ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ – ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния, слоТСния, Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, суммы ΠΈ разности, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. ВСст

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства. ВригономСтричСскиС тоТдСства

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства

  • sinΒ² Ξ± + cosΒ² Ξ± = 1
  • tg Ξ± Β· ctg Ξ± = 1
  • tg Ξ± = sin Ξ± Γ· cos Ξ±
  • ctg Ξ± = cos Ξ± Γ· sin Ξ±
  • 1 + tgΒ² Ξ± = 1 Γ· cosΒ² Ξ±
  • 1 + ctgΒ² Ξ± = 1 Γ· sinΒ² Ξ±

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния

  • sin (Ξ± + Ξ²) = sin Ξ± Β· cos Ξ² + sin Ξ² Β· cos Ξ±
  • sin (Ξ± — Ξ²) = sin Ξ± Β· cos Ξ² — sin Ξ² Β· cos Ξ±
  • cos (Ξ± + Ξ²) = cos Ξ± Β· cos Ξ² — sin Ξ± Β· sin Ξ²
  • cos (Ξ± — Ξ²) = cos Ξ± Β· cos Ξ² + sin Ξ± Β· sin Ξ²
  • tg (Ξ± + Ξ²) = (tg Ξ± + tg Ξ²) Γ· (1 — tg Ξ± Β· tg Ξ²)
  • tg (Ξ± — Ξ²) = (tg Ξ± — tg Ξ²) Γ· (1 + tg Ξ± Β· tg Ξ²)
  • ctg (Ξ± + Ξ²) = (ctg Ξ± Β· ctg Ξ² — 1) Γ· (ctg Ξ² + ctg Ξ±)
  • ctg (Ξ± — Ξ²) = (ctg Ξ± Β· ctg Ξ² + 1) Γ· (ctg Ξ² — ctg Ξ±)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

  • cos 2Ξ± = cosΒ² Ξ± — sinΒ² Ξ±
  • cos 2Ξ± = 2cosΒ² Ξ± — 1
  • cos 2Ξ± = 1 — 2sinΒ² Ξ±
  • sin 2Ξ± = 2sin Ξ± Β· cos Ξ±
  • tg 2Ξ± = (2tg Ξ±) Γ· (1 — tgΒ² Ξ±)
  • ctg 2Ξ± = (ctgΒ² Ξ± — 1) Γ· (2ctg Ξ±)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

  • sin 3Ξ± = 3sin Ξ± — 4sinΒ³ Ξ±
  • cos 3Ξ± = 4cosΒ³ Ξ± — 3cos Ξ±
  • tg 3Ξ± = (3tg Ξ± — tgΒ³ Ξ±) Γ· (1 — 3tgΒ² Ξ±)
  • ctg 3Ξ± = (3ctg Ξ± — ctgΒ³ Ξ±) Γ· (1 — 3ctgΒ² Ξ±)

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни

  • sinΒ² Ξ± = (1 — cos 2Ξ±) Γ· 2
  • sinΒ³ Ξ± = (3sin Ξ± — sin 3Ξ±) Γ· 4
  • cosΒ² Ξ± = (1 + cos 2Ξ±) Γ· 2
  • cosΒ³ Ξ± = (3cos Ξ± + cos 3Ξ±) Γ· 4
  • sinΒ² Ξ± Β· cosΒ² Ξ± = (1 — cos 4Ξ±) Γ· 8
  • sinΒ³ Ξ± Β· cosΒ³ Ξ± = (3sin 2Ξ± — sin 6Ξ±) Γ· 32

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ произвСдСния ΠΊ суммС

  • sin Ξ± Β· cos Ξ² = Β½ (sin (Ξ± + Ξ²) + sin (Ξ± — Ξ²))
  • sin Ξ± Β· sin Ξ² = Β½ (cos (Ξ± — Ξ²) — cos (Ξ± + Ξ²))
  • cos Ξ± Β· cos Ξ² = Β½ (cos (Ξ± — Ξ²) + cos (Ξ± + Ξ²))

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ суммы ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ


Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

edu.glavsprav.ru

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 100 ΡˆΡ‚

ВригономСтрия Π² Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Но это Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΈΡ… сторон, ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… элСмСнтов. Π’ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ связано с Π·Π΅ΠΌΠ»Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, астрономиСй ΠΈ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎΠΌ.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

ОсновноС тригономСтричСскоС тоТдСство

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Π­Ρ‚ΠΈ тоТдСства ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для прСобразования тригономСтричСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ; ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ значСния всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ….

Π—Π½Π°ΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ значСния синусов ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² этих чСтвСртях большС нуля), Π° Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Ρ‘Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ – ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

Π—Π½Π°ΠΊ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ зависит ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ располагаСтся числовой Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΡƒΠ³Π»Π° Ссли извСстная какая-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ иная функция этого ΡƒΠ³Π»Π°. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ упрощСниях ΠΈ вычислСниях:

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ находят своС ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ исчислСнии.

Β  Β 

Β  Β 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ довольно Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» слоТСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ тригономСтричСских упрощСниях ΠΈ прСобразованиях.

Бинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

НазванныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠŸΡ€ΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² тригономСтричСских прСобразованиях.

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΠΈ вычитания Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΠΈ вычитания ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой тригономСтричСскиС уравнСния, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π² качСствС Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ выступаСт сумма ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ извСстным тригономСтричСским функциям Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ значСния этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для сумм ΠΈΠ»ΠΈ разностСй ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования суммы тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° (ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ) тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ прСобразуСтся Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ выводятся ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ слоТСния, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ тангСнса ΠΈ котангСнса:

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для разлоТСния тригономСтричСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования произвСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² сумму

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· слоТСния/вычитания ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» слоТСния ΠΈ вычитания Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ дальнСйшСго упрощСния:

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ тригономСтричСских прСобразованиях.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских прСобразованиях:

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

Β  Β 

ru.solverbook.com

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ (тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹) для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни, слоТСния, вычитания ΠΈ умноТСния, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ распространённых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тоТдСства

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ вычитания

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования суммы
Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ произвСдСния

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования разности
Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ произвСдСния

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования суммы

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования произвСдСния
Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΈ разности

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования произвСдСния
Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π² стСпСни

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

Π£Π½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ
тригономСтричСская подстановка

… ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» …

ЗначСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Ξ± 0
Ξ±Β° 0Β° 30Β° 45Β° 60Β° 90Β° 120Β° 135Β° 150Β° 180Β°
210Β°
225Β° 240Β° 270Β° 300Β° 315Β° 330Β° 360Β°
sin Ξ± 0 1 0 βˆ’1 0
cos Ξ± 1 0 βˆ’1 0 1
tg Ξ± 0 1 βˆ’ βˆ’1 0 1 βˆ’ βˆ’1 0
ctg Ξ± βˆ’ 1 0 βˆ’1 βˆ’ 1 0 βˆ’1 βˆ’

ВСория

ВригономСтрия – Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ зависимости ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ функциями, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ тригономСтричСскими.

Ѐункция – это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ.

ВоТдСство – это равСнство, справСдливоС ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях, входящих Π² Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…

ВригономСтричСскиС тоТдСства (равСнства) ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ зависимости ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ синусом, косинусом, тангСнсом ΠΈ котангСнсом.




Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ

doza.pro

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

НаиболСС часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

Β 

\(\blacktriangleright\) ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тоТдСства: \[\begin{array}{|l|l|} \hline \sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha =1& \mathrm{tg}\, \alpha \cdot \mathrm{ctg}\, \alpha =1 \\ &(\sin\alpha\ne 0, \cos\alpha\ne 0)\\[0.5ex] \hline &\\ \mathrm{tg}\, \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} &\mathrm{ctg}\, \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \\&\\ 1+\mathrm{tg}^2\, \alpha =\dfrac1{\cos^2 \alpha} & 1+\mathrm{ctg}^2\, \alpha=\dfrac1{\sin^2 \alpha}\\&\\ (\cos\alpha\ne 0)& (\sin\alpha\ne 0) \\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²: \[\begin{array}{|l|r|} \hline &\\ \sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cdot \cos\beta\pm \sin\beta\cdot \cos\alpha & \cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cdot \cos\beta \mp \sin\alpha\cdot \sin\beta\\ &\\ \hline &\\ \mathrm{tg}\, (\alpha\pm \beta)=\dfrac{\mathrm{tg}\, \alpha\pm \mathrm{tg}\, \beta}{1 \mp \mathrm{tg}\, \alpha\cdot \mathrm{tg}\, \beta} & \mathrm{ctg}\, (\alpha\pm\beta)=-\dfrac{1\mp \mathrm{ctg}\, \alpha\cdot \mathrm{ctg}\, \beta}{\mathrm{ctg}\, \alpha\pm \mathrm{ctg}\, \beta}\\&\\ \cos\alpha\cos\beta\ne 0&\sin\alpha\sin\beta\ne 0\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline \sin {2\alpha}=2\sin \alpha\cos \alpha & \qquad &\qquad & \cos{2\alpha}=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ \sin \alpha\cos \alpha =\dfrac12\sin {2\alpha} && & \cos{2\alpha}=2\cos^2\alpha -1\\ & & & \cos{2\alpha}=1-2\sin^2 \alpha\\ \hline &&&\\ \mathrm{tg}\, 2\alpha = \dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha} && & \mathrm{ctg}\, 2\alpha = \dfrac{\mathrm{ctg}^2\, \alpha-1}{2\mathrm{ctg}\, \alpha}\\&&&\\ \cos\alpha\ne 0, \ \cos2\alpha\ne 0 &&& \sin\alpha\ne 0, \ \sin2\alpha\ne 0\\ \hline &&&\\ \sin {3\alpha}=3\sin \alpha -4\sin^3\alpha && & \cos{3\alpha}=4\cos^3\alpha -3\cos \alpha\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos{2\alpha}}2 &&& \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos{2\alpha}}2\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ произвСдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: \[\begin{array}{|c|} \hline \\ \sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\bigg(\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\bigg(\sin{(\alpha-\beta)}+\sin{(\alpha+\beta)}\bigg)\\\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы/разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: \[\begin{array}{|lc|cr|} \hline &&&\\ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin{\dfrac{\alpha+\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}2} &&& \sin\alpha-\sin\beta=2\sin{\dfrac{\alpha-\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha+\beta}2}\\&&&\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos{\dfrac{\alpha+\beta}2}\cos{\dfrac{\alpha-\beta}2} &&& \cos\alpha -\cos\beta=-2\sin{\dfrac{\alpha-\beta}2}\sin{\dfrac{\alpha+\beta}2}\\&&&\\ \mathrm{tg}\, \alpha \pm \mathrm{tg}\, \beta=\dfrac{\sin{(\alpha\pm\beta)}}{\cos\alpha\cos\beta} &&& \mathrm{ctg}\, \alpha\pm \mathrm{ctg}\, \beta= — \dfrac{\sin{(\alpha\pm \beta)}}{\sin\alpha\sin\beta}\\&&&\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΈ косинуса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°: \[\begin{array}{|l|r|} \hline &\\ \sin{2\alpha}=\dfrac{2\mathrm{tg}\, \alpha}{1+\mathrm{tg}^2\, \alpha} & \cos{2\alpha}=\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\, \alpha}{1+\mathrm{tg}^2\, \alpha}\\&\\ \cos\alpha\ne 0 & \sin\alpha\ne 0\\ \hline \end{array}\]

\(\blacktriangleright\) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°: \[\begin{array}{|c|} \hline \text{Частный случай}\\ \hline \\ \sin\alpha\pm \cos\alpha=\sqrt2\cdot \sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}4\right)}\\\\ \sqrt3\sin\alpha\pm \cos\alpha=2\sin{\left(\alpha\pm \dfrac{\pi}6\right)}\\\\ \sin\alpha\pm \sqrt3\cos\alpha=2\sin{\left(x\pm \dfrac{\pi}3\right)}\\\\ \hline \text{ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ случай}\\ \hline\\ a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin{(\alpha\pm \phi)}, \ \ \cos\phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \sin\phi=\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\ \hline \end{array}\]

Зная идСю Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ лишь нСсколько ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²Ρ‹ всСгда смоТСтС быстро вывСсти.

Β 

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ всСх основных тоТдСств Π±Ρ‹Π» рассказан Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ β€œΠ’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽβ€.

Β 

\(\blacktriangleright\) Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ косинуса разности ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² \(\cos{(\alpha -\beta)}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

Β 

Рассмотрим Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ \(\alpha\) ΠΈ \(\beta\). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ этим ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ \(A\) ΠΈ \(B\) соотвСтствСнно. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ: \(A(\cos\alpha;\sin\alpha), \ B(\cos\beta;\sin\beta)\).


Β 

Рассмотрим \(\triangle AOB: \ \angle AOB=\alpha-\beta\). По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ косинусов:

Β 

\(AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cdot \cos(\alpha-\beta)=1+1-2\cos(\alpha-\beta) \ (1)\) Β (Ρ‚.ΠΊ. \(AO=BO=R\) – радиус окруТности)

Β 

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° плоскости:

Β 

\(AB^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2=\cos^2\alpha-2\cos\alpha\cos\beta+\cos^2\beta+\)

\(+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\sin\beta+\sin^2\beta=\big(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\big)+\big(\cos^2\beta+\sin^2\beta\big)-2\big(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\big)=\)

\(=1+1-2\big(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\big) \ (2)\)

Β 

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, сравнивая равСнства \((1)\) ΠΈ \((2)\):

\(1+1-2\big(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\big)=1+1-2\cos(\alpha-\beta)\)

Β 

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΈ получаСтся наша Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°.

Β 

\(\blacktriangleright\) Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» суммы/разности ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²:

Β 

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ с Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ выводятся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, свойств чСтности/нСчСтности косинуса/синуса ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» привСдСния \(\sin x=\cos(90^\circ-x)\) ΠΈ \(\cos x=\sin (90^\circ-x)\):

Β 

1) \(\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha-(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

Β 

2) \(\sin(\alpha+\beta)=\cos(90^\circ-(\alpha+\beta))=\cos((90^\circ-\alpha)-\beta)=\)

\(+\cos(90^\circ-\alpha)\cos\beta+\sin(90^\circ-\alpha)\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)

Β 

3) \(\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha+(-\beta))=\sin\alpha\cos(-\beta)+\sin(-\beta)\cos\alpha=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\)

Β 

4) \(\mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\sin (\alpha\pm\beta)}{\cos (\alpha\pm\beta)}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta}=\)

Β 

Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\)
(ΠΏΡ€ΠΈ \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\mp \mathrm{ctg}\,\beta\), ΠΏΡ€ΠΈ \(\cos\beta=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,(\alpha\pm\beta)=\pm \mathrm{ctg}\,\alpha\)):

Β 

\(=\dfrac{\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{tg}\,\beta}{1\mp\mathrm{tg}\,\alpha\cdot \mathrm{tg}\,\beta}\)

Β 

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, данная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Π΅Ρ€Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ \(\cos\alpha\cos\beta\ne 0\).

Β 

5) Аналогично, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° \(\sin\alpha\sin\beta\ne 0\), выводится Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° котангСнса суммы/разности Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

Β 

\(\blacktriangleright\) Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²:

Β 

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ выводятся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»:

Β 

1) \(\sin 2\alpha=\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)

Β 

2) \(\cos2\alpha=\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)

Β 

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ основноС тригономСтричСскоС тоТдСство \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для косинуса Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

Β 

2.1) \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)=2\cos^2\alpha-1\)

Β 

2.2) \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha\)

Β 

3) \(\mathrm{tg}\,2\alpha=\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=\)

Β 

Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° \(\cos^2\alpha\ne 0\) (ΠΏΡ€ΠΈ \(\cos\alpha=0 \Rightarrow \mathrm{tg}\,2\alpha=0\)):

Β 

\(=\mathrm{tg}\,2\alpha=\dfrac{2\mathrm{tg}\,\alpha}{1-\mathrm{tg}^2\,\alpha}\)

Β 

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Π΅Ρ€Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ \(\cos\alpha\ne 0\), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ \(\cos2\alpha\ne 0\) (Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ сущСствовал сам \(\mathrm{tg}\,2\alpha\)).

Β 

4) \(\mathrm{ctg}\,2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha}=\dfrac{\mathrm{ctg}^2\,\alpha-1}{2\mathrm{ctg}\,\alpha}\)

Β 

По Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ \(\sin\alpha\ne 0, \sin2\alpha\ne 0\).

Β 

5) \(\sin3\alpha=\sin(\alpha+2\alpha)=\sin\alpha\cos2\alpha+\cos\alpha\sin2\alpha=\sin\alpha(1-2\sin^2\alpha)+\cos\alpha\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha=\)

\(=\sin\alpha-2\sin^3\alpha+2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\)

Β 

6) Аналогично выводится, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(\cos3\alpha=\cos(\alpha+2\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)

Β 

\(\blacktriangleright\) Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» пониТСния стСпСни:

Β 

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ β€” просто ΠΏΠΎ-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ записанныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° для косинуса:

Β 

1) \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1 \Rightarrow \cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}2\)

Β 

2) \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha \Rightarrow \sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}2\)

Β 

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ синуса/косинуса Ρ€Π°Π²Π½Π° \(2\) Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части, Π° Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ косинуса Ρ€Π°Π²Π½Π° \(1\).

Β 

\(\blacktriangleright\) Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» произвСдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

Β 

1) Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ косинуса суммы ΠΈ косинуса разности Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²:

Β 

\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)

Β 

\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

Β 

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: \(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\cos\beta \Rightarrow \cos\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\Big)\)

Β 

2) Если Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ косинуса суммы косинус разности, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Β 

\(\sin\alpha\sin\beta=\dfrac12\Big(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\Big)\)

Β 

3) Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ синуса суммы ΠΈ синуса разности Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²:

Β 

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\)

Β 

\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\sin\beta\cos\alpha\)

Β 

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: \(\sin\alpha\cos\beta=\dfrac12\Big(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\Big)\)

Β 

\(\blacktriangleright\) Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» суммы/разности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

Β 

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ \(\alpha+\beta=x, \alpha-\beta=y\). Π’ΠΎΠ³Π΄Π°: \(\alpha=\dfrac{x+y}2, \ \beta=\dfrac{x-y}2\). ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ эти значСния Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

Β 

1) \(2\cos{\dfrac{x+y}2}\cos{\dfrac{x-y}2}=\cos x+\cos y\)

Β 

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ суммы косинусов.

Β 

2) \(2\sin {\dfrac{x+y}2}\sin {\dfrac{x-y}2}=\cos y-\cos x\)

Β 

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ разности косинусов.

Β 

3) \(2\sin {\dfrac{x+y}2}\cos {\dfrac{x-y}2}=\sin y+\sin x\)

Β 

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ суммы синусов.

Β 

4) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ разности синусов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы синусов:

Β 

\(\sin x-\sin y=\sin x+\sin(-y)=2\sin {\dfrac{x-y}2}\cos {\dfrac{x+y}2}\)

Β 

5) \(\mathrm{tg}\,\alpha\pm\mathrm{tg}\,\beta=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\pm\dfrac{\sin\beta}{\cos\beta}=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta}=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\)

Β 

Аналогично выводится Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° суммы котангСнсов.

Β 

\(\blacktriangleright\) Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» выраТСния синуса ΠΈ косинуса Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

Β 

1) \(\sin2\alpha=\dfrac{\sin2\alpha}1=\dfrac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\)

Β 

(Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° \(\cos^2\alpha\ne 0\) (ΠΏΡ€ΠΈ \(\cos\alpha=0\) ΠΈ \(\sin2\alpha=0\)):)

Β 

\(=\dfrac{2\mathrm{tg}\,\alpha}{1+\mathrm{tg}^2\,\alpha}\)

Β 

2) Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° \(\sin^2\alpha\), выводится Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для косинуса.

Β 

\(\blacktriangleright\) Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

Β 

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ выводятся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» синуса/косинуса суммы/разности ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

Β 

Рассмотрим Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ \(a\sin x+b\cos x\). Π”ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° \(\sqrt{a^2+b^2}\,\):

Β 

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+ \dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right)=\sqrt{a^2+b^2}\big(a_1\sin x+b_1\cos x\big)\)

Β 

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ добились Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(a_1^2+b_1^2=1\), Β  Ρ‚.ΠΊ. \(\left(\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1\)

Β 

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \(\phi\), для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, \(\cos \phi=a_1, \ \sin \phi=b_1\). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° нашС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

Β 

\(\sqrt{a^2+b^2}\,\big(\cos \phi \sin x+\sin \phi\cos x\big)=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin (x+\phi)\) (ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ синуса суммы Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²)

Β 

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: \[{\large{a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin (x+\phi),}} \quad \text{Π³Π΄Π΅ } \cos \phi=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}\] Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π·Π° \(\cos \phi=b_1, \ \sin \phi=a_1\) ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° выглядСла Π±Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ \[a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos (x-\phi)\]

Β 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ частныС случаи Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

Β 

\(a) \ \sin x\pm\cos x=\sqrt2\,\left(\dfrac1{\sqrt2}\sin x\pm\dfrac1{\sqrt2}\cos x\right)=\sqrt2\, \sin \left(x\pm\dfrac{\pi}4\right)\)

Β 

\(b) \ \sqrt3\sin x\pm\cos x=2\left(\dfrac{\sqrt3}2\sin x\pm \dfrac12\cos x\right)=2\, \sin \left(x\pm\dfrac{\pi}6\right)\)

Β 

\(c) \ \sin x\pm\sqrt3\cos x=2\left(\dfrac12\sin x\pm\dfrac{\sqrt3}2\cos x\right)=2\,\sin\left(x\pm\dfrac{\pi}3\right)\)

Β 

shkolkovo.net

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния, слоТСния, Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, суммы ΠΈ разности, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. ВСст

ВСстированиС ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства

Π§Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ; синус, тангСнс, котангСнс — Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния

Π­Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ Π΄Ρ€., Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· значСния .

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° прСобразования:
1) Если Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ содСрТит , Π³Π΄Π΅ n — Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число , Ρ‚ΠΎ функция мСняСтся Π½Π° «ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ», Ρ‚.Π΅. синус Π½Π° косинус, тангСнс Π½Π° котангСнс ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. Если n — Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число , Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ измСняСтся.
2) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ («+» ΠΈΠ»ΠΈ «-«) значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сохраняСт Π·Π½Π°ΠΊ своСго родитСля.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΠΈ вычитания

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования суммы ΠΈ разности Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°*

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования произвСдСния Π² сумму (Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ)*

Π£Π½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ подстановка Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°*

fizmat.by

?ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 100 ΡˆΡ‚.)

На этой страницС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ всС основныС тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ упраТнСния, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ упростив само Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ β€” матСматичСскиС равСнства для тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ всСх допустимых значСниях Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ основными тригономСтричСскими функциями – синусом, косинусом, тангСнсом, котангСнсом.

Бинус ΡƒΠ³Π»Π° – это ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° y Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°) Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ окруТности. ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΡƒΠ³Π»Π° – это ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° x Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (абсцисса).

ВангСнс ΠΈ котангСнс – это, соотвСтствСнно, ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ синуса ΠΊ косинусу ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.
`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha`
`tg \ \alpha=\frac{sin\ \alpha}{cos \ \alpha},` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac{cos\ \alpha}{sin\ \alpha},` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

И Π΄Π²Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π΅ΠΆΠ΅ – сСканс, косСканс. Они ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ 1 ΠΊ косинусу ΠΈ синусу.

`sec \ \alpha=\frac{1}{cos\ \alpha},` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac{1}{sin \ \alpha},` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Из ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ. Π—Π½Π°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ зависит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΉ располагаСтся Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ:

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° `(-\alpha)`

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ° Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° с Β«+Β» Π½Π° Β«-Β» Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ функция косинус Π½Π΅ мСняСт своСго значСния. Она называСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ. Π•Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (синус, тангСнс, котангСнс) Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅. ΠŸΡ€ΠΈ смСнС Π·Π½Π°ΠΊΠ° Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° с Β«+Β» Π½Π° Β«-Β» ΠΈΡ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ измСняСтся Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. Π˜Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ симмСтричны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства – это Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΡƒΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тригономСтричСскими функциями ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (`sin \ \alpha, \ cos \ \alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha`) ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac{\pi n} 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1{cos^2 \alpha}=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1{sin^2 \alpha}=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΈ разности ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΠΈ вычитания Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac{tg \ \alpha+tg \ \beta}{1-tg \ \alpha\ tg \ \beta}`
`tg(\alpha-\beta)=\frac{tg \ \alpha-tg \ \beta}{1+tg \ \alpha \ tg \ \beta}`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac{ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1}{ctg \ \beta+ctg \ \alpha}`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac{ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1}{ctg \ \beta-ctg \ \alpha}`

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac {2 \ tg \ \alpha}{1+tg^2 \alpha}=\frac {2 \ ctg \ \alpha}{1+ctg^2 \alpha}=` `\frac 2{tg \ \alpha+ctg \ \alpha}`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac{1-tg^2\alpha}{1+tg^2\alpha}=\frac{ctg^2\alpha-1}{ctg^2\alpha+1}=` `\frac{ctg \ \alpha-tg \ \alpha}{ctg \ \alpha+tg \ \alpha}`
`tg \ 2\alpha=\frac{2 \ tg \ \alpha}{1-tg^2 \alpha}=` `\frac{2 \ ctg \ \alpha}{ctg^2 \alpha-1}=` `\frac 2{ \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}`
`ctg \ 2\alpha=\frac{ctg^2 \alpha-1}{2 \ ctg \ \alpha}=` `\frac { \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha}2`

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac{3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha}{1-3 \ tg^2 \alpha}`
`ctg \ 3\alpha=\frac{ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha}{3 \ ctg^2 \alpha-1}`

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}2}`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}2}`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1-cos \ \alpha}{1+cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1+cos \ \alpha}=\frac {1-cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt{\frac {1+cos \ \alpha}{1-cos \ \alpha}}=` `\frac {sin \ \alpha}{1-cos \ \alpha}=\frac {1+cos \ \alpha}{sin \ \alpha}`

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½Ρ‹Ρ…, Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ `sin, \ cos, \ tg, \ ctg` этих Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² (`\frac{\alpha}2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эти ΠΆ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° `\alpha`.

Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ (слоТСния ΠΈ вычитания Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²). НапримСр, тоТдСства Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² `\beta` Π½Π° `\alpha`.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ пониТСния стСпСни

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² (ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚. Π΄.) тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ 2,3,… стСпСни ΠΊ тригономСтричСским функциям ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни, Π½ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² (`\alpha, \ 3\alpha, \ …` ΠΈΠ»ΠΈ `2\alpha, \ 4\alpha, \ …`).
`sin^2 \alpha=\frac{1-cos \ 2\alpha}2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac{1-cos \ \alpha}2)`
`cos^2 \alpha=\frac{1+cos \ 2\alpha}2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac{1+cos \ \alpha}2)`
`sin^3 \alpha=\frac{3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha}4`
`cos^3 \alpha=\frac{3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha}4`
`sin^4 \alpha=\frac{3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`
`cos^4 \alpha=\frac{3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha}8`

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΈ разности тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ собой прСобразования суммы ΠΈ разности тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ cos \frac{\alpha-\beta}2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\alpha-\beta}2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac{\alpha+\beta}2 \ cos \frac{\alpha-\beta}2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\alpha-\beta}2=` `2 \ sin \frac{\alpha+\beta}2 \ sin \frac{\beta-\alpha}2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac{sin(\alpha \pm \beta)}{cos \ \alpha \ cos \ \beta}`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac{sin(\beta \pm \alpha)}{sin \ \alpha \ sin \ \beta}`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac{cos(\alpha \mp \beta)}{cos \ \alpha \ sin \ \beta}`

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ происходит ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ слоТСния ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt{2} \ cos (\frac{\pi}4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt{2} \ sin (\frac{\pi}4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \ cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ ctg \2\alpha`

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ сумму ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac{\alpha}2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac{\alpha}2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac {\pi} 4-\frac{\alpha}2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac {\pi} 4-\frac{\alpha}2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac{sin(\frac{\pi}4 \pm \alpha)}{cos \frac{\pi}4 \ cos \ \alpha}=` `\frac{\sqrt{2} sin(\frac{\pi}4 \pm \alpha)}{cos \ \alpha}`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac{cos(\alpha \mp \beta)}{cos \ \alpha \ cos \ \beta};` ` \ ctg \ \alpha \ ctg \ \beta \pm 1=\frac{cos(\alpha \mp \beta)}{sin \ \alpha \ sin \ \beta}`

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования произвСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ `\alpha` ΠΈ `\beta` Π² сумму (Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ) этих Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac{cos(\alpha β€” \beta)-cos(\alpha + \beta)}{2}`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac{sin(\alpha β€” \beta)+sin(\alpha + \beta)}{2}`
`cos \ \alpha \ cos \ \beta =` `\frac{cos(\alpha β€” \beta)+cos(\alpha + \beta)}{2}`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac{cos(\alpha β€” \beta)-cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha β€” \beta)+cos(\alpha + \beta)} =` `\frac{tg \ \alpha + tg \ \beta}{ctg \ \alpha + ctg \ \beta}`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac{cos(\alpha β€” \beta)+cos(\alpha + \beta)}{cos(\alpha β€” \beta)-cos(\alpha + \beta)} =` `\frac{ctg \ \alpha + ctg \ \beta}{tg \ \alpha + tg \ \beta}`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac{sin(\alpha β€” \beta)+sin(\alpha + \beta)}{sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha β€” \beta)}`

Π£Π½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ тригономСтричСская подстановка

Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.
`sin \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha\ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac{1 β€” tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 + tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1 β€” tg^{2}\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi +2\pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac{\pi}{2}+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac{1 β€” tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{2tg\frac{\alpha}{2}},` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ свойства тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, свойство сдвига Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ». Они ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… находится Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 0 ΠΈ 90 градусами.

Для ΡƒΠ³Π»Π° (`\frac {\pi}2 \pm \alpha`) ΠΈΠ»ΠΈ (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {\pi}2 β€” \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac {\pi}2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac {\pi}2 β€” \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac {\pi}2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac {\pi}2 β€” \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {\pi}2 β€” \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для ΡƒΠ³Π»Π° (`\pi \pm \alpha`) ΠΈΠ»ΠΈ (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi β€” \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi β€” \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi β€” \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi β€” \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Для ΡƒΠ³Π»Π° (`\frac {3\pi}2 \pm \alpha`) ΠΈΠ»ΠΈ (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac {3\pi}2 β€” \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac {3\pi}2 β€” \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac {3\pi}2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac {3\pi}2 β€” \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac {3\pi}2 β€” \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac {3\pi}2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Для ΡƒΠ³Π»Π° (`2\pi \pm \alpha`) ΠΈΠ»ΠΈ (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi β€” \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi β€” \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi β€” \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi β€” \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅

`sin \ \alpha=\pm \sqrt{1-cos^2 \alpha}=` `\frac{tg \ \alpha}{\pm \sqrt{1+tg^2 \alpha}}=\frac 1{\pm \sqrt{1+ctg^2 \alpha}}`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt{1-sin^2 \alpha}=` `\frac 1{\pm \sqrt{1+tg^2 \alpha}}=\frac {ctg \ \alpha}{\pm \sqrt{1+ctg^2 \alpha}}`
`tg \ \alpha=\frac {sin \ \alpha}{\pm \sqrt{1-sin^2 \alpha}}=` `\frac {\pm \sqrt{1-cos^2 \alpha}}{cos \ \alpha}=\frac 1{ctg \ \alpha}`
`ctg \ \alpha=\frac {\pm \sqrt{1-sin^2 \alpha}}{sin \ \alpha}=` `\frac {cos \ \alpha}{\pm \sqrt{1-cos^2 \alpha}}=\frac 1{tg \ \alpha}`

ВригономСтрия Π² Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ смыслС пСрСводится, ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²Β». Она Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΅Ρ‰Π΅ Π² школС, ΠΈ продолТаСтся Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² Π’Π£Π—Π°Ρ…. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹, начиная Π΅Ρ‰Π΅ с 10 класса, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ для сдачи Π•Π“Π­. Они ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ связи ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ функциями, Π° ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ этих связСй ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚ΠΎ ΠΈ самых Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ. Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… всС Π½Π΅Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ, Π΄Π° ΠΈ Π½Π΅ Π½Π°Π΄ΠΎ – ΠΏΡ€ΠΈ нСобходимости ΠΈΡ… всС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ исчислСнии, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ тригономСтричСских упрощСниях, вычислСниях, прСобразованиях.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅:

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ:

Π—Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ°…

matemonline.com

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ тригономСтричСскиС уравнСния, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Β Π² тригономСтричСском ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅.

ВсС тригономСтричСскиС уравнСния, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ  – простыми ΠΈΠ»ΠΈ слоТными, Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ сводятся ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π’Ρ‹ просто обязаны ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π°

Ѐормулы–алгоритмы Β Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚  разбросаны Β ΠΏΠΎ Β Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΠΌ,

здСсь ΠΆΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ собраны всС вмСстС =>

+ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° . РСшСниС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ смотрим здСсь: Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 2 (), Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ 3 (, Β )

Β Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°Β 

Β 

РСшим ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ значСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², косинус ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… равнялся Π±Ρ‹ .

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π½Π° тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³, Π½Π° оси косинусов Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ :

ВыстраиваСм Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅:

Но Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π° этими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ скрываСтся бСсконСчно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, – Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, косинус Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ . ΠœΡ‹ ΠΎΠ± этом ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° знакомились с тригономСтричСским ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ.

На ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой подходящиС Π½Π°ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Β Ρ‚Π°ΠΊ:

А с графичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния Β  выглядСло Π±Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊ:

Как всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚?

Нам ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ счСтчик . Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ

РСшСниСм уравнСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅, ΠΏΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΈΡ€Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π² Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

Π’Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Β ΠΏΡ€ΠΈ ,

ΠΏΡ€ΠΈ ,

ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈ Ρ‚.Π΄.

Π’ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ!

Если Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π»ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Β ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ , Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΎ

.

Π― Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽ, Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ формирования Β ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Β Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ уравнСния

, Π³Π΄Π΅ – ΠΈΠ·

(Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° – Π½Π΅ ΠΈΠ· – Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅Ρ‚)

Но Π²Π°ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ понятна, Ссли Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ с понятиСм «арккосинус».

Β 

Если Π½Π°ΠΌ попадаСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с Π½Π΅Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ косинуса, Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ этого , Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:

Β 

Β 

ЧастныС случаи Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ уравнСния

1)

Β ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

.

Но ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ (вСдь Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ расстояниС – ΠΏΠΎΠ»ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ счСтчик ):

2)

Π£ нас Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° сСрия ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒΒ 

3)Β 

Аналогично Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° 2, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅:

egemaximum.ru