Решение матриц онлайн методом обратной матрицы – Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Решение уравнений методом обратной матрицы

Метод обратной матрицы используется при решении систем линейных алгебраических уравнений, если число неизвестных равно числу уравнений.

Суть метода

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными:

   

Эту систему можно записать в виде матричного уравнения ,

где – матрица системы,

– столбец неизвестных,

– столбец свободных коэффициентов.

Из полученного матричного уравнения необходимо выразить . Для этого умножим обе части матричного уравнения слева на , получим:

   

Так как , то или .

Далее находится обратная матрица и умножается на столбец свободных членов .

ЗАМЕЧАНИЕ Обратная матрица к матрице существует только при условии, что . Поэтому при решении системы линейных уравнений методом обратной матрицы в первую очередь вычисляется . Если , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы, если же , то методом обратной матрицы решить эту систему нельзя.

Пример решения методом обратной матрицы

ПРИМЕР 1
Задание Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы

   

Решение Данная система уравнений может быть записана матричным уравнением

   

где , , .

Выразив из этого уравнения , получим

   

Найдем определитель матрицы :

   

   

Так как , то система имеет единственное решение, которое можно найти методом обратной матрицы.

Найдем обратную матрицу с помощью союзной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения к соответствующим элементам матрицы :

   

   

   

   

   

Запишем союзную матрицу , составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы :

   

Далее запишем обратную матрицу согласно формуле . Будем иметь:

   

Умножая обратную матрицу на столбец свободных членов , получим искомое решение исходной системы:

   

Ответ
Читайте также:

Умножение матрицы на вектор

Ранг матрицы

Вычитание матриц

Перемножение матриц

Элементарные преобразования матриц

Операции над матрицами и их свойства

ru.solverbook.com

Решение системы линейных уравнений (матричный метод)

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто решить систему линейных уравнений (СЛУ) матричным методом.

Для того чтобы решить систему линейных уравнений матричным методом, выберите количество неизвестных величин: 2345

Заполните систему линейных уравнений

Для изменения в уравнении знаков с «+» на «-» вводите отрицательные числа. Если в вашем уравнение отсутствует какой-то коэффициент, то на его месте в калькуляторе введите ноль. Вводить можно числа или дроби. Например: 1.5 или 1/7 или -1/4 и т.д.

Решить систему

Воспользуйтесь также:
Решение системы линейных уравнений (метод подстановки)
Решение системы линейных уравнений (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений (метод Крамера)

Решение системы линейных уравнений матричным методом

Матричный метод решения СЛУ

Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах x

i в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то система линейных уравнения сведется к следующему матричному уравнению

A · X = B,

которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю (в противном случае система уравнений будет иметь либо бесконечное количество решений, либо не иметь решений вовсе).

Если определитель матрицы A отличен от нуля, то решение системы уравнений можно найти следующим способом

X = A-1 · B,

где A-1 обратная матрица, которую можно найти используя, например, Онлайн сервис для вычисления обратной матрицы на нашем сайте.

Таким образом, задача решения системы линейных уравнений матричным способом сводится к нахождению обратной матрицы A-1 и последующему умножению её на матрицу-столбец B. Именно эта задача и выполняется с помощью предложенного вам онлайн калькулятора.

matematikam.ru

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.

Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.

Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.

Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом .

Пусть нужно решить систему линейных уравнений:

Запишем эту систему уравнений в матричном виде:

Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов

.

Тогда

То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.

Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.

Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Решение состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:

По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.

Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.

Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:

Шаг 1. Составляем следующие матрицы.

Матрица коэффициентов при неизвестных:

Матрица неизвестных:

Матрица свободных членов:

Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.

Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:

.

Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:

Итак, получили решение:

.

Сделаем проверку:

Следовательно, ответ правильный.

Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение

Всё по теме «Системы уравнений и неравенств»

Начало темы «Линейная алгебра»

Поделиться с друзьями

function-x.ru

Обратная матрица, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор позволяет найти обратную матрицу всего в пару кликов. Для нахождения обратной матрицы выберите ее размер, введите значения всех элементов матрицы и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст детальное решение и ответ! Каждый этап будет детально расписан, это поможет вам понять, как был получен ответ и, при необходимости, проверить свое решение.

Заполните элементы матрицы   Решили сегодня: раз, всего раз
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Как найти обратную матрицу онлайн

Для того, чтобы найти обратную матрицу онлайн, вам потребуется указать размер самой матрицы. Для этого кликните на иконки «+» или «-» до тех пор, пока значение количества столбцов и строк вас не устроит. Далее введите в поля требуемые элементы. Ниже находится кнопка «Вычислить» — нажав её, вы получите на экране ответ с подробным решением.

В линейной алгебре довольно часто приходится сталкиваться с процессом вычисления обратной матрицы. Она существует только для невыраженных матриц и для квадратных матриц при условии отличного от нуля детерминанта. В принципе, рассчитать её не представляет особой сложности, особенно если вы имеете дело с небольшой матрицей. Но если нужны более сложные расчёты или тщательная перепроверка своего решения, лучше воспользуйтесь данным онлайн калькулятором. С его помощью вы оперативно и с высокой точностью решите обратную матрицу.

С помощью данного онлайн калькулятора вы сможете значительно облегчить себе задачу в плане расчётов. Кроме того, он помогает закрепить материал, полученный в теории – это своеобразный тренажёр для мозга. Не стоит рассматривать его, как замену вычислениям вручную, он может дать вам гораздо больше, облегчив понимание самого алгоритма. К тому же, лишняя перепроверка себя никогда не помешает.

ru.solverbook.com

Обратная матрица онлайн

www.matcabi.net позволяет найти обратную матрицу онлайн. Сайт производит вычисление обратной матрицы онлайн. За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Обратной матрицей будет являться такая матрица, умножение исходной матрицы на которую дает единичную матрицу, при условии, что определитель начальной матрицы не равен нулю, иначе обратной матрицы для нее не существует. В задачах, когда вычисляем обратную матрицу онлайн, необходимо, чтобы определитель матрицы был отличным от нуля, иначе www.matcabi.net выдаст соответствующее сообщение о невозможности вычислить обратную матрицу онлайн. Такую матрицу еще называют вырожденной. Найти обратную матрицу в режиме онлайн можно только для квадратной матрицы. Операция нахождения обратной матрицы онлайн сводится к вычислению определителя матрицы, затем составляется промежуточная матрица по известному правилу, и в завершении операции — умножения найденного ранее определителя на транспонированную промежуточную матрицу. Точного результата от определения обратной матрицы онлайн можно добиться, изучив теорию по этому курсу. Данная операция занимает особое место в теории матриц и линейной алгебры, позволяет решать системы линейных уравнений, так называемым, матричным методом. Задача по нахождению обратной матрицы онлайн встречается уже в начале изучения высшей математики и присутствует почти в каждой математической дисциплине как базовое понятие алгебры, являясь математическим инструментом в прикладных задачах. www.matcabi.net находит обратную матрицу заданной размерности в режиме онлайн мгновенно. Вычисление обратной матрицы онлайн при заданной её размерности — это нахождение матрицы той же размерности в числовом ее значении, а также в символьном, найденного по правилу вычисления обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы онлайн широко распространено в теории матриц. Результат нахождения обратной матрицы онлайн используется при решении линейной системы уравнений матричным методом. Если определитель матрицы будет равен нулю, то обратной матрицы, для которой найден нулевой определитель, не существует. Для того, чтобы вычислить обратную матрицу или найти сразу для нескольких матриц соответствующие им обратные, необходимо затратить не мало времени и усилий, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет обратную матрицу онлайн. При этом ответ по нахождению обратной матрицы будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при нахождении обратной матрицы онлайн будут иррациональными. На сайте www.matcabi.net допускаются символьные записи в элементах матриц, то есть обратная матрица онлайн может быть представлена в общем символьном виде при вычислении обратной матрицы онлайн. Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи по нахождению обратной матрицы онлайн, используя сайт www.matcabi.net. При совершении операции вычисления обратной матрицы онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении данной задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему обратная матрица онлайн. Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.matcabi.net безусловно будет являться удобным инструментом для проверки при нахождении и вычислении обратной матрицы онлайн.

www.matcabi.net