Примеры разности множеств – [Билет 3] Операции разности и дополнения множеств, их свойства. Диаграммы Эйлера-Венна.

Содержание

Разность множеств — Википедия

Не следует путать с Симметрической разностью.

Разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} обозначается как A∖B{\displaystyle A\setminus B}, но иногда можно встретить обозначение A−B{\displaystyle A-B} и A∼B{\displaystyle A\sim B}.

Пусть A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

A∖B={x∈A∣x∉B}.{\displaystyle A\setminus B=\{x\in A\mid x\not \in B\}.}

Это множество часто называют дополнением множества

ru.wikipedia.org

Операции над множествами — 5 Июля 2016 — Примеры решений задач

  • Объеденением множеств $A$ и $B$ называется множество $$A∪B=\left \{ x|(x∈A)∨(x∈B)\right \}$$
  • Пересечением множеств $A$ и $B$ называется множество $$ A∩B=\{x|(x∈A)∧(x∈B)\} $$
  • Множество, стостоящее из всех элементов множества $A$, не принаждлежащих множеству $B$, называется разностью множеств $A$ и $B$: $$ A\setminus B=\{x|(x\in A)\wedge (x\notin B)\}.$$
    • Если $A⊂B$ , то $B\setminus A$ называют дополнением множества $A$ до множства $B:A’_B.$ 
    • Если, в частности, $A−$ подмножество некоторого универсального множества $U$, то разность $ U\setminus A $ обозначается символом $\bar{A}$ или $A′$ и называется дополнением множества $A$ (до множества $U$).

 

  • Симметрической разностью множеств $A$ и $B$ называют множество $AΔB$, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат только одному из множеств $A$ или $B$, то есть $$ AΔB=(A ∖ B)∪(B ∖ A). $$

 

Примеры операций над множествами

Пример 1. Даны множества $A=\{3,5,7,8,9\}$ и $B=\{2,3,7,8, 10\}$

Найти:  $ A ∩ B $,   $ A ∪ B $ ,   $ A \setminus B $,   $ A ∆ B $

Решение.

  • $$ A∩B=\{3,5,7,8,9\}∩\{2,3,7,8, 10\} = \{3,7,8\} $$
  • $$ А ∪ B=\{3,5,7,8,9\}∪\{2,3,7,8, 10\} = \{2,3,5,7,8,9,10\}$$
  • $$ A \setminus B=\{3,5,7,8,9\}\{2,3,7,8, 10\} = \{5,9\} $$
  • $$ A \Delta B=\left \{3,5,7,8,9\right \} \setminus \left \{2,3,7,8, 10\right \} ∪ \left \{2,3,7,8, 10\right \} \setminus \left \{3,5,7,8,9\right \} = $$ $$=\{3,7,8\}∪\{2,10\} = \{2,3,7,8,10\} $$

Пример 2.

Даны множества $A=\{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\}$ и $B=\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\}$

Найти:  $ A ∩ B $,   $ A ∪ B $ ,   $ A \setminus B $,   $ A ∆ B $

Решение.

  • $$ A ∩ B=\{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\}∩\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\} = $$ $$ =\{a, \{a, b, c\}\} $$
  • $$ A ∪ B=\{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\}∪ \{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\} = $$ $$ =\{a, b, \{a\}, \{a, b\}, \{a, d\}, \{a, b, c\}, \{a, b, c, d\}\}$$
  • $$ А \setminus В=\{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\}\setminus \{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\} = $$ $$= \{b,\{a\},\{a,d\}\} $$
  • $$ A \Delta B=\{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\}\setminus \{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\}∪ $$ $$ ∪ \{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b\},a\}\setminus \{\{a,d\},\{a,b,c\},\{a\},a,b\} = $$ $$=\{b,\{a\},\{a,b\},\{a,d\},\{a,b,c,d\}\}$$

Калькулятор вычислений над множествами.

Примечание:

Операция

Обозначения

математические

в калькуляторе

Пересечение

intersection

Объединение

union

Разность

\

difference

Симметрическая разность

symmetric difference

 

www.reshim.su

разность множеств — ПриМат

Операции на множествах

1. Объединение

Объединение двух множеств:

Пусть даны два множества  и тогда их объединением называется множество  содержащее в себе все элементы
исходных множеств:


Объединение более чем двух множеств:

Пусть дано семейство множеств  тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

Пересечение

Пусть даны два множества  и , тогда их пересечением называется множество , которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат двум множествам:


3.Разность

Пусть даны два множества и , тогда их разностью называется множество , содержащее в себе элементы , но не   :


4.Симметрическая разность

Пусть даны два множества и тогда их симметрической разностью называется множество , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:


5.Дополнение

Пусть дано множество его  дополнением называется семейство элементов, не принадлежащие данному множеству:

 Свойства операций

Пусть   — произвольные множества, тогда:

1. Операция объединение множеств коммутативна:

2. Операция объединение множеств ассоциативна:

3. Операция пересечение множеств коммутативна:

4. Операция пересечения множеств ассоциативна:

5. 

6. 

7.

8.  

9. 

10.

11. Симметрическая разность коммутативна:

12. Симметрическая разность ассоциативна:

Примеры

1. Пусть тогда

2. Пусть , тогда

3. Пусть  тогда

4.  Пусть  тогда

Литература:

Операции на множествах. Свойства операций.

Лимит времени: 0

Информация

Тестовые вопросы по выше изложенному материалу

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 7

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат

 

 
Ваш результат

 

 
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
максимум из 7 баллов
МестоИмяЗаписаноБаллыРезультат
Таблица загружается
Нет данных
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре
  1. Задание 1 из 7

    Поставьте в соответствие:

    • $$ \left\{ x\,|\,x \in A \vee x \in B \right\} $$
    • $$ \left\{ x\,|\,x \in A \wedge x \in B \right\} $$
    • $$ \left\{\,x\, \in A\,|\,x\,\not\in B \right\} $$
    • $$ (A \setminus B) \cup (B \setminus A) $$
    • Симметрическая разность

  2. Задание 2 из 7

    Укажите ошибочную формулировку:

  3. Задание 3 из 7

    Пусть , , . Расположить в порядке возрастания по количеству элементов в получившемся множестве:

    • $$ A\Delta B \Delta C $$

    • $$ A\setminus B $$

    • $$ A\cup B $$

  4. Задание 4 из 7

    Вставьте пропущенные слова:

  5. Задание 5 из 7

    Пусть , ,

    , тогда =

    • $$ \left\{ 1, 3, 6, 8, 12 \right\} $$
    • $$ \left\{ 2, 4, 5, 9 \right\} $$
    • $$ \left\{ 1, 2, 3, 5, 6, 8 \right\} $$
    • $$ \left\{ 1, 2, 5, 6, \right\} $$
  6. Задание 6 из 7

    Пусть ,  ,

    , тогда

    • $$ \left\{ 1, 2, 3, 5, 6 \right\} $$
    • $$ \left\{ 3, 4, 5, 8 \right\} $$
    • $$ \left\{ 5, 6, 8, 9 \right\} $$
    • $$ \left\{ 1, 2, 4, 7 \right\} $$
  7. Задание 7 из 7

    Пусть дано множество , семейство элементов, не принадлежащему данному множеству, называется его

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Разность множеств

Не следует путать с Симметрической разностью.

Разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество.Обычно разность множеств A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} обозначается как A∖B{\displaystyle A\setminus B},но иногда можно встретить обозначение A−B{\displaystyle A-B} и A∼B{\displaystyle A\sim B}.

Пусть A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

A∖B=

www.wikiplanet.click

Разность множеств — WiKi

Разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} обозначается как A∖B{\displaystyle A\setminus B}, но иногда можно встретить обозначение A−B{\displaystyle A-B} и A∼B{\displaystyle A\sim B}.

Пусть A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

A∖B={x∈A∣x∉B}.{\displaystyle A\setminus B=\{x\in A\mid x\not \in B\}.}

Это множество часто называют дополнением множества B{\displaystyle B} до множества A{\displaystyle A}. (только когда множество В полностью принадлежит множеству А)

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, X{\displaystyle X}. Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством A⊂X{\displaystyle A\subset X} и его относительное дополнение X∖A{\displaystyle X\setminus A}, при обозначении которого часто опускается значок универсума: ∖A{\displaystyle \setminus A}[источник не указан 857 дней]; при этом говорится, что ∖A{\displaystyle \setminus A} — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что A∖B=A∩(∖B){\displaystyle A\setminus B=A\cap (\setminus B)}, то есть дополнение множества B{\displaystyle B} до множества A{\displaystyle A} есть пересечение множества A{\displaystyle A} и дополнения множества B{\displaystyle B}.

Также применяется и операторная запись вида A∁{\displaystyle A^{\complement }}, ∁XA{\displaystyle \complement _{X}A} или (если опустить универсальное множество) ∁A{\displaystyle \complement A}.

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению ко входящим в неё множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «−», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.

ru-wiki.org

Множества: понятие, определение, примеры

Людям постоянно приходится иметь дело с различными совокупностями предметов, что повлекло за собой возникновение понятия числа, а затем и понятия множества, которое является одним из основных простейших математических понятий и не поддается точному определению. Нижеследующие замечания имеют своей целью пояснить, что такое множество, но не претендуют на то, чтобы служить его определением.

Множеством называется собрание, совокупность, коллекция вещей, объединенных по какому-либо признаку или по какому-либо правилу. Понятие множества возникает путем абстракции. Рассматривая какую-либо совокупность предметов как множество, отвлекаются от всех связей и соотношений между различными предметами, составляющими множества, но сохраняют за предметами их индивидуальные черты. Таким образом, множество, состоящее из пяти монет, и множество, состоящее из пяти яблок, — это разные множества. С другой стороны, множество из пяти монет, расположенных по кругу, и множество из тех же монет, положенных одна на другую, — это одно и то же множество.

Приведем несколько примеров множеств. Можно говорить о множестве песчинок, составляющих кучу песка, о множестве всех планет нашей солнечной системы, о множестве всех людей, находящихся в данный момент в каком-либо доме, о множестве всех страниц этой книги. В математике тоже постоянно встречаются различные множества, например множество всех корней заданного уравнения, множество всех натуральных чисел, множество всех точек на прямой и т. д.

Математическая дисциплина, изучающая общие свойства множеств, т. е. свойства множеств, не зависящие от природы составляющих их предметов, называется теорией множеств. Эта дисциплина начала бурно развиваться в конце XIX и начале XX в. Основатель научной теории множеств — немецкий математик Г. Кантор.

Работы Кантора по теории множеств выросли из рассмотрения вопросов сходимости тригонометрических рядов. Это весьма обычное явление: очень часто рассмотрение конкретных математических задач ведет к построению весьма абстрактных и общих теорий. Значение таких абстрактных построений определяется тем, что они оказываются связанными не только с той конкретной задачей, из которой они выросли, но имеют приложения и в ряде других вопросов. В частности, именно так обстоит дело и с теорией множеств. Идеи и понятия теории множеств проникли буквально во все разделы математики и существенно изменили ее лицо. Поэтому нельзя получить правильного представления о современной математике, не познакомившись с элементами теории множеств. Особенно большое значение имеет теория множеств для теории функций действительного переменного.

Множество считается заданным, если относительно любого предмета можно сказать, принадлежит он множеству или не принадлежит. Иными словами, множество вполне определяется заданием всех принадлежащих ему предметов. Если множество \(M\) состоит из предметов \(a,\,b,\,c,\,\ldots\) и только из этих предметов, то пишут

\(M=\{a,\,b,\,c,\,\ldots\}\)

Предметы, составляющие какое-либо множество, принято называть его элементами. Тот факт, что предмет т является элементом множества \(M\) , записывается в виде

\(\Large{m\in M}\)


и читается: » \(m\) принадлежит \(M\) «, или » \(m\) есть элемент \(M\) «. Если же предмет \(m\) не принадлежит множеству \(M\) , то пишут: \(m\notin M\) . Каждый предмет может служить лишь одним элементом заданного множества; иными словами, все элементы (одного и того же множества отличны
друг от друга.

Элементы множества \(M\) могут сами быть множествами, однако, во избежание противоречий, приходится требовать, чтобы само множество \(M\) не было одним из своих собственных элементов: \(M\notin M\) .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Например, множество всех действительных корней уравнения

\(x^2+1=0\)


есть пустое множество. Пустое множество в дальнейшем будем обозначать через \(\varnothing\) .

Если для двух множеств \(M\) и \(N\) каждый элемент \(x\) множества \(M\) является также элементом множества \(N\) , то говорят, что \(M\) входит в \(\) , что \(M\) есть часть \(N\) , что \(M\) есть подмножество \(M\) или что \(M\) содержится в \(N\) ; это записывается в виде

\(M\subseteq N\) или \(N\supseteq M\)

Например, множество \(M=\{1,2\}\) есть часть множества \(N=\{1,2,3\}\) .

Ясно, что всегда \(M\subseteq M\) . Удобно считать, что пустое множество есть часть любого множества.

Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения \(x^2-3x+2=0\) и множество \(M=\{1,2\}\) между собою равны.

Определим правила действий над множествами.


Объединение или сумма множеств

Пусть имеются множества \(M,N,P,\ldots\) . Объединением или суммой этих множеств называется множество \(X\) , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из «слагаемых»

\(X=M+N+P+\ldots\) или \(X=M\cup N\cup P\cup\ldots\)

При этом, даже если элемент \(x\) принадлежит нескольким слагаемым, то он входит в сумму \(M\) лишь один раз. Ясно, что

\(M+M=M\cup M=M\)


и если \(M\subseteq N\) , то

\(M+N=M\cup N=N\)


Пересечение множеств

Пересечением или общей частью множеств \(M,N,P,\ldots\) . называется множество \(Y\) , состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно всем множествам \(M,N,P,\ldots\) .

Ясно, что \(M\cdot M=M\) , и если \(M\subseteq N\) , то \(M\cdot N=M\) .

Если пересечение множеств \(M\) и \(N\) пусто: \(M\cdot N=\varnothing\) , то говорят, что эти множества не пересекаются.

Для обозначения операции суммы и пересечения множеств употребляют также знаки \(\textstyle{\sum}\) и \(\textstyle{\prod}\) . Таким образом,

\(E=\sum E_i\) есть сумма множеств \(E_i\) , a \(F=\prod E_i\) — их пересечение.

Читателю рекомендуется доказать, что сумма и пересечение множеств связаны обычным распределительным законом

\(M(N+P)=MN+MP,\)


а также законом

\(M+NP=(M+N)(M+P).\)


Разность множеств

Разностью двух множеств \(M\) и \(N\) называется множество \(Z\) всех тех элементов из \(Z\) , которые не принадлежат \(N\) :

\(Z=M-N\) или \(Z=M\setminus N\) .

Если \(N\subseteq M\) , то разность \(Z=M\setminus N=M-N\) называют также дополнением к множеству \(N\) относительно \(M\) .

Нетрудно показать, что всегда

\(M(N-P)=MN-MP\) и \((M-N)+MN=M.\)

Таким образом, правила действий над множествами значительно отличаются от обычных правил арифметики.


Конечные и бесконечные множества

Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными множествами. Если же число элементов множества неограниченно, то такое множество называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел бесконечно.

Рассмотрим два каких-либо множества \(M\) и \(N\) и поставим вопрос о том, одинаково или нет количество элементов в этих множествах.

Если множество \(M\) конечно, то количество его элементов характеризуется некоторым натуральным числом — числом его элементов. В этом случае для сравнения количества элементов множеств \(M\) и \(N\) достаточно сосчитать число элементов в \(M\) , число элементов в \(N\) и сравнить полученные числа. Естественно также считать, что если одно из множеств \(M\) и \(N\) конечно, а другое бесконечно, то бесконечное множество содержит больше элементов, чем конечное.

Однако, если оба множества \(M\) и \(N\) бесконечны, то путь простого счета элементов ничего не дает. Поэтому сразу возникают такие вопросы: все ли бесконечные множества имеют одинаковое количество элементов, или же существуют бесконечные множества с большим и меньшим количеством элементов? Если верно второе, то каким способом можно сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах? Этими вопросами мы теперь и займемся.


Взаимно однозначное соответствие множеств

Пусть снова \(M\) и \(N\) — два конечных множества. Как узнать, какое из этих множеств содержит больше элементов, не считая числа элементов в каждом множестве? Для этого будем составлять пары, объединяя в пару один элемент из \(M\) и один элемент из \(N\) . Тогда, если какому-нибудь элементу из \(M\) не найдется парного к нему элемента из \(N\) , то в \(M\) больше элементов, чем в \(N\) . Поясним это рассуждение примером.

Пусть в зале находится некоторое число людей и некоторое число стульев. Чтобы узнать, чего больше, достаточно попросить людей занять места. Если кто-нибудь остался без места, значит, людей больше, а если, скажем, все сидят и заняты все места, то людей столько же, сколько стульев. Описанный способ сравнения количества элементов во множествах имеет то преимущество перед непосредственным счетом элементов, что он без особых изменений применяется не только к конечным, но и к бесконечным множествам.

Рассмотрим множество всех натуральных чисел

\(M=\{1,\,2,\,3,\,4,\,\ldots\}\)


и множество всех четных чисел

\(N=\{2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots\}\)

Какое множество содержит больше элементов? На первый взгляд кажется, что первое. Однако мы можем образовать из элементов этих множеств пары, как указано ниже.


Таблица 1

\({\color{blue}\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {\color{black}M} &{\color{black}1} &{\color{black}2} &{\color{black}3} &{\color{black}4} &{\color{black}\cdots}\\\hline {\color{black}N} &{\color{black}2} &{\color{black}4} &{\color{black}6} &{\color{black}8} &{\color{black}\cdots} \end{array}}\)


Ни один элемент \(M\) и ни один элемент \(N\) не остается без пары. Правда, мы могли бы также образовать пары и так:

Таблица 2

\({\color{blue}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} {\color{black}M}&{\color{black}1}&{\color{black}2}&{\color{black}3}&{\color{black}4}&{\color{black}5}&{\color{black}\cdots}\\\hline {\color{black}N}&{\color{black}-}&{\color{black}2}&{\color{black}-}&{\color{black}4}&{\color{black}-}&{\color{black}\cdots} \end{array}}\)


Тогда многие элементы из \(M\) остаются без пар. С другой стороны, мы могли бы составить пары и так:

Таблица 3

\({\color{blue}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} {\color{black}M}&{\color{black}-}&{\color{black}1}&{\color{black}-}&{\color{black}2}&{\color{black}-}&{\color{black}3}&{\color{black}-}&{\color{black}\cdots}\\\hline {\color{black}N}&{\color{black}2}&{\color{black}4}&{\color{black}6}&{\color{black}8}&{\color{black}10}&{\color{black}12}&{\color{black}14}&{\color{black}\cdots} \end{array}}\)


Теперь многие элементы из \(M\) остаются без пар.

Таким образом, если множества \(A\) и \(B\) бесконечны, то различным способам образования пар соответствуют разные результаты. Если существует такой способ образования пар, при котором у каждого элемента \(A\) и каждого элемента \(B\) имеется парный к нему элемент, то говорят, что между множествами \(A\) и \(B\) можно установить взаимно однозначное соответствие. Например, между рассмотренными выше множествами \(M\) и \(N\) можно установить взаимно однозначное соответствие, как
это видно из табл. 1.

Если между множествами \(A\) и \(B\) можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из \(A\) всегда остаются без пар, то говорят, что множество \(A\) содержит больше элементов, чем \(B\) , или что множество \(A\) имеет большую мощность, чем \(B\) .

Таким образом, мы получили ответ на один из поставленных выше вопросов: как сравнивать между собой количество элементов в бесконечных множествах. Однако это нисколько не приблизило нас к ответу на другой вопрос: существуют ли вообще бесконечные множества. имеющие различные мощности? Чтобы получить ответ на этот вопрос, исследуем некоторые простейшие типы бесконечных множеств.

Счетные множества. Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества \(A\) и элементами множества всех натуральных чисел

\(Z=\{1,\,2,\,3,\,\ldots\},\)


то говорят, что множество \(A\) счетно. Иными словами, множество \(A\) счетно, если все его элементы можно занумеровать посредством натуральных чисел, т. е. записать в виде последовательности

\(a_1,~a_2,~\ldots,~a_n,~\ldots\)

Таблица 1 показывает, что множество всех четных чисел счетно (верхнее число рассматривается теперь как номер соответствующего нижнего числа).

Счетные множества это, так сказать, самые маленькие из бесконечных множеств: во всяком бесконечном множестве содержится счетное подмножество.

Если два непустых конечных множества не пересекаются, то их сумма содержит больше элементов, чем каждое из слагаемых. Для бесконечных множеств это правило может и не выполняться. В самом деле, пусть \(G\) есть множество всех четных чисел, \(H\) — множество всех нечетных чисел и \(Z\) — множество всех натуральных чисел. Как показывает таблица 4, множества \(G\) и \(H\) счетны. Однако множество \(Z=G+H\) вновь счетно.


Таблица 4

\({\color{blue}\begin{array}{c|c|c|c|c|c} {\color{black}G}&{\color{black}2}&{\color{black}4}&{\color{black}6}&{\color{black}8}&{\color{black}\cdots}\\\hline {\color{black}H}&{\color{black}1}&{\color{black}3}&{\color{black}5}&{\color{black}7}&{\color{black}\cdots}\\\hline {\color{black}Z}&{\color{black}1}&{\color{black}2}&{\color{black}3}&{\color{black}4}&{\color{black}\cdots} \end{array}}\)

Нарушение правила «целое больше части» для бесконечных множеств показывает, что свойства бесконечных множеств качественно отличны от свойств конечных множеств. Переход от конечного к бесконечному сопровождается в полном согласии с известным положением диалектики — качественным изменением свойств.

Докажем, что множество всех рациональных чисел счетно. Для этого расположим все рациональные числа в такую таблицу:


Таблица 5

\(\)

Здесь в первой строке помещены все натуральные числа в порядке их возрастания, во второй строке 0 и целые отрицательные числа в порядке их убывания, в третьей строке — положительные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их возрастания, в четвертой строке — отрицательные несократимые дроби со знаменателем 2 в порядке их убывания и т. д. Ясно, что каждое рациональное число один и только один раз находится в этой таблице. Перенумеруем теперь
все числа этой таблицы в том порядке, как это указано стрелками. Тогда все рациональные числа разместятся в порядке одной последовательности:

Номер места, занимаемого
рациональным числом 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . .
Рациональное число 1. 2, О, 3, — 1, 4 —2 _

Этим установлено взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами. Поэтому множество всех рациональных чисел счетно.



Множества мощности континуума

Если можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами множества \(M\) и точками отрезка \(0\leqslant x\leqslant1\) , то говорят, что множество \(M\) имеет мощность континуума. В частности, согласно этому определению, само множество точек отрезка \(0\leqslant x\leqslant1\) имеет мощность континуума.

Из рис. 1 видно, что множество точек любого отрезка \(AB\) имеет мощность континуума. Здесь взаимно однозначное соответствие устанавливается геометрически, посредством проектирования.

Нетрудно показать, что множества точек любого интервала \(x\in[a,b]\) и всей числовой прямой \(x\in[-\infty,+\infty]\) — имеют мощность континуума.

Значительно более интересен такой факт: множество точек квадрата \(0\leqslant x\leqslant1,\) \(0\leqslant y\leqslant1\) имеет мощность континуума. Таким образом, грубо говоря, в квадрате «столько же» точек, сколько и в отрезке.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

calcsbox.com

Реферат Разность множеств

скачать

Реферат на тему:



План:

    Введение
  • 1 Примеры
  • 2 Свойства
  • 3 Компьютерные реализации
  • 4 Дополнение множества
    • 4.1 Определение
    • 4.2 Свойства
  • Литература
    Примечания

Введение

Не следует путать с Симметрическая разность.

Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств A и B обозначается как , но иногда можно встретить обозначение AB и

Пусть A и B — два указанных в определении множества, тогда их разность определяется (на теоретико-множественном языке):

Это множество часто называют дополнением множества B до множества A.

Обычно предполагается, что рассматриваются подмножества одного и того же множества, которое, в этом случае называют универсумом, скажем, X. Тогда можно рассматривать вместе с каждым множеством и его относительное дополнение , при обозначении которого часто опускается значок универсума: ; при этом говорится, что — (просто) дополнение множества (без указания, дополнением до чего является данное множество).

С учётом данного замечания, оказывается, что , то есть дополнение множества B до множества A есть пересечение множества A и дополнения множества B.

Также применяется и операторная запись вида , CXA или (если опустить универсальное множество) CA.

Операция разности множеств не является по определению симметричной по отношению входящим в ней множествам. Симметричный вариант теоретико-множественной разности двух множеств описывается понятием симметрической разности.


1. Примеры


2. Свойства

Пусть  — произвольные

  • Вычитание множества из самого себя даёт в результате пустое множество:
  • Свойства пустого множества относительно разности:
  • Разность двух множеств содержится в уменьшаемом:
  • Из этой формулы следует, что операция разности не является обратной операции суммы (т.е. объединения).
  • Разность не пересекается с вычитаемым:
  • Разность множеств равна пустому множеству тогда, и только тогда, когда уменьшаемое содержится в вычитаемом:
  • Законы де Моргана в алгебре множеств формулируются следующим образом:

3. Компьютерные реализации

В пакете Mathematica операция реализована с помощью функции Complement. В пакете MATLAB она же реализована с помощью функции setdiff.

В языке программирования Pascal (а также в его объектном расширении Object Pascal) операция разности множеств представлена оператором «-», обоими операндами и результатом выполнения которого являются значения типа set.


4. Дополнение множества

4.1. Определение

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума X, то определяется операция дополнения:

4.2. Свойства

  • Операция дополнения является унарной операцией на булеане 2X.
  • Законы дополнения:[1]
В частности, если оба A и непусты, то является разбиением X.
  • Операция дополнения является инволюцией:
  • Законы де Моргана:
  • Законы разности множеств:

Литература

  • Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Физматлит, 2004. — 256 с.
  • К. Куратовский, А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. — М.: Мир, 1970. — С. 16, 20—22.

Примечания

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ — sci-lib.com/book000401.html / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

wreferat.baza-referat.ru