Производная а х – Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.

Содержание

Онлайн калькулятор: Производная функции

Данный калькулятор вычисляет производную функции и затем упрощает ее.
В поле функция введите математическое выражение с переменной x, в выражении используйте стандартные операции + сложение, вычитание, / деление, * умножение, ^ — возведение в степень, а также математические функции. Полный синтаксис смотрите ниже.
Упрощение полученной производной может занять некоторое время, для сложных функций — весьма продолжительное. Если ждать до конца нет сил — нажмите кнопку остановить. У меня получался достаточно простой вариант уже после 10-15 секунд работы алгоритма упрощения.

Калькулятор производных

Допустимые операции: + — / * ^
Константы: pi
Функции: sin cosec cos tg ctg sech sec arcsin arccosec arccos arctg arcctg arcsec exp lb lg ln versin vercos haversin exsec excsc sqrt sh ch th cth csch

Производная функции

 

Показать детали вычисления

Показать шаги вычисления производной и упрощения формулы

Последовательность вычисления производной и упрощения формулы

Сохранить share extension

Синтаксис описания формул

В описании функции допускается использование одной переменной (обозначается как x), скобок, числа пи (pi), экспоненты (e), математических операций: + — сложение, — вычитание, * — умножение, / — деление, ^ — возведение в степень.
Допускаются также следующие функции: sqrt — квадратный корень, exp — e в указанной степени, lb — логарифм по основанию 2, lg — логарифм по основанию 10, ln — натуральный логарифм (по основанию e), sin — синус, cos — косинус, tg — тангенс, ctg — котангенс, sec — секанс, cosec — косеканс, arcsin — арксинус, arccos — арккосинус, arctg — арктангенс, arcctg — арккотангенс, arcsec — арксеканс, arccosec — арккосеканс, versin — версинус, vercos — коверсинус, haversin — гаверсинус, exsec— экссеканс, excsc — экскосеканс, sh — гиперболический синус, ch — гиперболический косинус, th — гиперболический тангенс, cth — гиперболический котангенс, sech — гиперболический секанс, csch — гиперболический косеканс, abs — абсолютное значение (модуль), sgn — сигнум (знак), logP — логарифм по основанию P, например log7(x) — логарифм по основанию 7, rootP — корень степени P, например root3(x) — кубический корень.

ГруппаКонстанты и переменныеОперацииТригонометрические функцииОбратные тригонометрические функцииГиперболические функции

Синтаксис математических выражений

planetcalc.ru

Таблица производных простых функций

Пояснение:

При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.

3. Производная переменной и множителя равна этому множителю

сx´ = с


Пример:


(3x)´ = 3


(2x)´ = 2

Пояснение:


В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х) ее значение (y) растет в с раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с.

Откуда следует, что

(cx + b)’ = c

то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).

4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю

|x|’ = x / |x| при условии, что х ≠ 0

Пояснение:


Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает  выражение x / |x| . Когда x 0 — единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных — наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.

5. Производная переменной в степени равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу

( xc )’= cxc-1, при условии, что xc и сxc-1,определены а с ≠ 0


Пример:


(x2 )’ = 2x


(x3)’  = 3x2
Для запоминания формулы:


Снесите степень переменной «вниз» как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x2  — двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x3 — тройку «спускаем вниз», уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x2 . Немного «не научно», но очень просто запомнить.

6. Производная дроби 1/х

(1/х)’ = — 1 / x2


Пример:


Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень


(1/x)’ = (x-1 )’ , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных


(x-1 )’ = -1x-2 = — 1 / х2

7. Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе

( 1 / xc )’ = — c / xc+1


Пример:


( 1 / x2 )’ = — 2 / x3

8. Производная корня (производная переменной под квадратным корнем)  

( √x )’ = 1 / ( 2√x )   или 1/2 х-1/2

Пример:


( √x )’ = ( х1/2 )’   значит можно применить формулу из правила 5


( х1/2 )’ = 1/2 х-1/2 = 1 / (2√х)

9. Производная переменной под корнем произвольной степени

( n√x )’ = 1 / ( n n√xn-1 )


.

Приведенная здесь таблица производных простых функций содержит только основные преобразования, которые (по большому счету) следует запомнить наизусть. Нахождение более сложных производных приведены в соответствующих таблицах других уроков:

profmeter.com.ua

Производная функции от одной переменной f'(x) · Калькулятор Онлайн

Введите функцию, для которой необходимо вычислить производную

Сервис предоставляет ПОДРОБНОЕ решение производной.

Найдём производную функции f(x) — дифференциал функции.

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратный корень

sqrt(x)/(x + 1)

Кубический корень

cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

x*arcsin(x)

Арккосинус

x*arccos(x)

Применение логарифма

x*log(x, 10)

Натуральный логарифм

ln(x)/x

Экспонента

exp(x)*x

Тангенс

tg(x)*sin(x)

Котангенс

ctg(x)*cos(x)

Иррациональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

x*arctg(x)

Арккотангенс

x*arсctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x|)
arccos(x)
Функция — арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция — арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
e
e число, которое примерно равно 2.7
exp(x)
Функция — экспонента от x (что и e^x)
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10))
pi
Число — «Пи», которое примерно равно 3.14
sin(x)
Функция — Синус от x
cos(x)
Функция — Косинус от x
sinh(x)
Функция — Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция — Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция — квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция — Квадрат x
tg(x)
Функция — Тангенс от x
tgh(x)
Функция — Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция — кубический корень из x
floor(x)
Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
sign(x)
Функция — Знак x
erf(x)
Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа
вводить в виде 7.5, не 7,5
2*x
— умножение
3/x
— деление
x^3
— возведение в степень
x + 7
— сложение
x — 6
— вычитание

www.kontrolnaya-rabota.ru

Как найти производную. Таблица производных.

Как мы знаем,

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Математический смысл этого определения понять не очень просто, поскольку в школьном курсе алгебры понятие предела функции либо не изучают совсем, либо изучают очень поверхностно.  Но для того, чтобы научиться находить производные различных функций, это и не обязательно.

Тем, кто все же хочет понять, что такое предел числовой последовательности, я предлагаю посмотреть ВИДЕОУРОК:

 

 

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. В результате выполнения этой операции мы по определенным правилам  получаем  другую функцию:

В этом равенстве  — функция, от которой мы берем производную,

— функция, которая получается в результате этой операции.

Для того, чтобы каждый раз не искать производные элементарных функций, используя определение  производной, существует таблица производных  элементарных функций:

1. Производная константы равна нулю:

2. Производная степенной функции:

Заметим, что  может принимать любые действительные значения.

Примеры.

1.

2. 

3.

3. Производная показательной функции:

Пример.

Частный случай этой формулы:

4. Производная логарифма:

Частный случай этой формулы:

5. Производные тригонометрических функций:

6. Производные обратных тригонометрических функций:

 

Правила дифференцирования:

1. Производная суммы двух функций:

2. Производная произведения двух функций:

3. Производная дроби:

4. Производная произведения функции на число равна произведению числа на производную функции (число «выносится» за знак производной):

Чтобы правильно найти производную функции , полезно придерживаться такого алгоритма:

1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции.

2. Отделите  в явном виде коэффициенты.

3. Если возможно, упростите выражение , используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции

4. Вспомните, чему равны производные  этих функций или посмотрите в таблице производных.

5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции и вспомните правило, по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций.

Пример 1. Найти производную функции:

Используя свойства логарифмов, упростим выражение в правой части уравнения функции:

Так как по условию , следовательно,

Таким образом:

Пример 2. Найти производную функции:

1. Упростим каждую дробь, используя свойства степени :

Мы видим, что наша функция представляет собой сумму степенных функций.

Следовательно:

Пример 3. Найти производную функции

Сначала запишем каждое слагаемое в виде степени  и выделим в явном виде числовые коэффициенты:

Теперь легко найти производную:

Пример 4. Найти производную функции:

Мы видим, что наша функция представляет собой дробь, в числителе которой стоит степенная функция, а в знаменателе сумма косинуса и константы.

Найдем производную функции  по формуле производной дроби:

В нашем случае:

Отсюда:

КАК ИСКАТЬ ПРОИЗВОДНУЮ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ читайте здесь

Видеоурок «Производная сложной функции» смотрите здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Производная e в степени x и показательной функции

Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1)   ( e x )′ = e x.

Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a:
(2)   .

Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x

Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e, которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e в степени x:
y = e x.
Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:
(3)   .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А) Свойство экспоненты:
(4)   ;
Б) Свойство логарифма:
(5)   ;
В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6)   .
Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г) Значение второго замечательного предела:
(7)   .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.

Сделаем подстановку   . Тогда   ; .
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при , . В результате получаем:
.

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
.

Применим свойство логарифма (5):
. Тогда
.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной показательной функции

Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a. Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
(8)  
Определена для всех .

Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма.
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.

Находим производную. Выносим постоянную за знак производной:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Тем самым, мы нашли производную показательной функции с произвольным основанием степени:
.

Другие способы вывода производной экспоненты

Пусть нам известна формула производной натурального логарифма:
(9)   .
Тогда мы можем вывести формулу производной экспоненты, учитывая, что экспонента является обратной функцией к натуральному логарифму.

Перепишем формулу (9) в следующем виде:
,
где .
Переменные можно обозначать любыми буквами. Поменяем местами x и y:
(10)   ,
где .

Теперь рассмотрим экспоненту (e в степени x):
(11)   .
Применим формулу производной обратной функции:
(12)   .
Обратной функцией к экспоненте является натуральный логарифм. Подставим значение производной натурального логарифма (10):
.
И, наконец, выразим y через x по формуле (11):
.
Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной экспоненты, применяя формулу производной сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x:
(13)   .
Производная от икса равна единице:
.
Применим формулу производной сложной функции:
.
Здесь . Подставим в (13):
.
Отсюда
.

Пример

Найти производные от e в степени 2x, e в степени 3x и e в степени nx. То есть найти производные функций
y = e 2x,   y = e 3x   и   y = e nx.

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции   y = e nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И из общей формулы найдем выражения для производных от e 2x, e 3x и e nx.

Итак, имеем исходную функцию
.
Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:
1)   Функции , зависящей от переменной : ;
2)   Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:
.
Подставляем n = 2 и n = 3.

Ответ

;   ;   .

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Производные высших порядков от e в степени x

Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14)   .
Мы нашли ее производную первого порядка:
(1)   .

Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.

Производные высших порядков показательной функции

Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15)   .

Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

1cov-edu.ru

Найти производную: алгоритм и примеры решений

Операция отыскания производной называется дифференцированием.


В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной
как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и
точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных
потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).


Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше
предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться
таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит
следующий алгоритм.


Чтобы найти производную, надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие
простые функции
и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное)
связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице
производных, а формулы производных произведения, суммы и частного — в правилах
дифференцирования.
Таблица производных и
правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

.

Из таблицы производных выясняем, что производная «икса» равна единице, а производная синуса — косинусу.
Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило,
проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования.
К ним мы и переходим прямо сейчас.

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

                          

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны, т.е.

                              

Правило 2. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

                     

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой. 

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

                          

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

                     

Правило 3. Если функции

и

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

                  

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные — в статье «Производная произведения и частного функций».

Здесь же (далее) — более простые примеры на производную произведения и частного, на которых Вы увереннее освоите алгоритмы вычислений.

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме
и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она
выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных,
но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое
uv, в котором u — число,
например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё
слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка — механическое решение производной сложной
функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями,
то есть, когда функция имеет вид вроде , то
следуйте на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Если же перед Вами задача вроде ,
то Вам на занятие «Производные простых тригонометрических функций».

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение,
а его сомножители — суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель.
Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим
и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная
которой равна нулю. Итак, «икс» у нас превращается в единицу, а минус 5 — в ноль.
Во втором выражении «икс» умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как
производную «икса». Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем
требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного:
производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и
числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также,
что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:


Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где
сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, ,
то добро пожаловать на занятие «Производная суммы дробей со степенями и корнями».


Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других
тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде ,
то Вам на урок «Производные простых тригонометрических функций».

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых — квадратный корень
из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По
правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого — квадратный корень
из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили
и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на :

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Пример 12. Найти производную функции

.

Решение. Применяя правила вычисления производной алгебраической суммы функций, вынесения постоянного множителя за знак производной и формулу производной степени (в таблице производных — под номером 3), получим

.

Пример 13. Найти производную функции

Решение. Применим правило дифференцирования произведения, а затем найдём производные сомножителей, так же, как в предыдущей задаче, пользуясь формулой 3 из таблицы производных. Тогда получим

Пример 14. Найти производную функции

Решение. Как и в примерах 4 и 6, применим правило дифференцирования частного:

Теперь вычислим производные в числителе и перед нами уже требуемый результат:

Пример 15.Найти производную функции

Шаг1. Применяем правило дифференцирования суммы:

Шаг2. Найдём производную первого слагаемого. Это табличная производная квадратного корня (в таблице производных — номер 5):

Шаг3. В частном знаменатель — также корень, только не квадратный. Поэтому преобразуем этот корень в степень:

и далее дифференцируем частное, не забывая, что число 2 в первом слагаемом числителя —
это константа, производная которой равна нулю, и, следовательно всё первое слагаемое равно нулю:

Корень из константы, как не трудно догадаться, является также константой, а производная константы, как мы знаем из таблицы производных, равна нулю:

,

а производная, требуемая в условии задачи:

Ещё больше домашних заданий на нахождение производных

Напоминаем, что чуть более сложные примеры на производную произведения и частного — в статьях «Производная произведения и частного функций» и
«Производная суммы дробей со степенями и корнями».

Также настоятельно рекомендуем изучить производную сложной функции.

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

function-x.ru

таблица производных | математика-повторение

На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

Примеры. Найти производные функций.

1. y=x7+x5-x4+x3-x2+x-9. Применяем правило I, формулы 4, 2 и 1. Получаем:

y’=7x6+5x4-4x3+3x2-2x+1.

2. y=3x6-2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

y’=3∙6x5-2=18x5-2.

Применяем правило I,  формулы 3, 5 и 6 и 1.

 

 Применяем правило IV, формулы 5 и 1.

 

В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных,  а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4), поэтому, будем находить производные  2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4. Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

Решим шестой пример и выведем еще одну  формулу.

Используем правило IV и формулу 4. Получившиеся дроби сократим.

Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

Учим новые формулы!

 

В координатной плоскости хОу рассмотрим график функции y=f (x). Зафиксируем точку М(х0; f (x0)). Придадим абсциссе х0 приращение Δх. Мы получим новую абсциссу х0+Δх. Это абсцисса точки N, а ордината будет равна f (х0+Δх). Изменение абсциссы повлекло за собой изменение ординаты. Это изменение называют приращение функции и обозначают Δy.

Δy=f (х0+Δх) — f (x0).  Через точки M и N проведем секущую MN, которая образует угол φ с положительным направлением оси Ох. Определим тангенс угла φ из прямоугольного треугольника MPN.

Пусть Δх стремится к нулю. Тогда секущая MN будет стремиться занять положение касательной МТ, а угол φ станет углом α. Значит, тангенс угла α есть предельное значение тангенса угла φ:

Определение производной. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, называют производной функции в данной точке:

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Смотрите видео 10.3. Определение производной. Геометрический смысл производной.

Примеры.

1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x2, если начальное значение аргумента было равно 4, а новое  —4,01.

Решение.

Новое значение аргумента х=х0+Δx. Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх=4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х0+Δх) — f (x0).  Так как у нас функция y=x2,  то Δу=(х0+Δx)2— (х0)2=(х0)2+2x· Δx+(Δx)2— (х0)2=2x· Δx+(Δx)2=

=2 · · 0,01+(0,01)2=0,08+0,0001=0,0801.

Ответ: приращение аргумента Δх=0,01; приращение функции Δу=0,0801.

Можно было приращение функции найти по-другому: Δy=y (х0+Δx) -y (х0)=у(4,01) -у(4)=4,012-42=16,0801-16=0,0801.

2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х0, если f ‘(х0) = 1.

Решение.

Значение производной в точке касания х0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f ‘(х0) = tgα = 1  → α = 45°,   так как  tg45°=1.

Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45°.

3. Вывести формулу производной функции y=xn.

Смотрите видео: «10.3.0. Вывод формулы производной степени».

Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же,  как мы вывели формулу производной степени: (xn)’ = nxn-1.

Вот эти формулы.     

Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

 

1. Производная постоянной величины равна нулю.

2. Икс штрих равен единице.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

7. Производная синуса равна косинусу.

8. Производная косинуса равна минус синусу.

9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

Учим правила дифференцирования.

1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой «у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

4. Частный случай формулы 3.

Учим вместе!

 

www.mathematics-repetition.com