с обозначением неизвестных переменных, вместоx₁, x₂, …, x_n могут быть любые другие буквы. Например, СЛАУ в матричной форме запишется как .

Разберем пример.

Пример.

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.

Решение.

Упорядочив неизвестные переменные в уравнениях системы, запишем ее в матичной форме . Вычислим определитель основной матрицы:

Он отличен от нуля, поэтому решение системы уравнений может быть найдено с помощью обратной матрицы как . Найдем обратную матрицу по формуле :

Получим искомое решение:

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3.

Пример.

Найдите решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.

Решение.

Определитель основной матрицы системы равен нулю

поэтому, мы не можем применить матричный метод.

Нахождение решения подобных систем описано в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений.

Пример.

Решите СЛАУ матричным методом, — некоторое действительное число.

Решение.

Система уравнений в матричной форме имеет вид . Вычислим определитель основной матрицы системы и убедимся в том, что он отличен от нуля:

Квадратных трехчлен не обращается в ноль ни при каких действительных значениях , так как его дискриминант отрицателен , поэтому определитель основной матрицы системы не равен нулю ни при каких действительных . По матричному методу имеем . Построим обратную матрицу по формуле :

Тогда

Рекомендуем выполнить проверку полученного результата.

Ответ:

.К началу страницы

Подведем итог.

Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля. Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.

 

megaobuchalka.ru