Обозначение множество – : , , .

Содержание

1. Понятие множества. Обозначение множества и его элементов. Конечные и бесконечные множества. Теория множеств

Похожие главы из других работ:

Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха

1. Выпуклые множества

Пусть X-линейное вещественное пространство. Определение 1.1. Множество C X называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками x(1) и x(2) оно содержит и весь отрезок. (т.е. с(x(1), x(2))) На рисунке изображены 2 множества на плоскости R2 C-выпуклое…

Компактные операторы

1.4 Компактные множества

Определение: Множество в метрическом пространстве называется компактным, если из всякой бесконечной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу . Определение: Множество…

Обобщённо булевы решетки

1.1. Упорядоченные множества

Упорядоченным множеством P называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение , удовлетворяющее для всех следующим условиям: 1. Рефлексивность: . 2. Антисимметричность. Если и , то . 3. Транзитивность. Если и , то . Если и…

Основные положения дискретной математики

1.1 Понятие множества и подмножества

В дискретной математике любое понятие можно определить с помощью понятия множества, с рассмотрения которого мы и начнем наш курс. Множество — совокупность объектов, различаемых нашей интуицией. Объекты…

Основы комбинаторики

Множества и факториалы

Факториал: Факториалом называется произведение n натуральных чисел от 1 до n. Обозначается n! Например: 2! = 2 1 = 2, 4! = . Условились считать 1! = 0, 0! = 1 Множества: Множество — одно из ключевых понятий математики, в частности, теории множеств и логики…

Предельные точки

1. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума

Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую роль при перенесении представления о «количестве» элементов множества с конечных множеств на бесконечные. Это необходимо, поскольку мы постоянно имеем дело с бесконечными множествами…

Предельные точки

2. Замкнутые и открытые множества

Пусть задано множество . Точка называется предельной точкой множества , если из того, что и , следует, что . Предельная точка может принадлежать и не принадлежать , но если все предельные точки принадлежат , то множество называет-ся замкнутым…

Решение практических заданий по дискретной математике

Заданы множества кортежей:

Теория множеств

3. Пустое и универсальное множества

В теории множеств отдельно вводится множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом . Если A есть пустое множество, то пишут: A = . Зачем же его вообще вводят? Стоит отметить…

Теория множеств

Глава I. Понятие множества

Множество может быть задано через перечисление его элементов. Например, запись означает, что множество А состоит из элементов . Во многих задачах выделяют некоторое свойство F элементов x множества X такое…

Теория множеств

Глава IV. Счетные множества

Множество назовем СЧЕТНЫМ, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Таким образом, возможность «пронумеровать» элементы множества определяет его счетность. Эта задача далеко не всегда решается просто…

Теория множеств

Глава V. Числовые множества

На всех этапах развития математики представления о числе определяли уровень значимости математических знаний. Глубокое проникновение в теорию числовых множеств сочеталось с мистическим и наивным пониманием их свойств…

Теория нумераций

Нумерации множества и его подмножеств

Пусть — произвольное непустое не более чем счетное множество. Нумерацией множества назовем всякое отображение н множества N всех натуральных чисел на множество . Пара = (S, н), где н — некоторая нумерация множества S…

Упорядоченные множества

1. Частично упорядоченные множества

Бинарное отношениена множестве А называется антисимметрич-ным если: (а…

Частично-упорядоченные множества

4. Частично-упорядоченные множества

4.1 Частично-упорядоченное множество Определение 10: Частично упорядоченное множество, в котором для любых элементов a и b существую inf{a,b} и sup{a,b}, называют решеточно упорядоченным множеством. Решетка называется полной…

math.bobrodobro.ru

как обозначаются множества и их елементы

Множество относится к математическим объектам, для которых нет строгого определения. Если из элементов двух множеств можно составить пары таким образом, чтобы каждому элементу первого множества соответствовал определенный элемент второго множества, а каждому элементу второго множества соответствовал один и только один элемент первого множества, то говорят, что между такими двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие.

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество студентов в группе и т. д.
Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т. е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Например: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т. д.

Мощностью конечного множества называется количество его элементов. Мощность множества A обозначается m (A).

В теории множеств аналогичные утверждения используются даже когда множества содержат бесконечно много элементов. Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что они имеют одинаковое количество элементов или равномощны. Если же при любом способе образования пар некоторые элементы из первого множества остаются без пары, то говорят, что первое множество содержит больше элементов, чем второе, или, что первое множество имеет большую мощность.
Счётное множество – множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным (множество книг в библиотеке) или бесконечным (множество целых чисел) .

Несчётное множество – множество, элементы которого невозможно пронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С, … , а их элементы — малыми: а, в, с…

Обозначения множества и их элементы представлены здесь

http://umk.portal.kemsu.ru/uch-mathematics/papers/posobie/r2-1.htm

otvet.mail.ru

Условные обозначения в теории множеств

Точно так же как детям, которые только научились читать, нравятся книжки со сказками, где много картинок и мало букв, так и взрослым нравится научно-популярная литература, где много текста и мало формул. И это вполне понятно: большинство формул, кажущихся простыми, требуют серьезной математической подготовки. Но символы, используемые в теории множеств, исключение: ведь речь идет о логическом языке, цель которого — ясность и удобство. Предположим, что мы хотим представить множество (обозначим его буквой А), образованное всеми натуральными числами от 1 до 15, причем четными. И мы уже это сделали. Ни один человек из прочитавших часть предыдущего предложения, выделенную курсивом, не усомнился в том, какие

именно элементы образуют множество А. Это же можно записать более кратко:

А = {2,4, 6, 8, 10, 12,14}.

Или так:

А = {х такие, что х — четное число на интервале от 1 до 15}.

На языке математики слова «такие, что…» обозначаются символом «/»:

А = {х /х — четное число на интервале от 1 до 15}.

Первая характеристика из использованных нами называется перечислением и означает список всех элементов множества. Например,

V = {а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я}

является перечислением всех гласных звуков русского языка. Если множество задано описанием свойств его элементов, тогда указывается свойство, которым обладают все элементы множества и только они. Например,

V={x /х — гласный звук русского языка}.

Говорят, что множество определено корректно, когда можно однозначно установить, принадлежит некий элемент этому множеству или нет. Принадлежность обозначается символом $\in$. Если мы обозначим множество всех четных чисел буквой Р, то $4\in P$. Чтобы обозначить непринадлежность к множеству, используют этот же символ, но перечеркнутый: $\notin$. То есть мы можем записать, что $5\notin P$.

Множество может являться частью другого множества. Например, четные числа являются частью большего множества целых чисел (его обычно обозначают буквой Z). В этом случае говорят, что одно множество является подмножеством другого и обозначают это отношение знаком $\subset$:

$P\subset Z$.

Например, если А={23, 4, 815, 5, 6, 200, а, z} и В={4, 6, z}, то $B \subset A$.

Заметим, что два последних множества, определенные перечислением символов, образованы произвольными элементами. Важно отметить, что между элементами множества не обязательно должно существовать какое-либо особенное отношение и они не обязаны соответствовать какому-либо определенному закону. С другой стороны, говоря о множествах Р и Z, мы ввели два бесконечных множества. Подобные множества также можно задать перечислением элементов:

Р = {2,4, 6, 8, 10…},

Z ={…-3, -2,-1,0,1,2,3…},

где многоточиями обозначена бесконечная последовательность элементов. Данное представление бесконечных множеств выполнимо, если не влечет появления неоднозначности.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Основные числовые множества | Учеба-Легко.РФ

 

Основные числовые множества


В этой главе мы рассмотрим основные числовые множества, которые известны еще со школы.

Множество натуральных чисел N включают числа вида 1, 2, 3 и т.д., которые используются для счёта предметов.

Множество целых чисел Z состоят из натуральных чисел 1, 2, 3,…, числа 0 и чисел, противоположных к натуральным: -1, -2, -3,… .

Множество рациональных чисел Q включают в себя выше перечисленные множества и числа вида m/n,  где m и n целые числа. Рациональные числа могут быть записаны в виде конечных или бесконечных периодических десятичных дробей.

К множеству иррациональных чисел I

относятся числа, которые представляются в зиде конечных десятичных дробей или в виде бесконечной периодической дроби. Например: число п .

При объединении множества рациональных чисел Q и множества иррациональных чисел Iобразуется множество действительных чисел R.

Действительные числа можно изображать в виде точек на числовой прямой. Чтобы задать числовую прямую необходимо отметить на прямой точку, которой будет соответствовать число 0- начало отсчёта, а затем выбрать единичный отрезок и указать положительнео направление.

Каждой точке на координатной прямой соответствует число, которое определяется как длина отрезка от начала отсчета до рассматриваемой точки, при этом за единицу измерения принимается единичный отрезок. Это число -координата точки. Если точка взята справа от начала отсчета, то ее координата положительная, а если слева — отрицательная. Например точки О и А имеют координаты 0 и 2, соответственно, что можно записать так: 0(0), А(2).

Модуль или абсолютная величина числа х обозначается х . Модуль числа всегда положителен. Определение модуля можно записать с помощью системы:

В геометрическом смысле модуль х представляет собой расстояние отточки А(х) до начала координат.

 

 

 

 

Способы задания числовых множеств


Для начала введем понятие множества:

Множеством называют совокупность объектов, объединённых по определенному признаку. В математике множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С…, с индексами или без них. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами а, b, с,…, у, z.

Способы задания множеств:

Перечислением всех объектов, входящих в множество. Таким способом можно задатьлишь конечные множества. Обозначение — список в фигурных скобках. Например, множество натуральных чисел, делителей числа 6:

Л’ = {1,2,3,6}.

Описанием характеристических свойств, которыми обладают все элементы множества. Обозначается: N = { х \ Р(х) } или N = { х : Р(х) } .

Например, множество N = {1, 2, 3, 6} можно записать и таким образом:

N = { х | х — натуральное число, делитель числа 6 }

Свойство Р состоит в том, что объект есть натуральное число, на которое делится число 6.


 

 

Лекцию подготовил- Рандалайнен В.С.

 

uclg.ru

Пустое множество — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Обозначение пустого множества

Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

∈{\displaystyle \in }-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках

ru.wikipedia.org

Что такое множество

Множество — это набор каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества.

Например: множество школьников, множество машин, множество чисел.

В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео, то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву (friends), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

F = { Том, Джон, Лео }


Пример 2. Запишем множество делителей числа 6.

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

D = { 1, 2, 3, 6 }

Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈. К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D). Записывается это так:

2 ∈ D

Читается как: «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉. К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D. Записывается это так:

5 ∉ D

Читается как: «5 не принадлежит множеству делителей числа 6″

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

{ Том }

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

{ 2 }

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

{ 2, 5 }


Множество натуральных чисел

Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

В прошлых уроках, когда мы употребляли слово «число», чаще всего подразумевалось именно натуральное число.

В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.

Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем  число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

1 ∈ N

Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»


Множество целых чисел

Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.

Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z.

Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

−5 ∈ Z

Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

10 ∈ Z

Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

0 ∈ Z

В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.


Множество рациональных чисел

Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — числитель дроби, b — знаменатель.

В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

Мы вычислили дробь    и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число  тоже может быть представлено в виде дроби .  Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

  • целые числа
  • обыкновенные дроби
  • десятичные дроби
  • смешанные числа

Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.

Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

Q

Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

4,5 ∈ Q

Укажем, что смешанное число   принадлежит множеству рациональных чисел:

 ∈ Q

Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Навигация по записям

spacemath.xyz