Предел корень степени n из n – .

Предел монотонной ограниченной последовательности. Существование корня степени n из вещественного числа. Число e

Определение. Пусть — произвольная числовая последовательность. Построим новую последовательность по правилу

   

Последовательность называется последовательностью частичных сумм последовательности .

Определение. Пусть — последовательность, — последовательность частичных сумм последовательности . Предел последовательности называется суммой всех членов последовательности .

Найдем сумму всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, т.е. геометрической прогрессии со знаменателем, по модулю меньшим .

Пусть — геометрическая прогрессия с первым членом и знаменателем . . Действительно, из неравенства Бернулли

   

имеем

   

Поскольку , то представимо в виде . Тогда

   

Применим теорему о сжатой последовательности

   

Имеем .

Пусть — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда

   

Если через обозначить сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, то

   

Вспомним аксиому непрерывности множества вещественных чисел.

Любое ограниченное множество имеет точную верхнюю границу (т.е. существует наименьшая из всех верхних границ).

Из определения точной верхней границы множества следует характеристическое свойство точной верхней границы:

Число называется точной верхней границей множества , если

1) — верхняя граница ;

2) .

Обозначение .

Замечание. Аналогично определяется точная нижняя граница множества — .

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности x_n. Докажем, что точная верхняя граница для последовательности и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

   

Кроме того, какое бы ни взять число , найдется такой номер , что

   

Так как последовательность монотонна, то при будет , а значит, и и выполняются неравенства

   

откуда и следует, что .

Приложения.

I. Существование ,

Пусть . Корень -й степени из — такое вещественное число , что . Рассмотрим случай, когда и будем искать , удовлетворяющее этому соотношению, т.е. арифметическое значение корня.

Возьмем возрастающую последовательность рациональных чисел .

Докажем, что последовательность .

Последовательность возрастает. Действительно, предположим противное: . Тогда, по свойствам неравенств, будем иметь , что противоречит возрастанию . Аналогично доказывается ее ограниченность. Возьмем рациональное число . Тогда, очевидно, . Таким образом, последовательность имеет предел. По теореме о пределе произведения

   

т.е. .

II. Число (число Эйлера, число Непера)

Рассмотрим последовательность

   

Докажем, что эта последовательность имеет предел. Применим бином Ньютона

   

Если от перейти к , т.е. увеличить на единицу, то, прежде всего, добавится новый, -й положительный член, каждый же из написанных членов увеличится, так как любой множитель в скобках вида заменится большим множителем . Отсюда и следует, что , т.е. последовательность возрастает.

Покажем, что она ограничена сверху. Опустив в выражении для все множители в скобках, мы этим увеличим его, так что

   

Заменив каждый множитель в знаменателях дробей числом , мы еще увеличим полученное выражение:

   

Но прогрессия, начинающаяся членом , имеет сумму меньше , поэтому .

Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815–1897), будучи восемь лет преподавателем католической гимназии в городе Браунсберге, усиленно занимался математикой. Директор гимназии с уважением относился к его занятиям математикой. Однажды Вейерштрасс утром не явился на урок, дав ученикам повод пошуметь в классе. Директор гимназии, придя на квартиру к Вейерштрассу, к своему удивлению обнаружил, что он всю ночь занимался математикой и, не заметив наступившего уже утра, продолзжал свои размышления перед горящей лампой. Вскоре в знаменитом “Журнале чистой и прикладной математики”, издаваемом А.Л. Крелле (1780–1855), появилась статья Вейерштрасса по теории функций Абеля с датой 11 сентября 1853 года.

Много позднее сестра Вейерштрасса Клара в одном из писем Софье Владимировне Ковалевской (1850–1891) от 22 марта 1882 года писала: “Математики — самоистязатели”. Когда Карл одержим математикой, то даже “за едой он указательным пальцем правой руки пишет формулы на поверхности другой руки.”

Задачи.

1) Докажите, что данные последовательности имеют предел и найдите его:

1.
2.
3.

2) Докажите, что последовательность

   

не имеет предела.

3) выясните, при каких значениях последовательность :

   

имеет предел.

4) Найдите пределы последовательностей:

1.

2.

hijos.ru

Корень n – ой степени из комплексного числа

Рассмотрим два комплексных числа с1 и с2, с20. . По определению частного с1 = с·с2 = ·с2.

Arg c1 = Arg + Arg c2

Arg = Arg c1 — Arg c2

Итак, с = = [cos(Arg c1 — Arg c2)+i·sin(Arg c1 — Arg c2)]

Комплексное число с = изображается вектором, который получается из вектора с1 путем его сжатия в раз, затем поворотом полученного вектора на угол (-Arg c2)

6. Корень n – ой степени из комплексного числа

Возьмем произвольное комплексное число с и натуральное число n 2.

Комплексное число

Z называется корнем n–ой степени из комплексного числа c, если Zn = c.

Найдем все значения корня nой степени из комплексного числа с. Пусть c=|c|·(cos Arg c+i·sin Arg с), а Z = |Z|·(сos Arg Z + i·sin Arg Z), где Z корень nой степени из комплексного числа с. Тогда должно быть = c = |c|·(cos Arg c+i·sin Arg с). Отсюда следует, что и n·Arg Z = Arg с Arg Z = (k=0,1,…). Следовательно, Z = (cos + i·

sin ), (k=0,1,…). Легко увидеть, что любое из значений , (k=0,1,…) отличается от одного из соответствующих значений ,(k = 0,1,…,n-1) на кратное . Поэтому

, (k = 0,1,…,n-1).

7. Предел последовательности комплексных чисел

Комплексно-значная функция натурального аргумента называются последовательностью комплексных чисел и обозначаетсяn) или с1, с2, …, сn. сn = аn+bn·i (n = 1,2, …) комплексные числа.

с1, с2, … — члены последовательности; сn – общий член

Комплексное число с = a+b·i называется пределом последовательности комплексных чисел (

cn), где сn = аn+bn·i (n = 1, 2, …), где для любого , что при всех n > N выполняется неравенство . Последовательность, имеющая конечный предел называется сходящейся последовательностью.

Теорема.

Для того, чтобы последовательность комплексных чисел (сn) (сn = аn+bn·i) сходилась к числу с = a+b·i, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство lim an = a, lim bn = b.

Теорема.

Пусть последовательность комплексных чисел (сn) и (zn) сходятся соответственно к с и z, тогда справедливо равенства

limn zn) = c z, limn·zn) = c·z. Если доподлинно известно, что z не равно 0, то справедливо равенство .

8. Понятие функции комплексного переменного.

Рассмотрим в комплексной плоскости (Z) два множества E и D (не пустые).

Отображение множества на множество называется функцией комплексного переменного (D может принадлежать другой плоскости (W)). Любому Z0, принадлежащему E, указан каким-то способом одним элемент из D).

Пусть Z = x+i·y, W = u+i·v. Очевидно, что задание функции комплексного переменного эквивалентно следующему: каждой паре (

Е здесь принадлежит декартовой плоскости) ставится в соответствие два числа v и u. Следовательно, задание функции комплексного переменного W = f(Z) эквивалентно заданию вещественных функций u = u(x,y), v = v(x,y). При этом мы имеем f(Z) = u(x,y) + i·v(x,y).

Функция u(x,y) называется вещественной частью функции f(Z), а v(x,y) мнимой частью f(Z). Таким образом, Ref(Z) = u(x,y) , Imf(Z

) = v(x,y).

Например, для функции W = Z2 = (x +i·y)2 = x2y2 + 2·i·x·y вещественная часть ReZ2 = x2y2, ImZ2 = 2·x·y.

Геометрически, как отображение множества на множество .

matematiku5.ru

Как решать пределы с корнями, примеры решений

Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения в функцию получаются неопределенности трёх видов:

  1.  

Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи

Тип 1

Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.

Пример 1
Найти предел с корнем
Решение

Подставляем в подпределельную функцию:

Получаем неопределенность . Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень:

Используя формулу разности квадратов приведем предел к следующему виду:

Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его:

Сокращам функцию в пределе на , имеем:

Ответ

Тип 2

Пределы с корнем такого типа, когда вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.

Пример 2
Решить предел с корнем
Решение

Вставляем в предел и получаем . Определяем, что в числителе старшая степень это , а в знаменателе . Выносим их за скобки: 

Теперь выполняем сокращение:

Снова подставляем в предел, имеем:

Ответ

Тип 3

Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.

Пример 3
Вычислить предел корня
Решение

При  в пределе видим:

После домножения и разделения на сопряженное имеем предел:

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов:

После раскрытия скобок и упрощения получаем:

Далее выносим за скобки и сокращаем:

Снова подставляем в предел и вычисляем его:

Ответ

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Предел функции с корнями

Среди примеров пределов функции часто встречаются функции с корнями, которые не всегда понятно как раскрывать. Проще когда есть пример границе с корневой функцией вида

Решение подобных пределов просто и понятно каждому.
Трудности возникают если есть следующие примеры функций с корнями.

Пример 1. Вычислить предел функции

При прямой подстановке точки x = 1 видно что и числитель и знаменатель функции

превращаются в ноль, то есть имеем неопределенность вида 0/0.
Для раскрытия неопределенности следует умножить выражение, содержащее корень на сопряженное к нему и применить правило разности квадратов. Для заданного примера преобразования будут следующими



Предел функции с корнями равен 6. Без приведенного правила ее трудно было бы найти.
Рассмотрим подобные примеры вычисления границы с данным правилом

Пример 2. Найти предел функции

Убеждаемся что при подстановке x = 3 получаем неопределенность вида 0/0.
Ее раскрываем умножением числителя и знаменателя на сопряженное к числителю.


Далее числитель раскладываем согласно правилу разности квадратов

Вот так просто нашли предел функции с корнями.

Пример 3. Определить предел функции

Видим, что имеем неопределенность вида 0/0.
Избавляемся ирациональносьти в знаменателе

Предел функции равна 8.

 

Теперь рассмотрим другой тип примеров, когда переменная в переделе стремится к бесконечности.

Пример 4. Вычислить предел функции

Много из Вас не знают как найти предел функции. Ниже будет раскрыта методика вычислений.
Имемем предел типа бесконечность минус бесконечность. Умножаем и делим на сопряженный множитель и используем правило разности квадратов

Границ функции равна -2,5.

Вычисление подобных пределов фактически сводится к раскрытию иррациональности , а затем подстановке переменной

Пример 5. Найти предел функции

Предел эквивалентен — бесконечность минус бесконечность
.
Умножим и разделим на сопряженное выражение и выполним упрощение

Пример 6. Чему равен предел функции?

Имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность

Выполняем преобразования с корневыми функциями


предел функции равен -2.

Хорошо ознакомьтесь с методикой раскрытия неопределенностей, алгоритм достаточно прост и поможем найти сложную границу функции.

yukhym.com

Корень n-ной степени из действительного числа /qualihelpy

Если показатель корня четное число, то подкоренное выражение не может быть отрицательным числом, так как четная степень и положительного и отрицательного числа есть число положительное. 

Если показатель корня нечетное число, то подкоренное выражение может быть положительным числом, отрицательным числом и числом  . 

Свойства корней:

 ; (1.16) ; (1.17) ; (1.18)
 ; (1.19) . (1.20)

Внесение множителя под знак корня

Если показатель корня нечетное число, то для любого числа  и натурального числа  справедливо равенство:  . (1.21)Если   , то  . Например,   .

Вынесение множителя из-под знака корня 

Если показатель корня нечетное число, то справедливо равенство:

 . (1.22)

Если показатель корня четное число, то справедливо равенство:

 . (1.23)Например:   ;   .

Сравнение выражений, содержащих корни

1. Если   , то   . Например,   .2. Если   и   , то   . Например,   .3. Если   и  , то   . Например,   .4. Чтобы сравнить числа   и   , необходимо представить их в виде корня одной и той же степени.

Степень с действительным показателем 

Степени с действительным показателем обладают всеми свойствами степеней с целым показателем. При этом следует помнить, что: 

а) степень числа с натуральным показателем имеет смысл для любого основания, так как эта степень определяется с помощью операции умножения;

б) степень с целым отрицательным показателем имеет смысл для любого основания, кроме основания  , так как эта степень определяется с помощью операций умножения и деления; 

в) степень с рациональным показателем определяется с помощью операции извлечения корня, которая всегда выполнима, если основание степени положительное число и не всегда выполнима, если основание степени отрицательное число; 

г) степень с любым действительным показателем всегда определена, если ее основание – положительное число. 

Среднее арифметическое и среднее геометрическое 

Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел необходимо сумму этих чисел разделить на их количество. 

Например, среднее арифметическое чисел ,  и  равно   .

helpy.quali.me

Предел корень n ой степени из n

Непосредственное вычисление пределов основано на определении непрерывности функции в точке, на определении предела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции.

Значение предела в точке непрерывности функции равно значению функции в этой точке.

То есть, для основных элементарных функций (и функций полученных из основных элементарных с помощью элементарных преобразований графиков), опираясь на их известные свойства, предел в любой точке из области определения, кроме граничных, можно вычислять как значение соответствующей функции в этих точках.

Так как функция арктангенса непрерывна на всей области определения, то она непрерывна и в точке . Следовательно, значение предела равно значению функции в этой точке.

В граничных точках области определения вычисляются односторонние пределы. Например, для арксинуса и арккосинуса при или .

На плюс или минус бесконечности вычисляются соответствующие пределы при или на основании определеня предела функции на бесконечности.

  1. , где k – коэффициент.
  2. , если в результате не выходит одна из неопределенностей пределов.
  3. Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:

Массу пределов можно вычислить зная свйства основных элементарных функций. Приведем значение пределов этих функций в таблице, а ниже дадим разъяснения и несколько примеров с решениями. Все значения можно вычислить основываясь на определении предела функции в точке и на бесконечности.

Держите эту таблицу основных пределов перед глазами при решении задач и примеров. Она значительно упростит Вам жизнь.

Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:

Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция . Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем и , следовательно, можно записать .

Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большем единицы, откуда имеем:

При непосредственном вычислении пределов функций более сложного вида далеко не всегда сразу получается конкретное значение. Зачастую приходится иметь дело с различными видами неопределенностей.

Закончим этот раздел графическим пояснением таблицы пределов основных элементарных функций.

Очевидно, предел постоянной функции y=C на бесконечности, так же как и предел постоянной функции при аргументе, стремящемся к некоторому числу x0 , равен числу C .

Для четных показателей корня имеем , для нечетных показателей корня, больших единицы, имеем , а при любом x из области определения предел функции корень n -ой степени равен значению функции в этой точке.

Разделим все степенные функции на группы со схожими значениями пределов в зависимости от показателя степени.

    Если а — положительное нечетное число, то имеем: и , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать .

    Если а — положительное четное число, то имеем: и , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать .

    При других действительных положительных значениях а имеем: , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке.

    Если а — отрицателное нечетное число, то имеем: , , , , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать и .

    Если а — отрицателное четное число, то имеем: , , , , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать и .

    При других действительных отрицательных значениях а имеем: и , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке.

    Для имеем: , , а при любом x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этой точке.

    Для имеем: , , а при любом x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этой точке.

    Для имеем: , , а для остальных x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этих точках.

    Для имеем: , , а для остальных x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этих точках.

    Для функций синуса и косинуса предел на бесконечности не существует,а при любом x из области определения предел равен значению соответствующей функции в этой точке.

    Для функции тангенса имеем , или , а для остальных x из области определения предел тангенса равен значению функции в этих точках.

    Для функции котангенса имеем , или , а для остальных x из области определения предел котангенса равен значению функции в этих точках.

    Для функции арксинус имеем и , а для остальных x из области определения предел арксинуса равен значению функции в этих точках.

    Для функции арккосинус имеем и , а для остальных x из области определения предел арккосинуса равен значению функции в этих точках.

    Для функции арктангенс имеем и , а для остальных x из области определения предел арктангенса равен значению функции в этих точках.

    Для функции котангенса имеем и , а для остальных x из области определения предел арккотангенса равен значению функции в этих точках.

    На этом закончим с пределами основных элементарных функций. Полученные значения пределов будем в дальнейшем постоянно использовать, так что рекомендую запомнить их.

    Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому если

    studentlib.netlify.com

    Предел корня n ой степени из n

    Непосредственное вычисление пределов основано на определении непрерывности функции в точке, на определении предела функции на бесконечности и на использовании свойств предела непрерывной функции.

    Значение предела в точке непрерывности функции равно значению функции в этой точке.

    То есть, для основных элементарных функций (и функций полученных из основных элементарных с помощью элементарных преобразований графиков), опираясь на их известные свойства, предел в любой точке из области определения, кроме граничных, можно вычислять как значение соответствующей функции в этих точках.

    Так как функция арктангенса непрерывна на всей области определения, то она непрерывна и в точке . Следовательно, значение предела равно значению функции в этой точке.

    В граничных точках области определения вычисляются односторонние пределы. Например, для арксинуса и арккосинуса при или .

    На плюс или минус бесконечности вычисляются соответствующие пределы при или на основании определеня предела функции на бесконечности.

    1. , где k – коэффициент.
    2. , если в результате не выходит одна из неопределенностей пределов.
    3. Для непрерывных функций знак предельного перехода и знак функции можно менять местами:

    Массу пределов можно вычислить зная свйства основных элементарных функций. Приведем значение пределов этих функций в таблице, а ниже дадим разъяснения и несколько примеров с решениями. Все значения можно вычислить основываясь на определении предела функции в точке и на бесконечности.

    Держите эту таблицу основных пределов перед глазами при решении задач и примеров. Она значительно упростит Вам жизнь.

    Подставляем значение х=0 в основание нашей показательно степенной функции:

    Теперь займемся показателем. Это есть степенная функция . Обратимся к таблице пределов для степенных функций с отрицательным показателем. Оттуда имеем и , следовательно, можно записать .

    Вновь обращаемся к таблице пределов, но уже для показательных функций с основанием большем единицы, откуда имеем:

    При непосредственном вычислении пределов функций более сложного вида далеко не всегда сразу получается конкретное значение. Зачастую приходится иметь дело с различными видами неопределенностей.

    Закончим этот раздел графическим пояснением таблицы пределов основных элементарных функций.

    Очевидно, предел постоянной функции y=C на бесконечности, так же как и предел постоянной функции при аргументе, стремящемся к некоторому числу x0 , равен числу C .

    Для четных показателей корня имеем , для нечетных показателей корня, больших единицы, имеем , а при любом x из области определения предел функции корень n -ой степени равен значению функции в этой точке.

    Разделим все степенные функции на группы со схожими значениями пределов в зависимости от показателя степени.

      Если а — положительное нечетное число, то имеем: и , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать .

      Если а — положительное четное число, то имеем: и , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать .

      При других действительных положительных значениях а имеем: , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке.

      Если а — отрицателное нечетное число, то имеем: , , , , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать и .

      Если а — отрицателное четное число, то имеем: , , , , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке. Можно записать и .

      При других действительных отрицательных значениях а имеем: и , а при любом x из области определения предел степенной функции равен значению функции в этой точке.

      Для имеем: , , а при любом x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этой точке.

      Для имеем: , , а при любом x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этой точке.

      Для имеем: , , а для остальных x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этих точках.

      Для имеем: , , а для остальных x из области определения предел показательной функции равен значению функции в этих точках.

      Для функций синуса и косинуса предел на бесконечности не существует,а при любом x из области определения предел равен значению соответствующей функции в этой точке.

      Для функции тангенса имеем , или , а для остальных x из области определения предел тангенса равен значению функции в этих точках.

      Для функции котангенса имеем , или , а для остальных x из области определения предел котангенса равен значению функции в этих точках.

      Для функции арксинус имеем и , а для остальных x из области определения предел арксинуса равен значению функции в этих точках.

      Для функции арккосинус имеем и , а для остальных x из области определения предел арккосинуса равен значению функции в этих точках.

      Для функции арктангенс имеем и , а для остальных x из области определения предел арктангенса равен значению функции в этих точках.

      Для функции котангенса имеем и , а для остальных x из области определения предел арккотангенса равен значению функции в этих точках.

      На этом закончим с пределами основных элементарных функций. Полученные значения пределов будем в дальнейшем постоянно использовать, так что рекомендую запомнить их.

      Таблица деления и умножения

      studentlib.netlify.com