Основные производные – Таблица производных (основных)

1.3. Основные правила дифференцирования

Теорема 1. Если функции идифференцируемы в данной точке, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:

.

Формула обобщается на случай любого конечного числа слагаемых.

Теорема 2. Если функции идифференцируемы в данной точкех, то в этой же точке дифференцируемо и их произведение, при этом:

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

, где .

Теорема 3. Если в данной точке х функции и

дифференцируемы и, то в той же точке дифференцируемо и их частное, причем

.

1.4. Обратная функция и ее производная

Рассмотрим функцию y = f (x) с областью определения (a, b) и множеством значений (c, d). Пусть эта функция такова, что всякая прямая, проходящая через точку интервала (c, d) параллельно оси Ох, пересекает ее график только в одной точке, т.е. уравнение y = f (x) для каждого y(c, d) определяет единственное значение x(a, b). В этом случае каждому значению y

(c, d) соответствует единственное значение x(a, b), т.е. на интервале (c, d) задана функция, множество значений которой есть интервал (a, b). Эта функция называется обратной по отношению к функции y = f (x) и обозначается . Очевидно, что для функцииобратной является функция. Поэтому обе эти функции называютсявзаимно обратными.

Теорема. Если функция y = f (x) монотонна и дифференцируема в некотором интервале и имеет в точке x этого интервала производную

, не равную нулю, то обратная функцияв соответствующей точкеy имеет производную, причем или иначе.

1.5. Производная сложной функции

Если и, тоестьсложная функция независимого аргумента x с промежуточным аргументом u.

Теорема. Если имеет производнуюв точкеx, а функция

имеет производнуюв соответствующей точкеu, то сложная функция в данной точкеx имеет производную , которая находится по следующей формуле.

Часто пользуются следующей формулировкой этой теоремы: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу на производную внутренней функции по независимому аргументу.

Сложная функция может быть составлена не из двух функций, а из большого их числа. В таких случаях теорема применяется последовательно несколько раз.

В частности, если функция такова, что

,,, то производнаянаходится по формуле.

1.6. Производные основных элементарных функций.

Таблица производных

Используя определение производной, можно найти производные основных элементарных функций.

1. Производная степенной функции .

2. Производная показательной функции .

В частности, .

3. Производная логарифмической функции , ,. В частности,

.

4. Производные тригонометрических функций ,,,.

Найдем, например, производную функции . По определению производной имеем:

.

Производную функции можно найти по правилу дифференцирования частного двух функций:

.

5. Производные обратных тригонометрических функций ,.

Найдем, например, производную функции . Функция,обратная к функции,

. По правилу дифференцирования обратной функции. На интервалеимеем .

Запишем таблицу производных для где.

1.

8.

2.

9.

3.

10.

4.

11.

5.

12.

6.

13.

7.

14.

Применяя формулы и правила дифференцирования, найдем производные следующих функций:

1) .

Применим правило дифференцирования произведения двух функций:

.

2) .

Применим правило дифференцирования частного двух функций:

.

3) .

Применим правило дифференцирования сложной функции:

.

studfiles.net

Производные некоторых основных элементарных функций (Лекция №5)

  1. y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

    (a + b)n = an+n·an-1·b + 1/2∙n(n – 1)an-2b2+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn,

    можно доказать, что

    Итак, если x получает приращение Δx, то f(xx) = (x + Δx)n, и, следовательно,

    Δy=(xx)nxn

    =n·xn-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·xn-2·Δx2 +…+Δxn.

    Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.

    Найдем предел

    Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.

  2. y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

    Так как, f(xx)=sin(xx), то

    Таким образом,

  3. Аналогично можно показать, что

  4. Рассмотрим функцию y= ln x.

    Имеем f(xx)=ln(xx). Поэтому

    Итак,

  5. Используя свойства логарифма можно показать, что

Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.

  1. .
  2. (справедлива для любого конечного числа слагаемых).
  3. .
  4. .

    а) .

    б) .

Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.

Доказательство формулы 3.

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента xx имеем y(xx)=u(xx) + v(xx).

Тогда

Δy=y(xx) –

y(x) = u(xx) + v(xx)u(x)v(x) = Δuv.

Следовательно,

.

Доказательство формулы 4.

Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(xx)=u(xxv(xx), поэтому

Δy=u(xxv(xx) – u(xv(x).

Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(xx)→u(x), v(xx)→v(x), при Δx→0.

Поэтому можем записать

На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w.

Тогда,

y ‘ = u ‘·(w) + u·(v ·w) ‘ = u ‘·v·w + u·(v ‘·w +v·w ‘) = u ‘·v·w + u·v ‘·w + u·v·w ‘.

Доказательство формулы 5.

Пусть . Тогда

При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)v(x) при Δx→0.

Примеры.

  1. Если , то
  2. y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найдем y ‘(–1).

    y ‘ = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y ‘(–1) = 14.

  3. y = ln x · cos x, то y ‘ = (ln x) ‘ cos x + ln x (cos x) ‘ =1/x∙cos x – ln x · sin x.
  4. Таким образом,

  5. Аналогично для y= ctgx,

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Операция «функция от функции» может проводиться не один раз, а любое число раз.

Установим правило дифференцирования сложной функции.

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 = u(x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную yu= f ‘(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна yx= f ‘(u0u ‘(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значении х0 будем иметь u0=u(x0), у0=f(u0). Для нового значения аргумента x0x:

Δu= u(x0 + Δx) – u(x0), Δy=f(u0u) – f(u0).

Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

,

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство в виде:

Δy= yuΔu+α·Δu.

Полученное равенство справедливо и при Δu=0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δx

.

По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим yx= yu·u ‘x . Теорема доказана.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от «внешней» функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от «внутренней» функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y ‘x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем yx= yu·ux . Применяя эту же теорему для ux получаем , т.е.

yx = yx· uv· vx = fu (uuv (vvx (x).

Примеры.

  1. y = sin x2. Тогда .

ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Начнем с примера. Рассмотрим функцию y= x3. Будем рассматривать равенство y= x3 как уравнение относительно x. Это уравнение для каждого значения у определяет единственное значение x: . Геометрически это значит, что всякая прямая параллельная оси Oxпересекает график функции y= x3 только в одной точке. Поэтому мы можем рассматривать x как функцию от y. Функция называется обратной по отношению к функции y= x3.

Прежде чем перейти к общему случаю, введем определения.

Функция y = f(x) называется возрастающей на некотором отрезке, если большему значению аргумента x из этого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x2>x1, то f(x2) > f(x1).

Аналогично функция называется убывающей, если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. еслих2 < х1 , то f(x2) > f(х1).

Итак, пусть дана возрастающая или убывающая функция y= f(x), определенная на некотором отрезке [a; b]. Для определенности будем рассматривать возрастающую функцию (для убывающей все аналогично).

Рассмотрим два различных значения х1 и х2. Пусть y1=f(x1), y2=f(x2). Из определения возрастающей функции следует, что если x1<x2, то у1<у2. Следовательно, двум различным значениям х1 и х2 соответствуют два различных значения функции у1 и у2. Справедливо и обратное, т.е. если у1<у2, то из определения возрастающей функции следует, чтоx1<x2. Т.е. вновь двум различным значениям у1 и у2 соответствуют два различных значенияx1 и x2. Т.о., между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается взаимно однозначное соответствие, т.е. уравнение y=f(x) для каждого y (взятого из области значений функции y=f(x)) определяет единственное значение x, и можно сказать, что x есть некоторая функция аргумента y: x= g(у).

Эта функция называется обратной для функции y=f(x). Очевидно, что и функция y=f(x) является обратной для функции x=g(у).

Заметим, что обратная функция x=g(y) находится путем решения уравнения y=f(x) относительно х.

Пример. Пусть дана функция y = ex. Эта функция возрастает при –∞ < x <+∞. Она имеет обратную функцию x = lny. Область определения обратной функции 0 < y < + ∞.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Если возрастающая (или убывающая) функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b], причем f(a)=c, f(b)=d, то обратная функция определена и непрерывна на отрезке [c; d].

Замечание 2. Если функция y=f(x) не является ни возрастающей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько обратных функций.

Пример. Функция y=x2 определена при –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 функция – убывает и обратная для нее .

Замечание 3. Если функции y=f(x) и x=g(y) являются взаимно обратными, то они выражают одну и ту же связь между переменными x и y. Поэтому графикомих является одна и та же кривая. Но если аргумент обратной функции мы обозначим снова через x, а функцию через y и построим их в одной системе координат, то получим уже два различных графика. Легко заметить, что графики будут симметричны относительно биссектрисы 1-го координатного угла.

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.

Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g ‘(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f ‘(x0), равную , т.е. справедлива формула.

Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δx→0 Δy→0.

Покажем, что .

Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δy→0. Тогда Δx→0 и α(Δx)→0, т.е. .

Следовательно,

,

что и требовалось доказать.

Эту формулу можно записать в виде .

Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.

Примеры.

  1. y = ex. Обратной для этой функции является функция x= ln y. Мы уже доказали, что . Поэтому согласно сформулированной выше теореме

    Итак, (ex) ‘ = ex

  2. Аналогично можно показать, что (ax) ‘ = ax·lna. Докажите самостоятельно.
  3. y = arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = sin y. Эта функция в интервале – π/2<y<π/2 монотонна. Ее производная x ‘ = cos y не обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной обратной функции

    .

    Но на (–π/2; π/2) .

    Поэтому

  4. Аналогично

    Докажите самостоятельно.

  5. y = arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет условию существования обратной функции на интервале –π/2< y < π/2. При этом обратная функция x = tg y монотонна. По ранее доказанному .

    Следовательно, y ‘ = cos2y . Но .

    Поэтому

  6.  

  7. Используя эти формулы, найти производные следующих функций:

www.toehelp.ru

Свойства производных с примерами

Пусть функции и являются дифференцируемыми, и – произвольные константы. Тогда имеют место следующие соотношения:

1. Линейность:

   

ПРИМЕР

2. Производная произведения:

   

ПРИМЕР

3. Производная частного:

   

ПРИМЕР

4. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

   

ПРИМЕР

5. Производная сложной функции: если задана функция , у которой аргумент есть в свою очередь функцией от то производная равна:

   

ПРИМЕР

6. Производная обратной функции: если функция , является обратной к функции то их производные связаны соотношением:

   

ПРИМЕР
Рассмотрим функцию , обратной к ней есть функция Найдем производные:

   

   

то есть

   

ru.solverbook.com

Производные основных элементарных функций

 

Теорема 1. Пусть функция , непрерывна, строго монотонна на отрезке и дифференцируема во внутренней точке этого отрезка, причем . Тогда обратная функция дифференцируема в точке , причем .

Доказательство. Заметим, что в условиях теоремы обратная функция существует, непрерывна и строго монотонна на отрезке в силу теоремы из § 19 главы 1.

Придадим значению приращение . Тогда получит приращение

(так как функция строго монотонна). Поэтому можно записать . Поскольку при в силу непрерывности обратной функции и и, по условию, существует , имеем . Отсюда следует существование и равенство . Теорема доказана.

Пример 1. Найдем производные функций arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x/

Решение. По теореме 1 имеем (поскольку , имеем и корень берем со знаком плюс).

Аналогично,

,

, .

Теорема 2. Если функции и имеют производные в точке , то в точке имеют производные и функции (если ) и справедливы формулы

а) ; б) ; в) .

Доказательство. а) Пусть . Дадим приращение . Тогда функции u, v, y получат приращения , причем

. Отсюда и и равенство а) доказано.

б) Пусть . Аналогично пункту а) имеем

, , , т.е. имеет место формула б).

в) Пусть . Имеем , , , т.е. имеет место формула в).

Теорема доказана.

Следствия. 1) Если , то .

2) Формула а) имеет место для любого конечного числа слагаемых.

3) .

Доказательство. 1) Поскольку , имеем .

2) Например, имеем .

3) Например, имеем .

В общем случае следствия 2) и 3) доказываются методом математической индукции.

Рассмотрим показательно-степенную функцию , где u и v – некоторые функции от х. Найдем производную функции у в точке, в которой дифференцируемы функции u и v .Для этого представим функцию у в виде .По правилу дифференцирования сложной функции, в силу теоремы 2 и примера 1 § 1 имеем

.

Таким образом,

.

Заметим, что в полученной формуле первое слагаемое есть результат дифференцирования как показательной функции, а второе – как степенной функции. Примененный прием дифференцирования называется логарифмическим дифференцированием. Им бывает удобно пользоваться и тогда, когда дифференцируемая функция является произведением нескольких сомножителей.

Перейдем теперь к параметрическому заданию функций. Если зависимость функции у от аргумента х устанавливается не непосредственно, а с помощью некоторой третьей переменной t, называемой параметром, формулами

, (3.1)

то говорят, что функция у от х задана параметрически.

Если х и у рассматривать как прямоугольные координаты точки на плоскости, то уравнения (3.1) ставят в соответствие каждому значению точку на плоскости. С изменением t точка опишет некоторую кривую на плоскости. Уравнения (3.1) называются параметрическими уравнениями этой кривой. Например, уравнения

(3.2)

являются параметрическими уравнениями эллипса с полуосями а и b.

Если в (3.1) уравнение разрешается относительно t, , то параметрическое задание функции можно свести к явному:

.

Найдем производную функции, заданной параметрически. Для этого предположим, что функции и дифференцируемы, причем на некотором промежутке, а для функции существует обратная функция , имеющая конечную производную . Тогда по правилу дифференцирования сложной и обратной функций находим: . Таким образом,

. (3.3)

Например, производная функции, определяемой уравнениями (3.2) имеет вид

.

Уравнение касательной к кривой, заданной параметрически, в точке , соответствующей значению параметра , получается из уравнения (1.4), если вместо подставить :

,

отсюда при имеем

. (3.4)

Аналогично из уравнения (1.5) получаем уравнение нормали:

или . (3.5)

Запишем теперь сводные таблицы производных основных элементарных функций и правил дифференцирования, полученных ранее.

Правила дифференцирования

1. . 2. . 3. . 4. .

5. Если , то . 6. Если то .

7. Если – обратная функция, то . 8. .

Таблица производных основных элементарных функций

1. , где . 2. , в частности,

3. . 4. . .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. , в частности, . 12. , в частности, .

 


Похожие статьи:

poznayka.org

2. Основные и производные физические величины

ГОСТустанавливает единицы физических величин, а также наименования, обозначения и правила применения этих единиц. В соответствии с ним подлежат обязательному применению единицы Международной системы единиц (а также десятичные кратные и дольные от них), представляющие собой основу для унификации единиц физических величин во всем мире [4].

Стандарт не распространяется на единицы величин, оцениваемых в условных шкалах, например, шкалам твердости Роквелла, Виккерса и др.

2.1. Единицы международной системы

Международная система единиц (международное сокращенное наименование – SI, в русской транскрипции —СИ) принята в в1960 г.

Сокращенное наименование Международной системы единиц следует произносить и писать «единицы СИ», а не «единицы системыСИ», так как слово «система» уже входит в наименование в виде буквы «С».

Наименования и обозначения основных и дополнительных единиц приведены в таблице 1.

В качестве основныхединиц измерения выбраносемь(наименование, размерность, величина, обозначение: международное и русское):

1. метр —L(длина)m, м;

2. килограмм —M(масса)kg, кг;

3.секунда –T(время)s, с;

4. ампер —I(сила тока)A, А;

5. кельвин –θ(температура)K, К;

6. моль –N(количество вещества)mol, моль;

7. кандела –J(сила света)cd, кд.

Система включает также две дополнительныеединицы:радиан для плоского истерадиандля телесного угла.

Таблица 1

Основные и дополнительныеединицы

Международной системы единиц

Кроме температуры по шкале Кельвина(обозначаемойT) допускается применять температуру по шкалеЦельсия(обозначаемуюt):t = TT0, где T0 = 273,15 К по определению. Градусы Цельсия имеют обозначение (международное и русское)0С. По размеру градус Цельсия равен градусу Кельвина.

Производные единицы СИ образуются с помощью простейших уравнений связи из основных и дополнительных единиц по правилам образования когерентных* производных единиц.

(* Когерентность –«лат. сцепление, связь» — физ. согласованное протекание во времени нескольких колебательных процессов, разность фаз которых постоянна; когерентные волны при сложении либо усиливают, либо ослабляют друг друга).

В таблице 2приведеныпроизводные единицыСИ, образованные из наименований единиц основных, дополнительных и имеющих специальные наименования единиц (величина, размерность, наименование, обозначение: международное и русское):

Таблица 2

Примеры производныхединиц СИ, наименования которых

образованы из наименований основных, дополнительных

и имеющих специальные наименования единиц

Продолжение таблицы 2

Продолжение таблицы 2

2.2. Единицы, не входящие в си

Существует ограниченная группа единиц, которые не во всех случаях можно заменить единицами СИ. В таблице 3 помещен перечень единиц, допускаемых к при­менению наравне с единицами СИ без ограничения срока. Однако стандарт допу­скает их применение лишь в обоснованных случаях, т. е. тогда, когда замена их еди­ницами СИ при современном состоянии соответствующих областей техники и на­родного хозяйства вызвала бы неоправданные затруднения.

В стандарт включены единицы: массы (тонна), объема и вместимости (литр), времени (минута, час, сутки), плоского угла (градус, минута, секунда).

Без ограничения срока разрешается применять относительные и логарифмиче­ские единицы. Эти единицы не связаны с какой-либо системой единиц, так как не зависят от выбора основных единиц и во всех системах остаются неизменными. К относительным величинам (безразмерное отношение физической величины к одно­именной физической величине, принимаемой за исходную) относятся: КПД, относи­тельное удлинение, относительная плотность, относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости и др.

Таблица 3

Внесистемныеединицы, допускаемые к применению

наравне с единицами СИ

Все единицы других систем, которые допускались к применению до 1 января 1980 г., заменены единицами СИ, за исключением восьми единиц: карат, оборот в секунду, оборот в минуту, бар, текс, непер, морская миля, узел.

studfiles.net