Основные свойства степени – Свойства степеней с натуральными показателями. Натуральная степень. Степени чисел. Свойства показателей степеней

Свойства степеней

Свойства степеней. Разъяснения



\begin{align}
& 1-3.\ x^1=x,\ x^0=1,\ x^{-1}=\frac{1}{x}\
\end{align}

Рассмотрим первые 3 свойства на примере числа 5.






Пример



\begin{align}
& 5^2\\
\end{align}


\begin{align}
& 1×5×5\\
\end{align}


\begin{align}
& 25\\
\end{align}


\begin{align}
& 5^1\\
\end{align}


\begin{align}
& 1×5\\
\end{align}


\begin{align}
& 5\\
\end{align}


\begin{align}
& 5^0\\
\end{align}


\begin{align}
& 1\\
\end{align}


\begin{align}
& 1\\
\end{align}


\begin{align}
& 5^{-1}\\
\end{align}


\begin{align}
& 1÷5\\
\end{align}


\begin{align}
& \frac{1}{5}\\
\end{align}


\begin{align}
& 5^{-2}\\
\end{align}


\begin{align}
& 1÷5÷5\\
\end{align}


\begin{align}
& \frac{1}{25}\\
\end{align}


\begin{align}
& 4.\ x^m x^n=x^{m+n}\
\end{align}

xmxn сколько раз мы должны умножить x? Ответ: вначале m-раз, потом n-раз, итого m+n раз


\begin{align}
& x^2 x^3=(xx)(xxx)=xxxxx=x^5\
\end{align}


\begin{align}
& 5.\ \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\
\end{align}

xm/xn сколько раз мы должны умножить x? Ответ: вначале m-раз умножить, затем n-раз поделить, итого m-n раз умножить


\begin{align}
& \frac{x^5}{x^2}=\frac{xxxxx}{xx}=xxx=x^3\
\end{align}


\begin{align}
& 6.\ (x^m)^n=x^{mn}\
\end{align}

xmxn сколько раз мы должны умножить x? Ответ: вначале m-раз, потом полученный результат n-раз, итого m×n раз


\begin{align}
& (x^3)^4=(xxx)^4=(xxx)(xxx)(xxx)(xxx)=xxxxxxxxxxxx=x^12\
\end{align}


\begin{align}
& 7.\ (xy)^n=x^n y^n\
\end{align}

Рассмотрим свойство на примере:


\begin{align}
& (xy)^3=(xy)(xy)(xy)=xyxyxy=xxxyyy=(xxx)(yyy)=x^3 y^3\
\end{align}


\begin{align}
& 8.\ \left ( \frac{x}{y} \right )^n=\frac{x^n}{y^n}\
\end{align}

Рассмотрим свойство на примере:


\begin{align}
& \left ( \frac{x}{y} \right )^3=\left ( \frac{x}{y} \right )\left ( \frac{x}{y} \right )\left ( \frac{x}{y} \right )=\frac{(xxx)}{(yyy)}=\frac{x^3}{y^3}\
\end{align}

calcs.su

Свойства степени

I. Произведение степеней с одинаковыми основаниями.

Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями всегда можно представить в виде степени с основанием х.

По определению степени х7 есть произведение семи множителей, каждый из которых равен х, а х9 – произведение девяти таких же множителей. Следовательно, х7 · х9 равно произведению 7 + 9 множителей. Каждый из которых равен х, то есть

х7 · х9 = х7+9 = х16

Получается, если основание степени а – произвольное число, а m и n – любые натуральные числа, то верно равенство:

am · an = am+n

Это равенство выражает одно из свойств степени.

Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей этих степеней.

Это свойство имеет место и в случаях, когда число множителей больше двух.

Например, в случае трёх множителей имеем:

am · an · ak = (am · an)ak = am+n · ak = am+n+k

При выполнении преобразований удобно пользоваться правилом: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

х6 · х5 = х6+5 = х11

Пример 2.

а7 · а-8 = а-1

Пример 3.

61.7 · 6— 0.9 = 61.7+( — 0.9) = 61.7 — 0.9 = 60.8

II. Частное степеней с одинаковыми основаниями.

Частное двух степеней с одинаковыми показателями всегда можно представить в виде степени с тем же основанием.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Частное х17 : х5 можно представить виде степени с основанием х:

х17 : х5 = х12,

так как по определению частного и на основании свойства степени  х5 · х12 = х17. Показатель степени частного (число 12) равен разности показателей делимого и делителя (17 – 5):

х17 : х5 = х17-5

Пример 2.  

8 16 : 8 12 = 816-12 = 84

Пример 3.

а-8 : а6 = а -8-6 = а-14

Пример 4.

b5 : b-4 = b5-(-4) = b9         

Пример 5.

91.5 : 9— 0.5 = 91.5 — (- 0.5) = 91.5 + 0.5 =  92

При выполнении преобразований удобно пользоваться правилом: при делении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Пример 6.

а4 : а4 = а4-4 = а0

Значение выражения а0 при всяком а ≠ 0 равно 1.

III. Возведение степени в степень.

Пусть требуется седьмую степень выражения а2 представить в виде степени с основанием а.

По определению степени (а2)7 есть произведение семи множителей, каждый из которых равен а2, то есть

2)7 = а2 · а2 · а2 × а2 · а· а2 · а2.

Применяя  свойство степени, получим:

а2 · а2 · а2 · а2 · а2 · а2 · а2 = а2+2+2+2+2+2+2 = a2·7.

Получается, (а2)7 = а2·7 = а14.

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают:

m)n = аmn.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

(43)4 = 43·4 = 412

Пример 2.

((-2)2)5 = (-2)10 = 1024

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Свойства степени с натуральным показателем

Свойства степени с натуральным показателем 7 класс

Свойство 1, формула

Если степени умножать ( при одинаковый основания), то показатели
степени сложить, основание остается неизменным.

am • an = am + n

Пример
33 • 3 4 = 37 = 2 187;

42 • 43 = 45 = 1 024;

y3 • y5 = y8.

Свойство 2, формула

Пример
(- 2)10 : (- 2)7 = (- 2)3 = 8;

(0,1)101 : (0,1)101 = 1;

57 : 59 = 152 =  1 25.

Свойство 3, формула

Если основание не равно нулю, то любое основание в степени нуль,

равно единице.

a0 = 1

Пример
30 = 0;

(? 5)0 = 1;

(- 2,5)0 = 1.

Свойство 4, формула

Если степень возвести в степень, то показатели — перемножить.

(am)n = amn


Пример
(32)3 = 36 = 729.

Свойство 5, формула

Если произведение требуется возвести в степень, то каждый
множитель возводят в степень, и полученные результаты перемножают.

(ab)n = anbn

Пример

Пример
(0,9 • 2)2 = 0,92 • 22 = 0,81 • 4 = 1,62;

(3z)3 = 33z3=27z3.

Свойство 6, формула

Если требуется возвести в степень дробь, то возводят в степень
числитель и знаменатель.

Свойство 7, формула

При возведении отрицательного числа в степень, все зависит от
четности степени. Если степень четная, то и число получится четное,
если степень нечетная, то число останется со знаком «минус».

Пример

(- x)2 = x2;

(- z)3 = -z3;

(- 2ab)2 = (2ab)2 = 22a2b2 = 4a2b2.

formula-xyz.ru

Основные свойства степеней

Основные свойства степеней

«Свойства степеней» — довольно популярный запрос в поисковых системах, что показывает большой интерес к свойствам степени. Мы собрали для вас все свойства степени (свойства степени с натуральным показателем, свойства степени с рациональным показателем, свойства степени с целым показателем) в одном месте. Вы можете скачать краткую версию шпаргалки «Свойства степеней» в формате .pdf, чтобы при необходимости легко их вспомнить, или ознакомиться со свойствами степеней прямо на сайте. Более подробно свойства степеней с примерами рассмотрены ниже.

Скачать шпаргалку «Свойства степеней» (формат .pdf)

Свойства степеней (кратко)

a0=1, если a≠0

a1=a

(−a)n=an, если n — четное

(−a)n=−an, если n — нечетное

(ab)n=anbn

(ab)n=anbn

an=1an

(ab)−n=(ba)n

anam=an+m

anam=anm

(an)m=anm

Свойства степеней (с примерами)

1-е свойство степениЛюбое число отличное от нуля в нулевой степени равно единице.a0=1, если a≠0Например: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1

2-е свойство степениЛюбое число в первой степени равно самому числу.a1=aНапример: 231=23, (−9,3)1=−9,3

3-е свойство степениЛюбое число в четной степени положительно.an=an, если n — четное (делящееся на 2) целое число(−a)n=an, если n — четное (делящееся на 2) целое числоНапример: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1

4-е свойство степениЛюбое число в нечетной степени сохраняет свой знак.an=an, если n — нечетное (не делящееся на 2) целое число(−a)n=−an, если n — нечетное (не делящееся на 2) целое числоНапример: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1

5-е свойство степениПроизведение чисел, возведенное в степень, можно представить как произведение чисел возведенных в эту степень (и наоборот).(ab)n=anbn, при этом abn — любые допустимые (не обязательно целые) числаНапример: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5

6-е свойство степениЧастное (деление) чисел, возведенное в степень, можно представить как частное чисел возведенных в эту степень (и наоборот).(ab)n=anbn, при этом abn — любые допустимые (не обязательно целые) числаНапример: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1

7-е свойство степениЛюбое число в отрицательной степени равно обратному числу в этой степени. (Обратное число это число на которое нужно умножить данное число, чтобы получить единицу.)an=1an, при этом a и n — любые допустимые (не обязательно целые) числаНапример: 7−2=172=149

8-е свойство степениЛюбая дробь в отрицательной степени равна обратной дроби в этой степени.(ab)−n=(ba)n, при этом abn — любые допустимые (не обязательно целые) числаНапример: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64

9-е свойство степениПри умножении степеней с одинаковым основанием показатели степени складываются, а основание остается прежним.anam=an+m,  при этом anm — любые допустимые (не обязательно целые) числаНапример: 23⋅25=23+5=28, обратите внимание, что это свойство степени сохраняется и для отрицательных значений степеней 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+(−3)=47−3=44

10-е свойство степениПри делении степеней с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается прежним.anam=anm,  при этом anm — любые допустимые (не обязательно целые) числаНапример: (1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, обратите внимание, как применяется это свойство степени к отрицательным значения степеней3−236=3−2−6=3−8, 474−3=47−(−3)=47+3=410

11-е свойство степениПри возведении степени в степень степени перемножаются.(an)m=anmНапример: (23)2=23⋅2=26=64

Таблица степеней до 10

Мало кому удается запомнить всю таблицу степеней, да и кому это нужно когда ее так легко найти? Наша таблица степеней включает в себя как популярные таблицы квадратов и кубов (от 1 до 10), так и таблицы других степеней, которые встречаются реже. В столбцах таблицы степеней указываются основания степени (число, которое нужно возвести в степень), в строках – показатели степени (степень, в которую нужно возвести число), на пересечении нужного столбца и нужной строки находится результат возведения нужного числа в заданную степень. Существуют несколько типов задач, решаемых с помощью таблицы степеней. Прямая задача – это вычислить n-ю степень числа. Обратная задача, которая так же может быть решена с помощью таблицы степеней, может звучать так: «в какую степень нужно возвести число a, чтобы получить число b?» или «Какое число в степени n дает число b?».

Таблица степеней до 10

1n

2n

3n

4n

5n

6n

7n

8n

9n

10n

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

3

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

4

1

16

81

256

625

1296

2401

4096

6561

10000

5

1

32

243

1024

3125

7776

16807

32768

59049

100000

6

1

64

729

4096

15625

46656

117649

262144

531441

1000000

7

1

128

2187

16384

78125

279936

823543

2097152

4782969

10000000

8

1

256

6561

65536

390625

1679616

5764801

16777216

43046721

100000000

9

1

512

19683

262144

1953125

10077696

40353607

134217728

387420489

1000000000

10

1

1024

59049

1048576

9765625

60466176

282475249

1073741824

3486784401

10000000000

Как пользоваться таблицей степеней

Рассмотрим несколько примеров использования таблицы степеней.

Пример 1. Какое число получится в результате возведения числа 6 в 8 степень?В таблице степеней ищем столбец 6n, так как по условию задачи число 6 возводится в степень. Затем в таблице степеней ищем строку 8, так как заданное число необходимо возвести в степень 8. На пересечении смотрим ответ: 1679616.

Пример 2. В какую степень нужно возвести число 9, чтобы получить 729?В таблице степеней ищем колонку 9n и спускаемся по ней вниз до числа 729 (третья строчка нашей таблицы степеней). Номер строчки и есть искомая степень, то есть ответ: 3.

Пример 3. Какое число нужно возвести в степень 7, чтобы получить 2187?В таблице степеней ищем строку 7, затем двигаемся по ней вправо до числа 2187. От найденного числа поднимаемся вверх и узнаем, что заголовок этого столбца 3n, что означает, что ответ: 3.

Пример 4. В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 63?В таблице степеней находим столбец 2n и спускаемся по нему до тех пор, пока не встретим 63… Но этого не произойдет. Число 63 мы никогда не встретим ни в этом столбце, ни в любом другом столбце таблицы степеней, а это означает, что никакое целое число от 1 до 10 не дает число 63 при возведении в целую степень от 1 до 10. Таким образом, ответа нет.



sundekor.ru

Свойства степени с одинаковыми основаниями.

Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени — достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

Свойства степени

Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

1-е свойство.

а0 = 1

Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

2-е свойство.

а1 = а

3-е свойство.

аn * am = a(n+m)

Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

4-е свойство.

an/am = a(n-m)

Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

5-е свойство.

(an)m = a(n*m)

6-е свойство.

a-n = 1/an

Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

7-е свойство.

(a*b)m = am * bm

Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

8-е свойство.

(a/b)n = an/bn

9-е свойство.

а½ = √а

Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

10-е свойство.

(√а)2 = а

Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

11-е свойство.

n √an = a

Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

12-е свойство.

am/n = n √am

Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

Применение степеней и их свойств

Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

Формулы сокращенного умножения — еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

Показательные уравнения и неравенства

Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

fb.ru

Свойства степени

 

Возведение числа в натуральную степень означает его непосредственное повторение собственным сомножителем в натуральное число раз. Число, повторяющееся в качестве сомножителя – это основание степени, а число, указывающее на количество одинаковых множителей, называют показателем степени. Полученный результат выполненных действий и есть степень. Например, три в шестой степени означает повторение числа три в виде множителя шесть раз.

Основанием степени может выступать любое число, отличное от нуля.

Вторая и третья степени числа имеют специальные названия. Это, соответственно, квадрат и куб.

За первую степень числа принимают само же это число.

Для положительных чисел также определена степень, имеющая рациональный показатель. Как всем известно, любое рациональное число записывается в виде дроби, числитель которой является целым, знаменатель же – натуральным, то есть целым положительным, отличным от единицы.

Степень с рациональным показателем представляет из себя корень степени, равной знаменателю показателя степени, а подкоренное выражение – это основание степени, возведенное в степень, равную числителю. Например: три в 4/5 равно корню пятой степени из трех в четвертой.

Отметим некоторые свойства, вытекающие непосредственно из рассматриваемого определения:

  • любое положительное число в рациональной степени – положительно;
  • значение степени с рациональным показателем не зависит от формы его записи;
  • если основание отрицательное, то рациональная степень этого числа не определена.

При положительном основании свойства степени верны независимо от показателя.

Свойства степени с натуральным показателем:

1. Умножая степени, имеющие одинаковые основания, основание оставляют без изменения и складывают показатели. Например: при умножении трех в пятой степени на три в седьмой получают три в двенадцатой степени (5+7=12) .

2. При делении степеней, имеющих одинаковые основания, их оставляют без изменения, а показатели вычитывают. Например: при делении трех в восьмой на три в пятой степени получают три в квадрате (8-5=3).

3. Когда степень возводят в степень, основание оставляют без изменения, а показатели перемножают. Например: при возведении 3 в пятой в седьмую получают 3 в тридцать пятой (5х7=35).

4. Чтобы возвести произведение в степень, в ту же возводится каждый из множителей. Например: при возведении произведения 2х3 в пятую получают произведение два в пятой на три в пятой.

5. Чтобы возвести дробь в степень, в ту же степень возводят числитель и знаменатель. Например: при возведении 2/5 в пятую получают дробь, в числителе которой – два в пятой, в знаменателе – пять в пятой.

Отмеченные свойства степени справедливы и для дробных показателей.

Свойства степени с рациональным показателем

Введем некоторые определения. Любое отличное от 0 действительное число, возведенное в нулевую, равно единице.

Любое отличное от 0 действительное число, возведенное в степень с отрицательным целым показателем – это дробь с числителем единица и знаменателем, равным степени того же числа, но имеющего противоположный показатель.

Дополним свойства степени несколькими новыми, которые касаются рациональных показателей.

Степень с рациональным показателем не меняется при умножении или делении числителя и знаменателя его показателя на неравное нулю одно и то же число.

При основании больше единицы:

  • если показатель положительный, то степень больше 1;
  • при отрицательном – меньше единицы.

При основании меньше единицы, наоборот:

  • если показатель положительный, то степень меньше единицы;
  • при отрицательном – больше 1.

Когда показатель степени растет, то:

  • растет сама степень, если основание больше единицы;
  • убывает, если основание меньше единицы.

 

fb.ru

Свойства степеней с натуральными показателями. Натуральная степень. Степени чисел. Свойства показателей степеней

Свойства степеней с натуральными показателями

Говоря про свойства степеней, считаем, что числа a и b действительные, а числа m и n натуральные.

Свойства степеней с натуральными показателями:

Свойство 1.

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями, показатели степеней складываются:
aman = am + n

Пример умножения степеней с одинаковыми основаниями:

52 * 53 =
52 + 3 =
55

Обратите внимание на то, что основания степеней одинаковые, оба равны 5-ти.

Свойство 2.

2. Если степень возводится в степень, то показатели перемножаются:
(am)n = am * n

Пример возведения степени в степень:

(52)4 =
52 * 4 =
58

То есть при возведении степени в степень показатели перемножаются.

Свойство 3.

3. Если основания степеней разные, а показатели одинаковые, то произведение степеней равно степени произведения:
ambm = (ab)m

Пример произведения степеней:

42 * 32 =
(4 * 3)2

То есть произведение степеней равно степени произведения.

Свойство 4.

4. Частное степеней с одинаковыми основаниями, m > n:
am : an = am — n

Пример частного степеней с одинаковыми основаниями:

106 : 104 =
106 — 4 = 102 = 100

То есть основание остается, а показатели степеней вычитаются.

Свойство 5.

5. Если основания степеней разные, а показатели одинаковые, то частное степеней равно степени частного:
an : bn = (a/b)n

Пример частного степеней с разными основаниями и одинаковыми показателями:

52 : 62 =
(5/6)2

То есть частное степеней с одинаковыми показателями равно степени частного.

www.sbp-program.ru