Решение линейных уравнений методом жордана гаусса – Метод Жордана-Гаусса онлайн

Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Видеоурок: Метод Жордана-Гаусса (метод прямоугольников)

Пример из видеоурока в рукописном виде:

Пример 2.

Запишем систему в виде:

1

-2

2

-1

-1

2

4

0

-1

1

3

-1

2

-2

-2

4

-4

-2

-2

1

1

-1

1

0

-1

1

1

-2

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.

Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника: НЭ = СЭ — (А*В)/РЭ, где РЭ — разрешающий элемент (1), А и В — элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

1

-2

2

-1

-1

2

4

0

-1

1

3

-1

2

-2

0

0

0

-4

-4

5

9

0

-1

2

-2

0

3

2

Разрешающий элемент равен (-1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

1

0

0

-7

1

-2

8

0

1

-1

-3

1

-2

2

0

0

0

-4

-4

5

9

0

0

1

-5

1

1

4

 

Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

1

0

0

-7

1

-2

8

0

1

0

-8

2

-1

6

0

0

1

-5

1

1

4

0

0

0

-4

-4

5

9

Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

1

0

0

0

8

-10.75

-7.75

0

1

0

0

10

-11

-12

0

0

1

0

6

-5.25

-7.25

0

0

0

1

1

-1.25

-2.25


Теперь исходную систему можно записать как:
x1 = -7.75 — 8×5 — 10.75×6
x2 = -12 — 10×5 — 11×6
x3 = -7.25 — 6×5 — 5.25×6
x4 = -2.25 — x5 — 1.25×6
Необходимо переменные x5,x6 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.
Приравняем переменные x5,x6 к 0
x1 = -7.75
x2 = -12
x3 = -7.25
x4 = -2.25
Среди базисных переменных есть отрицательные значения. Следовательно, данное решение не опорное.

www.matem96.ru

Свободные переменные в системе линейных уравнений, жордан гаусс

Образование

Метод Гаусса: примеры решений и частные случаи

30 апреля 2013

Метод Гаусса, также называемый методом пошагового исключения неизвестных переменных, назван именем выдающегося немецкого ученого К.Ф. Гаусса, еще при жизни получившего неофициальный титул «короля математики». Однако данный метод был известен задолго до зарождения европейской цивилизации, еще в I в.

Системы линейных уравнений. Основные понятия. Переменные, входящие в уравнения системы

до н. э. древние китайские ученые использовали его в своих трудах.

Метод Гаусса является классическим способом решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он идеален для быстрого решения ограниченных по размеру матриц.

Сам метод состоит из двух ходов: прямого и обратного. Прямым ходом называется последовательное приведение СЛАУ к треугольному виду, то есть обнуление значений, находящихся под главной диагональю.

Обратный ход подразумевает последовательное нахождение значений переменных, выражая каждую переменную через предыдущую.

Научиться применять на практике метод Гаусса просто, достаточно знания элементарных правил умножения, сложения и вычитания чисел.

Для того чтобы наглядно показать алгоритм решения линейных систем данным методом, разберем один пример.

Итак, решить, используя метод Гаусса:

x+2y+4z=3
2x+6y+11z=6
4x-2y-2z=-6

Нам нужно во второй и третьей строчках избавиться от переменной х. Для этого мы прибавляем к ним первую, умноженную на -2 и -4 соответственно. Получим:

x+2y+4z=3
2y+3z=0
-10y-18z=-18

Теперь 2-ю строчку умножим на 5 и прибавим ее к 3-ей:

x+2y+4z=3
2y+3z=0
-3z=-18

Мы привели нашу систему к треугольному виду. Теперь осуществляем обратный ход. Начинаем с последней строчки:
-3z =-18,
z=6.

Вторая строчка:
2y+3z=0
2y+18=0
2y=-18,
y=-9

Первая строчка:
x+2y+4z=3
x-18+24=3
x=18-24+3
х= -3

Подставляя полученные значения переменных в исходные данные, убеждаемся в правильности решения.

Данный пример может решаться множеством любых других подстановок, но ответ должен получиться тот же самый.

Бывает так, что на ведущей первой строке расположены элементы со слишком малыми значениями. Это не страшно, но довольно усложняет вычисления. Решением данной проблемы является метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Суть его состоит в следующем: в первой строке отыскивается максимальный по модулю элемент, тот столбец, в котором он расположен, меняют местами с 1-м столбцом, то есть наш максимальный элемент становится первым элементом главной диагонали. Далее идет стандартный процесс вычисления. При необходимости процедуру перемены местами столбцов можно повторить.

Еще одним модифицированным методом Гаусса является метод Жордана-Гаусса.

Применяется при решении квадратных СЛАУ, при нахождении обратной матрицы и ранга матрицы (количества ненулевых строк).

Суть этого метода в том, что исходная система путем преобразований превращается в единичную матрицу с дальнейшим отысканием значений переменных.

Алгоритм его таков:

1. Система уравнений приводится, как и в методе Гаусса, к треугольному виду.

2. Каждая строчка делится на определенное число с таким расчетом, чтобы на главной диагонали получилась единица.

3. Последняя строчка умножается на какое-то число и вычитается из предпоследней с таким расчетом, чтобы не на главной диагонали получить 0.

4. Операция 3 повторяется последовательно для всех строк, пока в конечном итоге не образуется единичная матрица.

Источник: fb.ru

Комментарии

Идёт загрузка…

Похожие материалы

Образование
Have to, had to — модальный глагол. Применение, примеры и частные случаи

Глагол have имеет очень широкое применение как самостоятельно, так и в связке с другими словами. Кроме того, имеется много перекрывающихся областей с другими похожими глаголами.Need to vs. have toДля т…

Бизнес
Методы разработки управленческих решений и способы их применения

Ответственность за принятые решения требует наличия знаний. Полагаться только на интуицию и русское «авось» в условиях стремительно развивающегося рынка и растущей конкуренции невозможно, поэтому прак…

Домашний уют
Как паять наушники: общие рекомендации и частные случаи

Любые, даже достаточно дорогие наушники, — весьма недолговечный аксессуар. Но если у вас стал барахлить один наушник, вы случайно порвали провод или отломали штекер — это еще не повод выкинуть гарнитуру в мусорное вед…

Образование
Сложение и умножение вероятностей: примеры решений и теория

Изучение теории вероятности начинается с решения задач на сложение и умножение вероятностей. Стоит сразу упомянуть, что студент при освоении данной области знаний может столкнуться с проблемой: если физические или хим…

Закон
Государственно-частное партнерство — это формы взаимовыгодного взаимодействия государства и частного бизнеса. Примеры

В экономике многих стран появилась особая форма отношений коммерческих предприятий и власти. Для обозначения этого взаимодействия используется понятие государственно-частного партнерства. Рассмотрим его далее подробно…

Здоровье
Частные случаи перхоти (перхоть на голове, перхоть в ушах и бровях)

Перхоть еще с давних времен является большой проблемой для большей части жителей нашей планеты. Причин для ее появления существует огромное количество. Перхоть – это заболевание. В своем роде, это грибок,…

Образование
Метод сценария: примеры и история

Что представляет собой метод сценариев? Отметим, что с его помощью можно провести оценку вероятного хода развития определенных событий, а также предусмотреть последствия принятых решений. Например, можно предсказать ц…

Образование
Линейные и однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решения

Думаю, нам стоит начать с истории такого славного математического инструмента как дифференциальные уравнения. Как и все дифференциальные и интегральные исчисления, эти уравнения были изобретены Ньютоном в конце 17-го …

Компьютеры
Как включить Browser Plugins: общие и частные решения

Практически все пользователи интернета, которые работают с веб-обозревателями, знают, что браузеры в чистом виде имеют весьма ограниченную функциональность. Связано это с тем, что для улучшения их работы необходимо ис…

Автомобили
Обороты падают при нажатии на тормоз: возможные причины, способы решения и рекомендации

Автомобиль – это многофункциональная система, где важна слаженная и синхронизированная работа всех механизмов и каждого узла отдельно. Различные сбои и поломки хотя бы одной из деталей могут повлечь за собой нар…

laservirta.ru

Тема 3. Линейное программирование

Решение систем методом Жордана–Гаусса

Задание 1. Решить систему линейных уравнений методом Жордана–Гаусса.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными

,

где – неизвестные, – коэффициент при неизвестном , – свободный член i-го уравнения ( , ).

Все расчеты по методу Жордана–Гаусса будем проводить в таблице.

Алгоритм метода Жордана–Гаусса

1. В таблице записываем свободные члены, матрицу коэффициентов

при неизвестных. Дополняем таблицу контрольным столбцом, элементы

которого получены суммированием элементов строки, т.е. .

 

2. Во внутренней части таблицы выбираем отличный от нуля

разрешающий элемент, например .

3. Все элементы разрешающей строки (с номером p ) делим на .

4. Остальные элементы разрешающего столбца (с номером )

заменяем нулями.

5. Все остальные элементы, включая и элементы контрольного

столбца, вычисляем по правилу прямоугольника .
 
 

 

6. После заполнения всей таблицы осуществляем контроль: все

новые элементы контрольного столбца должны быть равны сумме всех элементов строки.

Этот процесс продолжается до тех пор, пока все строки не побывают разрешающими.

Замечание

1. Для удобства вычислений обычно выбирают .

2. Если в процессе решения какая-нибудь строка полностью



обнулится, то её вычеркиваем.

3. Если в процессе решения получим строку, у которой все

элементы кроме свободного члена, отличного от нуля, равны нулю, то такая система решения не имеет.

4. Если в разрешающей строке какой-либо элемент равен нулю,

то весь столбец, в котором стоит этот элемент, в новую таблицу переписывается без изменения.

5. Если в разрешающем столбце какой-либо элемент равен нулю,

то строка, в которой стоит этот элемент, в новую таблицу переписывается без изменений.

Переменные, которым соответствуют единичные векторы, называют базисными.

Переменные, которые не входят в базис, называют свободными.

Решения, полученные при приравнивании к нулю свободных переменных, называются базисными.

Те базисные решения, которые не содержат отрицательных переменных ( ) называются опорными.

Теорема

1. Если число базисных переменных равно общему числу переменных системы, то система имеет единственное решение.

2. Если число базисных переменных меньше общего числа переменных системы, то система имеет бесконечное множество решений.

Пример. Решить систему методом Жордана–Гаусса

Решение.

Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Поскольку элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленным суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис. Переходим к следующему шагу.

2-й шаг. Выбираем разрешающий элемент из второй и третьей строчки, для удобства вычислений берем . Все элементы второй строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.

Третий столбец в новую таблицу можно переписать без изменений, так как в разрешающей стоке в третьем столбце стоит ноль. Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Поскольку элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленные суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис. Переходим к следующему шагу.

3-й шаг. Выбираем разрешающий элемент из третьей строчки, т.к. в этой третьей строке только один элемент отличный от нуля, то в качестве разрешающего элемента выбираем этот элемент . Все элементы третьей строки делим на этот разрешающий элемент. Все элементы разрешающего столбца , кроме элемента , обнуляем. Все остальные элементы таблицы вычисляем по правилу прямоугольника.

Первый, третий и контрольный столбцы в новую таблицу можно переписать без изменений, так как в разрешающей стоке в первом, третьем и контрольном столбцах стоят нули. Записываем полученные данные в таблицу. Осуществляем контроль:

Поскольку элементы контрольного столбца, вычисленные по правилу прямоугольника, равны элементам контрольного столбца, вычисленным суммированием элементов по строке, то полученная таблица составлена верно. Выбранному разрешающему элементу соответствовала переменная , следовательно, переменную записываем в базис.

Поскольку все строки побывали разрешающими и система приведена к единичному базису, то выписываем ответ:

Ответ: .


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

zdamsam.ru

Метод Гаусса — Жордана | Математика

Метод Гаусса — Жордана используется для решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе, отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана.

  1. Выбирается первая колонка слева, в которой есть хоть одно отличное от нуля значение.
  2. Если самое верхнее число в этой колонке есть нуль, то меняется вся первая строка матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
  3. Все элементы первой строки делятся на верхний элемент выбранной колонки.
  4. Из оставшихся строк вычитается первая строка, умноженная на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) нуль.
  5. Далее проводим такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
  6. После повторения этой процедуры n-1 раз получаем верхнюю треугольную матрицу
  7. Вычитаем из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
  8. Повторяем предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получаем единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

Пример

Решим следующую систему уравнений:

x1-3×2+x3=0

5×1+x2-x3=2

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

<img data-rte-meta=»%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5Cn%20%20%5C%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cn%20%20%20%201%20%26%201%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%200%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%204%20%26%202%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%201%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%209%20%26%203%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%203%5Cn%20%20%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cn%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D» data-rte-instance=»2561-13113418504eda0b5210a27″ src=»data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D» type=»ext» />

Проведём следующие действия:

  • К строке 2 добавим: -4 * Строку 1.
  • К строке 3 добавим: -9 * Строку 1.

Получим:

<img data-rte-meta=»%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5Cn%20%20%5C%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cn%20%20%20%201%20%26%5C%5C%20%201%20%26%5C%5C%20%201%20%26%20%7C%20%26%200%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%20-2%20%26%20-3%20%26%20%7C%20%26%201%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%20-6%20%26%20-8%20%26%20%7C%20%26%203%5Cn%20%20%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cn%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D» data-rte-instance=»2561-13113418504eda0b5210a27″ src=»data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D» type=»ext» />
  • К строке 3 добавим: -3 * Строку 2.
  • Строку 2 делим на -2
<img data-rte-meta=»%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5Cn%20%20%5C%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cn%20%20%20%201%20%26%20%201%20%26%20%201%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%200%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%201%20%26%20%7B3%20%5C%5Cover%202%7D%20%26%20%7C%20%26%20-%7B1%20%5C%5Cover%202%7D%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%200%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%200%5Cn%20%20%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cn%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D» data-rte-instance=»2561-13113418504eda0b5210a27″ src=»data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D» type=»ext» />
  • К строке 1 добавим: -1 * Строку 3.
  • К строке 2 добавим: -3/2 * Строку 3.
<img data-rte-meta=»%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5Cn%20%20%5C%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cn%20%20%20%201%20%26%201%20%26%200%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%200%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%201%20%26%200%20%26%20%7C%20%26%20-%7B1%20%5C%5Cover%202%7D%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%200%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%200%5Cn%20%20%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cn%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D» data-rte-instance=»2561-13113418504eda0b5210a27″ src=»data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D» type=»ext» />
  • К строке 1 добавим: -1 * Строку 2.
<img data-rte-meta=»%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3E%5Cn%20%20%5C%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%5Cn%20%20%20%201%20%26%200%20%26%200%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%20%7B1%20%5C%5Cover%202%7D%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%201%20%26%200%20%26%20%7C%20%26%20-%7B1%20%5C%5Cover%202%7D%20%5C%5C%5C%5C%5Cn%20%20%20%200%20%26%200%20%26%201%20%26%20%7C%20%26%5C%5C%200%5Cn%20%20%5C%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cn%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D» data-rte-instance=»2561-13113418504eda0b5210a27″ src=»data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D» type=»ext» />

В правом столбце получаем решение:

<img data-rte-meta=»%7B%22type%22%3A%22ext%22%2C%22placeholder%22%3A1%2C%22wikitext%22%3A%22%3Cmath%3Ea%20%3D%20%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%3B%20%3B%20%5C%5C%20b%20%3D%20-%5C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5C%5C%3B%20%3B%20%5C%5C%20c%20%3D%200%3C%5C%2Fmath%3E%22%7D» data-rte-instance=»2561-13113418504eda0b5210a27″ src=»data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIABAAAAAP///yH5BAEAAAEALAAAAAABAAEAQAICTAEAOw%3D%3D» type=»ext» /> .

nl:Gauss-Jordaneliminatie

ru.math.wikia.com

Тема 3. Решение систем линейных уравнений методом Жордана – Гаусса

Общим решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется

+—решение, в котором базисные неизвестные линейно выражаются через свободные неизвестные

 

Частным решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется

+—решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать произвольные значения

 

При отыскании общего решения системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Жордана – Гаусса в качестве разрешающего элемента выбирается

+—любой отличный от нуля элемент таблицы, кроме элементов столбца свободных членов и контрольного столбца

 

Система m линейных уравнений с n неизвестными не имеет решений, если на некоторой итерации

+—все элементы какой – либо строки таблицы Жордана – Гаусса, кроме свободного члена, равны нулю

 

Базисным решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется

+—решение, полученное из общего решения системы, в котором свободные неизвестные равны 0

 

Если r – число базисных неизвестных, а n – общее число неизвестных в произвольной системе m линейных уравнений, то система имеет бесконечное множество решений при

+—

 

Если дано матричное уравнение , то его решение определяется по формуле

+—

Если в таблице Жордана – Гаусса — разрешающий элемент, то элемент находится по формуле (правило прямоугольника)

+—

Итерацией в методе Жордана — Гаусса называется

+—расчет элементов одной таблицы Жордана – Гаусса

 

Метод Жордана – Гаусса это

+—последовательное исключение неизвестных

 

Если в таблице Жордана – Гаусса имеются две одинаковые строки, то

+—одну из них можно вычеркнуть

 

Единичным называется столбец таблицы Жордана – Гаусса, который состоит из

+—одной единицы и остальных 0

 

Переменная называется базисной, если в таблице Жордана – Гаусса столбец коэффициентов перед ней является

+—единичным

 

Если в таблице Жордана – Гаусса имеются две пропорциональные строки, то

+—одну из них нужно вычеркнуть

 

Переменная называется свободной, если в таблице Жордана – Гаусса

+—она не входит в столбец в базис

 

Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если свободные члены

+—равны 0

 

Матрица коэффициентов при неизвестных системы m линейных уравнений с n неизвестными является

+—прямоугольной

 

Число частных решений равно

+—бесчисленному множеству решений

 

Переход от одного базисного решения к другому осуществляется путем

+—проведения еще одной итерации метода Жордана – Гаусса

 

Элементы вводимой строки в таблице Жордана – Гаусса находятся

+—делением элементов разрешающей строки предыдущей таблицы на разрешающей элемент

 

Число базисных решений произвольной системы m линейных уравнений с n неизвестными определяется

+—формулой

 

Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными, в котором базисные неизвестные линейно выражаются через свободные, называется

+—общим

 

Систему можно решить матричным способом, если

+—число уравнений равно числу неизвестных

 

Решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать произвольные значения, называется

+—частным

 

Значение базисных переменных в таблице Жордана – Гаусса находится в

+—столбце

 

В контрольный столбец 1-й таблицы Жордана – Гаусса записывается

+—сумма элементов по каждой строке, включая свободные члены

 

Матрица коэффициентов при неизвестных при решении системы n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом является

+—невырожденной

 

При решении системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Жордана – Гаусса контроль вычислений в таблицах Гаусса, начиная со 2 –ой, проводится путем

+—сравнения суммы элементов по каждой строке, включая свободные члены, с элементами контрольного столбца

 

В столбце таблицы Жордана – Гаусса находятся значения неизвестных

+—базисных

 

Решение системы линейных уравнений с n неизвестными находится с применением обратной матрицы, если число уравнений равно

+—n

 

Решение, матричного уравнения находится по формуле , если оно имеет вид

+—

Решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать нулевые значения называется

+—базисным

 

Если в таблице Жордана – Гаусса все элементы какой – либо строки, кроме свободного члена, равны нулю, то система m линейных уравнений с n неизвестными

+—не имеет решений

 

Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными — число базисных неизвестных и при этом , то система имеет

+—бесчисленное множество решений

 

Если при решении системы m линейных уравнений c n неизвестными в разрешающей строке таблицы Жордана – Гаусса находится нуль, то столбец, содержащий этот нуль

+—переносится в следующую таблицу без изменения

 

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—30

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—16

 

Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными , то система называется

+—неопределенной

 

Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными , то система называется

+—переопределенной

 

В системе m линейных уравнений с n неизвестными число базисных решений равно

+—

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—6

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—6

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—0

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—12

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—12

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—-4

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно +—2

 

Если разрешающим элементом в преобразованиях однократного замещения является , то новые элементы в таблице Гаусса определяются по формуле +—

В системе линейных уравнений базисное решение имеет вид

+—(0,5,0,3)

 




infopedia.su

Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса

Как уже говорилось, метод Жордана-Гаусса состоит в приведении системы к равносильной системе канонического вида. Рассмотрим суть этого метода на следующих примерах.

Пример. Решить методом Жордана-Гаусса систему .

Решение. Отметим, что в предыдущем параграфе эта система была решена методом Гаусса, для чего она элементарными преобразованиями приводилась к ступенчатому виду. Теперь, в соответствии с методом Жордана-Гаусса, приведем ее к каноническому виду соответствующими элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы системы. Расширенная матрица системы имеет вид . Такая матрица элементарными преобразованиями строк ранее (в параграфе «Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы») уже была приведена к эквивалентной канонической матрице: . Эта матрица является расширенной матрицей для следующей системы канонического вида: . Решение этой системы очевидно. Таким образом, решение исходной системы: , , .

Пример. Решить методом Жордана-Гаусса систему .

Решение. Приведем расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями строк (и вычеркиванием чисто нулевых строк, если таковые появятся) к канонической матрице :

~ ~

~ ~ .

Последняя матрица − каноническая и является расширенной матрицей следующей системы в канонической форме (эквивалентной исходной системе) :

. Переменные, коэффициенты при которых соответствуют ненулевым диагональным элементам (а это единицы для канонических матриц) расширенной матрицы системы, называются базисными переменными, а остальные переменные называются свободными переменными. Базисные переменные (в нашей системе это и ) легко выражаются через свободные (в нашей системе это и ). Проделывая это для данной системы, получаем то, что называется общим решением системы:

, .

Придавая свободным переменным любые значения и вычисляя затем базисные переменные из общего решения, будем получать решения исходной системы. Эти решения называются ее частными решениями, которых, очевидно, бесконечно много. Если положить, например, и , то из общего решения получаем и Таким образом, одно из частных решений исходной системы имеет вид: , , , . Можно общему решению этой системы придать более симметричную форму. Положим , а . Тогда выписанное выше общее решение можно записать в виде:

, , , .

Придавая паре переменных всевозможные числовые значения и подставляя их в общее решение, получим все решения исходной системы.

Однородные системы

Исследуем произвольную однородную систему линейных уравнений:

.

В этом случае ранги основной и расширенной матриц совпадают ( ) . Это следует из того, что расширенная матрица получается из основной добавлением нулевого столбца, а потому среди ненулевых миноров расширенной матрицы не может быть таких, которые не входили в основную матрицу. По теореме Кронекера-Капелли (см. параграф «Исследование общих систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли») из этого следует, что любая однородная система совместна. Очевидно, что одним из ее решений всегда является решение , которое называется нулевым (или тривиальным) решением однородной системы. Учитывая теорему Кронекера-Капелли, легко найти условия, при которых однородная система имеет и ненулевые решения.

Утверждение 1. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения (причем бесконечное число их) в том и только в том случае, когда ранг ее основной матрицы меньше числа неизвестных: .

Рассмотрим случай, когда число уравнений в однородной системе совпадает с числом неизвестных ( ) :

.

На основании предыдущего Утверждения 1 легко доказать следующее

Утверждение 2. Однородная система из n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения только в том случае, если определитель основной матрицы этой системы .

Найдем вид общего решения таких систем на примере трех уравнений с тремя неизвестными:

(9) .

Как отмечалось, однородная система всегда совместна, поскольку всегда имеет нулевое решение . Если определитель основной матрицы системы , то это нулевое решение единственно. Пусть . Это означает, ранг основной матрицы системы не может быть равен 3, а потому . Предположим, что ранг основной матрицы . Это означает, что хотя бы один из миноров второго порядка не равен 0. Пусть, например, минор , а потому является базисным минором. В системе (9) оставим только те уравнения, коэффициенты которых участвуют в образовании базисного минора. Таким образом, в системе (9) оставляем только первые два уравнения и приходим к системе

(10) .

Можно показать, что системы (9) и (10) эквивалентны (т.е. имеют одни и те же решения), а потому найдя общее решение системы (10), получим и общее решение исходной системы (9).

Перенесем в (10) слагаемые с переменной в правую часть и рассмотрим полученную систему

как систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y при произвольном значении переменной . Поскольку основной определитель этой системы , то по правилу Крамера она имеет единственное решение и при произвольном значении переменной . Применяя формулы Крамера, для этого решения получаются следующие формулы:

(11) , ,

где может принимать произвольное числовое значение. Таким образом, формулы (11) представляют общее решение системы (10) . Для того, чтобы запись общего решения выглядела более симметричной, обозначим . Поскольку z может быть любым числом, то и t тоже может принимать любые числовые значения. Выражая и подставляя в (11), получим общее решение исходной системы (9) в следующем симметричном виде :

(12) , .

При каждом числовом значении параметра t эти формулы дают одно из решений системы (например, при получим нулевое решение системы ). Обратно, любое решение однородной системы получается из приведенных формул (12) при некотором значении параметра t.

Пример. Найти общее решение системы .

Решение. По формулам (12) получаем

, , т.е. , .

Иногда требуется из бесконечного множества решений однородной системы выделить решения, обладающие каким-либо дополнительным свойством.

Пример. Найти решение предыдущей системы ,
удовлетворяющее условию .

Решение. Как было только что выяснено, общее решение системы имеет вид: , , , . Найдем значение параметра t , при котором решение удовлетворяло бы и дополнительному условию x2 − 3y2+z+4=0. Подставляя в него , , , получим или , откуда . Итак, нужное нам решение получается из общего решения при , а потому имеет вид: , , .

Замечание. Фактически мы нашли решение системы уравнений .

 




infopedia.su

ТЕМА 3. Решение систем линейных уравнений методом Жордана – Гаусса

 

Общим решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется

!решение, в котором базисные неизвестные линейно выражаются через свободные

 

Частным решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется

!решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать произвольные значения

 

При отыскании общего решения системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Жордана – Гаусса в качестве разрешающего элемента выбирается

!любой отличный от нуля элемент таблицы, кроме элементов столбца свободных членов и контрольного столбца

любой элемент таблицы

 

Система m линейных уравнений с n неизвестными не имеет решений, если на некоторой итерации

!все элементы какой – либо строки таблицы Жордана – Гаусса, кроме свободного члена, равны нулю

 

Базисным решением системы m линейных уравнений с n неизвестными называется

!решение, полученное из общего решения системы, в котором свободные неизвестные равны 0

 

Если r – число базисных неизвестных, а n – общее число неизвестных в произвольной системе m линейных уравнений, то система имеет бесконечное множество решений при !

 

Если дано матричное уравнение , то его решение определяется по формуле !

 

Если в таблице Жордана – Гаусса — разрешающий элемент, то элемент находится по формуле (правило прямоугольника) !

 

Итерацией в методе Жордана — Гаусса называется !расчет элементов одной таблицы Жордана – Гаусса

 

Метод Жордана – Гаусса это !последовательное исключение неизвестных

Если в таблице Жордана – Гаусса имеются две одинаковые строки, то !одну из них можно вычеркнуть

Единичным называется столбец таблицы Жордана – Гаусса, который состоит из !одной единицы и остальных 0

Переменная называется базисной, если в таблице Жордана – Гаусса столбец коэффициентов !единичным

Если в таблице Жордана – Гаусса имеются две пропорциональные строки, то!одну из них нужно вычеркнуть

Переменная называется свободной, если в таблице Жордана – Гаусса !она не входит в столбец — базис

Система m линейных уравнений с n неизвестными называется однородной, если свободные !равны 0

Матрица коэффициентов при неизвестных системы m линейных уравнений с n неизвестными является !прямоугольной

 

Число частных решений равно !бесчисленному множеству решений

Переход от одного базисного решения к другому осуществляется путем !проведения еще одной итерации метода Жордана – Гаусса

 

Элементы вводимой строки в таблице Жордана – Гаусса находятся !делением элементов разрешающей строки предыдущей таблицы на разрешающей элемент

 

Число базисных решений произвольной системы m линейных уравнений с n неизвестными определяется !формулой

Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными, в котором базисные неизвестные линейно выражаются через свободные, называется !общим

 

Систему можно решить матричным способом, если !число уравнений равно числу неизвестных

 

Решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать произвольные значения, называется !частным

 

Значение базисных переменных в таблице Жордана – Гаусса находится в вводимой строке !столбце

 

В контрольный столбец 1-й таблицы Жордана – Гаусса записывается !сумма коэффициентов при неизвестных по каждой строке

 

Матрица коэффициентов при неизвестных при решении системы n линейных уравнений с n неизвестными матричным способом является !невырожденной

 

В столбце таблицы Жордана – Гаусса находятся значения неизвестных !базисных

 

Решение системы линейных уравнений с n неизвестными находится с применением обратной матрицы, если число уравнений равно !n

 

Решение, матричного уравнения находится по формуле , если оно имеет вид !

 

Решение, полученное из общего решения, если свободным неизвестным придать нулевые значения называется !базисным

 

Если в таблице Жордана – Гаусса все элементы какой – либо строки, кроме свободного члена, равны нулю, то система m линейных уравнений с n неизвестными !не имеет решений

 

Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными r — число базисных неизвестных и при этом , то система имеет !бесчисленное множество решений

 

Если при решении системы m линейных уравнений c n неизвестными в разрешающей строке таблицы Жордана – Гаусса находится нуль, то столбец, содержащий этот нульь!переносится в следующую таблицу без изменения

 

Если при решении системы m линейных уравнений c n неизвестными в разрешающем столбце таблицы Жордана – Гаусса имеется нуль, то строка, содержащая этот нуль !переносится в следующую таблицу без изменения

 

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно !30

 

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно !16

 

Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными , то система называется !неопределенной

Если в системе m линейных уравнений с n неизвестными , то система называется !переопределенной

В системе m линейных уравнений с n неизвестными число базисных решений равно!

 

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно !6

 

Если в базисном решении системы линейных уравнений , − базисные переменные, то равно !6

studopedya.ru