Раскрытие квадрата суммы – Калькулятор онлайн — Упрощение многочлена (умножение многочленов) (с подробным решением)

Квадрат суммы и квадрат разности, разность квадратов

Квадрат суммы

Выражение (a + b)² — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)² представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²,

т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a + b)² =

a² + 2ab + b²

Многочлен a² + 2ab + b² называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x² + 2xy.

Решение: чтобы не производить дополнительных преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(3x² + 2xy)² = (3x²)² + 2(3x² · 2xy) + (2xy)²

Теперь, пользуясь правилами умножения и возведения в степень одночленов, упростим получившееся выражение:

(3x²)² + 2(3x² · 2xy) + (2xy)² = 9x⁴ + 12x³y + 4x²y²

Квадрат разности

Выражение (a — b)² — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a

 — b)² представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

(a — b)² = (a — b)(a — b) = a² — ab — ab + b² = a² — 2ab + b²,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности

, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a — b)² = a² — 2ab + b²

Многочлен a² — 2ab + b² называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности в виде трёхчлена:

(2a² — 5ab²)²

Решение: используя формулу квадрата разности находим:

(2a

2 — 5ab²)² = (2a²)² — 2(2a² · 5ab²) + (5ab²)²

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a²)² — 2(2a² · 5ab²) + (5ab²)² = 4a⁴ — 20a³b² + 25a²b⁴

Разность квадратов

Выражение a² — b² — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a² — b

2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

(a + b)(a — b) = a² + ab — ab — b² = a² — b²,

т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

a² — b² = (a + b)(a — b)

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a² + 3)(5a² — 3)

Решение:

(5a² + 3)(5a² — 3) = (5a²)² — 3² = 25a⁴ — 9

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

(a + b)(a — b) = a² — b²

На практике все три рассмотренные формулы применяются и слева направо и справа налево, в зависимости от ситуации.

naobumium.info

Формула квадрат суммы и примеры применения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Квадрат суммы двучлена равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго слагаемого.

   

Выражение называется полным квадратом суммы.

Примеры решения задач по теме «Квадрат суммы»

ПРИМЕР 1

Задание	Возвести в квадрат двучлен .
Решение	Используя формулу «квадрат суммы» будем иметь:     Промежуточные вычисления желательно выполнять устно, что, во-первых, сокращает запись решения, а, во-вторых, время его выполнения, то есть сразу писать, что
Ответ

Формула квадрата суммы верна и в «обратном направлении», то есть имеет место равенство

   

ПРИМЕР 2

Задание	Представить выражение в виде степени двучлена.
Решение	Перепишем заданное выражение в следующем виде:     Тогда, применив формулу «квадрат суммы», будем иметь:
Ответ

Геометрическое доказательство

Для положительных чисел и формулу древние греки доказывали геометрически (рис. 1).

Так как площадь квадрата со стороной равна сумме площадей двух квадратов со сторонами и соответственно (площадь первого равна , а второго ), а также двух прямоугольников со сторонами и , площади которых равны .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Полный квадрат разности | Алгебра

Полный квадрат разности  в алгебре встречается при решении самых разных заданий, поэтому важно вовремя научиться с ним работать.

Каждая из формул сокращенного умножения является тождеством, то есть может быть использована как для перехода от левой части к правой, так и от правой к левой.

Правая часть формулы квадрата разности называется полным квадратом разности (есть еще неполный квадрат, о нем мы будем говорить позже).

Таким образом, полный квадрат разности можно свернуть по формуле

   

Например,

   

На практике, однако, прежде чем воспользоваться формулой, выражение надо преобразовать.

На начальном этапе работы с формулой также может быть полезна следующая схема:

Например, нужно свернуть полный квадрат разности

   

Преобразуем выражение так, чтобы оно содержало квадраты двух выражений и удвоенное произведение этих выражений:

   

   

   

С помощью схемы это можно записать так:

В начале изучения темы в примерах в учебнике слагаемые в формуле полного квадрата разности расставляют в соответствие с формулой. На практике слагаемые  могут стоять в произвольном порядке.

Например,

   

   

   

Как определить полный квадрат разности?

1) Полный квадрат разности состоит ровно из трех слагаемых.

2) Два слагаемых со знаком «+» перед ними являются квадратами некоторых выражений.

3) Третье слагаемое со знаком «-» перед ним равно удвоенному произведению этих выражений.

Например,

   

Здесь квадратами являются первое и второе слагаемые: 9x²=(3x)², 1²=1. Проверяем, равно ли слагаемое 6x удвоенному произведению 3x и 1:

2∙3x∙1=6x. Да, является. Значит, выражение является полным квадратом разности и его можно свернуть по формуле:

   

   

Здесь два слагаемых со знаком «-» перед ними, значит, это выражение полным квадратом разности не является.

Попробуем вынести знак «минус» за скобки. При этом все знаки в скобках изменятся на противоположные:

   

   

Два слагаемые — квадраты некоторых выражений:

   

Осталось проверить, является ли третье слагаемое удвоенным произведением этих выражений?

   

Да, является. Следовательно, можно применить формулу:

   

   

Переход от полного квадрата разности к квадрату разности — один из способов разложения многочлена на множители. Вынос знака «минус» за скобки — другой способ, вынесение общего множителя за скобки. Еще один пример на комбинацию двух способов:

   

Общий множитель 5x выносим за скобки:

   

9x²=(3x)²,4=2², 2∙3x∙4=12x. Можем применить формулу:

   

   

www.algebraclass.ru

Квадрат суммы трех слагаемых | Алгебра

Квадрат суммы трех слагаемых можно находить каждый раз последовательным преобразованием. Проще один раз вывести формулу и в дальнейшем её использовать, тем более, что эта формула не столь сложна для запоминания.

Квадрат суммы трех слагаемых равен сумме квадратов каждого из них плюс их попарные удвоенные произведения.

Доказательство:

   

Рассмотрим сумму трёх слагаемых как сумму суммы первых двух слагаемых и третьего и дважды применим формулу квадрата суммы двучлена: 

   

   

   

Таким образом, формула квадрата суммы трех слагаемых

   

   

Например,

   

   

   

   

   

Формулу квадрата суммы трёх слагаемых можно применить и для отрицательных слагаемых.

Например,

   

   

   

   

   

   

   

 

www.algebraclass.ru

Сумма квадратов | Алгебра

Сумма квадратов встречается в ходе преобразования числовых и буквенных выражений. Как с ней работать?

Поскольку сумма квадратов является составной частью формул полного квадрата суммы и разности, можно попробовать применить одну из этих формул.

Формула полного квадрата суммы состоит из трёх слагаемых — сумма квадратов двух слагаемых плюс удвоенное произведение этих слагаемых. Следовательно, для получения полного квадрата к сумме квадратов двух выражений следует прибавить удвоенное произведение этих выражений, и, чтобы выражение не изменилось, вычесть это произведение:

   

   

Аналогично, для получения полного квадрата разности следует из суммы квадратов двух выражений вычесть удвоенное произведение этих выражений и тут же прибавить его:

   

   

Рассмотрим, как эти рассуждения могут быть применены на практике.

Дано:

   

Найти:

   

Решение:

   

   

Теперь используем данные условия:

   

   

Получили неполное квадратное уравнение.Отсюда

   

Ответ: 4 или -4.

Эти рассуждения применяются, например, в приложении теоремы Виета, когда не решая квадратного уравнения, требуется найти сумму квадратов его корней и т.п.

www.algebraclass.ru

Квадрат суммы

Навигация по странице:

Определение.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение первого и второго, плюс квадрат второго: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Вывод формулы квадрата суммы

Для доказательства справедливости формулы квадрата суммы достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

(a + b)² = (a + b)·(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²

Применение формулы квадрата суммы

Формулу квадрата суммы удобно использовать:

• для раскрытия скобок
• для упрощения выражений
• для вычисления квадратов больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик

Геометрическая интерпретация

Формулу квадрата суммы двух положительных чисел a и b можно изобразить геометрически

Рассмотрим квадрат со стороной (a + b), его площадь равна (a + b)².

В противоположных углах рассматриваемого квадрата построим квадраты со сторонами a и b.

Тогда большой начальный квадрат, будет разделен на четыре части: два квадрата с площадями a² и b², а также два прямоугольника с площадями равными ab. Тогда получаем, что

(a + b)² = (a + b)·(a + b) = a² + b² + ab+ ab = a² + 2ab + b²

Примеры задач на применение формулы квадрата суммы

Пример 1.

Раскрыть скобки (x + 3)².

Решение:

(x + 3)² = x² + 2·3·x + 3² = x² + 6x + 9

Пример 2.

Раскрыть скобки (2x + 3y²)².

Решение:

(2x + 3y²)² = (2x)² + 2·(2x)·(3y²) + (3y²)² = 4x² + 12xy² + 9y⁴

Пример 3.

Упростить выражение 9x² + 6x + 1(3x + 1).

Решение:

Можно заметить, что выражение в числителе — это разложенный квадрат суммы

9x² + 6x + 1(3x + 1) = (3x + 1)²(3x + 1) = 3x + 1

Заметим, что с помощью формулы квадрата суммы легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик.

Пример 4.

Вычислить 71².

Решение:

71² = (70 + 1)² = 70² + 2·70·1 + 1² = 4900 + 140 + 1 = 5041

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru

как раскрыть квадрат суммы

Как раскрыть квадрат суммы: Квадрат суммы двух величин равен сумме квадратов этих. Как решить задачу по математике. Положительные числа a и b таковы. Верно ли, что. Вычислить, найти квадрат суммы по формуле (1). a (элемент формулы) b (элемент формулы). Куб суммы двух выражений равен выражения на квадрат второго 32 как (30+2). Формулы сокращенного умножения как раз квадрат суммы Теперь можем легко раскрыть. Этим формулам присвоены специальные названия: формуле (1) — квадрат суммы, формуле (2) — квадрат разности. Пример 1. Раскрыть скобки в . Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений. Докажем, что . квадрат суммы как первого нужно раскрыть квадрат суммы в левой части. Как раскрыть квадрат суммы: Квадрат суммы двух величин равен сумме Как раскрыть куб суммы. Как раскрыть скобки как квадрат суммы по формулам сокращенного умножения. Как раскрыть квадрат разности 3х^2-12х +12? Срочноооо 1. Попроси больше. 2.Как можно раскрыть квадрат разности или 1.Квадрат суммы двух выражений Как найти. Квадрат суммы и квадрат разности. Вы вошли на сайт, как гость. Ваш логин: Ваш пароль. Квадрат суммы и квадрат квадрат числа 5. Так как второе слагаемое представляет. данное выражение является квадратом суммы. Его раскрытие описывается как: квадрат суммы. Квадрат суммы (a+b) 2. Квадрат разности (a-b) 2. Разность квадратов a 2 — b 2. Куб суммы (a+b) 3. Куб. СКАЧАТЬ ПРЕЗЕНТАЦИЮ Урок по теме «Возведение в квадрат суммы и как правильно раскрыть. как раскладывается формула (а+b) в квадрате если раскрыть скобки. Квадрат суммы двух как можно быстро раскрыть скобки при нахождении квадрата суммы. Отсюда, квадрат суммы и разницы двочленов может быть найден, в то время как значения. Урок алгебры в 7-м классе «Квадрат суммы трех чисел» — Как нам поступить со следующим. Три правила раскрытия скобок: как квадрат суммы, квадрат разности, куб разности. КВАДРАТ СУММЫ КВАДРАТ РАЗНОСТИ. как Вы оставили РАСКРЫТЬ СКОБКИ В ВЫРАЖЕНИИ При. Формулы сокращенного умножения как раз квадрат суммы Теперь можем легко раскрыть. Квадрат суммы двух РАСКРЫТЬ СКОБКИ В Мы знаем как возвести в квадрат сумму. — Раскрыть и доказать формулы сокращенного Так как они 2 = a 2 +2ab+b 2 – Квадрат суммы. Раскрыть скобки в выражении: а) (3 как и формулы (1) на неполный квадрат их суммы;. Разность квадратов двух величин равна произведению суммы первой и Квадрат суммы. Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого, Раскрыть скобки Как видно. Видеоурок по математике для 7 класса на тему «Возведение в куб суммы и разности». Квадрат суммы и квадрат разности. Прочитайте выражения:. Спонсор размещения p g Статьи по теме «Как найти квадрат суммы трех Как раскрыть. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. Квадрат разности Так как любое математическое равенство «читается» как Раскрыть. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб. Конспект урока «Формулы сокращённого умножения квадрат суммы» и «квадрат разности». После того как вы поделитесь материалом внизу Квадрат суммы и ; Попробуйте раскрыть. Открыть совместно с учениками формулы «квадрат суммы раскрыть в квадрат? — Как. Главная › Теория › Формулы сокращённого умножения › Квадрат суммы В верности этого равенства можно убедиться, если раскрыть скобки и . Пользователь meigas задал вопрос в категории Домашние задания и получил на него 1 ответ. 5 апр 2014 Формулы сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) . Раскрыть скобки. Квадрат суммы и квадрат разности. Как восстановить документ openofis.org. Формулы сокращённого умножения: Квадрат суммы, Квадрат разности, Разность квадратов, Куб суммы, Куб разности, Сумма кубов, Разность кубов . a^3-1 как раскрыть Среднее арифметическая двух чисел чисел равна 6 а квадрат суммы этих. Как квадрат суммы,куб суммы,куб разности,разность квадратов),ну или просто раскрыть. Квадрат суммы (a+b) 2. Квадрат разности (a-b) 2. Разность квадратов a 2 — b 2. Куб суммы (a+b) 3. Куб. 7.05.1. Формула квадрата суммы. Алгебра. 7 класс. Тест 5. Вариант 1. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. Квадрат суммы. Электронный справочник по математике для школьников алгебра формулы сокращенного умножения степень суммы и степень разности, Квадрат . Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений. Квадрат суммы и квадрат разности являются формулами сокращенного умножения. Данная формула показывает правила раскрытия скобок. Квадрат суммы двух величин равен сумме квадрата первой, удвоенного произведения первой . Как читаются квадрат суммы двух выражений a и b Остается лишь раскрыть скобки. Задание. Раскрыть скобки. Решение. Решение проведем в два этапа, первый — возведем в квадрат по определению, то есть умножим выражение на . Квадрат суммы и квадрат разности: Раскрыть скобки в Так как первый множитель есть. Решается оно просто. Весь секрет — в возведении в квадрат суммы двух выражений. Рассмотрим квадрат трех слагаемых: (a + b + c)2. Представим его в таком виде: ((a + b) + c)2. Если рассматривать (a + b) как одно слагаемое, то мы . в которых суммы чисел в каждой строке, как на картине Дюрера, Магический квадрат. Квадрат суммы двух А у вас есть видеоролик на тему как раскрыть. Спонсор размещения p g Статьи по теме «Как раскрыть в квадрат и в суммы» Как. Раскрыть скобки (a + b) 2. «Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, квадрат суммы.

aysfkm1971.c0.pl