Применение формул сокращенного умножения – План-конспект урока по алгебре (7 класс) по теме: Применение формул сокращенного умножения | скачать бесплатно

Применение формул сокращенного умножения

Разделы: Математика

---

Цели:

• (Учебная) Формирование навыков по применению формул сокращённого умножения квадрата суммы и разности двух выражений, умножения разности двух выражений на их сумму; повышение уровня мотивации учащихся.
• (Учебно-коммуникативная) формирование и развитие учебно-коммуникативной культуры уч-ся;
• (Формирование и развитие рефлексивной культуры уч-ся) развитие рефлексивной культуры уч-ся;
• (Учебно-интеллектуальная) развитие интеллектуальных способностей учащихся.

Задачи:

• уметь прочитать формулу;
• уметь “сворачивать” и “ разворачивать” формулу;
• уметь выделить и увидеть формулу;
• уметь применить формулу для решения практических задач;
• уметь вести дискуссию, диалог; выслушивать и объективно оценивать другого; вырабатывать общее решение;
• обучение самоконтролю и самокоррекции;
• продолжить развитие коммуникативных навыков у отдельных учащихся.

Ход урока

Начало урока. Ребята, скажите, чем мы занимались на последних уроках?

Записать на доске тему урока и цель урока.

1 этап. Актуализация знаний учащихся.

Задание №1. Проектор. Установите соответствие между формулой и ее названием. Отметьте на плёнке проектора рядом с выражением соответствующую букву.

3a2+ (2b)2	a) квадрат суммы двух выражений
(5a-6b)2	б) разность квадратов двух выражений
(6c)2-(4b)2	в) квадрат разности двух выражений
(x+6y2)2	г) сумма квадратов двух выражений

Задание №2.

Проектор. Прочитать (проговорить) выражения:

(a+ b)?=a?+2ab+b?	(a-b)?=a?-2ab+b?	(a-b)(a+ b)=a?-b?
a?-2ab+b?=(a-b)?	a?+2ab+b?=(a+ b)?	a?-b?=(a-b)(a+ b)

2 этап. (Дифференцированное задание, контроль и коррекция знаний по данной теме).

Задание: продолжить (записать тождество)

Карточки (задания 3 уровней), max-3, max-4, max-5

1 уровень	2 уровень	3 уровень
(a-5)2	(x2-5)2	(* +2b)2=a2+ 4ab+4b2
(x+7)(x-7)	(5y2+6x2)2	16x2+24xy+*
(4x-5y)2	(x5-y)(x5+y)	* +56a+49
x2-4xy+4	(3y-8a2)2	(2a+*)(2a-*) = 4a2-b2
(3-y)2	(4a2-6b2)2	(*-b2)(b2+ *) = 25a4-b6

Самопроверка на проекторе, поставить “+” рядом с верно выполненным заданием. Командирам проставить кол-во “+” в зачётку.

Зачётная карточка

№	Фамилия, имя	1 уровень	2 уровень	3 уровень
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Учитель: Ответьте на вопросы:

— Кто испытал трудности? Какие?

— Что нужно сделать для того, чтобы вы успешно преодолели эти трудности?

(обратить внимание уч-ся на цель урока)

Здоровьесберегающие технологии: (в течение 30 секунд учащиеся “пробегают глазами” по символу)

 3 Этап (основной). Повышение уровня мотивации учебной деятельности учащихся.

Ребята! А зачем же мы изучаем формулы сокращённого умножения?

Ответ на этот вопрос мы получим в конце урока.

Уч-ся получают карточки с заданиями-тестами.

Класс разбит на группы по 6 чел. Командир выполняет задание сразу на плёнке (используем 4 плёнки и 4 разноцветных фломастера)

Ключ-ответ к тесту.

1 задание	2 задание	3 задание	4 задание
Ответ в	Ответ в	Ответ б	Ответ а
Ответ а	Ответ в	Ответ а	Ответ а
Ответ б	Ответ в	Ответ б	Ответ б

Задание для учащихся: решите карточку-тест, посоветуйтесь и ответьте на вопрос:

“Зачем вам потребовалась та или иная формула сокращённого умножения?”

Проверяем на проекторе (баллы ставим в зачётку).

Учитель: А теперь предоставим слово командирам групп. Покажите своё решение и расскажите, к какому же выводу пришли группы?

После проверки задания по проектору, командиры, обговорив задание с группой, вместе с плёнкой идут к доске отвечать и дают заключение, к какому пришла группа: зачем для выполнения задания им потребовались формулы сокращённого умножения.

Дети ничего не пишут, слушают. После выступления последнего учитель ещё раз, по заготовленным заранее на откидной доске заданиям (тем же, что и у командира) объясняет решения. Затем уч-ся записывают всё в тетрадь.

Рефлексия

Учитель:

— Кому было трудно? Почему?

— Что нужно сделать на следующем уроке, чтобы у вас не было пробелов в знаниях и?

— Кто считает, что мы справились с поставленной целью?

— Поставьте себе в зачётку оценку за урок. (Зачётки сдать учителю.)

Командиры! Вы считаете, правильно ли оценили свой труд, свои усилия ваши подчинённые?

Таблица-тест (работа в группах)

Решите уравнения	Вычислите	Упростите выражение и найдите его значение	Является ли данное выражение тождеством?
x2-49 = 0 а) 7 б)-7 в) -7; 7	69·71 а) 4899 б) 4799 в) 3899	(x-10)2-x(x+8), если x=-3 а) -184 б) 184 в)16	(2a-b)(2a+b)+(b-c)(b+c)+ +(c-2a)(c+2a)=0 а) да б) нет
64 — x2 = 0 а) 8;-8 б) 8 в) — 8	982+2·98·2+22 а)100 б)1000 в) 10 000	(2x+9)2+x(4x-1), если x=2 а)183 б) -183 в)187	Разложите на множители: 9x2+30x+25 а) ( 3x +5)2 б) (3x-5)(3x+5) в) 9x2+55x
(4x-1)2-2x(8x- 2)=0 а) – 0,25 б) 0,25 в) 0,25; -0,25	1252-2·125·5+ 52 а)140 б)1040 в) 1 400	(2x-3)(2x+3)+5x2 -10, если x=2 а) -17 б) 17 в)55	64p2-81q2 а) (8p-9q)2 б)(8p-9q)(8p+9q) в)(64p-81q)(64p+81q)

 4. Домашнее задание:

• 1 уровень № 1010, 943 (в, г), 945.
• 2 уровень № 952, 971.
• 3 уровень карточка.

Домашнее задание (уровень- 3).

1. Представьте выражение в виде произведения.

(6n+7)² — (3n+2)²;

Из данных утверждений выберите верное:

А. Значение данного выражения делится на 9 при любом целом n.

Б. Значение данного выражения не делится на 9 ни при каком целом n.

В. Значение данного выражения делится на 9 только при некоторых целых n.

2. Выпишите пропущенные одночлены так, чтобы полученное равенство было тождеством.

А. (12 — ———)(12+ ———)=144-9a²;

Б. (——— + 11x⁴)(11x⁴— ——-)=121x⁸-25y⁶

В. —— — 36y⁴ = (7x² — ——)(7x² + ——).

3. Представьте в виде произведения выражения:

А. 16a²-9x² — 8ab+b²;

Б. 25y²— 25a²+36x² — 60xy;

4. Докажите, что (2+1)(2²+1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) – 2³² = -1;

5. Докажите, что если к произведению четырёх последовательных чисел прибавить 1 , то получится число, которое является квадратом натурального числа.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Применение формул сокращенного умножения

Иногда многочлен удается разложить на множители, применив одну из формул сокращенного умножения (§ 41). Запишем третью из формул § 41 в обратном порядке:

a² – b² = (a + b)(a – b).

В левой части этого равенства двучлен, в правой же он представлен в виде произведения, то есть разложен на множители.

Значит, разность квадратов двух чисел можно представить в виде произведения суммы этих чисел на их разность.

Пример. 16a⁴b² – 9x⁶ = (4a²b + 3x³)(4a²b – 3x³).

Возьмем теперь формулу:

a² + 2ab + b² = (a + b)².

Значит, если данный трехчлен представляет собой сумму двух квадратов, сложенную с удвоенным произведением их оснований, то его можно представить в виде квадрата суммы (то есть в виде произведения двух одинаковых множителей).

Примеры.

1. x² + 12x + 36 = (x + 6)².
2. 4a²b² + 20abc² + 25c⁴ = (2ab + 5c²)².

Точно так же применяется формула:

a² – 2ab + b² = (a – b)².

Примеры.

1. 16m² – 8m + 1 = (4m – 1)².
2. Вычислите выражение

a² – 14a + 49 при a = 47.

Вычисления выполняются в уме, если выражение разложить на множители:

a² – 14a + 49 = (a – 7)².

Подставив в правую часть a = 47, сразу получаем:

(47 – 7)² = 40² = 1600.

Также применяются формулы:

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³.
a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³.

Пример.
Вычислить выражение

a = x³ + 9x² + 27x + 27 при x = 17.

Разложив данный многочлен на множители, получим:

x³ + 9x² + 27x + 27 = (x + 3)³.

Подставив x = 17, найдем: a = 20³ = 8000.

Кроме перечисленных выше формул сокращенного умножения, применяются еще формулы, позволяющие разложить на множители сумму или разность кубов двух чисел.

Рассмотрим трехчлен a² – ab + b², который называется неполным квадратом разности чисел a и b. Умножим его на a + b:

Отсюда имеем:

    (a + b)(a² – ab + b²) = a³ + b³.    (1)

Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел.

Эту формулу можно читать справа налево так:
Сумма кубов двух чисел равна сумме этих чисел, умноженной на неполный квадрат их разности:

    a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)     (2)

Это и есть формула разложения на множители суммы кубов двух чисел.

Умножим трехчлен a² + ab + b², который называется неполным квадратом суммы чисел a и b, на a – b:

Отсюда имеем:

    (a – b)(a² + ab + b²) = a³ – b³.    (3)

Эту формулу можно читать и справа налево:

    a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)    (4)

Формулы (3) и (4) читаются так:

Произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел.

Разность кубов двух чисел равна разности этих чисел, умноженной на неполный квадрат их суммы.

Примеры.

1. 27a³b³ + 8c³ = (3ab + 2c)(9a²b² – 6abc + 4c²).
2. 64a⁶b³ – 1 = (4a²b – 1)(16a⁴b² + 4a²b + 1).

mthm.ru

Формулы сокращенного умножения

Формулы для возведения двучлена в $n-ю$ степень

Для упрощения вычислений и преобразований различных выражений можно пользоваться заранее выведенными формулами. Одними из таких формул являются формулы возведения двучлена в $n-ю$ степень.

Данные формулы можно вывести с помощью Бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона для натуральных чисел имеет следующий вид:

Здесь $C^0_n,\ C^1_n,\dots ,C^{n-1}_n,C^n_n$ — коэффициенты Бинома Ньютона.

Коэффициенты разложения Бинома Ньютона можно находить с помощью треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля имеет следующую структуру (Таблица 1).

Рисунок 1. Структура треугольника Паскаля

Значения коэффициентов треугольника паскаля приведены в следующей таблице (таблица 2):

Рисунок 2. Коэффициенты треугольника Паскаля

Формулы для вычисления квадратов и кубов суммы и разности

Используя Бином Ньютона можно легко найти формулы для вычисления квадратов и кубов суммы и разности. Получим следующие формулы:

а) Квадрат суммы:

б) Квадрат разности:

в) Куб суммы:

г) Куб разности:

Используя полученные формулы, можно выводить также формулы кубов и квадратов трехчленов и многочленов с 4-мя и выше количеством членов. Приведем пример такого вывода. Найдем квадрат суммы трехчлена:

Для этого сделаем следующую замену. Пусть $a+b=t$, тогда

Воспользуемся формулой квадрата суммы:

Вернемся к замене:

Вновь воспользуемся формулой квадрата суммы:

Другие формулы сокращенного умножения

Представим еще несколько формул сокращенного умножения.

а) Разность квадратов двух выражений равна произведению их разность на их сумму:

б) Сумма кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы:

в) Разность кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности:

Примеры задач на применение формул сокращенного умножения

Пример 1

Упростить выражение:

а) ${(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2$

б) ${(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2$

в) $\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a(a^2+3)$

г) $\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)(b+1)$

Решение:

а) ${(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2$

Воспользуемся формулой квадрата разности:

\[{(x+8)}^2-2\left(x+8\right)\left(x-2\right){+(x-2)}^2=\] \[{=(x+8-x+2)}^2={10}^2=100\]

б) ${(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2$

Воспользуется формулами квадрата суммы и разности, и разности квадратов:

\[{(y+7)}^2-2\left(y+1\right)\left(y-1\right){+(y-7)}^2=\] \[=y^2+14y+49-2y^2+2+y^2-14y+49=100\]

в) $\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a(a^2+3)$

Воспользуемся формулой суммы кубов:

\[\left(a+5\right)\left(a^2-5a+25\right)-a\left(a^2+3\right)=\] \[=a^3+125-a^3-3a=125-3a\]

г) $\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)(b+1)$

Воспользуемся формулой разности кубов и разности квадратов:

\[\left(2b-1\right)\left({4b}^2+2b+1\right)-b\left(b-1\right)\left(b+1\right)=\] \[={8b}^3-1-b^3+1={7b}^3\]

spravochnick.ru

Урок по алгебре «Применение формул сокращенного умножения» 7 класс

Тема урока. Применение формул сокращенного умножения. 7 класс

Цель:

1. Образовательная: закрепить знания учащихся о формулах сокращенного умножения, сформировать умения применения формул при решении задач, определить степень усвоения материала.

2. Развивающая: развить познавательный интерес к математике, логическое мышление, математическую речь, наблюдательность, умение систематизировать и применять полученные знания.

3. Воспитательная: продолжить воспитание ответственности, аккуратности при выполнении различных заданий, настойчивости при достижении цели.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: мультимедиа, плакаты с формулами, раздаточный материал.

План урока.

1. Организационный момент, постановка цели урока.

2. Актуализация знаний.

3. Практическое применение формул. Верно – неверно. (Самоконтроль)

4. Тест с последующей проверкой. (Взаимоконтроль)

5. Найди неизвестный математический объект. (Работа в парах)

6. Возведите в квадрат. (Самоконтроль)

7. Решить уравнения.

8. Подведение итогов урока: анализ деятельности.

9. Домашнее задание.

ХОД УРОКА.

“У математиков существует

свой язык – это формулы”.

С. Ковалевская

1.Организационный момент, постановка цели урока.

Здравствуйте, ребята! Садитесь. Открыли тетради, записали число и тему нашего урока. Тема нашего урока “Применение формул сокращенного умножения». (слайд 1)

Как вы думаете , какова цель нашего урока?

Дети ставят цель урока (закрепить ФСУ, научиться применять их при решении различных задач).

Действительно, в процессе работы вы должны: закрепить изученный материал, показать уровень усвоения темы, разобраться в непонятных ранее моментах, проконтролировать и оценить свои знания. (слайд 2)

Но в начале урока: выбери из предложенных рисунков тот, который соответствует твоему настроению на начало урока и отметь его. (слайд 3)

Рефлексия (на начало урока)

Выбери из предложенных рисунков тот,

который соответствует твоему настроению

на начало урока и отметь его.

Мне хорошо,

я готов к уроку

Мне безразлично

Я тревожусь,

все ли у меня получится?

У каждого из вас на столе маршрутный и оценочный листы. Маршрутный лист будет вашим путеводителем, а в оценочном листе вы будете фиксировать свои достижения, и в конце оцените свою работу.

2.Актуализация знаний . (слайд 4)

Ребята, давайте вспомним, какие формулы сокращенного умножения мы

знаем?

Из разложенных на доске карточек выбрать пары равных выражений и с помощью магнитов составить верные формулы.

(а-в)² (а-в)(а+в) (а+в)² (а-в)(а²+ав+в²)

(а+в)(а²-ав+в²) а²-2ав+в² а²+2ав+в² а²-в² а²+в²

а³-в³ а³+в³

Вопрос: Чему равен квадрат суммы двух выражений?

Ответ: Квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения.

Вопрос: Чему равен квадрат разности?

Ответ: Квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения.

Вопрос: Чему равно произведение разности и суммы двух выражений?

Ответ: Разности квадратов этих выражений.

Вопрос: Чему равно произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы?

Ответ: Разности кубов этих выражений.

Вопрос: Чему равна сумма кубов двух выражений?

Ответ: Произведению суммы двух выражений на неполный квадрат их разности? (слайд 5)

Осталась лишняя карточка. Почему? Останутся ли верными формулы сокращённого умножения, если в них вместо букв а и в поставить любые целые выражения?

Итак, мы повторили ФСУ, теперь переходим к 1 заданию.

1 задание. У каждого из вас написаны 5 равенств, среди которых есть верные, а есть и неверные. Вам необходимо найти ошибки. Напротив каждого равенства нужно написать верное или неверное. Назвать ошибки. (слайд 6) Верно — неверно

1. (а-в)(а+в)=а²-в²+2ав

2) (4у-3х)(4у+3х)=8у²-9х²

3) (3х+а)²=9х²-6ах+а²

4) (0,1ху³)²=0,01х²у⁶

5. (х+4у)²=х²+16у²+8ху

Ответы. (слайд 7)

В оценочный лист поставить оценку, используя критерии. (слайд 8)

Метод оценивания- – самоконтроль.

Критерии оценок

«5»-без ошибок

«4»-одна ошибка

«3»-две ошибки

«2»-более 2 ошибок

2 задание. Выполнить тест с последующей проверкой. (слайд 9)

1 вариант. 2 вариант.

Раскройте скобки: Раскройте скобки:

1. (х+2у)² 1. (х+3у)²

а) х²+4ху+4у² б) х²+4ху+2у² а) х²+6ху+3у² б) х²+6ху+9у²

в) х²+4у² г) х²+2ху+4у² в) х²+9у² г) х²+3ху+9у²

2. (2а-3)² 2. (4а-1)²

а) 4а²-6а+9 б) 4а²-12а+9 а) 16а²-8а+1 б) 4а²-4а+1

в) 2а²-12а+9 г) 4а²-9 в) 16а²-4а+1 г) 16а²-1

3. (3х-5у²)(3х+5у²) 3. (4х-3у²)(4х+3у²)

а) 9х²-25у² б) 9х²+25у⁴ а) 4х²-3у⁴ б) 16х² — 9у⁴

в) 9х²+25у² г) 9х²-25у⁴ в) 16х²+9у⁴ г) 4х²-9у²

4. (а+2)(а²-2а+4) 4. (а+3)(а²-3а+9)

а) а³+16 б) а³-8 а) а³+3 б) а³-27

в) а³+2а²+8 г) а³+8 в) а³+27 г) а³-3а²+27

5. (х-1)(х²+х+1) 5. (х-2)(х²+2х+4)

а) х³+х²-1 б) х³-1 а) х³-8 б) х³+8

в) х³-х²-1 г) х³+1 в) х³-2х²+8 г) х³-16

Ответы. (слайд 10)

В оценочный лист поставить оценку, используя критерии. Метод оценивания- – взаимоконтроль.

Критерии оценок

«5»-без ошибок

«4»-одна ошибка

«3»-две ошибки

«2»-более 2 ошибок

3 задание. Найди неизвестный математический объект. (Работа в парах)

(слайд 11)

1) (3х + * )² = * + * +49 у²

2) * · ( x² -xy) = x²y²-xy³

3) ( * — 2m)²= * — 40m +4m²

4) ( * -3b³)( * +3b³)= a² — *

5) * · (a² — 2b)=3a³b — 6ab²

Ответы. (слайд 12)

В оценочный лист поставить оценку, используя критерии.

Критерии оценок

«5»-без ошибок

«4»-одна ошибка

«3»-две ошибки

«2»-более 2 ошибок

Но оказывается, на формулах сокращённого умножения основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например:

31²= (30+1)²=900+60+1=961

29²=(30-1)²=900-60+1=841

31·29=(30+1)(30-1)=900-1=899 (слайд 13)

Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. О нём расскажет Шпота Лера.

Сообщение учащегося:

Проведём соответствующие рассуждения для 85². Имеем:

85²=(80+5)²=80²+2·80·5+5²=80(80+10)+25=80·90+25=7200+25=7225

Замечаем, что для вычисления 85² достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35²=1225 (3·4=12 и к полученному числу приписали справа 25).

Чтобы целое число с половиной возвести в квадрат, нужно умножить целое число на соседнее большее число и к результату приписать ¼. Например, (6½)²=42¼ (7½)²=56¼ (слайд 14)

Быстро и просто.

Попробуйте применить новые знания и выполнить самостоятельно 4 задание. 4 задание. Возведите в квадрат: 45², 95², 125², (9½)², (20½)². (слайд 15)

Ответы. (слайд 16)

Попробуем применить формулы сокращенного умножения к решению уравнений. Даны 7 уравнений. Посмотрите внимательно на эти уравнения. В каком уравнение не будет использоваться ФСУ? Ответ ученика (в 1).

А почему? Решим 2 уравнение у доски, а остальные вы решаете самостоятельно, выбрав любые 4.

5 задание. Реши уравнения. (слайд 17)

1. (6y+2)(5-y)=47-(2y-3)(3y-1)

2. (x+6)²-(x-5)(x+5)=79

3. 9x·(x+6)-(3x+1)²=1

4. a·(8-9a)+40=(6-3a)(6+3a)

5. 16y·(2-y)+(4y-5)²=0

6. (х-7)²+3=(х-2)(х+2)

7. (2х-3)(2х+3)-8х=7+4х²

Ответы. (слайд 18)

Подведение итогов урока: анализ деятельности (слайд 19)

Но мне хотелось бы, чтобы вы еще раз, вспомнив этапы нашего урока, ответили на мой вопрос: где вы применяли формулы сокращенного умножения, в каком случае ваша работа намного упрощалась?

• Какие были трудности?

• Что было интересно?

• Кто считает, что тему усвоил?

• Кому требуется помощь?

Давайте, оценим свою работу и поставим себе оценку за урок: 25-24 баллов –«5», 23-20 баллов -«4»,19-15 баллов -«3». (слайд 20)

Вернемся к маршрутным листам и отметим тот рисунок, который соответствует вашему настроению на конец урока. (слайд 21)

Рефлексия (на конец урока)

Выбери из предложенных рисунков тот,

который соответствует твоему настроению

на начало урока и отметь его.

Мне понравилось,

я доволен собой

Мне всё равно

Мне грустно, я не всё усвоил

Домашнее задание (слайд 22)

1. Повторить ФСУ

2. Учебник № 449

3. Что в переводе с древнеарабского означает слово

«АЛГЕБРАИСТ?»( exponent.ru ; Wikipedia-свободная энциклопедия)

infourok.ru

Применение формул сокращенного умножения | Математика

Глава IV. Разложение многочленов на множители.

На главную страницу Алгебра. Д.К. Фаддев, И.С. Соминский.
Скачать оригинал Алгебра. Д.К. Фадеев, И.С. Соминский на странице Сборники Математики.
Ниже можете посмотреть тексты для быстрого ознакомления (формулы отображаются не корректно).

Похожие статьи: Алгебра в школе. ВЕКТОРЫ. Библиотека учителя. Школьная математика.

Д. К. ФАДДЕЕВ и И. С. СОМИНСКИЙ
АЛГЕБРА

Применение формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения часто значительно облегчают
разложение на множители, позволяя избежать разложения одночленов
на подобные слагаемые и обойтись без вставки новых
одночленов.
Пример. Разложить на множители Xя — 4.
Решение . Мы видим, что исследуемый многочлен есть разность
квадратов чисел х и 2, Следовательно, его можно записать в виде
произведения суммы этих чисел на их разность
х* — 4 = (лг -{- 2) (л; — 2).
Пример. Разложить на множители х * 4 х у 4у2 — 9гя.
Решение. Мы видим, что сумма первых трех слагаемых есть
квадрат суммы чисел х и 2у. Действительно, квадрат первого числа
равен х я, удвоенное произведение первого на второе равно 4ху,
квадрат второго равен 4_у2. Итак,
** + 4 х у + 4j/2 — 92я— (х + 2y f — 9 z \

104 Алгебра.Применение формул сокращенного умножения. Производная в школьном курсе математики.

Теперь наш многочлен приведен к виду разности квадратов
чисел (х + 2j/) и Ъг. Следовательно, его можно представить в виде
произведения суммы этих чисел на их разность
(х 2у)2 — 9 г 2 = (х 2у -}- Ъг) (х 2у — Ъг).
Пример. Разложить на множители многочлен 2х4—16х у 3.
Решение. Прежде всего надо вынести за скобку 2х
2xi — 1 б ху3 = 2х (х 3 — 8у3).
Теперь мы видим, что многочлен, находящийся в скобке, есть
разность кубов чисел х и 2у. По сокращенной формуле мы знаем,
что разность кубов двух чисел равна произведению разности этих
чисел на «неполный квадрат их суммы». Итак,
х 3 — 8у3 — {х — 2у) (х 2 -f- + 4у2).
Окончательно получаем
2JC4 — 16 х у 3 = 2 х (х — 2у) (х2 + 2ху 4у2).
Мы прерывали запись действий рассуждениями. Конечно, при
решении такого рода примеров рассуждения надлежит производить
без записи—вслух или про себя, и запись должна выглядеть так:
2лг4 — 18ху3 = 2х (х 3 — 8у3) — 2 х ( х — 2у) ( х 2 2х у 4у2).

 

Упражнения

Разложить на множители:
1. л:4 — 16у*. 3. а* + 6аЬ + 9Ь* — 4с*. 5. 4ху — х yz*.
2. 4х у 3 — 4л;8у. 4. 8х4 — 27а8х . 6. х* + 2х — у* — 2у.

105 Алгебра.Применение формул сокращенного умножения. Производная в школьном курсе математики.

Применение формул сокращенного умножения, Производная в школьном курсе математики.

matematika.advandcash.biz