Операции со степенями с одинаковыми основаниями – .

Содержание

Степени правила действия со степенями

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация “Степени” для устного счета, карточки с заданиями, раздаточный материал.

I. Организационный момент

Сообщение темы и целей урока.

На предыдущих уроках вы открыли для себя удивительный мир степеней, научились умножать и делить степени, возводить их в степень. Сегодня мы должны закрепить полученные знания при решении примеров.

II. Повторение правил (устно)

  • Дайте определение степени с натуральным показателем? (Степенью числа а с натуральным показателем, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.)
  • Как умножить две степени? (Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели сложить.)
  • Как разделить степень на степень? (Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели вычесть.)
  • Как возвести произведение в степень? (Чтобы возвести произведение в степень, надо каждый множитель возвести в эту степень)
  • Как возвести степень в степень? (Чтобы возвести степень в степень, надо основание оставить тем же, а показатели перемножить)
  • III. Устный счет (по мультимедиа)

    IV. Историческая справка

    Все задачи из папируса Ахмеса, который записан около 1650 года до н. э. связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы по тематике. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, здесь присутствует и возведение в разные степени, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

    Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, и даже владели зачатками алгебры.

    V. Работа у доски

    Найдите значение выражения рациональным способом:

    Вычислите значение выражения:

    VI. Физкультминутка

  • для глаз
  • для шеи
  • для рук
  • для туловища
  • для ног
  • VII. Решение задач (с показом на интерактивной доске)

    Является ли корень уравнения положительным числом?

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Формулы степеней и корней.

    Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

    Число c является n-ной степенью числа a когда:

    Операции со степенями.

    1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

    2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

    3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

    (abc…) n = a n · b n · c n …

    4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

    5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

    Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

    Операции с корнями.

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

    3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

    5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

    Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m 4 :a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

    Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n, нужно присутствие нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

    Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n, необходимо извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а:

    Формулы степеней.

    6. a n = — деление степеней;

    7. — деление степеней;

    8. a 1/n = ;

    www.calc.ru

    Степени правила действия со степенями

    1. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей (с тем же показателем):

    (abc…) n = a n b n c n …

    Пример 1. (7•2•10) 2 = 7 2 •2 2 •10 2 = 49•4•100 = 19600. Пример 2. (x 2 –a 2 ) 3 = [(x +a)(x — a)] 3 =(x +a) 3 (x — a) 3

    Практически более важно обратное преобразование:

    a n b n c n … = (abc…) n

    т.е. произведение одинаковых степеней нескольких величин равно той же степени произведения этих величин.

    Пример 3. Пример 4. (a +b) 2 (a 2 – ab +b 2 ) 2 =[(a +b)(a 2 – ab +b 2 )] 2 =(a 3 +b 3 ) 2

    2. Степень частного (дроби) равна частному от деления той же степени делимого на ту же степень делителя:

    Пример 5. Пример 6.

    Обратное преобразование:. Пример 7.. Пример 8..

    3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

    Пример 9.2 2 •2 5 =2 2+5 =2 7 =128. Пример 10. (a – 4c +x) 2 (a – 4c +x) 3 =(a – 4c + x) 5 .

    4. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатель степени делителя вычитается из показателя степени делимого

    Пример 11. 12 5 :12 3 =12 5-3 =12 2 =144. Пример 12. (x-y) 3 :(x-y) 2 =x-y.

    5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

    Пример 13. (2 3 ) 2 =2 6 =64. Пример 14.

    www.maths.yfa1.ru

    Степени и корни

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

    нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

    a m · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются

    .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    ( a / b ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р . ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем.

    Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

    П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a mn была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы . 2 0 = 1, ( 5 ) 0 = 1, ( 3 / 5 ) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

    О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

    где a ≠ 0 , не существует .

    В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

    любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

    Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

    0 0 — любое число.

    Р е ш е н и е . Рассмотрим три основных случая:

    1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

    2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x – любое число; но принимая во внимание, что в

    нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

    www.bymath.net

    Свойства степени

    Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

    Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

    Свойство № 1
    Произведение степеней

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

    a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

    = 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8 : t = 3 4

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

    Пример. Упростить выражение.
    4 5m + 6 · 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2 ) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2 ) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n ) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

    При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

    (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

    miassats.ru

    Умножение чисел со степенями с разными основаниями

    Действия со степенями и корнями

    Свойства степени с натуральным показателем

    1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

    .

    Например, .

    5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

    .

    Например, .

    Пример 1. Найти значение выражения

    .

    Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

    (степень произведения равна произведению степеней множителей),

    (при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

    Теперь получим:

    В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

    Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

    Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

    Степень с целым и дробным показателем

    Имеют место следующие тождества:

    1) ;

    2) ;

    3) .

    Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

    Пример 2. Найти значение выражения

    .

    Пример 3. Найти значение выражения

    .

    Преобразования арифметических корней

    1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

    2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

    3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

    4. Если , то (правило возведения корня в степень).

    5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

    6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

    7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

    (правило умножения корней),

    (правило деления корней),

    .

    8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

    9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня.

    Правило умножение степеней с разными основаниями

    Например,

    10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

    а) , так как .

    Например, .

    б)

    Например,

    в)

    и т. д.

    11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

    1) ;

    2) ;

    3)

    К началу страницы

    Другие темы в блоке «Школьная математика»

    Действия с дробями

    Решение квадратных уравнений

    Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

    Действия со степенями и корнями

    Свойства степени с натуральным показателем

    1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

    .

    Например, .

    5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

    .

    Например, .

    Пример 1. Найти значение выражения

    .

    Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

    (степень произведения равна произведению степеней множителей),

    (при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

    Теперь получим:

    В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

    Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

    Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

    Степень с целым и дробным показателем

    Имеют место следующие тождества:

    1) ;

    2) ;

    3) .

    Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

    Пример 2. Найти значение выражения

    .

    Пример 3. Найти значение выражения

    .

    Преобразования арифметических корней

    1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

    Что делать со степенями при сложении и вычитании числа?

    Если , то (правило извлечения корня из дроби).

    3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

    4. Если , то (правило возведения корня в степень).

    5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

    6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

    7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

    (правило умножения корней),

    (правило деления корней),

    .

    8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

    9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

    10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

    а) , так как .

    Например, .

    б)

    Например,

    в)

    и т. д.

    11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

    1) ;

    2) ;

    3)

    К началу страницы

    Другие темы в блоке «Школьная математика»

    Действия с дробями

    Решение квадратных уравнений

    Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

    Действия со степенями и корнями

    Свойства степени с натуральным показателем

    1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

    .

    Например, .

    5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

    .

    Например, .

    Пример 1. Найти значение выражения

    .

    Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

    (степень произведения равна произведению степеней множителей),

    (при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

    Теперь получим:

    В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

    Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

    Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

    Степень с целым и дробным показателем

    Имеют место следующие тождества:

    1) ;

    2) ;

    3) .

    Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

    Пример 2. Найти значение выражения

    .

    Пример 3. Найти значение выражения

    .

    Преобразования арифметических корней

    1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

    2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

    3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

    Алгебра – 7 класс. Умножение и деление степеней

    Если , то (правило возведения корня в степень).

    5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

    6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

    7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

    (правило умножения корней),

    (правило деления корней),

    .

    8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

    9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

    10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

    а) , так как .

    Например, .

    б)

    Например,

    в)

    и т. д.

    11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

    1) ;

    2) ;

    3)

    К началу страницы

    Другие темы в блоке «Школьная математика»

    Действия с дробями

    Решение квадратных уравнений

    Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

    Действия со степенями и корнями

    Свойства степени с натуральным показателем

    1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

    .

    Например, .

    5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

    .

    Например, .

    Пример 1. Найти значение выражения

    .

    Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

    (степень произведения равна произведению степеней множителей),

    (при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

    Теперь получим:

    В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

    Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

    Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

    Степень с целым и дробным показателем

    Имеют место следующие тождества:

    1) ;

    2) ;

    3) .

    Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

    Пример 2. Найти значение выражения

    .

    Пример 3. Найти значение выражения

    .

    Преобразования арифметических корней

    1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

    2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

    3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

    Как умножить степени с разными основаниями и показателями?

    Если , то (правило возведения корня в степень).

    5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

    6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

    7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

    (правило умножения корней),

    (правило деления корней),

    .

    8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

    9. Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

    10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

    а) , так как .

    Например, .

    б)

    Например,

    в)

    и т. д.

    11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

    1) ;

    2) ;

    3)

    К началу страницы

    Другие темы в блоке «Школьная математика»

    Действия с дробями

    Решение квадратных уравнений

    Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

    Действия со степенями и корнями

    Свойства степени с натуральным показателем

    1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    2. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    3. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним:

    .

    Например, .

    4. Степень произведения равна произведению степеней множителей:

    .

    Например, .

    5. Степень частного равна частному степеней делимого и делителя:

    .

    Например, .

    Пример 1. Найти значение выражения

    .

    Решение. В данном случае в явной форме ни одно из свойств степени с натуральным показателем применить нельзя, так как все степени имеют разные основания. Запишем некоторые степени в другом виде:

    (степень произведения равна произведению степеней множителей),

    (при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся прежним, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остаётся прежним).

    Теперь получим:

    В данном примере были использованы первые четыре свойства степени с натуральным показателем.

    Свойства степеней и корней интенсивно используются при упрощении выражений в задачах математического анализа, например, для нахождения производной параметрически заданной функции и производной функции, заданной неявно.

    Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

    Степень с целым и дробным показателем

    Имеют место следующие тождества:

    1) ;

    2) ;

    3) .

    Выполнить действия со степенями самостоятельно, а затем посмотреть решения

    Пример 2. Найти значение выражения

    .

    Пример 3. Найти значение выражения

    .

    Преобразования арифметических корней

    1. Корень k-й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где (правило извлечения корня из произведения).

    2. Если , то (правило извлечения корня из дроби).

    3. Если , то (правило извлечения корня из корня).

    4. Если , то (правило возведения корня в степень).

    5. Если , то , где , т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

    6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

    7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например:

    (правило умножения корней),

    (правило деления корней),

    .

    8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При .

    Свойства степени

    Обратная задача — внесение множителя под знак корня. Например,

    10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби. Рассмотрим некоторые типичные случаи.

    а) , так как .

    Например, .

    б)

    Например,

    в)

    и т. д.

    11. Применение тождеств сокращённого умножения к действиям с арифметическими корнями:

    1) ;

    2) ;

    3)

    К началу страницы

    Другие темы в блоке «Школьная математика»

    Действия с дробями

    Решение квадратных уравнений

    Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение

    Степень с натуральным показателем и её свойства

    Степень с натуральным показателем и ее свойства.

    Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

    an = 

    В выражении an :

    —  число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени

    —  число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени

    Например:
    25 = 2·2·2·2·2 = 32,
    здесь:
    2   – основание степени,
    5   – показатель степени,
    32 – значение степени

    Отметим, что основание степени может быть любым числом.

    Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

    Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 108

    Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10n , где 1 < a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

    Например:  4578 = 4,578 · 103 ;

    103000 = 1,03 · 105.

    Свойства степени с натуральным показателем:

    1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются

    am · an = am + n

    например:  71.7 · 7 — 0.9 = 71.7+( — 0.9) = 71.7 — 0.9 =  70.8

    Как умножать и делить степени? Что делают при умножении и делении степеней?

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются

    am / an = am — n ,

    где,  m > n,

    a ? 0

    например: 133.8 / 13 -0.2 = 13(3.8 -0.2) = 133.6

    3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

    (am )n = a m ·  n

    например: (23)2 = 2 3·2 = 26

    4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

    (a · b)n = an · b m ,

    например:(2·3)3 = 2n · 3 m ,

    5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель

    (a / b)n = an / bn

    например: (2 / 5)3 = (2 / 5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 23 / 53

    pasmr21.ru

    Правила умножения степеней с разным основанием — Коллегия адвокатов

    Как умножать степени

    Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

    В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

    1) если степени имеют одинаковые основания;

    2) если степени имеют одинаковые показатели.

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

    При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

    Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

    Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

    При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

    В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

    Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

    www.algebraclass.ru

    Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

    Сложение и вычитание степеней

    Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

    Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
    Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

    Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

    Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

    Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

    Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

    Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

    Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

    Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

    Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

    Или:
    2a 4 — (-6a 4 ) = 8a 4
    3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
    5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

    Умножение степеней

    Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

    Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

    Или:
    x -3 ⋅ a m = a m x -3
    3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
    a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

    Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
    Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

    Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

    Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

    Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

    Так, a n .a m = a m+n .

    Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

    И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

    Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

    Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

    Или:
    4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
    b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
    (b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

    Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) ⋅ (x — y).
    Ответ: x 4 — y 4 .
    Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

    Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные.

    1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

    2. y -n .y -m = y -n-m .

    3. a -n .a m = a m-n .

    Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2 : то есть

    Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

    Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

    Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
    (a 2 — y 2 )⋅(a 2 + y 2 ) = a 4 — y 4 .
    (a 4 — y 4 )⋅(a 4 + y 4 ) = a 8 — y 8 .

    Деление степеней

    Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

    Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

    Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac$. Но это равно a 2 . В ряде чисел
    a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
    любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

    При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

    Так, y 3 :y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac= y$.

    И a n+1 :a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.

    Или:
    y 2m : y m = y m
    8a n+m : 4a m = 2a n
    12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

    Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
    Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
    Также, $\frac : \frac = \frac.\frac= \frac= \frac$.

    h 2 :h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac= h^3$

    Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

    Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

    1. Уменьшите показатели степеней в $\frac$ Ответ: $\frac$.

    2. Уменьшите показатели степеней в $\frac$. Ответ: $\frac$ или 2x.

    3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
    a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
    a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
    a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
    После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

    4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
    Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

    5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

    6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

    7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

    8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

    www.math20.com

    Свойства степени

    Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

    Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

    Свойство № 1
    Произведение степеней

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

    a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  • Упростить выражение.
    b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Представить в виде степени.
    6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
  • Представить в виде степени.
    (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
  • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

    Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2 ) на 3 5 . Это понятно, если
    посчитать (3 3 + 3 2 ) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

    Свойство № 2
    Частное степеней

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

  • Записать частное в виде степени
    (2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
  • Вычислить.

    = 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
    Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
    3 8 : t = 3 4

    Ответ: t = 3 4 = 81

    Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

      Пример. Упростить выражение.
      4 5m + 6 · 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

    Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

    = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

    Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

    Нельзя заменять разность (4 3 −4 2 ) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2 ) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

    Свойство № 3
    Возведение степени в степень

    При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

    (a n ) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

    • Пример.
      (a 4 ) 6 = a 4 · 6 = a 24
    • Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .
    • По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

      Свойства 4
      Степень произведения

      При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

      (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

    • Пример 1.
      (6 · a 2 · b 3 · c ) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    • Пример 2.
      (−x 2 · y) 6 = ( (−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6 ) = x 12 · y 6

    Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

    (a n · b n )= (a · b) n

    То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
  • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

    Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

    Пример возведения в степень десятичной дроби.

    4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

    Свойства 5
    Степень частного (дроби)

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    (a : b) n = a n : b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5 : 3) 12 = 5 12 : 3 12
  • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    math-prosto.ru

    Степени и корни

    Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

    нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

    Операции со степенями.

    1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

    a m · a n = a m + n .

    2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

    3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

    4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

    ( a / b ) n = a n / b n .

    5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

    Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

    П р и м е р . ( 2 · 3 · 5 / 15 ) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

    Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

    1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

    2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

    3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

    4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

    5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

    Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

    Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

    П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

    Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a mn была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

    Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

    П р и м е р ы . 2 0 = 1, ( 5 ) 0 = 1, ( 3 / 5 ) 0 = 1.

    Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

    О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

    где a ≠ 0 , не существует .

    В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

    любое число.

    В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

    Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

    0 0 — любое число.

    Р е ш е н и е . Рассмотрим три основных случая:

    1) x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

    2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

    что x – любое число; но принимая во внимание, что в

    нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

    www.bymath.net

    Правила умножения степеней с разным основанием

    СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

    СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

    § 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

    Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним, то есть

    Доказательство. По определению степени

    2 2 • 2 3 = 2 5 = 32; (—3) • (—3) 3 = (—3 ) 4 = 81.

    Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.

    Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при т > п

    (a =/= 0)

    Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где a =/= 0, это все равно, что доказать формулу

    Если т > п, то число т — п будет натуральным; следовательно, по теореме 1

    Теорема 2 доказана.

    Следует обратить внимание на то, что формула

    доказана нами лишь в предположении, что т > п. Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:

    К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались и мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению 3 2 .

    Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним, то есть

    Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа, получаем:

    что и требовалось доказать.

    Например, (2 3 ) 2 = 2 6 = 64;

    518 (Устно.) Определить х из уравнений:

    1) 2 • 2 2 • 2 3 • 2 4 • 2 5 • 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 • 4 4 • 4 6 • 4 8 • 4 10 = 2 x ;

    2) 3 • 3 3 • 3 5 • 3 7 • 3 9 = 3 x ; 4) 1 /5 • 1 /25 • 1 /125 • 1 /625 = 1 / 5 x .

    519. (У с т н о.) Упростить:

    520. (У с т н о.) Упростить:

    521. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями:

    1) 32 и 64; 3) 8 5 и 16 3 ; 5) 4 100 и 32 50 ;

    2) —1000 и 100; 4) —27 и —243; 6) 81 75 • 8 200 и 3 600 • 4 150 .

    oldskola1.narod.ru

    112ak.ru

    Умножение и деление чисел со степенями

    Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться таблицей степеней натуральных чисел от 2 до 25 по алгебре. А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней.

    Экспоненциальные числа открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.

    Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.

    Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.

    А теперь используем правило возведения числа в степень. 16=42, или 24, 64=43, или 26, в то же время 1024=64=45, или 210.

    Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 42х43=45 или 24х26=210, и каждый раз мы получаем 1024.

    Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени, или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.

    Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 24х22х214=220.

    Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого. Таким образом, 25:23=22, что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 22. Подведем итоги:

    amх an=am+n, am: an=am-n, где m и n — целые числа.

    С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 23 и 24, но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 23х32, и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 25 и ни 35 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.

    Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огром­ные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.

    Для того чтобы легче было двигаться дальше, давайте подробнее рассмотрим понятие экспоненты и попробуем дать ей более обобщенное толкование.

    До сих пор мы считали, что экспонента – это количество одинаковых сомножителей. В этом случае минимальная величина экспоненты – это 2. Однако если мы производим операцию деления чисел, или вычитания экспонент, то можем получить также число меньше 2, значит, старое определение нас больше не может устроить. Подробнее читайте в следующей статье.

    Материалы по теме:

    Поделиться с друзьями:

    Загрузка…

    matemonline.com

    ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЕЛ СО СТЕПЕНЯМИ С ОДИНАКОВЫМ ОСНОВАНИЕМ — Свойства степеней

    Осталось доказать вторую часть свойства. Следовательно, am−an>0 и am>an, что и требовалось доказать. Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

    Если p=0, то имеем (a0)q=1q=1 и a0·q=a0=1, откуда (a0)q=a0·q. По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. Условиям p0 в этом случае будут эквивалентны условия m0 соответственно.

    При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и . А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно.

    Основные свойства логарифмов

    Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание). Операции с корнями.

    Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем;нодействиясостепенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения. Если мы хотим, чтобы формула a m: a n=a m — nбыла справедлива при m = n,нам необходимо определение нулевой степени.

    Умножение степеней чисел с одинаковыми показателями. Далее мы сформулируем теорему о делении степеней с одинаковыми основаниями, решим разъясняющие задачи и докажем теорему в общем случае. Перейдём теперь к определению отрицательных степеней. Вы можете в этом легко убедиться, подставив формулу из определения в остальные свойства. Для решения данной задачи вспомните, что: 49 = 7^2, а 147 = 7^2 * 3^1. Если Вы теперь аккуратно воспользуетесь свойствами степеней (при возведении степени в степень показатели…

    То есть показатели степени действительно вычитаются, но, поскольку в знаменателе у степени показатель отрицательный, при вычитании минус на минус даёт плюс, и показатели складываются. Вспомним, что называется одночленом, и какие операции можно делать с одночленами. Напомним, что для приведения одночлена к стандартному виду необходимо вначале получить численный коэффициент, перемножив все численные множители, а после этого перемножить соответствующие степени.

    Переход к новому основанию

    То есть, мы должны научиться различать подобные и не подобные одночлены. Сделаем вывод: подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.

    Спасибо Вам за отзыв. Если наш проект вам понравился и вы готовы помочь или принять участие в нём, перешлите информацию о проекте знакомым и коллегам. В предыдущем видео говорилось ,что в примерах с одночленами может быть только умножение:»Найдем отличие этих выражений от предыдущих.

    Само понятие одночлена как математической единицы подразумевает только умножение чисел и переменных, если есть другие операции, выражение уже не будет одночленом. Но вместе с тем между собой одночлены можно складывать, вычитать, делить… Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

    Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают! Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

    То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует. Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. 4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.

    Не пропустите:

    utycodertum.ru

    Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

    Умножение степеней с одинаковыми основаниями

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

    Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, возведение в степень — это сокращённая запись умножения:

    23 = 2 · 2 · 2

    Во-вторых, умножение числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней:

    23 · 22(2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25
    3 множ.2 множ.5 множ.

    Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней, мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула:

    ax · ay = ax+y

    Примеры умножения степеней

    Пример 1. Запишите в виде степени:

    n3n5

    Решение:

    n3n5 = n3 + 5 = n8

    Пример 2. Упростите:

    xy2z3x4y5z6

    Решение: чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями можно сначала сгруппировать степени по основаниям:

    (xx4)(y2y5)(z3z6)

    Теперь выполним умножение степеней:

    (xx4)(y2y5)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9

    Следовательно:

    xy2z3x4y5z6 = x5y7z9

    Пример 3. Выполните умножение:

    а) nxn5;      б) xxn;      в) amam

    Решение:

    а) nxn5 = nx + 5              
    б) xxn = xn + 1                
    в) amam = am + m = a2m

    Пример 4. Упростите выражение:

    а) —a2 · (-a)2 &middot a;      б) -(-a)2 · (-a) &middot a

    Решение:

    а) —a2 · (-a)2 &middot a = —a2 · a2 &middot a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = —a5
    б) -(-a)2 · (-a) &middot a = —a2 · (-a) &middot a = a3 &middot a = a4

    Деление степеней с одинаковыми основаниями

    При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

    Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями:

    n12 : n5

    где n – это число не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби:

    Представим n12 в виде произведения n7 · n5, тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель n5:

    n12 = n7 · n5 =  n7
    n5n5

    Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения:

    n7 · n5 = n7+5 = n12

    Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так:

    ax : ay = ax-y

    Примеры деления степеней

    Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием:

    а) a5;      б) m18
    am10

    Решение:

    а) a5 = a4 · a = a4
    a a

    б) m18 = m8 · m10 = m8
    m10 m10

    Пример 2. Выполните деление:

    а) x7 : x2;      б) n10 : n5;      в) a30 : a10

    Решение:

    а) x7 : x2 = x7 — 2 = x5         
    б) n10 : n5 = n10 — 5 = n5     
    в) a30 : a10 = a30 — 10 = a20

    Пример 3. Чему равно значение выражения:

    а) an ;      б) mx ;      в) b5 · b8
    a2mb3

    Решение:



    в) b5 · b8 = b2 · b3 · b8 = b2 · b8 = b10
    b3b3

    naobumium.info

    Как умножать степени | Алгебра

    Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

    В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

    1) если степени имеют одинаковые основания;

    2) если степени имеют одинаковые показатели.

    При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

       

    При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

       

    Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

       

    Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

       

    При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

       

       

       

       

    В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

    Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

       

       

    www.algebraclass.ru