Неполное и полное квадратное уравнение – Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике — Алгебра

Содержание

Неполные квадратные уравнения | Алгебра

Как решать неполные квадратные уравнения? Решение и количество корней зависят от вида уравнения.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.

Повторим теорию и рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений каждого вида.

I. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0.

Такие уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

Второе уравнение — линейное. Решаем его:

   

   

Таким образом, неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0 имеет 2 корня,один из которых равен нулю, а второй — -b/a.

Примеры.

   

Общий множитель x выносим за скобки:

   

Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

Ответ: 0; -18.

   

Общий множитель 5x выносим за скобки:

   

Приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 0; 3.

II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).

Неполное квадратное уравнение такого вида либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (являются противоположными числами), либо не имеет корней.

1. Если знаки a и c  — разные, уравнение имеет два корня.

В курсе алгебры 7 класса такие уравнения решают разложением левой части на множители по формуле разности квадратов (поскольку квадратные корни начинают учить только в курсе 8 класса, коэффициенты a и c в 7 классе обычно являются квадратами  некоторых рациональных чисел):

   

   

Уравнение типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

   

   

   

   

Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». приравниваем к нулю каждый множитель:

   

   

Ответ: 7; -7.

   

   

   

   

   

   

Ответ: 2,25; -2,25.

2. Если знаки a и c — одинаковые, уравнение не имеет корней.

   

Корней нет, так как сумма положительных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

   

Корней нет, так как сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

Ответ: нет корней.

В курсе алгебры 8 класса, после изучения квадратных корней, эти уравнения обычно решают приводя к виду x²=d:

   

   

   

   

Примеры.

   

   

   

   

   

Ответ:±2.

   

   

   

   

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем и числитель, и знаменатель на √11:

   

Ответ:

   

   

   

   

Корней нет, так как квадратный корень не может равняться отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

   

   

   

Нет корней, так как квадратный корень не может быть равным отрицательному числу.

Ответ: нет корней.

III. Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0.

Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

В некоторых учебниках считается, что уравнение имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен нулю:

   

Примеры.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

   

   

Ответ: 0.

В следующий раз рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений.

www.algebraclass.ru

Квадратные уравнения. Полное квадратное уравнение. Неполное квадратное уравнение. Дискриминант.

Как решить квадратное уравнение?
Как выглядит формула квадратного уравнения?
Какие бывают квадратные уравнения?
Что такое полное квадратное уравнение?
Что такое неполное квадратное уравнение?
Что такое дискриминант?
Сколько корней имеет квадратное уравнение?
Эти вопросы вас больше не будут мучить, после изучения материала.

Формула квадратного уравнения:

ax2+bx+c=0,где a≠0

где x — переменная,
a,b,c — числовые коэффициенты.

Виды квадратного уравнения

Пример полного квадратного уравнения:

3x2-3x+2=0
x2-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта:

D=b2-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Корни квадратного уравнения

Если D=0, уравнение имеет один корень

корень уравнения

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

Рассмотрим пример №1:

x2-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x2, коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент 

c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6

Находим дискриминант:
D=b2-4ac=(-1)2-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

Нахождения корней по дискриминанту

Ответ: x1=3; x2=-2

Пример №2:
x2+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
Далее находи дискриминант.
D=b2-4ac=(2)2-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

Пример №3:
7x2-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
Далее находи дискриминант.
D=b2-4ac=(-1)2-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:


ax2+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения:
x2-8x=0
5x2+4x=0

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.

ax2+bx=0
x(ax+b)=0
x1=0 x2=-b/a

Пример №1:
3x2+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0

3x+6=0
3x=-6
Делим все уравнение на 3, чтобы получить у переменной x коэффициент равный 1.
x=(-6)/3
x2=-2

Ответ: x1=0; x2=-2

Пример №2:
x2-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1

=0

x-1=0
x2=1

Ответ: x1=0; x2=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax2+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x2=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом:

корень квадратного уравнения

Пример №1:
x2+5=0
x2=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

Пример №2:
3x2-12=0
3x2=12
x2=12/3
x2=4

4>0 следовательно, есть решение,
x1=√4
x1=2

x2=-√4
x2=-2

Ответ: x1=2; x2=-2

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

tutomath.ru

Неполное квадратное уравнение. Примеры решения

Неполное квадратное уравнение отличаются от классических (полных) уравнений тем, что его множители или свободный член равны нулю. Графиком таких функций являются параболы. В зависимости от общего вида их делят на 3 группы. Принципы решения для всех типов уравнений одинаковы.

Разновидности неполных уравнений

Ничего сложного в определении типа неполного многочлена нет. Рассмотреть основные отличия лучше всего на наглядных примерах:

  1. Если b = 0, то уравнение имеет вид ax2
    + c = 0.
  2. Если c = 0, то решать следует выражение ax2 + bx = 0.
  3. Если b = 0 и c = 0, то многочлен превращается в равенство типа ax2 = 0.

Последний случай является скорее теоретической возможностью и никогда не встречается в заданиях для проверки знаний, так как единственно верное значение переменной x в выражении – это ноль. В дальнейшем будет рассмотрены способы и примеры решения неполных квадратных уравнений 1) и 2) видов.

Общий алгоритм поиска переменных и примеры с решением

Не зависимо от разновидности уравнения алгоритм решения сводится к следующим шагам:

  1. Привести выражение к удобному для поиска корней виду.
  2. Произвести вычисления.
  3. Записать ответ.

Решать неполные уравнения проще всего, разложив на множители левую часть и оставив ноль в правой. Таким образом, формула неполного квадратного уравнения для поиска корней сводится к вычислению значения x для каждого из множителей.

Научиться способам решения можно только лишь на практике, поэтому рассмотрим конкретный пример нахождения корней неполного уравнения:

4x2 – 1 = 0.

Как видно, в данном случае b = 0. Разложим левую часть на множители и получим выражение:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Очевидно, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Подобным требованиям отвечают значения переменной x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5.

Для того, чтобы легко и быстро справляться с задачей разложения квадратного трехчлена на множители, следует запомнить следующую формулу:

Если в выражении отсутствует свободный член, задача многократно упрощается. Достаточно будет всего лишь найти и вынести за скобки общий знаменатель. Для наглядности рассмотрим пример, как решать неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0.

x2 + 3x = 0

Вынесем переменную x за скобки и получим следующее выражение:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Руководствуясь логикой, приходим к выводу, что x1 = 0, а x2 = -3.

Традиционный способ решения и неполные квадратные уравнения

Что же будет, если применить формулу дискриминанта и попытаться найти корни многочлена, при коэффициентах равных нулю? Возьмем пример из сборника типовых заданий для ЕГЭ по математики 2017 года, решим его с помощью стандартных формул и методом разложения на множители.

-7x2 – 3x = 0.

Рассчитаем значение дискриминант: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Получается, многочлен имеет два корня:

Теперь, решим уравнение разложением на множители и сравним результаты.

-x ⋅ (7x + 3) = 0,

1) –x1 = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Как видно, оба метода дают одинаковый результат, но решить уравнение вторым способ получилось гораздо проще и быстрее.

Теорема Виета

А что же делать с полюбившейся теоремой Виета? Можно ли применять данный метод при неполном трехчлене? Попробуем разобраться в аспектах приведения неполных уравнений к классическому виду ax2 + bx + c = 0.

На самом деле применять теорему Виета в данном случае возможно. Необходимо лишь привести выражение к общему виду, заменив недостающие члены нулем.

Например, при b = 0 и a = 1, дабы исключить вероятность путаницы следует записать задание в виде: ax2 + 0 + c = 0. Тогда отношение суммы и произведения корней и множителей многочлена можно выразить следующим образом:

Теоретические выкладки помогают ознакомиться с сутью вопроса, и всегда требуют отработки навыка при решении конкретных задач. Снова обратимся к справочнику типовых заданий для ЕГЭ и найдем подходящий пример:

x2 – 16 = 0.

Запишем выражение в удобном для применения теоремы Виета виде:

x2 + 0 – 16 = 0.

Следующим шагом составим систему условий:

Очевидно, что корнями квадратного многочлена будут x1 = 4 и x2 = -4.

Теперь, потренируемся приводить уравнение к общему виду. Возьмем следующий пример: 1/4× x2 – 1 = 0

Для того, чтобы применить к выражению теорему Виета необходимо избавиться от дроби. Перемножим левую и правую части на 4, и посмотрим на результат: x2– 4 = 0. Полученное равенство готово для решения теоремой Виета, но гораздо проще и быстрее получить ответ просто перенеся с = 4 в правую часть уравнения: x2 = 4.

Подводя итог, следует сказать, что лучшим способом решения неполных уравнений является разложения на множители, является самым простым и быстрым методом. При возникновении затруднений в процессе поиска корней можно обратиться к традиционному методу нахождения корней через дискриминант.

 

 

Похожие статьи

Рекомендуем почитать:

karate-ege.ru

Неполные квадратные уравнения и методы их решения с примерами

Неполные квадратные уравнения представляют собой частный случай равенств второго порядка. Необходимо уметь решать эти уравнения, поскольку они часто встречаются не только в математических, но и в физических задачах. Методам их решения посвящена эта статья.

Квадратные уравнения: полные и неполные

Перед тем как разбирать способы решения неполных квадратных уравнений, следует рассмотреть, что они собой представляют.

На рисунке ниже изображен общий вид равенств второго порядка, которые так называются из-за максимального значения степени переменной (она равна 2), содержащейся в них.

Где a, b и c — числа (коэффициенты). Неполное уравнение получается тогда, когда один из этих коэффициентов становится равным нулю (за исключением числа a, поскольку если оно занулится, то уравнение перестанет быть квадратным). Поскольку остается всего три возможные комбинации нулевых коэффициентов, то выделяют следующие типы неполных равенств второго порядка:

  1. Только b=0. Тогда уравнение преобразуется к виду a*x2 + c = 0. Оно называется чистым или простым неполным равенством квадратного типа.
  2. Только c=0. Тогда получаем вид: a*x2 + b*x = 0. Оно получило название смешенного неполного уравнения квадратного.
  3. Наконец, если b=0 и c=0, то мы имеем выражение a*x2=0.

Последний вид неполного уравнения не рассматривается ни в одном математическом курсе, поскольку его решение является очевидным и единственно возможным: x=0.

Можно ли решать неполные уравнения с помощью формулы с дискриминантом?

Да, можно, поскольку этот способ является универсальным для любых выражений второго порядка. Однако неполные уравнения квадратные в 8 классе школы уже встречаются, и изучаться они начинают раньше, чем полные равенства этого типа, для которых уже приводится формула с дискриминантом. Кроме того, рассматриваемый вид равенств является достаточно простым, чтобы применять к ним универсальные формулы и производить ряд ненужных вычислений.

Рассмотрим простые и понятные способы решения неполных уравнений второго порядка.

Решение простого неполного уравнения

Схема его решения в общем случае представлена на рисунке ниже.

Объясним подробнее каждый отмеченный на ней шаг. Первым делом необходимо привести уравнение к виду, указанному в начале этой схемы. Условие задачи может быть так составлено, что исходное равенство будет содержать больше двух слагаемых. Все их необходимо упростить (умножить, сложить и вычесть) до вида чистого неполного равенства.

После этого свободный член c переносится в правую часть равенства и делится на коэффициент a. Для получения неизвестных x остается взять квадратный корень из отношения -c/a, при этом нужно не забывать и учитывать, что он может быть, как со знаком минус, так и с положительным знаком.

Что следует из представленной на рисунке формулы? Во-первых, корней чистого неполного квадратного равенства всегда 2-а, при этом по модулю они оба равны, а по знаку отличаются. Во-вторых, если числа c и a имеют один знак, то корни x будут мнимыми, если c и a разного знака, тогда получаются два действительных решения.

Решение смешанного неполного уравнения

Для решения квадратного уравнения, у которого c=0, следует проделать такой же первый шаг, как и в случае определения корней чистого неполного равенства, то есть привести его к виду с двумя слагаемыми: одно из них должно содержать x2, а другое x. Затем, следует применить метод факторизации, то есть разложить левую часть равенства на множители. В отличие от полного уравнения это сделать очень просто, поскольку один из множителей всегда будет иксом. Сказанное выше можно записать в виде формулы:

x*(a*x+b) = 0.

Это равенство имеет решение, если каждый его множитель является нулем. Результат вычисления корней представлен на рисунке ниже.

Таким образом, корни этого типа неполного уравнения всегда будут действительными числами, причем один из них равен нулю. Знак второго корня определяется отношением ненулевых коэффициентов b/a.

Примеры математических задач

Теперь приведем наглядные примеры квадратных неполных уравнений с решением.

Пример 1. Найдите корни равенства 135-(2x + 3) (2x — 3) = 0. Раскрываем скобки, получаем: 135-4*x2+9=0. Заметим, что члены, содержащие x в первой степени, сократились. Выполняя перенос свободных членов в правую часть и деление их на -4, получаем: x2 = 36. Откуда следуют два корня: 6 и -6.

Пример 2. 23*(x2-2)=34*x-46. Как и в первом случае, раскрываем скобки и переносим все слагаемые в левую часть. Имеем: 23*x2-46-34*x+46=0. Теперь сокращаем свободные члены и разлагаем сумму на множители, получаем: x*(23*x-34)=0. Откуда следует, что x=0 и x = 34/23≈1,47826.

Решение примеров показало, что алгоритм нахождения корней любого вида неполного уравнения второго порядка является достаточно простым, поэтому нет никакого смысла запоминать представленные на рисунках выше формулы.

Пример физической задачи

Многие школьники слышали от своего учителя физики о том, что Галилео Галилей в XVII веке проводил эксперименты по вычислению ускорения свободного падения, сбрасывая различные тела с башни в Пизе. Многим это покажется любопытным, но не существует ни одного исторического свидетельства, что такие эксперименты ученый действительно проводил. Однако в том же XVII веке их выполнил другой итальянец.

Джованни Риччоли — астроном и иезуит, который смог действительно вычислить ускорение падения свободного, сбрасывая глиняные шары с высоты башни Азинелли, находящейся в городе Болонье. Риччоли получил значение ускорения равное 9,6 м/с2 (современная величина равна 9,81 м/с2). Зная это число, необходимо определить, сколько времени глиняный шар падал на землю, учитывая, что высота башни равна 97,6 метра.

Для решения задачи необходимо вспомнить, что путь при равноускоренном движении выражается формулой: l=v0*t+g*t2/2. Поскольку в момент, когда Риччоли отпускал шар, скорость последнего была равна нулю, то член v0*t = 0. Тогда мы приходим к уравнению: 97,6 = 9,6*t2/2. Откуда получаем, что t = 4,51 секунды (отрицательный корень был сознательно отброшен).

fb.ru

Квадратное уравнение | Алгебра

Определение

Квадратное уравнение — это уравнение вида

   

где a, b, c — числа, причём a ≠ 0.

Если коэффициенты b и c отличны от нуля, квадратное уравнение называется полным.

Если b или c или оба коэффициента равны нулю, квадратное уравнение называется неполным.

Решение полного квадратного уравнения

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант — это число, вычисляемое по формуле

   

1) Если D>0, квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле

   

2) Если D=0, квадратное уравнение имеет один корень, который находят по формуле

   

3) Если D<0, квадратное уравнение не имеет корней в действительных числах.

Решение неполных квадратных уравнений

1) Если c=0

   

Общий множитель x выносим за скобки

   

Это уравнение типа «произведение равно нулю«. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

или

   

откуда

   

Таким образом, при c=0 квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен нулю, второй — -b/a.

2) Если b=0

   

Если знаки a и с разные (например, a>0, c<0), левую часть уравнения можно разложить по формуле разности квадратов

   

   

   

Это уравнение — типа «произведение равно нулю». Приравниваем к нулю каждый из множителей:

   

или

   

Отсюда

   

Если -a<0, c>0, обе части уравнения делим на -a

   

и получаем то же уравнение

   

Если знаки a и c одинаковые, уравнение не имеет решений.

Если a>0, c>0, то, так как x² — неотрицательное, то ax²≥0 (на самом деле, здесь ax²>0) . Сумма положительных чисел не может равняться нулю, поэтому это уравнение не имеет корней.

Если a<0, c<0, то ax²≤0 (в примерах этого вида ax²<0). Сумма отрицательных чисел не может равняться нулю.

В дальнейшем обычно решают короче:

   

   

   

   

или

   

   

корней нет.

Таким образом, при b=0 квадратное уравнение либо имеет два корня, которые отличаются только знаками (то есть являются противоположными числами), либо не имеет действительных корней.

3) Если b=0 и c=0

   

Это уравнение имеет один корень x=0.

Итак, квадратное уравнение может иметь два корня, один корень либо не иметь ни одного корня.

В некоторых источниках один корень рассматривается как два одинаковых корня:

   

   

Такие корни называются кратными (второй степени).

В следующий раз для удобства использования запишем виды квадратных уравнений и способы их решения в виде схемы.

Затем рассмотрим примеры решения квадратных уравнений различных видов.

www.algebraclass.ru

Решение неполных квадратных уравнений.

В данной статье мы рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

Но сначала повторим какие уравнения называются квадратными. Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х – переменная, а коэффициенты а, b и с некоторые числа, причем а ≠ 0, называется квадратным. Как мы видим коэффициент при х2 не равен нулю, а следовательно коэффициенты при х или свободный член могут равняться нулю, в этом случае мы и получаем неполное квадратное уравнение.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1)    Если b = 0, с ≠ 0, то ах2 + с = 0;

2)    Если b ≠ 0, с = 0, то ах2 + bх = 0;

3)    Если b= 0, с = 0, то ах2 = 0.

  • Давайте разберемся как решаются уравнения вида ах2 + с = 0.

Чтобы решить уравнение перенесем свободный член с в правую часть уравнения, получим

ах2 = ‒с. Так как а ≠ 0, то разделим обе части уравнения на а, тогда х2 = ‒с/а.

Если ‒с/а > 0 , то уравнение имеет два корня 

x = ±√(–c/a).

Если же ‒c/a < 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Давайте попробуем разобраться на примерах, как решать такие уравнения.

Пример 1. Решите уравнение 2х2 ‒ 32 = 0.

Решение

2 = 32

х2 = 32/2

х2 = 16

х = ± 4

Ответ: х1 = ‒ 4, х2 = 4.

Пример 2. Решите уравнение 2х2 + 8 = 0.

Решение

2 = ‒ 8

х2 = ‒ 8/2

х2 = ‒ 4

Ответ: уравнение решений не имеет.

  • Разберемся как же решаются уравнения вида ах2 + bх = 0.

Чтобы решить уравнение ах2 + bх = 0, разложим его на множители, то есть вынесем за скобки х, получим х(ах+ b) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда или х = 0, или ах+ b = 0. Решая уравнение ах+ b = 0, получим ах= ‒ b, откуда х = ‒ b/a. Уравнение вида ах2 + bх = 0, всегда имеет два корня х1 = 0 и х2 = ‒ b/a. Посмотрите как выглядит на схеме решение уравнений этого вида.

Закрепим наши знания на конкретном примере.

Пример 3. Решить уравнение 3х2 ‒ 12х = 0.

Решение

х(3х ‒ 12) = 0

х= 0 или 3х – 12 = 0

              3х = 12

               х = 12/3

               х = 4

Ответ: х1 = 0, х2 = 4.

  • Уравнения третьего вида ах2 = 0 решаются очень просто.

Если ах2 = 0, то х2 = 0. Уравнение имеет два равных корня х1 = 0, х2 = 0.

Для наглядности рассмотрим схему.

Убедимся при решении примера 4, что уравнения этого вида решаются очень просто.

Пример 4. Решить уравнение 7х2 = 0.

Решение

х2 = 0

х1,2 = 0

Ответ: х1, 2 = 0.

Не всегда сразу понятно какой вид неполного квадратного уравнения нам предстоит решить. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, то есть на 30

Сократим

5(5х2 + 9) – 6(4х2 – 9) = 90.

Раскроем скобки

25х2 + 45 – 24х2 + 54 = 90.

Приведем подобные

х2 + 99 = 90.

Перенесем 99 из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный

х2 = – 9.

Ответ: корней нет.

Мы разобрали как решаются неполные квадратные уравнения. Надеюсь, теперь у вас не будет сложностей с подобными заданиями. Будьте внимательны при определении вида неполного квадратного уравнения, тогда у вас все получится.

Если у вас появились вопросы по данной теме, записывайтесь на мои уроки, мы вместе решим возникшие проблемы.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Виды неполных квадратных уравнений — Науколандия

Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0.

Неполными квадратными уравнениями являются уравнения трех видов:

  • ax2 + bx = 0, когда коэффициент c = 0.
  • ax2 + c = 0, когда коэффициент b = 0.
  • ax2 = 0, когда и b и с равны 0.

Коэффициент же a по определению квадратного уравнения не может быть равен нулю.

Неполные квадратные уравнения решаются проще, чем полные квадратные. Способы решения различаются в зависимости от вида неполного квадратного уравнения.

Проще всего решаются уравнения вида ax2 = 0. Если a по определению квадратного уравнения не может быть равно нулю, то очевидно, что нулю может быть равен только x2, а значит, и сам x. У уравнений такого вида всегда есть один корень, он равен 0. Например:

–3x2 = 0
x2 = 0/–3
x2 = 0
x = √0
x = 0

Уравнения вида ax2 + c = 0 преобразуются к виду ax2 = –c и решаются аналогично предыдущему. Однако корней здесь либо два, либо не одного.

ax2 + c = 0
ax2 = –c
x2 = –c/a
x = √(–c/a)

Здесь если подкоренное выражение отрицательно, то корней у уравнения нет. Если положительно, то корней будет два: √(–c/a) и –√(–c/a). Пример решения подобного уравнения:

4x2 – 16 = 0
4x2 = 16
x2 = 16 / 4
x2 = 4
x = √4
x1 = 2; x2 = –2

Неполные квадратные уравнения вида ax2 + bx = 0 решается вынесением общего множителя за скобку. В данном случае им является x. Получается уравнение x(ax + b) = 0. Это уравнение имеет два корня: либо x = 0, либо ax + b = 0. Решая второе уравнение получаем x = –b/a. Таким образом, уравнения вида ax2 + bx = 0 имеют два корня: x1 = 0, x2 = –b/a. Пример решения такого уравнения:

3x2 – 10x = 0
x(3x – 10) = 0
x1 = 0; x2 = 10/3 = 3,(33)

scienceland.info