Правила сокращенного умножения 8 класс – Формулы сокращенного умножения. Подробная теория с примерами.

Приглашение в мир математики: Формулы сокращённого умножения

Действительно, формулы сокращённого умножения давно вызывают затруднения у школьников, которые пытаются их механически выучить, не понимая принципа. Они, например, упоминаются в хорошем юмористическом рассказе Юрия Сотника «Крокодилёнок» 1950 года.

В то же время использоваться они будут не только в восьмом классе, но и во всей последующей математике, вплоть до задач внешнего тестирования. В этом выпуске «школьного математического справочника» мы сначала представим формулы, а затем расскажем, как они выводятся.

Список формул сокращённого умножения

Выражения с квадратами

1. Как раскрыть квадрат суммы:
Квадрат суммы двух величин равен сумме квадратов этих величин и удвоенного произведения первой величины на вторую.

(a+b)² = a²+2ab+b²

2. Как раскрыть квадрат разности:
Квадрат разности двух величин равен сумме квадратов этих величин, уменьшенному на удвоенное произведение первой величины на вторую.

(a-b)² = a²-2ab+b²

3. Как разложить на множители разность квадратов:
Разность квадратов двух величин равна произведению суммы этих величин на их разность.

a² -b² = (a-b)(a+b)

Формулы для разложения на множители суммы квадратов нет.

Выражения с кубами
4. Как раскрыть куб суммы:
Куб суммы двух величин равен сумме кубов этих величин и утренного произведения этих величин на их сумму. Или, что то же самое, сумме кубов этих величин, утроенного произведения квадрата первой величины на вторую и  утроенного произведения первой величины на квадрат второй.

(a+b)³

 = a³ + b³ +3ab(a+b) =  a³ + 3a²b + 3ab² + b³

4. Как раскрыть куб разности:
Куб разности двух величин равен разности кубов этих величин и утренного произведения этих величин на их разность. Или, что то же самое, кубу первой величины минус утроенное произведение квадрата первой величины на вторую плюс утроенного произведения первой величины на квадрат второй и мус куб второй величины.

(a-b)³ = a³ — b³ +3ab(a-b) =  a³ — 3a²b + 3ab² — b³

5. Как разложить на множители сумму кубов:
Сумма кубов двух величин равна произведению суммы этих величин на неполный квадрат их разности.

a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

6. Как разложить на множители разность кубов:
Разность кубов двух величин равна произведению разности этих величин на неполный квадрат их суммы.

a³ — b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

Обратите внимание, что неполный квадрат разности отличается от обычного квадрата разности тем, что при ab коэффициент равен 1, а не 2. Аналогично и для неполного квадрата суммы.
Вот и все формулы, которые нужны в 8 классе. Помните, что они действуют как в одну сторону, так и в другую, то есть с их помощью можно как раскрывать выражения, так и делать их компактнее.

А теперь рассмотрим, как понять и запомнить эти формулы.

Как выводятся формулы сокращённого умножения

Формулы скоращённого умножения — это инструмент. Чтобы умело пользоваться этим инструментом надо разобраться. как он устроен. Давайте представим, что мы не знаем формулы квадрата суммы и попробуем возвести выражение (a+b) в квадрат.

Умножим его само на себя и раскроем скобки:
(a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ba+ab+b² = a²+2ab+b²
Готово! Теперь, каждій раз, когда нам необходимо возвести в квадрат сумму, эти преобразования можно не выполнять, а сразу пользоваться готовым инструментом.

Давайте теперь возведём сумму выражений в куб. Как возводить сумму в квадрат мы знаем, поэтому поступим так:
(a+b)³ = (a+b)(a+b)² = (a+b)(a²+2ab+b²) = a³+2a²b +ab²+ba²+2ab² +b³ =  a³ + 3a²b + 3ab² + b³

И средних двух множителей можно вынести общий множитель ab и получить альтернитивную форму записи:
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ +  b³ +3ab(a+b)

Как из формул суммы получить формулы разности? Очень просто! аменим b на -b и учтём, что при возведении в нечётную степень минус сохраняется, а в чётную — превращается в плюс.

(a-b)² = a²+2a(-b)+(-b)² =  a²-2ab+b²

(a-b)³ = a³ + 3a²(-b) + 3a(-b)² + (-b)³ =  a³ — 3a²b + 3ab² — b³

Можно достаточно просто получать и аналогичные формулы сумм выражений для высших степеней, мы о них напишем в разделе Занимательная математика.

Теперь покажем, как выводится формула разности квадратов.

Берём выражение
a² -b²

Прибавим к нему ab и вычтем из него ab.
a² -b² +ab — ab

Теперь перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители
a² +ab — b

2 — ab = a(a+b) — b(a+b) = (a-b)(a+b)

Вот и разложилось!

Так же раскладывается и разность кубов, только прибавить и вычесть надо по a²b и группировать чуть-чуть по-другому:
a³ — b³ = a³ — b³ +a²b -a²b = a³ -a²b — b³ +a²b = a²(a-b)+b(a² -b² ) = a²(a-b)+b(a-b)(a+b) = (a-b)(a²+b(a+b)) = (a-b)(a²+ab+b²)

Ну и для полноты картины разложим на множители сумму кубов.
a³ + b³ = a³ + b³ +a²b -a²b = a³ +a²

b + b³ — a²b = a²(a+b) — b(a² -b² ) = a²(a+b) — b(a-b)(a+b) = (a+b)(a²-b(a-b)) = (a-b)(a²-ab+b²)

Вот все основные формулы, на которых строится алгебра 8 класса и которые используются далее. Поняв, как они работают, выучить и пользоваться ими будет очень просто.

А в разделе олимпиадных задач мы рассмотрим интересные случаи применения формул сокращённого униожения.

evolventa.blogspot.com

Умножение и деление рациональных дробей — 8 класс

16 сентября 2015

Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.

Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:

1. Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
2. С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
3. Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.

Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников.

Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос: «Зачем ученикам 10-11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе?». Но в том то и беда, что большинство людей эту тему именно «проходят». Они в 10-11 классе уже не помнят, как делается умножение, деление, вычитание и сложение рациональных дробей из 8-го класса, а ведь именно на этих простых знаниях строятся дальнейшие, более сложные конструкции, как решение логарифмических, тригонометрических уравнений и многих других сложных выражений, поэтому без рациональных дробей делать в старших классах практически нечего.

Формулы для решения задач

Давайте перейдем к делу. Прежде всего, нам потребуется два факта — два комплекта формул. Прежде всего, необходимо знать формулы сокращенного умножения:

• ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$ — разность квадратов;
• ${{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}={{\left( a\pm b \right)}^{2}}$ — квадрат суммы или разности;
• ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$ — сумма кубов;
• ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$ — разность кубов.

В чистом виде они ни в каких примерах и в реальных серьезных выражениях не встречаются. Поэтому наша задача состоит в том, чтобы научиться видеть под буквами $a$ и $b$ гораздо более сложные конструкции, например, логарифмы, корни, синусы и т.д. Научиться видеть это можно лишь при помощи постоянной практики. Именно поэтому решать рациональные дроби совершенно необходимо.

Вторая, совершенно очевидная формула — это разложение квадратного трехчлена на множители:

\[a{{x}^{2}}+bx+c=0\to a\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)=0\]

${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ — корни.

С теоретической частью мы разобрались. Но как решать реальные рациональные дроби, которые рассматриваются в 8 классе? Сейчас мы и потренируемся.

Задача № 1

\[\frac{27{{a}^{3}}-64{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}-4}:\frac{9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+4b+4}\]

Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями.

Вообще, что такое сокращение? Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Основное свойство дроби заключается в том, что мы можем числитель и знаменатель можем умножить на одно и то же число, отличное от «нуля». В данном случае, когда мы сокращаем, то, наоборот, делим на одно и то же число, отличное от «нуля». Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. Делать так нельзя. И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем.

Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать.

Преобразуем каждое выражение в точный куб:

\[27{{a}^{3}}={{3}^{3}}\cdot {{a}^{3}}={{\left( 3a \right)}^{3}}\]

\[64{{b}^{3}}={{4}^{3}}\cdot {{b}^{3}}={{\left( 4b \right)}^{3}}\]

Перепишем числитель:

\[{{\left( 3a \right)}^{3}}-{{\left( 4b \right)}^{3}}=\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)\]

Давайте посмотрим на знаменатель. Разложим его по формуле разности квадратов:

\[{{b}^{2}}-4={{b}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)\]

Теперь посмотрим на вторую часть выражения:

Числитель:

\[9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}={{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}\]

Осталось разобраться со знаменателем:

\[{{b}^{2}}+2\cdot 2b+{{2}^{2}}={{\left( b+2 \right)}^{2}}\]

Давайте перепишем всю конструкцию с учетом вышеперечисленных фактов:

\[\frac{\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)}{\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left( b+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{\left( 3a-4b \right)\left( b+2 \right)}{\left( b-2 \right)}\]

Нюансы умножения рациональных дробей

Ключевой вывод из этих построений следующий:

• Далеко не каждый многочлен раскладывается на множители.
• Даже если он и раскладывается, необходимо внимательно смотреть, по какой именно формуле сокращенного умножения.

Для этого, во-первых, нужно оценить, сколько всего слагаемых (если их два, то все, что мы можем сделать, то это разложить их либо по сумме разности квадратов, либо по сумме или разности кубов; а если их три, то это, однозначно, либо квадрат суммы, либо квадрат разности). Очень часто бывает так, что или числитель, или знаменатель вообще не требует разложения на множители, он может быть линейным, либо дискриминант его будет отрицательным.

Задача № 2

\[\frac{3-6x}{2{{x}^{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}^{3}}}{4{{x}^{2}}-1}\]

В целом, схема решения этой задачи ничем не отличается от предыдущей — просто действий будет больше, и они станут разнообразнее.

Начнем с первой дроби: посмотрим на ее числитель и сделаем возможные преобразования:

\[3-6x=3\left( 1-2x \right)\]

Теперь посмотрим на знаменатель:

\[2{{x}^{2}}+4x+8=2\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)\]

Со второй дробью: в числителе вообще ничего нельзя сделать, потому что это линейное выражение, и вынести из него какой-либо множитель нельзя. Посмотрим на знаменатель:

\[{{x}^{2}}-4x+4={{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}\]

Идем к третьей дроби. Числитель:

\[8-{{x}^{3}}={{2}^{3}}-{{x}^{3}}=\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2\cdot x+{{x}^{2}} \right)\]

Разберемся со знаменателем последней дроби:

\[4{{x}^{2}}-1={{\left( 2x \right)}^{2}}-{{1}^{2}}=\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\]

Перепишем выражение с учетом вышеописанных фактов:

\[\frac{3\left( 1-2x \right)}{2\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)}=\]

\[=\frac{-3}{2\left( 2-x \right)}=-\frac{3}{2\left( 2-x \right)}=\frac{3}{2\left( x-2 \right)}\]

Нюансы решения

Как видите, далеко не все и не всегда упирается в формулы сокращенного умножения — иногда просто достаточно вынести за скобки константу или переменную. Однако бывает и обратная ситуация, когда слагаемых настолько много или они так построены, что формулы сокращенного умножения к ним вообще невозможно. В этом случае к нам на помощь приходит универсальный инструмент, а именно, метод группировки. Именно это мы сейчас и применим в следующей задаче.

Задача № 3

\[\frac{{{a}^{2}}+ab}{5a-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-5b}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]

Разберем первую часть:

\[{{a}^{2}}+ab=a\left( a+b \right)\]

\[5a-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-5b=5\left( a-b \right)-\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)=\]

\[=5\left( a-b \right)-\left( a-b \right)\left( a+b \right)=\left( a-b \right)\left( 5-1\left( a+b \right) \right)=\]

\[=\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)\]

Давайте перепишем исходное выражение:

\[\frac{a\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]

Теперь разберемся со второй скобкой:

\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a={{a}^{2}}-10a+25-{{b}^{2}}=\left( {{a}^{2}}-2\cdot 5a+{{5}^{2}} \right)-{{b}^{2}}=\]

\[={{\left( a-5 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-5-b \right)\left( a-5+b \right)\]

Так как два элемента не получилось сгруппировать, то мы сгруппировали три. Осталось разобраться лишь со знаменателем последней дроби:

\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)\]

Теперь перепишем всю нашу конструкцию:

\[\frac{a\left( a+b \right)}{\left( a-b \right)\left( 5-a-b \right)}\cdot \frac{\left( a-5-b \right)\left( a-5+b \right)}{\left( a-b \right)\left( a+b \right)}=\frac{a\left( b-a+5 \right)}{{{\left( a-b \right)}^{2}}}\]

Задача решена, и больше ничего упростить здесь нельзя.

Нюансы решения

С группировкой мы разобрались и получили еще один очень мощный инструмент, который расширяет возможности по разложению на множители. Но проблема в том, что в реальной жизни нам никто не будет давать вот такие рафинированные примеры, где есть несколько дробей, у которых нужно лишь разложить на множитель числитель и знаменатель, а потом по возможности их сократить. Реальные выражения будут гораздо сложнее.

Скорее всего, помимо умножения и деления там будут присутствовать вычитания и сложения, всевозможные скобки — вообщем, придется учитывать порядок действий. Но самое страшное, что при вычитании и сложении дробей с разными знаменателями их придется приводить к одному общему. Для этого каждый из них нужно будет раскладывать на множители, а потом преобразовывать эти дроби: приводить подобные и многое другое. Как это сделать правильно, быстро, и при этом получить однозначно правильный ответ? Именно об этом мы и поговорим сейчас на примере следующей конструкции.

Задача № 4

\[\left( {{x}^{2}}+\frac{27}{x} \right)\cdot \left( \frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9} \right)\]

Давайте выпишем первую дробь и попытаемся разобраться с ней отдельно:

\[{{x}^{2}}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{x}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+{{3}^{3}}}{x}=\]

\[=\frac{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\]

Переходим ко второй. Сразу посчитаем дискриминант знаменателя:

\[D=9-4\cdot 9<0\]

Он на множители не раскладывается, поэтому запишем следующее:

\[\frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9}=\frac{{{x}^{2}}-3x+9+x+3}{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}\]

Числитель выпишем отдельно:

\[{{x}^{2}}-2x+12=0\]

\[D=4-4\cdot 12<0\]

Следовательно, этот многочлен на множители не раскладывается.

Максимум, что мы могли сделать и разложить, мы уже сделали.

Итого переписываем нашу исходную конструкцию и получаем:

\[\frac{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\cdot \frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{x}\]

Все, задача решена.

Если честно, это была не такая уж и сложная задача: там все легко раскладывалось на множители, быстро приводились подобные слагаемые, и все красиво сокращалось. Поэтому сейчас давайте попробуем решить задачку посерьезней.

Задача № 5

\[\left( \frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]

Сначала давайте разберемся с первой скобкой. С самого начала разложим на множители знаменатель второй дроби отдельно:

\[{{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)\]

\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{{{x}^{2}}}=\]

\[=\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1}{x-2}=\]

\[=\frac{x\left( x-2 \right)+{{x}^{2}}+8-\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]

Теперь поработаем со второй дробью:

\[\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}+2\left( x-2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}\]

Возвращаемся к нашей исходной конструкции и записываем:

\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

Ключевые моменты

Еще раз ключевые факты сегодняшнего видеоурока:

1. Необходимо знать «назубок» формулы сокращенного умножения — и не просто знать, а уметь видеть в тех выражениях, которые будут вам встречаться в реальных задачах. Помочь нам в этом может замечательное правило: если слагаемых два, то это либо разность квадратов, либо разность или сумма кубов; если три — это может быть только квадрат суммы или разности.
2. Если какая-либо конструкция не раскладывается при помощи формул сокращенного умножения, то нам на помощь приходит либо стандартная формула разложения трехчленов на множители, либо метод группировки.
3. Если что-то не получается, внимательно посмотрите на исходное выражение — а требуются ли вообще какие-то преобразования с ним. Возможно, достаточно будет просто вынести множитель за скобку, а это очень часто бывает просто константа.
4. В сложных выражениях, где требуется выполнить несколько действий подряд, не забывайте приводить к общему знаменателю, и лишь после этого, когда все дроби приведены к нему, обязательно приведите подобное в новом числителе, а потом новый числитель еще раз разложите на множители — возможно, что-то сократится.

Вот и все, что я хотел вам рассказать сегодня о рациональных дробях. Если что-то непонятно — на сайте еще куча видеоуроков, а также куча задач для самостоятельного решения. Поэтому оставайтесь с нами! 

Смотрите также:

1. Учимся упрощать рациональные выражения и дроби с помощью формул сокращённого умножения.
2. Дробно-рациональные выражения
3. Умножение и деление дробей
4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 1 (без логарифмов)
5. Как быстро извлекать квадратные корни
6. Задача B2: Сложный процент и метод коэффициентов

www.berdov.com

Сайт 8 А класса, школы №16

Наш опрос Нравится ли вам наша школа? 1. Школа, как школа, ничего особенного2. Да3. Не уверен(а)4. Нет Всего ответов: 11 Наш сайт живет уже Календарь «  Декабрь 2018  » Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс           1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Реклама Реклама

1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a+b)2=a2+2ab+b2   2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй. (a-b)2=a2-2ab+b2   3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов. (a+b)(a-b)=a2-b2   4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3   5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3   6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов. (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3   7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов. (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

nash-klass-16.do.am

Урок «Применение формул сокращенного умножения в преобразованиях алгебраических дробей»

Журкина Алена Владимировна

8 класс

Тема урока. Применение формул сокращенного умножения в преобразованиях алгебраических дробей.

Цель урока: повторить технику применения формул сокращенного умножения в ходе преобразования дробей.

Задачи урока:

Повторить и закрепить знания по теме «Формулы сокращенного умножения»;

Развивать познавательный интерес к предмету;

Формировать умение преодолевать трудности при выполнении заданий;

Формировать навыки самоконтроля; аналитической деятельности;

Готовить учащихся к региональному экзамену; ГИА.

Оборудование: мультимедийное оборудование (компьютерная презентация 
Приложение1
PPT / 3.16 Мб
), раздаточный материал, магниты для доски.

Формулы и методы обучения: фронтальный опрос; групповая работа; самостоятельная работа; игра.

Методы обучения: словесный, наглядный; частично-поисковый; метод учебной работы по применению знаний на практике; метод проверки и оценки знаний, умений и навыков.

Ход урока:

1.Организационный: готовность учащихся к уроку;

Деятельность учителя: создание комфортной рабочей обстановки, мотивация к организованному началу урока.

Деятельность ученика: проверка готовности рабочего места к уроку, настрой на успешную работу.

2.Актуализация опорных знаний.

1. Проведем математическую разминку.

   1. 42 , 72 , 12 , 52 , (-2)2 , 82, (-3)2 (Слайд)

      Чему равно произведение чисел 3 и 5 (15), 6 и 4 (24), 7 и 2 (14)

      Чему равно удвоенное произведение чисел 4 и 3 (24), 5 и 3 (30), 3 и 2 (12)

      В выражении x+6 назовите первое слагаемое, квадрат второго слагаемого (слайд)

      В выражении a – 15 назовите первое выражение, второе, удвоенное произведение этих выражений (слайд)

Слайд. Посмотрите на экран. Какие выражения вы там видите? Как называют такие формулы? Тема нашего занятия «формулы сокращенного умножения в преобразованиях алгебраических дробей»

Повторим их:

a2 – b2=(a – b)(a+b) (Слайд.)

Слайд. Например: 25 – b2, 62 – c2

□2 – x2 = (8+x)(8 – x), □ — ?

□ — © = (3+y)(3-y), □ — ?, © -?

= a2 – 2ab+b2 (слайд)

Например: (y – x)2 (6+p)2 m2+2mn+n2= 1+2p+p2= y2 – 4y + 4=

a2 – 2ab + ∆ = (a ? b), ∆- ? 25+ xy+⌂2 = (⌂+y)2, ⌂ — ?,  — ?
3. Работа в группах. А теперь устроим небольшое соревнование – у вас на партах лежат ответы на задания, написанные на доске. Каждая группа должна найти ответ и повесить его к примеру на доске.

x2- y2=

x2+2xy+y2=

1+2x+x2=

1-x2=

p2-49=

(x-2)2=

y2-16=

(x-2)(x+2)=

Одна карточка лишняя 49-р2

4. Работа в тетради. Рассмотрим пример, где применяются формулы сокращенного умножения.

Записали в тетрадь число и пример № 1. – Сократить дробь

Пример 1.

Какую формулу сокращённого умножения вы здесь видите? Как расписать на множители?

Ещё один пример.

Пример №2.

Какую формулу сокращённого умножения вы видите здесь?

=

Примеры рассмотрели, а теперь подобный пример решите в тетради самостоятельно. (слайд)

Проверим, если правильно поставите + рядом. (слайд)

Сократите дробь.

I вариант. II вариант.

Проверка на слайде. Если верно – поставить +.

5. Это были примеры действия с одной дробью. Рассмотрим примеры, где выполняется умножение или деление дробей.

Пример №3. .

Диалог учителя с учениками.

Какое действие стоит между дробями?

Как умножить дробь на дробь?

Какой общий множитель у числителя первой дроби?

Какая формула сокращенного умножения стоит в знаменателе второй дроби?

Изменим действие на деление.

Пример №4.

Диалог учителя с учениками.

Как разделить дробь на дробь?

Какая формула сокращенного умножения применяется?

Выполнить в тетради ещё пример.

I вариант. II вариант.

Проверка на слайде. Если верно – поставить +.

6. Подведение итогов. Блиц опрос (математический диктант).

Посмотрите на экран. Мы повторяем формулы сокращённого умножения.

Какие формулы? Проверим? Я называю формулу, а вы запишите её номер. (слайд)

Будьте внимательны, некоторые формулы видны не сразу:

1. a3 + b3 Квадрат суммы двух выражений

2. (a — b)2 Разность квадратов двух выражений

3. a2 — b2 Квадрат разности двух выражений

4. a3 – b3 Произведение разности двух выражений на их сумму

5. (a + b)2 Квадрат первого выражения плюс удвоенная сумма 1 и

2 выражений

6. (a – b)3

7. (a + b)3

Проверьте правильность своих ответов. (5 3 2 3 5)

Если правильно, поставьте «+»

7. Рефлексия. Поднимите руку у кого 3 «+» , 2 «+», 1 «+»

8.Домашнее задание. Сборник для подготовки к экзамену, задание №12 (6 примеров)

Наше занятие окончено. Спасибо всем за работу на уроке.

 

 

xn--j1ahfl.xn--p1ai

Сокращение алгебраических дробей | Алгебра

Сокращение алгебраических (рациональных) дробей основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе,  нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

   

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36  это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь —  значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а  при делении степеней показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

   

   

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо многочлены разложить на множители. В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

   

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

   

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе  — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

   

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

   

   

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

   

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

   

   

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

   

   

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

   

Сокращаем дробь на (x+2):

   

   

Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители. В числителе общий множитель a³, в знаменателе — a⁵. Вынесем их за скобки:

   

Множители — степени с одинаковым основанием a³ и a⁵ — сокращаем на a³. От a³ остается 1, мы ее не пишем, от a⁵ остается a². В числителе выражение в скобках можно разложить как разность квадратов:

   

Сокращаем дробь на общий делитель (1+a):

   

А как сокращать дроби вида

   

в которых стоящие в числителе и знаменателе выражения отличаются только знаками?

Примеры сокращения таких дробей мы рассмотрим в следующий раз.

www.algebraclass.ru

Преобразование рациональных выражений

3 августа 2015

Рациональные выражения и дроби — краеугольный пункт всего курса алгебры. Те, кто научатся работать с такими выражениями, упрощать их и раскладывать на множители, по сути смогут решить любую задачу, поскольку преобразование выражений — неотъемлемая часть любого серьёзного уравнения, неравенства и даже текстовой задачи.

В этом видеоуроке мы посмотрим, как грамотно применять формулы сокращённого умножения для упрощения рациональных выражений и дробей. Научимся видеть эти формулы там, где, на первый взгляд, ничего нет. Заодно повторим такой нехитрый приём, как разложение квадратного трёхчлена на множители через дискриминант.

Как вы уже наверняка догадались по формулам за моей спиной, сегодня мы будем изучать формулы сокращенного умножения, а, точнее, не сами формулы, а их применение для упрощения и сокращения сложных рациональных выражений. Но, прежде чем переходить к решению примеров, давайте познакомимся ближе с этими формулами или вспомним их:

1. ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right)$ — разность квадратов;
2. ${{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$ — квадрат суммы;
3. ${{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}$ — квадрат разности;
4. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$ — сумма кубов;
5. ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$ — разность кубов.

Еще хотел бы отметить, что наша школьная система образования устроена таким образом, что именно с изучением этой темы, т.е. рациональных выражений, а также корней, модулей у всех учеников возникает одна и та же проблема, которую я сейчас объясню. 

Дело в том, что в самом начале изучения формул сокращенного умножения и, соответственно, действий по сокращению дробей (это где-то 8 класс) учителя говорят что-то следующее: «Если вам что-то непонятно, то вы не переживайте, мы к этой теме еще вернемся неоднократно, в старших классах так точно. Мы это еще разберем». Ну а затем на рубеже 9-10 класса те же самые учителя объясняют тем же самым ученикам, которые так и не знают, как решать рациональные дроби, примерно следующее: «А где вы были предыдущие два года? Это же изучалось на алгебре в 8 классе! Чего тут может быть непонятного? Это же так очевидно!». 

Однако обычным ученикам от таких объяснений нисколько не легче: у них как была каша в голове, так и осталась, поэтому прямо сейчас мы разберем два простых примера, на основании которых и посмотрим, каким образом в настоящих задачах выделять эти выражения, которые приведут нас к формулам сокращенного умножения и как потом применять это для преобразования сложных рациональных выражений.

Сокращение простых рациональных дробей

Задача № 1

\[\frac{4x+3{{y}^{2}}}{9{{y}^{4}}-16{{x}^{2}}}\]

Первое, чему нам нужно научиться — выделять в исходных выражениях точные квадраты и более высокие степени, на основании которых мы сможем потом применять формулы. Давайте посмотрим:

\[9{{y}^{4}}={{3}^{2}}\cdot {{y}^{4}}={{3}^{2}}\cdot {{\left( {{y}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( 3{{y}^{2}} \right)}^{2}}\]

\[16{{x}^{2}}={{2}^{4}}\cdot {{x}^{2}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{2}}\cdot {{x}^{2}}={{\left( {{2}^{2}}\cdot x \right)}^{2}}={{\left( 4{{x}^{2}} \right)}^{2}}\]

Перепишем наше выражение с учетом этих фактов:

\[\frac{4x+3{{y}^{2}}}{{{\left( 3{{y}^{2}} \right)}^{2}}-{{\left( 4x \right)}^{2}}}=\frac{4x+3{{y}^{2}}}{\left( 3{{y}^{2}}-4x \right)\left( 3{{y}^{2}}+4x \right)}=\frac{1}{3{{y}^{2}}-4x}\]

Ответ: $\frac{1}{3{{y}^{2}}-4x}$.

Задача № 2

Переходим ко второй задаче:

\[\frac{8}{{{x}^{2}}+5xy-6{{y}^{2}}}\]

Упрощать тут нечего, потому что в числителе стоит константа, но я предложил эту задачу именно для того, чтобы вы научились раскладывать на множители многочлены, содержащие две переменных. Если бы вместо него был написанный ниже многочлен, как бы мы разложили его?

\[{{x}^{2}}+5x-6=\left( x-… \right)\left( x-… \right)\]

Давайте решим уравнение и найдем $x$, которые мы сможем поставить вместо точек:

\[{{x}^{2}}+5x-6=0\]

\[D=25-4\cdot \left( -6 \right)=25+24=49\]

\[\sqrt{D}=7\]

\[{{x}_{1}}=\frac{-5+7}{2}=\frac{2}{2}=1\]

\[{{x}_{2}}=\frac{-5-7}{2}=\frac{-12}{2}=-6\]

Мы можем переписать трехчлен следующим образом:

\[{{x}^{2}}+5xy-6{{y}^{2}}=\left( x-1 \right)\left( x+6 \right)\]

С квадратным трехчленом мы работать научились — для этого и нужно было записать этот видеоурок. А что делать, если кроме $x$ и константы присутствует еще $y$? Давайте рассмотрим их как еще одни элементы коэффициентов, т.е. перепишем наше выражение следующим образом:

\[{{x}^{2}}+5y\cdot x-6{{y}^{2}}\]

\[a=1;b=5y;c=-6{{y}^{2}}\]

\[D={{\left( 5y \right)}^{2}}-4\cdot \left( -6{{y}^{2}} \right)=25{{y}^{2}}+24{{y}^{2}}=49{{y}^{2}}\]

\[\sqrt{D}=7y\]

\[{{x}_{1}}=\frac{-5y+7y}{2}=y\]

\[{{x}_{2}}=\frac{-5y-7y}{2}=\frac{-12y}{2}=-6y\]

Запишем разложение нашей квадратной конструкции:

\[\left( x-y \right)\left( x+6y \right)\]

Итого если мы вернемся к исходному выражению и перепишем его с учетом изменений, то получим следующее:

\[\frac{8}{\left( x-y \right)\left( x+6y \right)}\]

Что нам дает такая запись? Ничего, потому что его не сократить, оно ни на что не умножается и не делится. Однако как только эта дробь окажется составной частью более сложного выражения, подобное разложение окажется кстати. Поэтому как только вы видите квадратный трехчлен (неважно, отягощен он дополнительными параметрами или нет), всегда старайтесь разложить его на множители.

Нюансы решения

Запомните основные правила преобразования рациональных выражений:

• Все знаменатели и числители необходимо раскладывать на множители либо через формулы сокращенного умножения, либо через дискриминант.
• Работать нужно по такому алгоритму: когда мы смотрим и пытаемся выделить формулу сокращенного умножения, то, прежде всего, пытаемся все перевести в максимально возможную степень. После этого выносим за скобку общую степень.
• Очень часто будут встречаться выражения с параметром: в качестве коэффициентов будут возникать другие переменные. Их мы находим по формуле квадратного разложения.

Таким образом, как только вы видите рациональные дроби, первое, что нужно сделать — это разложить и числитель, и знаменатель на множители (на линейные выражения), при этом мы используем формулы сокращенного умножения или дискриминант.

Давайте посмотрим на пару таких рациональных выражений и попробуем их разложить на множители.

Решение более сложных примеров

Задача № 1

\[\frac{4{{x}^{2}}-6xy+9{{y}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{9{{y}^{2}}-4{{x}^{2}}}{8{{x}^{3}}+27{{y}^{3}}}\]

Переписываем и стараемся разложить каждое слагаемое:

\[4{{x}^{2}}={{2}^{2}}\cdot {{x}^{2}}={{\left( 2x \right)}^{2}}\]

\[6xy=2\cdot 3\cdot x\cdot y=2x\cdot 3y\]

\[9{{y}^{2}}={{3}^{2}}\cdot {{y}^{2}}={{\left( 3y \right)}^{2}}\]

\[8{{x}^{3}}={{2}^{3}}\cdot {{x}^{3}}={{\left( 2x \right)}^{3}}\]

\[27{{y}^{3}}={{3}^{3}}\cdot {{y}^{3}}={{\left( 3y \right)}^{3}}\]

Давайте перепишем все наше рациональное выражение с учетом этих фактов:

\[\frac{{{\left( 2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left( 3y \right)}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{{{\left( 3y \right)}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}}}{{{\left( 2x \right)}^{3}}+{{\left( 3y \right)}^{3}}}=\]

\[=\frac{{{\left( 2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left( 3y \right)}^{2}}}{2x-3y}\cdot \frac{\left( 3y-2x \right)\left( 3y+2x \right)}{\left( 2x+3y \right)\left( {{\left( 2x \right)}^{2}}-2x\cdot 3y+{{\left( 3y \right)}^{2}} \right)}=-1\]

Ответ: $-1$.

Задача № 2

\[\frac{3-6x}{2{{x}^{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}^{3}}}{4{{x}^{2}}-1}\]

Давайте рассмотрим все дроби.

Первая:

\[3-6x=3\left( 1-2x \right)\]

\[2{{x}^{2}}+4x+8=2\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)\]

Вторая:

\[{{x}^{2}}+4-4x={{x}^{2}}-4x+2={{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}\]

Третья:

\[8-{{x}^{3}}={{2}^{3}}-{{x}^{3}}=\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)\]

\[4{{x}^{2}}-1={{2}^{2}}\cdot {{x}^{2}}-{{1}^{2}}={{\left( 2x \right)}^{2}}-{{1}^{2}}=\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)\]

Перепишем всю конструкцию с учетом изменений:

\[\frac{3\left( 1-2x \right)}{2\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left( 2-x \right)\left( {{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)}{\left( 2x-1 \right)\left( 2x+1 \right)}=\]

\[=\frac{3\cdot \left( -1 \right)}{2\cdot \left( x-2 \right)\cdot \left( -1 \right)}=\frac{3}{2\left( x-2 \right)}\]

Ответ: $\frac{3}{2\left( x-2 \right)}$.

Нюансы решения

Итак, чему мы только что научились:

• Далеко не каждый квадратный трехчлен раскладывается на множители, в частности, это относится к неполному квадрату суммы или разности, которые очень часто встречаются как части кубов суммы или разности.
• Константы, т.е. обычные числа, не имеющие при себе переменных, также могут выступать активными элементами в процессе разложения. Во-первых, их можно выносить за скобки, во-вторых, сами константы могут быть представимы в виде степеней.
• Очень часто после разложения всех элементов на множители возникают противоположные конструкции. Сокращать эти дроби нужно крайне аккуратно, потому что при из зачеркивании либо сверху, либо снизу возникает дополнительный множитель $-1$ — это как раз и есть следствие того, что они противоположны.

Решение сложных задач

\[\frac{27{{a}^{3}}-64{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}-4}:\frac{9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+4b+4}\]

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

Первая дробь:

\[27{{a}^{3}}={{3}^{3}}\cdot {{a}^{3}}={{\left( 3a \right)}^{3}}\]

\[64{{b}^{3}}={{2}^{6}}\cdot {{b}^{3}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{3}}\cdot {{b}^{3}}={{\left( {{2}^{2}}\cdot b \right)}^{3}}={{\left( 4b \right)}^{3}}\]

\[{{\left( 3a \right)}^{3}}-{{\left( 4b \right)}^{3}}=\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)\]

\[{{b}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)\]

Вторая:

\[9{{a}^{2}}={{3}^{2}}\cdot {{a}^{2}}={{\left( 3a \right)}^{2}}\]

\[16{{b}^{2}}={{4}^{2}}\cdot {{b}^{2}}={{\left( 4b \right)}^{2}}\]

\[12ab=3\cdot 4ab=3a\cdot 4b\]

Весь числитель второй дроби мы можем переписать следующим образом:

\[{{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}\]

Теперь посмотрим на знаменатель:

\[{{b}^{2}}+4b+4={{b}^{2}}+2\cdot 2b+{{2}^{2}}={{\left( b+2 \right)}^{2}}\]

Давайте перепишем все рациональное выражение с учетом вышеизложенных фактов:

\[\frac{\left( 3a-4b \right)\left( {{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}} \right)}{\left( b-2 \right)\left( b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left( b+2 \right)}^{2}}}{{{\left( 3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left( 4b \right)}^{2}}}=\]

\[=\frac{\left( 3a-4b \right)\left( b+2 \right)}{\left( b-2 \right)}\]

Ответ: $\frac{\left( 3a-4b \right)\left( b+2 \right)}{\left( b-2 \right)}$.

Нюансы решения

Как мы еще раз убедились, неполные квадраты суммы либо неполные квадраты разности, которые часто встречаются в реальных рациональных выражениях, однако не стоит их пугаться, потому что после преобразования каждого элемента они практически всегда сокращаются. Кроме того, ни в коем случае не стоит бояться больших конструкций в итогом ответе — вполне возможно, что это не ваша ошибка (особенно, если все разложено на множители), а это автор задумал такой ответ.

В заключение хотелось бы разобрать еще один сложных пример, который уже не относится напрямую к рациональным дробям, однако он содержит все то, что ждет вас на настоящих контрольных и экзаменах, а именно: разложение на множители, приведение к общему знаменателю, сокращение подобных слагаемых. Вот именно этим мы сейчас и займемся.

Решение сложной задачи на упрощение и преобразование рациональных выражений

\[\left( \frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]

Сначала рассмотрим и раскроем первую скобку: в ней мы видим три отдельных дроби с разными знаменателями поэтому первое, что нам необходимо сделать — это привести все три дроби к общему знаменателю, а для этого каждый из них следует разложить на множители:

\[{{x}^{2}}+2x+4={{x}^{2}}+2\cdot x+{{2}^{2}}\]

\[{{x}^{2}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{2}}=\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)\]

Перепишем всю нашу конструкцию следующим образом:

\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}-\frac{1}{x-2}=\]

\[=\frac{x\left( x-2 \right)+{{x}^{3}}+8-\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\]

\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\frac{{{x}^{2}}-4x-4}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\]

\[=\frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+{{2}^{2}} \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]

Это результат вычислений из первой скобки.

Разбираемся со второй скобкой:

\[{{x}^{2}}-4={{x}^{2}}-{{2}^{2}}=\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\]

Перепишем вторую скобку с учетом изменений:

\[\frac{{{x}^{2}}}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}+\frac{2}{x-2}=\frac{{{x}^{2}}+2\left( x+2 \right)}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}\]

Теперь запишем всю исходную конструкцию:

\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]

Ответ: $\frac{1}{x+2}$.

Нюансы решения

Как видите, ответ получился вполне вменяемый. Однако обратите внимание: очень часто при таких масштабных вычислениях, когда единственная переменная оказывается лишь в знаменателе, ученики забывают, что это знаменатель и он должен стоял внизу дроби и пишут это выражение в числитель — это грубейшая ошибка.

Кроме того, хотел бы обратить ваше отдельное внимание на то, как оформляются такие задачи. В любых сложных вычислениях все шаги выполняются по действиям: сначала отдельно считаем первую скобку, потом отдельно вторую и лишь в конце мы объединяем все части и считаем результат. Таким образом мы страхуем себя от глупых ошибок, аккуратно записываем все выкладки и при этом нисколько не тратим лишнего времени, как это может показаться на первый взгляд.

До новых встреч!

Смотрите также:

1. Как выполнять сокращение рациональных дробей без ошибок? Простой алгоритм на примере пяти различных задач.
2. Дробно-рациональные выражения
3. Как сдать ЕГЭ по математике
4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 12 (без логарифмов)
5. Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
6. Тест по задачам B14: легкий уровень, 1 вариант

www.berdov.com

8 класс. Алгебра. Алгебраические дроби. — Сложение и вычитание алгебраических дробей.

Комментарии преподавателя

В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему – сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров

 

Сфор­му­ли­ру­ем пра­ви­ло сло­же­ния (вы­чи­та­ния) ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми (оно сов­па­да­ет с ана­ло­гич­ным пра­ви­лом для обык­но­вен­ных дро­бей):  То есть для сло­же­ния или вы­чи­та­ния ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми необ­хо­ди­мо со­ста­вить со­от­вет­ству­ю­щую ал­геб­ра­и­че­скую сумму чис­ли­те­лей, а зна­ме­на­тель оста­вить без из­ме­не­ний.

Это пра­ви­ло мы раз­бе­рём и на при­ме­ре обык­но­вен­ных дро­бей, и на при­ме­ре ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей.

При­мер 1. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние

Сло­жим чис­ли­те­ли дро­бей, а зна­ме­на­тель оста­вим таким же. После этого раз­ло­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на про­стые мно­жи­те­ли и со­кра­тим. По­лу­чим: .

При­ме­ча­ние: стан­дарт­ная ошиб­ка, ко­то­рую до­пус­ка­ют при ре­ше­нии по­доб­но­го рода при­ме­ров, за­клю­ча­ет­ся в сле­ду­ю­щем спо­со­бе ре­ше­ния: . Это гру­бей­шая ошиб­ка, по­сколь­ку зна­ме­на­тель оста­ёт­ся таким же, каким был в ис­ход­ных дро­бях.

Ответ: .

При­мер 2. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние

Дан­ная за­да­ча ничем не от­ли­ча­ет­ся от преды­ду­щей: .

Ответ: .

От обык­но­вен­ных дро­бей пе­рей­дём к ал­геб­ра­и­че­ским.

При­мер 3. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние:как уже го­во­ри­лось выше, сло­же­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей ничем не от­ли­ча­ет­ся от сло­же­ния обык­но­вен­ных дро­бей. По­это­му метод ре­ше­ния такой же: .

Ответ: .

При­мер 4. Вы­честь дроби: .

Ре­ше­ние

Вы­чи­та­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей от­ли­ча­ет­ся от сло­же­ния толь­ко тем, что в чис­ли­тель за­пи­сы­ва­ет­ся раз­ность чис­ли­те­лей ис­ход­ных дро­бей. По­это­му .

Ответ: .

При­мер 5. Вы­честь дроби: .

Ре­ше­ние: .

Ответ: .

При­мер 6. Упро­стить: .

Ре­ше­ние: .

Ответ: .

В дроби, ко­то­рая по­лу­ча­ет­ся в ре­зуль­та­те сло­же­ния или вы­чи­та­ния, воз­мож­ны со­кра­ще­ния. Кроме того, не стоит за­бы­вать об ОДЗ ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей.

При­мер 7. Упро­стить: .

Ре­ше­ние: .

При этом . Во­об­ще, если ОДЗ ис­ход­ных дро­бей сов­па­да­ет с ОДЗ ито­го­вой, то его можно не ука­зы­вать (ведь дробь, по­лу­чен­ная в от­ве­те, также не будет су­ще­ство­вать при со­от­вет­ству­ю­щих зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных). А вот если ОДЗ ис­ход­ных дро­бей и от­ве­та не сов­па­да­ет, то ОДЗ ука­зы­вать необ­хо­ди­мо.

Ответ: .

При­мер 8. Упро­стить: .

Ре­ше­ние: . При этом y (ОДЗ ис­ход­ных дро­бей не сов­па­да­ет с ОДЗ ре­зуль­та­та).

Ответ: .

 

Чтобы скла­ды­вать и вы­чи­тать ал­геб­ра­и­че­ские дроби с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми, про­ве­дём ана­ло­гию с обык­но­вен­ны­ми дро­бя­ми и пе­ре­не­сём её на ал­геб­ра­и­че­ские дроби.

 Рас­смот­рим про­стей­ший при­мер для обык­но­вен­ных дро­бей.

При­мер 1. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние:

Вспом­ним пра­ви­ло сло­же­ния дро­бей. Для на­ча­ла дроби необ­хо­ди­мо при­ве­сти к об­ще­му зна­ме­на­те­лю. В роли об­ще­го зна­ме­на­те­ля для обык­но­вен­ных дро­бей вы­сту­па­ет наи­мень­шее общее крат­ное (НОК) ис­ход­ных зна­ме­на­те­лей.

Опре­де­ле­ние

 – наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое де­лит­ся од­но­вре­мен­но на числа  и .

Для на­хож­де­ния НОК необ­хо­ди­мо раз­ло­жить зна­ме­на­те­ли на про­стые мно­жи­те­ли, а затем вы­брать все про­стые мно­жи­те­ли, ко­то­рые вхо­дят в раз­ло­же­ние обоих зна­ме­на­те­лей.

; . Тогда в НОК чисел  долж­ны вхо­дить две двой­ки и две трой­ки: .

После на­хож­де­ния об­ще­го зна­ме­на­те­ля, необ­хо­ди­мо для каж­дой из дро­бей найти до­пол­ни­тель­ный мно­жи­тель (фак­ти­че­ски, по­де­лить общий зна­ме­на­тель на зна­ме­на­тель со­от­вет­ству­ю­щей дроби).

.

Затем каж­дая дробь умно­жа­ет­ся на по­лу­чен­ный до­пол­ни­тель­ный мно­жи­тель. По­лу­ча­ют­ся дроби с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми, скла­ды­вать и вы­чи­тать ко­то­рые мы на­учи­лись на про­шлых уро­ках.

По­лу­ча­ем: .

Ответ:.

Рас­смот­рим те­перь сло­же­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми. Сна­ча­ла рас­смот­рим дроби, зна­ме­на­те­ли ко­то­рых яв­ля­ют­ся чис­ла­ми.

При­мер 2. Сло­жить дроби: .

Ре­ше­ние:

Ал­го­ритм ре­ше­ния аб­со­лют­но ана­ло­ги­чен преды­ду­ще­му при­ме­ру. Легко по­до­брать общий зна­ме­на­тель дан­ных дро­бей:  и до­пол­ни­тель&sh

www.kursoteka.ru