Предел квадратного корня – Пределы с корнями, примеры решений
Решение пределов с корнями онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
Есть два вида выражений-функций с корнями, для которых надо найти предел.
- Функции, содержащие корень (sqrt) в числителе или знаменателе дроби:
- Функции, имеющие разность двух корней:
Оба этих случая легко решает калькулятор пределов.
Как ввести корень в форму?
К примеру, если вы хотите ввести разность двух корней, то укажите следующее выражение:
sqrt(x^2 + 2*x) — sqrt(-3 + x^2)
Для этого примера вы получите подробное решение:
Возьмём предел
::
__________ _________
/ 2 / 2
lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x
x->oo
Устраним неопределённость oo - oo
Домножим и разделим на
::
_________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
тогда
::
__________ _________
/ 2 / 2
lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x =
x->oo
::
/ __________ _________\ / _________ __________\
| / 2 / 2 | | / 2 / 2 |
\\/ x + 2*x - \/ -3 + x /*\\/ -3 + x + \/ x + 2*x /
lim ------------------------------------------------------------- =
x->oo _________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
::
2 2
__________ _________
/ 2 / 2
\/ x + 2*x - \/ -3 + x
lim ------------------------------ =
x->oo _________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
::
2 2
x + 2*x + 3 - x
lim ----------------------------
x->oo _________ __________ =
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
::
3 + 2*x
lim ----------------------------
x->oo _________ __________
/ 2 / 2
\/ -3 + x + \/ x + 2*x
Разделим числитель и знаменатель на x:
::
3
2 + -
x
lim ----------------------------
x->oo _________ __________ =
/ 2 / 2
\/ -3 + x \/ x + 2*x
------------ + -------------
x x
::
3
2 + -
x
lim ----------------------------------
x->oo _________ __________
/ 2 / 2 =
/ -3 + x / x + 2*x
/ ------- + / --------
/ 2 / 2
\/ x \/ x
::
3
2 + -
x
lim ---------------------------
x->oo ________ _______
/ 3 / 2
/ 1 - -- + / 1 + -
/ 2 \/ x
\/ x
Сделаем замену
::
1
u = -
x
тогда
::
3
2 + -
x
lim ---------------------------
x->oo ________ _______ =
/ 3 / 2
/ 1 - -- + / 1 + -
/ 2 \/ x
\/ x
::
2 + 3*u
lim ---------------------------
u->0+ __________ =
/ 2 _________
\/ 1 - 3*u + \/ 1 + 2*u
::
2 + 3*0
--------------------------- = 1
= __________
/ 2 _________
\/ 1 - 3*0 + \/ 1 + 2*0
Получаем окончательный ответ:
::
__________ _________
/ 2 / 2
lim \/ x + 2*x - \/ -3 + x = 1
x->oo
Для случая, когда корень находится в числителе или знаменателе дроби, то, к примеру, введите так:
(sqrt(x + 1) — sqrt(2*x — 2))/(x — 3)
Не забудьте указать к чему стремится переменная x.
Для указанного примера Вы также получите подробное решение, но с применением правила Лопиталя.
Ещё раз приводим ссылку на калькулятор:
>> решение пределов функций <<
www.kontrolnaya-rabota.ru
пределы с корнями | Математика
Рассмотрим примеры на пределы с корнями, в которых требуется раскрыть неопределенность вида 0 на 0.
Чтобы раскрыть неопределенность 0/0, числитель разложим на множители по формуле суммы кубов, затем и числитель, и знаменатель, домножим на выражение, сопряженное знаменателю (чтобы в знаменателе получить формулу разности квадратов, что позволит нам избавиться от квадратного корня):
И числитель, и знаменатель умножаем на выражение, сопряженное знаменателю. Знаменатель раскладываем по теореме о разложении квадратного трехчлена на множители:
Домножаем и числитель, и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю. То есть
Примеры для самопроверки:
Показать решение
adminПредел функции
www.matematika.uznateshe.ru
Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Вторая часть.
Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:
\begin{equation} a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end{equation} \begin{equation} a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end{equation} \begin{equation} a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end{equation}Пример №4
Найти $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}$.
Решение
Так как $\lim_{x\to 4}\left(\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}\right)=0$ и $\lim_{x\to 4}(16-x^2)=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Чтобы избавиться от иррациональности, вызвавшей эту неопределенность, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое к числителю. Формула №1 здесь уже не поможет, ибо домножение на $\sqrt[3]{5x-12}+\sqrt[3]{x+4}$ приведёт к такому результату:
$$ \left(\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}\right)\left(\sqrt[3]{5x-12}+\sqrt[3]{x+4}\right)=\sqrt[3]{(5x-12)^2}-\sqrt[3]{(x+4)^2} $$Как видите, такое домножение не избавит нас от разности корней, вызывающей неопределённость $\frac{0}{0}$. Нужно домножить на иное выражение. Это выражение должно быть таким, чтобы после домножения на него исчезла разность кубических корней. А кубический корень может «убрать» только третья степень, посему нужно использовать формулу №2. Подставив в правую часть этой формулы $a=\sqrt[3]{5x-12}$, $b=\sqrt[3]{x+4}$, получим:
$$ \left(\sqrt[3]{5x-12}- \sqrt[3]{x+4}\right)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)=\\ =\sqrt[3]{(5x-12)^3}-\sqrt[3]{(x+4)^3}=5x-12-(x+4)=4x-16. $$Итак, после домножения на $\sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2}$ разность кубических корней исчезла. Именно выражение $\sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2}$ будет сопряжённым к выражению $\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}$. Вернемся к нашему пределу и осуществим умножение числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое числителю $\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}$:
$$ \lim_{x\to 4}\frac{\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{\left(\sqrt[3]{5x-12}- \sqrt[3]{x+4}\right)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}{(16-x^2)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{4x-16}{(16-x^2)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)} $$Задача практически решена. Осталось лишь учесть, что $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (см. формулу №1). Кроме того $4x-16=4(x-4)$, поэтому последний предел перепишем в такой форме:
$$ \lim_{x\to 4}\frac{4x-16}{(16-x^2)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =\lim_{x\to 4}\frac{4(x-4)}{-(x-4)(x+4)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =-4\cdot\lim_{x\to 4}\frac{1}{(x+4)\left( \sqrt[3]{(5x-12)^2}+\sqrt[3]{5x-12}\cdot \sqrt[3]{x+4}+\sqrt[3]{(x+4)^2} \right)}=\\ =-4\cdot\frac{1}{(4+4)\left( \sqrt[3]{(5\cdot4-12)^2}+\sqrt[3]{5\cdot4-12}\cdot \sqrt[3]{4+4}+\sqrt[3]{(4+4)^2} \right)}=-\frac{1}{24}. $$Ответ: $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt[3]{5x-12}-\sqrt[3]{x+4}}{16-x^2}=-\frac{1}{24}$.
Рассмотрим ещё один пример (пример №5) в данной части, где применим формулу №4. Принципиально схема решения ничем не отличается от предыдущих примеров, – разве что сопряжённое выражение будет иметь иную структуру. Кстати, стоит отметить, что в типовых расчётах и контрольных работах часто встречаются задачи, когда, например, в числителе размещены выражения с кубическим корнем, а в знаменателе – с корнем квадратным. В этом случае приходится домножать и числитель и знаменатель на различные сопряжённые выражения. Например, для при вычислении предела $\lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt{x+1}-3}$, содержащего неопределённость вида $\frac{0}{0}$, домножение будет иметь вид:
$$ \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt[3]{x}-2}{\sqrt{x+1}-3}=\left|\frac{0}{0}\right|= \lim_{x\to 8}\frac{\left(\sqrt[3]{x}-2\right)\cdot \left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)}{\left(\sqrt{x+1}-3\right)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)}=\\= \lim_{x\to 8}\frac{(x-8)\cdot\left(\sqrt{x+1}+3\right)}{\left(x-8\right)\cdot\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)}= \lim_{x\to 8}\frac{\sqrt{x+1}+3}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}=\frac{3+3}{4+4+4}=\frac{1}{2}. $$Все преобразования, применённые выше, уже были рассмотрены ранее, поэтому полагаю, особых неясностей здесь нет. Впрочем, если решение вашего аналогичного примера вызывает вопросы, прошу отписать об этом на форум.
Пример №5
Найти $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}$.
Решение
Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt[4]{5x+6}-2)=0$ и $\lim_{x\to 2}(x^3-8)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. Для раскрытия оной неопределённости используем формулу №4. Сопряжённое выражение к числителю имеет вид
$$\sqrt[4]{(5x+6)^3}+\sqrt[4]{(5x+6)^2}\cdot 2+\sqrt[4]{5x+6}\cdot 2^2+2^3=\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8.$$Домножая числитель и знаменатель дроби $\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}$ на указанное выше сопряжённое выражение будем иметь:
$$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=\left|\frac{0}{0}\right|=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{\left(\sqrt[4]{5x+6}-2\right)\cdot \left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5x+6-16}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)} $$Так как $5x-10=5\cdot(x-2)$ и $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (см. формулу №2), то:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{5x-10}{(x^3-8)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ =\lim_{x\to 2}\frac{5(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ \lim_{x\to 2}\frac{5}{(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt[4]{(5x+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5x+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5x+6}+8\right)}=\\ \frac{5}{(2^2+2\cdot 2+4)\cdot\left(\sqrt[4]{(5\cdot 2+6)^3}+2\cdot\sqrt[4]{(5\cdot 2+6)^2}+4\cdot\sqrt[4]{5\cdot 2+6}+8\right)}=\frac{5}{384}. $$Ответ: $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=\frac{5}{384}$.
Пример №6
Найти $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}$.
Решение
Так как $\lim_{x\to 2}(\sqrt[5]{3x-5}-1)=0$ и $\lim_{x\to 2}(\sqrt[3]{3x-5}-1)=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. В таких ситуациях, когда выражения под корнями одинаковы, можно использовать способ замены. Требуется заменить выражение под корнем (т.е. $3x-5$), введя некоторую новую переменную. Однако простое использование новой буквы ничего не даст. Представьте, что мы просто заменили выражение $3x-5$ буквой $t$. Тогда дробь, стоящая под пределом, станет такой: $\frac{\sqrt[5]{t}-1}{\sqrt[3]{t}-1}$. Иррациональность никуда не исчезла, – лишь несколько видоизменилась, что нисколько не облегчило задачу.
Здесь уместно вспомнить, что корень может убрать лишь степень. Но какую именно степень использовать? Вопрос не тривиален, ведь у нас два корня. Один корень пятого, а другой – третьего порядка. Степень должна быть такой, чтобы одновременно убрать оба корня! Нам нужно натуральное число, которое одновременно делилось бы на $3$ и на $5$. Таких чисел бесконечное множество, но наименьшее из них – число $15$. Его называют наименьшим общим кратным чисел $3$ и $5$. И замена должна быть такой: $t^{15}=3x-5$. Посмотрите, что такая замена сделает с корнями:
$$ \sqrt[5]{3x-5}=\sqrt[5]{t^{15}}=t^{\frac{15}{5}}=t^3;\\ \sqrt[3]{3x-5}=\sqrt[3]{t^{15}}=t^{\frac{15}{3}}=t^5.\\ $$Корни исчезли, остались лишь степени. И дробь $\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}$ станет такой:
$$ \frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}=\frac{t^3-1}{t^5-1}. $$Однако это ещё не всё. Переменная $x\to 2$, но к чему стремится переменная $t$? Рассудим так: если $t^{15}=3x-5$, то $t=\sqrt[15]{3x-5}$. Так как $x\to 2$, то ${(3x-5)}\to 1$, $\sqrt[15]{3x-5}\to 1$, посему $t\to 1$. Теперь можем вернуться к нашему пределу:
$$ \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{t\to 1}\frac{t^3-1}{t^5-1} $$Корни исчезли, – но неопределённость $\frac{0}{0}$ осталась. Чтобы убрать её, нужно учесть, что при $t=1$ имеем $t^3-1=1^3-1=0$ и $t^5-1=1^5-1=0$. Из сказанного следует, что $t=1$ — корень многочленов $t^3-1$ и $t^5-1$. Следовательно, оные многочлены делятся на $t-1$. Разделим многочлен $t^5-1$ на $t-1$ с помощью схемы Горнера:
Результаты применения схемы Горнера можно записать так: $t^5-1=(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)$. К многочлену $t^3-1$ можно также применить схему Горнера, но лучше использовать формулу №2: $t^3-1=t^3-1^3=(t-1)(t^2+t+1)$. Вернёмся к рассматриваемому пределу:
$$ \lim_{t\to 1}\frac{t^3-1}{t^5-1}=\lim_{t\to 1}\frac{(t-1)(t^2+t+1)}{(t-1)(t^4+t^3+t^2+t+1)}=\\ =\lim_{t\to 1}\frac{t^2+t+1}{t^4+t^3+t^2+t+1}=\lim_{t\to 1}\frac{1^2+1+1}{1^4+1^3+1^2+1+1}=\frac{3}{5}. $$Ответ: $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[5]{3x-5}-1}{\sqrt[3]{3x-5}-1}=\frac{3}{5}$.
math1.ru
Что такое предел функции как его найти
Обобщённое понятие предела: число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.
Поясним это на примере, который также проиллюстрируем. А после примера приведём общий алгоритм решения пределов.
Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и стремится к бесконечности, то есть . Допустим, существует такой равнобедренный треугольник, что длина диаметра каждой вписанной в него окружности расчитывается по формуле
Величина, которую нам требуется найти, будет записана так:
Lim это и есть предел, а под ним указывается переменная, которая стремится к определённому значению – нулю, любому другому числу, бесконечности.
Теперь вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это называется «доопределить функцию», с этим определением вы можете ознакомиться в последующих частях главы «Предел»). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:
С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину — последовательность сумм их диаметров:
Рассмотрев рисунок снова, обнаружим, что предел последовательности равен h – высоте равнобедренного треугольника. Вообще, предел может быть равен нулю, любому другому числу или бесконечности.
Теперь более строгие определения предела функции, которые Вас могут спросить на экзамене, и для понимания которых потребуется чуть больше внимания.
Предел функции при
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть дана точка . Возьмём из X последовательность точек, отличных от :
(1)
сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
(2)
и можно ставить вопрос о существовании её предела.
Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.
Пример 1. Найти предел функции при .
Решение. Подставляем вместо x значение 0. Получаем:
.
Итак, предел данной функции при равен 1.
Предел функции при , при и при
Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.
Символически это записывается так: .
Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.
Символически это записывается так: ().
Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.
Пример 2. Найти предел функции при .
Решение. Подставляем вместо x бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю:
.
Для наглядности и убедительности, решая данный пример в черновике, можете подставить вместо x супербольшое число. При делении получите супермалое число.
Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.
Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.
Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке , то:
1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.
(3)
2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.
(4)
3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.
(5)
Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.
Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
Пример 3. Найти предел:
Решение.
Пример 4. Найти предел:
Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:
Таким образом, формула (5) применима и, значит,
Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел
а функция f(u) непрерывна в точке , то
Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.
Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.
Пример 5. Найти предел:
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как
Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим
где
корни квадратного трёхчлена (если Вы забыли, как решать квадратные уравнения, то Вам сюда). Теперь сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:
При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида . Эта неопределённость и неопределённость вида — самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.
БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.
Освоим эти приёмы на примерах.
Для преобразования выражений потребуются пособия
Неопределённость вида
Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :
.
Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или «супермалому числу».
Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .
Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:
.
Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем «икс» под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо «икса».
Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.
Неопределённость вида
Пример 14. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. В числителе — разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:
.
В знаменателе — квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):
Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:
Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку
Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1. Согласно следствию из теоремы 1, получим выражение, решая которое, находим искомый предел:
Пример 16. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Непосредственная подстановка значения x = 0 в заданную функцию приводит к неопределённости вида 0/0. Чтобы раскрыть её, выполним тождественные преобразования и получим в итоге искомый предел:
Продолжение темы «Предел»
Поделиться с друзьями
function-x.ru
пределы бесконечность минус бесконечность | Математика
Рассмотрим пределы на раскрытие неопределенности бесконечность минус бесконечность на конкретных примерах.Найти предел функции:
Чтобы найти предел, то есть раскрыть неопределенность бесконечность минус бесконечность, домножим и разделим на выражение, сопряженное данному (чтобы затем по формуле разности квадратов избавиться от квадратного корня):
Аналогично: умножаем и делим на выражение, сопряженное данному:
Умножим и разделим на выражение, сопряженное данному. В данном примере, чтобы избавиться от кубического корня, мы должны получить формулу суммы кубов. То есть умножаем и делим на неполный квадрат разности:
В общем случае, чтобы раскрыть неопределенность вида бесконечность минус бесконечность, пробуем действовать по одной из схем:
или
adminПредел функции
www.matematika.uznateshe.ru
Квадратный корень | Математика | FANDOM powered by Wikia
Квадратные корни из натуральных чисел до 25 включительно. В квадрат со стороною √2 вписана окружность.
Квадра́тный ко́рень из $ \! a $ (корень 2-й степени, $ \sqrt{a} $) — это решение уравнения: $ x^2 = a $. Иначе говоря, квадратный корень из $ \! a $ — число, дающее $ \! a $ при возведении в квадрат. Операция вычисления значения $ \sqrt{a} $ называется «извлечением квадратного корня» из числа $ a $. Наиболее часто под $ \! x $ и $ \! a $ подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими математическими объектами, например матрицами и операторами.
Пример для вещественных чисел: $ \sqrt{9}=\pm 3, $ потому что $ {(\pm 3)}^2=9. $ У квадратного корня существуют противоположные, т.е. отличающиеся знаком значения (в данном примере, положительное и отрицательное числа), и это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при $ \! a \geqslant 0 $ всегда неотрицательно (а на положительных $ \! a $ — положительно; в примере это число 3
Квадратный корень из числа $ \! a $ — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен $ \! a $, то есть решение уравнения $ \! x^2=a $ относительно переменной $ \! x $.[1][2]
Рациональные числаПравить
При натуральных $ \! a $ уравнение $ \! x^2=a $ не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном $ \! a $, разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда когда и числитель и знаменатель числа $ \! a $, представленного в виде несократимой дроби, являются квадратными числами.
Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к наничивает точность приближения: $ |\sqrt{r}-p/q|>\frac{1}{Cq^2} $, где $ \! C $ зависит от [3][4]. Верно и $ \! r $то, что любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.
Действительные (вещественные) числаПравить
Теорема. Для любого положительного числа $ a $ существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.[5]
Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа $ \! a $ называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала $ \sqrt a $[6].
Комплексные числаПравить
Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля).Дичь из комплексного числа $ \! a $ часто обозначают как $ \sqrt{a} $, однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:
- $ -1=(\sqrt{-1})^2=\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1 $
Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если
- $ \! a=|a|e^{i\phi} $,
то (см. Формула Муавра)
- $ \sqrt{a}=\sqrt{|a|}e^{i(\phi+2\pi k)/2} $,
где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.Ты втираешь мне какую то дичь!
График функции $ y=\sqrt x $
Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функции $ \! x^\alpha $ с $ \! \alpha=1/2 $. Арифметический квадратный корень является гладким при $ \! x>0 $, в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем.[7]
Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, листы которой соединяются в нуле.
Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида $ x \circ x = a $ и для других объектов: матриц[8], функций[9], операторов[10] и т. п. В качестве операции $ \circ $ при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.
В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть $ (G,\cdot) $ — группоид и $ a\in G $. Элемент $ x\in G $ называется квадратным корнем из $ \ a $ если $ \ x \cdot x=a $.
Квадратный корень в элементарной геометрииПравить
Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. [11]
Квадратный корень в информатикеПравить
Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).
Алгоритмы нахождения квадратного корняПравить
Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.
Разложение в ряд ТейлораПравить
- $ \sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \textstyle \frac{1}{2}x — \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 — \frac{5}{128} x^4 + \dots,\! $ при $ |x| \le 1 $.
Арифметическое извлечение квадратного корняПравить
Для квадратов чисел верны следующие равенства:
- $ 1 = 1^2 $
- $ 1 + 3 = 2^2 $
- $ 1 + 3 + 5 = 3^2 $
- $ \sum^n_{k=1}{(2k-1)}=n^2 $
и так далее.
То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:
- $ 9-1=8 $
- $ 8-3=5 $
- $ 5-5=0 $
Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.
Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.
Если требуется найти квадратный корень с точностью до нескольких знаков после запятой, то этот метод по-прежнему можно использовать, хотя он и становится очень затратным. Исходное число следует дополнить соответствующим количеством пар нулей, а результат потом соответствующее количество раз поделить на 10. Например, для вычисления корня из 2 с точностью до одного знака нужно исходное число дополнить одной парой нулей, получив 200. В процессе извлечения квадратного корня из 200 описанным методом будет произведено 14 действий вычитания, что после однократного деления на 10 даёт результат 1,4. Для получения корня из 2 с точностью до двух знаков (результат 1,41) потребуется фактически извлекать корень из 20000, что потребует уже 141 действия вычитания.
Грубая оценкаПравить
Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:
- Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем $ \sqrt{S} \approx 2 \cdot 10^n. $
- Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем $ \sqrt{S} \approx 6 \cdot 10^n. $
Два и шесть используются потому, что $ \sqrt{\sqrt{1 \cdot 10}} = \sqrt[4]{10} \approx 2 \, $ и $ \sqrt{\sqrt{10 \cdot 100}} = \sqrt[4]{1000} \approx 6 \,. $
При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку $ 2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor} $ (здесь D это число двоичных цифр).
Геометрическое извлечение квадратного корняПравить
$ |BH| = \sqrt{|AH|\cdot|HC|} $
В частности, если $ \! |AH| = 1 $, а $ \! |HC| = x $, то $ |BH|=\sqrt{x} $ [12]
Итерационный аналитический алгоритмПравить
Основная статья: Итерационная формула Герона
$ \begin{cases} x_{n+1} = \frac{1}{2} \left(x_n + \frac{a}{x_n} \right) \\ x_0 = a \end{cases} $
тогда $ \lim_{n \to \infty}x_n = \sqrt{a} $
СтолбикомПравить
Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.
Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так 31234,567 можно представить, как 03 12 34, 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами по 2 цифры.
- Записать число N (в примере — 69696) на листке.
- Найти $ a $, квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат $ a+1 $ больше группы старших разрядов числа. Записать найденное $ a $ справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера $ a^2=2^2=2 \cdot 2=4 < 6 $, а $ (a+1)^2=3^2=3 \cdot 3=9 > 6 $).
- Записать квадрат $ a $ под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа $ a $ и записать результат вычитания под ними.
- Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число $ b $. (На первом шаге примера это число просто есть $ b=2 \cdot 20=40 $, на втором $ b=26 \cdot 20=520 $).
- Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем $ c $ число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число $ c=296 $, на втором $ c=2096 $). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
- Теперь нужно найти такое $ a $, что $ (b+a) \cdot a $ меньше или равно $ c $, но $ (b+(a+1)) \cdot (a+1) $ больше, чем $ c $. Записать найденное $ a $ справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что $ a $ окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как $ (40+6) \cdot 6=46 \cdot 6=276 < 296 $, но $ (40+7) \cdot 7=47 \cdot 7=329 > 296 $) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
- Записать число $ (b+a) \cdot a $ под $ c $. Провести вычитание столбиком числа $ (b+a) \cdot a $ из $ c $ и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.
Наглядное описание алгоритма:
- ↑ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
- ↑ «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ($ \! x^{n}=a $)… Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
- ↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
- ↑ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
- ↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
- ↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
- ↑ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
- ↑ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
- ↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
- ↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
- ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
- ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148
ru.math.wikia.com