Решение матричных линейных уравнений – .
Найти решение системы линейных уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом
Для решения системы линейных алгебраических уравнений ее записывают в матричной форме
где -матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; — столбец неизвестных; — столбец свободных членов. После того, если для матрицы существует обратная матрица ( ) то система линейных уравнений имеет единственное решение и он находится за формулой
Поскольку перемножить матрицу на вектор столбец не складывает особенных трудностей, то большая проблема при вычислениях — найти обратную матрицу
В нахождении решения за приведенной формулой и заключается суть матричного метода.
Рассмотрим несколько примеров из сборника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. «Высшая математика»
————————————
Задача.
Решить систему линейных алгебраических уравнений.
1) (1. 183)
2) (4. 182)
Решение.
1) Запишем систему трех линейных уравнений в матричной форме
Найдем обратную матрицу. Напомним, что
где — определитель матрицы , а — транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов определителя матрицы.
Вычислим определитель матрицы
Матрица алгебраических дополнений состоит из элементов , которые вычисляются через миноры по правилу
Миноры — это определители на порядок меньшие от определителя , которые образуются вычеркиванием в нем -й строки и — го столбца. На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.
Найдем алгебраические дополнения к определителю
Запишем найденную матрицу алгебраических дополнений
и протранспонируем ее
Находим обратную матрицу
С помощью обратной матрицы находим решение системы линейных уравнений
На етом решения примера завешено. Как видите никаких сложных вычислений в етом задании мы не делали.
2) Запишем систему линейных уравнений четвертого порядка в матричной форме
Поскольку все коэффициенты ненулевые то вычислять ее будет трудно. Выполним над системой линейных уравнений элементарные превращения чтобы превратить в нуль некоторые из коэффициентов.
От второй строки отнимем первую и последнюю строки
От третьей строки отнимем сумму первой и четвертой строки начальной системы
От четвертой строки отнимем первый
Из последней строки уже можем сказать что но будем придерживаться правил чтобы научиться решать большие системы уравнений.
Поскольку матрица стала разреженной то вычисление определителя и матрицы алгебраических дополнений упростятся. Найдем определитель матрицы, разложив его за четвертой строкой
Найдем матрицу алгебраических дополнений, раскладывая искомые детерминанты за строками и столбцами которые содержат больше всего нулей. Для самопроверки выпишу Вам вычисление только первой строки. Остальные попробуйте вычислить самостоятельно
После нахождения всех значений получим следующую матрицу дополнений
Поскольку определитель равен единице то обратная матрица с транспонированной матрицей дополнений совпадают
Подставим в матричную запись и найдем решение
При вычислениях систем линейных алгебраических уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом придется находить большое количество алгебраических дополнений , которые собой являют определители второго и третьего порядка соответственно. Именно ошибки при их вычислении чаще всего становятся причиной неверного решения. Для избежания таких ситуаций нужно хорошо знать правила нахождения определителей второго, третьего порядка, а также правила чередования знаков возле миноров.
Изучайте их и получайте лишь верные решения !
———————————————-
Посмотреть материалы:
yukhym.com
Сведение системы линейных уравнений к матрице.
Любую систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения.
Так система линейных уравнений
| a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 | |
| a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 | |
| ································ | |
| am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm |
состоящая из m линейных уравнений, содержащая n неизвестных величин, может быть записана в виде матричного уравнения:
Ax = b
где
A = a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn;
x = x1x2…xm;
b = b
Матрица A — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец x — вектор неизвестных, а вектор-столбец b — вектор значений системы линейных уравнений.
N.B. Если в i-той строке системы линейных уравнений отсутствует переменная xj, значит ее множитель равен нулю, то есть aij = 0.
Пример 1.
Записать в виде матричном виде систему линейных уравнений:| 4x1 + x2 — x3 — x4 = 3 | |
| -x1 + 3x3 — 2x4 = 5 | |
| 6x1 + 2x2 + 4x3 | |
| 2x2 — x3 + x4 = 0 |
Решение: Система линейных уравнений запишется с помощью матриц следующим образом:
ru.onlinemschool.com
Матричный метод | Математика | FANDOM powered by Wikia
Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с $ n $ неизвестными (над произвольным полем):
$ { \begin{cases} a_{11}x_1+ \ldots +a_{1n}x_n=b_1, \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n1}x_1+ \ldots +a_{nn}x_n=b_n \end{cases} } $
Тогда её можно переписать в матричной форме:
$ AX = B $, где $ A $ — основная матрица системы, $ B $ и $ X $ — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} $
Умножим это матричное уравнение слева на $ A^{-1} $ — матрицу, обратную к матрице $ A $: $ A^{-1}\left( AX \right) = A^{-1}B $
Так как $ A^{-1}A = E $, получаем $ X = A^{-1}B $. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:
- $ \det A \ne 0 $.
Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор $ B = 0 $, действительно обратное правило: система $ AX = 0 $ имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если $ \det A = 0 $. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.
Пример решения неоднородной СЛАУ Править
$ { \begin{cases} 3x+2y-z=4; \\ 2x-y+5z=23;\\ x+7y-z=5; \end{cases} } $
Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.
$ \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 7 & -1 \end{vmatrix}=3-14+10-1-105+4=-103; $
Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.
$ A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}-1 & 5\\ 7 & -1 \end{vmatrix}=-34; $
$ A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}2 & 5\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=7; $
$ A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ 1 & 7 \end{vmatrix}=15; $
$ A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ 7 & -1 \end{vmatrix}=-5; $
$ A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix}3 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-2; $
$ A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot \begin{vmatrix}3 & 2\\ 1 & 7 \end{vmatrix}=-19; $
$ A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ -1 & 5 \end{vmatrix}=9; $
$ A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot \begin{vmatrix}3 & -1\\ 2 & 5 \end{vmatrix}=-17; $
$ A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot \begin{vmatrix}3 & 2\\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-7; $
Далее найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.
$ C^{*}=\begin{pmatrix}-34 & 7 & 15\\ -5 & -2 & -19\\ 9 & -17 & -7\end{pmatrix}; $
$ (C^{*})^{T}=\begin{pmatrix}-34 & -5 & 9\\ 7 & -2 & -17\\ 15 & -19 & -7\end{pmatrix}; $
$ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot(C^{*})^{T} $
Подставляя переменные в формулу, получаем:
$ A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot\begin{pmatrix}-34 & -5 & 9\\ 7 & -2 & -17\\ 15 & -19 & -7\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{34}{103} & \frac{5}{103} & -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103} & \frac{2}{103} & \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103} & \frac{19}{103} & \frac{7}{103}\end{pmatrix}; $
Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.
$ X=A^{-1}\cdot B; $
$ X=\begin{pmatrix}\frac{34}{103} & \frac{5}{103} & -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103} & \frac{2}{103} & \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103} & \frac{19}{103} & \frac{7}{103}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix} $
Итак, x=2; y=1; z=4.
- $ \mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{ad — bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}. $
Обращение матрицы 2х2 возможно только при условии, что $ ad — bc = \det A \neq 0 $.
Шаблон:Rq
Шаблон:Методы решения СЛАУ
ru.math.wikia.com