Найти определитель как – ?

Как найти определитель матрицы 2,3 порядка

Чтобы найти определитель матрицы нужно воспользоваться формулами, которые действительны для определителей 2 и 3 порядка.

Формула

Пусть задана матрица второго порядка . Тогда её определитель вычисляется по формуле:

Из произведения элементов, стоящих на главной диагонали , вычитается произведение элементов, расположенных на побочной диагонали . Это правило верно только (!) для определителя 2-го порядка.

Если дана матрица третьего порядка , то вычислить её определитель следует по формуле:

Примеры решений

Пример 1
Пусть задана матрица Вычислить её определитель.
Решение

Как найти определитель матрицы? Обратим внимание на то что матрица квадратная второго порядка, то есть количество столбцов равно количеству строк и они содержат по 2 элемента. Поэтому применим первую формулу. Перемножим элементы, стоящие на главной диагонали и вычтем из них произведение элементов, стоящих на побочной диагонали:

Ответ
Пример 2
Дана матрица . Требуется вычислить определитель.
Решение

Так как в задаче квадратная матрица 3-го порядка, то найти определитель следует по второй формуле. Для простоты решения задачи достаточно подставить вместо переменных, стоящих в формуле значения из матрицы нашей задачи:

Стоит отметить когда мы находим произведения элементов на побочной диагонали и подобных её, то перед произведениями ставится знак минус.

Ответ
Пример 3
Рассмотрим матрицу
Решение
Замечаем сразу, что количество строк не равно количеству столбцов, поэтому матрица не является квадратной. Найти определить позволяется только для квадратных матриц, поэтому задача не имеет решения.
Ответ
Невозможно посчитать определитель

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Вычисление определителя матрицы на Kak-Legko.ru

Матрицы и определители являются важными элементами линейной алгебры. Матрица представляет собой прямоугольную таблицу, которая состоит из чисел, функций или других математических объектов, которые являются ее элементами. Определитель, который так же называется детерминантом – это число, величина которого показывает, существует ли для данной матрицы обратная (обратная таблица не существует, в случае, если определитель меньше 0). Обычно определитель обозначают как det A. Его можно вычислить исключительно для квадратной матрицы

, число строк в которой должно быть равно числу столбцов.

Инструкция:

  • Нахождение определителя матрицы 2 порядка производится по довольно простой формуле: det A = a11 * a22 — a21* a12. Таким образом, из произведения элементов, располагающихся на главной диагонали необходимо вычесть произведение элементов, находящихся на побочной диагонали. Чтобы найти главную диагональ, нужно провести линию из верхнего левого угла в правый нижний, побочная диагональ проводится из верхнего правого в левый нижний угол.

  • Определитель 3 порядка можно посчитать для матрицы 3×3. При этом используются два метода: правило треугольников или правило Саррюса. Если вы используете правило треугольников, то можно посчитать по следующей формуле:
    det A = а11 * а22 * а33 + а21 * а13 * а32 + а31 *а12 * а23 – а13 * а22 * а31 – а32* а11 * а23 – а21 * а12 * а33
    . Расчет по правилу Саррюса выглядит так: det A = а11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 — a13 * a22 * a31 — a12 * a21 * a33 -a11 * a23 * a32.

  • Вычисление определителя матрицы 4 порядка производится для фигуры 4×4 по методу Гаусса. Суть этого метода в том, чтобы привести ее в треугольный вид, перед тем как находить определитель. Матрица называется треугольной, если у нее все элементы, которые располагаются ниже главной диагонали, равны 0. После этого, все элементы, образующие главную диагональ, необходимо перемножить: det A = а11 * a22 * a33 * a44.
  • Свойства определителя
    . Первое свойство – он не изменяется при транспонировании. При умножении или делении строки или столбца на какое-либо число, определитель так же умножается или делится на это число. Он равен 0, если одна из строк (или один из столбцов) состоит из 0. Определитель фигуры, которая содержит две одинаковые строки (столбцы) равен 0.
  • Зная, как вычислить детерминант, вы можете проверить свое решение. Существует большое количество сайтов, которые вычисляют определитель матрицы онлайн.

kak-legko.ru

Как найти определитель матрицы

Определитель можно вычислить лишь для квадратной матрицы.
Разберемся как найти определитель матрицы. Чаще всего встречаются задачи на вычисление определителя второго и третьего порядка.
Результатом вычисления определителя матрицы является число.

Рассмотрим пример вычисления определителя два на два.

Пример 1.
Найдем определитель .

Решение.

   

То есть сначала перемножаем числа по диагонали (ее называют главной) и отнимаем произведение чисел другой диагонали (\textbf{вспомогательной}).

Ответ. —118.

Для вычисления определителя три на три существует 8 разных способов. Рассмотрим один из простых способов, который чем-то похож на предыдущий метод.

Пример 2.
Найдем определитель .

Решение.

   

   

   

   

Умножение начинается с трех чисел главной диагонали, затем перемножаются три числа треугольника, одной из сторон которого является маленькая главная диагональ, и три числа другого треугольника, стороной которого также является другая маленькая диагональ, а затем вычитаются произведения трех чисел вспомогательной диагонали и двух треугольников, стороны которых совпадают с маленькими вспомогательными диагоналями.

Ответ. 12720.

ru.solverbook.com

Как найти определитель матрицы? —

Определитель, или детерминант — одна из важнейших характеристик квадратных матриц. Определитель матрицы размера n × n равен ориентированному n-мерному объёму параллелепипеда, натянутого на её векторы-строки (или столбцы).

Для матрицы n × n определитель выражается в виде многочлена степени N от элементов матрицы который представляет собой сумму произведений элементов матрицы со всевозможными комбинациями различающихся номеров строк и столбцов, причём в каждом из произведений элемент из любой строки и любого столбца ровно один. Каждому произведению приписывается знак плюс или минус в зависимости от чётности перестановки номеров.

Если элементами матрицы являются числа, то определитель — это тоже число. В общем случае определитель может быть функциональным, векторным и т.п., то есть, представлять собой иные выражения, составленные из элементов.

 

Определитель матрицы n × n задаётся формулой:

                     n!

det(A) = |A| = Σ (−1)p(i) × a1k(i1)a1k(i2)…ank(in)

                    i=1

где

  • |A| и det(A) — так обозначается определитель,
  • kij i-я перестановка последовательности k1 = 1,..,n, то есть, k1j
    = j
  • p(i) количество перестановок пар номеров в последовательности k1j, необходимое для того, чтобы она превратилась в последовательность kij.

Таким образом, можно выделить следующие особенности построения выражения для определителя матрицы n × n:

  • выражение есть сумма членов, каждый из которых состоит из n сомножителей
  • количество слагаемых в сумме равно количеству перестановок n номеров, то есть, n!
  • номера строк и столбцов элементов, входящих в одно слагаемое, не повторяются
  • слагаемые входят в сумму либо с плюсом, либо с минусом, в зависимости от чётности перестановки
  • слагаемое из элементов главной диагонали матрицы, то есть, a11 a22 … ann входит с плюсом

Ниже даны правила составления определителей для матриц 2 × 2 и 3 × 3, которые являются более наглядными.

 

Определитель матрицы 2 × 2

Для вычисления определителя матрицы размером 2 × 2 перемножаются её элементы, стоящие на главной диагонали и из них вычитается произведение остальных элементов:

|A| = a11 a22 − a12 a21

 

Определитель матрицы 3 × 3

 

Для вычисления определителя матрицы размером 3 × 3 строится шесть произведений следующим образом:

 

|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11

a23a32

 

Свойства пределителей

  • Если матрицу транспонировать (сделать строки столбцами), то определитель не изменится.
  • Следующие свойства определителей, касающиеся строк, справедливы также и для столбцов.
  • Если у матрицы переставить две строки, то её определитель изменит знак.
  • Если две строки матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.
  • Если хотя бы одна строка нулевая, то определитель равен нулю.
  • При добавлении к любой строке линейной комбинации других строк определитель не изменится.
  • Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.
  • Определитель косотреугольной матрицы равен произведению ее элементов побочной диагонали со знаком (-1)n(n-1)/2
  • det(AB) = det(A)det(B)
  • det(AT) = det(
    A
    )

Похожие статьи:

www.odinostrov.ru

Как найти определитель матрицы правило треугольника — Mlegal.ru

Содержание статьи:

Как найти определитель матрицы правило треугольника

Определитель(он же determinant(детерминант)) находится только у квадратных матриц. Определитель есть ничто иное, как значение сочетающее в себе все элементы матрицы, сохранающееся при транспонировании строк или столбцов. Обозначаться он может как det(A), |А|, Δ(A), Δ, где А может быть как матрицей, так и буквой обозначающей ее. Найти его можно разными методами:

Примечание: в методе реккурентных соотношений за основу взят именно этот способ, повторяющийся несколько раз.

Все выше предложенные методы будут разобраны на матрицах размера от трех и выше. Определитель двумерной матрицы находится с помощью трех элементарных математических операций, поэтому ни в один из методов нахождение определителя двумерной матрицы не попадет. Ну кроме как дополнение, но об этом потом.

Найдем определитель матрицы размером 2х2:

Для того, чтобы найти определитель нашей матрицы, требуется вычесть произведение чисел одной диагонали из другой, а именно , то есть

Разложение по строке/столбцу

Выбирается любая строка или столбец в матрице. Каждое число в выбранной линии умножается на (-1) i+j где(i,j — номер строки,столбца того числа) и перемножается с определителем второго порядка, составленного из оставшихся элементов после вычеркивания i — строки и j — столбца. Разберем на матрице

Например возьмем вторую строку.

Примечание: Если явно не указано, с помощью какой линии найти определитель, выбирайте ту линию у которой есть ноль. Меньше будет вычислений.

Не трудно определить, что знак у числа меняется через раз. Поэтому вместо единиц можно руководствоваться такой таблицей:

Решение можно написать так:

Метод приведения к треугольному виду(с помощью элементарных преобразований)

Определитель находится с помощью приведения матрицы к треугольному(ступенчатому) виду и перемножению элементов на главной диагонали

Треугольной матрицей называется матрица, элементы которой по одну сторону диагонали равны нулю.

При построении матрицы следует помнить три простых правила:

  1. Каждый раз при перестановке строк между собой определитель меняет знак на противоположный.
  2. При умножении/делении одной строки на не нулевое число, её следует разделить(если умножали)/умножить(если разделяли) на него же или же произвести это действие с полученным определителем.
  3. При прибавлении одной строки умноженной на число к другой строке, определитель не изменяется(умножаемая строка принимает своё исходное значение).

Попытаемся получить нули в первом столбце, потом во втором. Взглянем на нашу матрицу:

Та-а-ак. Чтобы вычисления были поприятнее, хотелось бы иметь самое близкое число сверху. Можно и оставить, но не надо. Окей, у нас во второй строке двойка, а на первой четыре.

Поменяем же эти две строки местами.

Поменяли строки местами, теперь мы должны либо поменять у одной строки знак, либо в конце поменять знак у определителя. Сделаем это потом.

Теперь, чтобы получить ноль в первой строке — умножим первую строку на 2.

Отнимем 1-ю строку из второй.

Согласно нашему 3-му правилу возващаем исходную строку в начальное положение.

Теперь сделаем ноль в 3-ей строке. Можем домножить 1-ую строку на 1.5 и отнять от третьей, но работа с дробями приносит мало удовольствия. Поэтому найдем число, к которому можно привести обе строки — это 6.

Умножим 3-ю строку на 2.

Теперь умножим 1-ю строку на 3 и отнимем из 3-ей.

Возвратим нашу 1-ю строку.

Не забываем, что умножали 3-ю строку на 2, так что потом разделим определитель на 2.

Один столбец есть. Теперь для того чтобы получить нули во втором — забудем про 1-ю строку — работаем со 2-й строкой. Домножим вторую строку на -3и прибавим к третьей.

Не забываем вернуть вторую строку.

Вот мы и построили треугольнаую матрицу. Что нам осталось ? А осталось перемножить числа на главной диагонали, чем и займемся.

Ну и осталось вспомнить, что мы должны разделить наш определитель на 2 и поменять знак.

Правило Саррюса(Правило треугольников)

Правило Саррюса применимо только к квадратным матрицам третьего порядка.

Определитель вычисляется путем добавления первых двух столбцов справа от матрицы, перемножением элементов диагоналей матрицы и их сложением, и вычитанием суммы противоположных диагоналей. Из оранжевых диагоналей вычитаем фиолетовые.

Смотрите так же:

  • Единый налог 1 и 2 группа Ставка единого налога — 2018 Ставка единого налога — 2018 для предпринимателей-физлиц первой и второй гpупп расcчитывается в процентах oт размера прожиточного минимума и минимальной зарплаты, установлeнных нa 01 января […]
  • Правила нахождения интегралов Основные методы интегрирования Определение интеграла, определенный и неопределенный интеграл, таблица интегралов, формула Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям, примеры вычисления интегралов, вычисление интегралов […]
  • Единый налог 1 категории Единый налог — 1 группа Смотрите Часто задаваемые вoпросы о 1 группе 1) годовой лимит дохода — дo 300000 гривен. 2) ставка — дo 10% прожиточного минимума (тo есть в 2018 году 176,20 грн., в 2017 году 160,00 грн.), […]
  • Правила чтения с буквой е Читаем английские слова с буквой E Как известно, чтобы чему-то научиться нужно приложить усилия. Когда же речь идет об иностранном языке, практика необходима каждый день. Ибо изучение английского языка подобно игре на […]
  • Объясните значения слова закон Значение слова Объясните значение слов: закон, ростовщик, раб-должник. объясните значение слов: закон, ростовщик, раб-должник. ВкУсНаЯ КлУбНиКа (Гость) Школы Вопросы по теме 1.На какие 3 типа можно разделить […]
  • Степени числа правила Что такое степень числа Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём. Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и […]

У правила треугольников то же, только картинка другая.


Найти определитель разложением по 3-му столбцу:

Найти определитель по 1-ой строке

Найти определитель по 3-ей строке

Найти определитель с помощью правила треугольников:

Вычисление определителя разложением по столбцу

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = (2 • 1-(-1 • (-1))) = 1
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = (-1 • 1-(-1 • 0)) = -1
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Задание №2. Вычислить определитель четвертого порядка.
Решение.
Исходную матрицу запишем в виде:

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и первой строки (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 0 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = 1 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и третьей строки (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = 1 • (1 • 0-1 • 1)-0 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 1-1 • 1) = -1
Минор для (4,1):
Вычеркиваем из матрицы 4-ю строку и 1-й столбец.

Примеры:
B = a1 1 •a2 2 •a3 3 — a1 1 •a3 2 •a2 3 — a1 2 •a2 1 •a3 3 + a1 2 •a3 1 •a2 3 + a1 3 •a2 1 •a3 2 — a1 3 •a3 1 •a2 2
Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла.
Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

Вычисление определителя разложением по строкам

Пример . Рассмотрим все виды разложений по строкам: по первой, по второй и по третьей. Запишем матрицу в виде:

Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = (2 • 3-0 • 1) = 6
Минор для (1,2):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
1,2 = (3 • 3-(-2 • 1)) = 11
Минор для (1,3):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.

Теперь разложим матрицу по второй строке. Значение определителя матрицы не должно измениться.
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = (3 • 3-0 • (-1)) = 9
Минор для (2,2):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
2,2 = (2 • 3-(-2 • (-1))) = 4
Минор для (2,3):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.

Покажем, как происходит разложение по третьей строке. Значение определителя матрицы не должно измениться. Итак, минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = (3 • 1-2 • (-1)) = 5
Минор для (3,2):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 2-й столбец.

Найдем определитель для этого минора.
3,2 = (2 • 1-3 • (-1)) = 5
Минор для (3,3):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.

Выводы . Как видим, значение определителя матрицы не зависит от способа его вычисления.

Пример №2 . Является ли система арифметических векторов e1=(9;6;0),e2=(6;16;18),e3=(0;-10;-15) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
Решение. Находим определитель матрицы. Если он отличен от нуля, то система, составленная из векторов, линейно независима. Если определитель равен нулю, система является линейно зависимой.

Вычисление определителей

Методы нахождения определителей

  1. Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
  2. Определитель матрицы методом треугольников
  3. Определитель матрицы методом понижения порядка
  4. Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)
  5. Определитель матрицы методом декомпозиции

Свойство определителей

  1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
  2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.
  3. Пусть C = AB где A и B квадратные матрицы. Тогда detC = detA ∙ detB .
  4. Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столбцами равен 0. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
  5. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен 0.
  6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
  7. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
  8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.
  9. Теорема Якоби: Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.

Таким образом, определитель матрицы остается без изменения, если:

  • транспонировать матрицу;
  • прибавить к какой-либо строке другую строку, умноженную на любое число.

Задание 1. Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу.
Решение:xml:xls
Пример 1:xml:xls

Задание 2. Вычислить определитель двумя способами: а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.

Решение.
а) Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .

|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

  • правило треугольника;
  • правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

  • дописать слева от определителя два первых столбца;
  • перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
  • перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

  • разложением по элементам строки;
  • разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Разложение матрицы по элементам строки:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n

Разложение матрицы по элементам столбца:

d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0

  • раскладываем по 2-ой строке:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0

  • раскладываем по 4-му столбцу:

А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1

Свойства определителя

  • если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
  • если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
  • определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Пример 6

А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

mlegal.ru

Определитель матрицы

Для решения заданий в высшей математике периодически нужно находить определитель матрицы. Встречается он не только в алгебре, но и в геометрии, математический анализ также может его содержать. Следовательно, нужно уметь находить определитель матрицы, так как это необходимо.
Что такое матрица — это таблица прямоугольной формы содержащая в себе различные выражения. Матрица может иметь n столбцов и m строк, ее называют как (m,n) — матрице.

Только квадратная матрица имеет определитель. Который больше всего встречается второго, третьего и четвертого порядка.

Следует запомнить что выражения (числа) стоят сами по себе, значит и вычитать ни чего не нужно, перестановку делать так же нельзя. Иногда можно поменять местами столбцы и строки парами. В результате это даст нам смену знака, но часто этого не требуется. Из чего следует, что в любом данном определителе, не нужно ни чего трогать или менять.

Разберемся в названиях обозначений:

— Определитель матрицы обозначается как {A}, реже встречается как D либо ?
— Вычисление определителя — то нахождение числа, которое обозначается знаком вопроса, подразумевая обычное число.

Для того чтобы найти данное неизвестное число определителя нужно знать правила, алгоритмы и формулы. Такие как:

1) Для вычисления определителя второго порядка, нужна формула

Разберем на примере:

2) Для вычисления определителя третьего порядка, существует 8 способов, разберем 2 самых простых.

Разберем на примере:

В использовании данной формулы, нужно быть внимательным что бы не допустить ошибку, так как формула довольно длинная. В избежание допущения ошибок существует еще один вариант решения. Названный как способ Саррюса. Он похож на предыдущий способ, но фишка заключается в том что через матрицу выражений проводятся параллельные линии, вынося за определитель в правую сторону два первых столбца.

Таким образом числа зачеркнутые красным цветом вписываются с положительным знаком, а числа зачеркнутые синим цветом с отрицательным.

Разберем на примере:

Если сравнить оба варианта вычисления, видно что они практически одинаковы, но во втором варианте допущение ошибки сводится к нулю, так как представлены множители.
Затронем еще один способ нормального вычисления, так как он используется в большинстве случаев. Найти определитель можно путем раскрытия его в любом столбце либо строке. Вычисляется путем сложения произведений выражений данного столбца или строки на алгебраические дополнения.
Для наглядности разберем определитель по первой строке.

3) Для вычисления определителя четвертого порядка, нужно действовать так же как и при вычислении третьего порядка, просто таблица буде больше. Приведу пример и разложу на определитель третьего порядка, а потренироваться в решении вы сможете сами. В ответе должно получиться 18.

Это очень познавательно и интересно, главное быть внимательнее!


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

Как найти определитель матрицы 3 порядка

Матрицы существуют для отображения и решения систем линейных уравнений. Одним из шагов в алгоритме поиска решения является нахождение определителя, или детерминанта. Матрица 3 порядка – это квадратная матрица размерностью 3х3.

Инструкция

  • Диагональ от левого верхнего элемента к правому нижнему называется главной диагональю квадратной матрицы. От правого верхнего элемента к нижнему левому – побочной. Сама матрица 3 порядка имеет вид:a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
  • Для нахождения определителя матрицы третьего порядка существует четкий алгоритм. Сначала просуммируйте элементы главной диагонали: a11+a22+a33. Затем – нижний левый элемент a31 со средними элементами первой строки и третьего столбца: a31+a12+a23 (визуально получается треугольник). Еще один треугольник – правый верхний элемент a13 и срединные элементы третьей строки и первого столбца: a13+a21+a32. Все данные слагаемые перейдут в детерминант со знаком «плюс».
  • Теперь можно перейти к слагаемым со знаком «минус». Во-первых, это побочная диагональ: a13+a22+a31. Во-вторых, два треугольника: a11+a23+a32 и a33+a12+a21. Конечная формула для поиска определителя выглядит так: Δ=a11+a22+a33+a31+a12+a23+a13+a21+a32-(a13+a22+a31)-(a11+a23+a32)-(a33+a12+a21). Формула довольно громоздкая, но после некоторого времени практики она становится привычной и «срабатывает» на автомате.
  • В ряде случаев нетрудно сразу увидеть, что определитель матрицы равен нулю. Детерминант нулевой, если какие-либо две строки или два столбца совпадают, пропорциональны или линейно зависимы. Если хотя бы одна из строк или один из столбцов полностью состоит из нулей, определитель всей матрицы равен нулю.
  • Иногда, чтобы найти определитель матрицы, удобнее и проще использовать преобразования матриц: алгебраическое сложение строк и столбцов между собой, вынесение общего множителя строки (столбца) за знак детерминанта, домножение всех элементов строки или столбца на одно и то же число. Для преобразования матриц важно знать их основные свойства.

completerepair.ru