Модуль меньше числа – CGI script error

Что такое модуль числа в математике

Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.

Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.

Графически абсолютное значение а обозначается как |a|.

Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.

Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.

Это интересно: умножение на 0 – правило для любого числа.

Геометрическое значение

Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.

1. Для примера можно взять координатную прямую и на ней нанести 2 произвольные точки. Допустим, одна из точек (А) будет иметь числовое значение 5, а вторая (В) — 6.
2. Если рассмотреть полученный чертёж, можно увидеть, что точка, А находится на расстоянии 5 единиц от нуля (начала координат). Точка В находится от нуля на 6 единиц. Таким образом, модулем точки, А будет число 5, а модулем точки В — число 6.
3. В этом случае графическое обозначение выражения будет следующим: | 5 | = 5.
4. Иными словами, если взять любое произвольное число и обозначить его на координатной прямой в виде точки А, то расстояние от нуля до этой точки и будет модулем числа А.

Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.

Это интересно: признак перпендикулярности прямой и плоскости, теория и практика.

Свойства абсолютной величины

Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:

1. Модулем любой цифры является величина неотрицательная. Таким образом, абсолютным значением положительной величины будет выступать она сама. Графически эта закономерность выражается следующим образом: |a| = a, если a> 0.
2. Модули противоположных величин равны друг другу Это объясняется тем фактом, что на координатной прямой противоположные числа хотя и располагаются в разных точках, но находятся на одинаковом расстоянии от начальной точки отсчёта. Графически это выражается как: |а| = |-а|.
3. Третьим свойством является то, что абсолютным значением нуля равняется сам нуль. Это условие считается верным в том случае, когда действительное число является нулем. Поскольку нулю соответствует начало отсчета в системе координат, то модулем числа ноль является сам ноль по определению. Графически: |0| = 0|.
4. Еще одним важным свойством является то, что абсолютное значение произведений двух любых действительных чисел равняется произведению двух этих величин. Это условие необходимо рассмотреть более подробно. Иначе говоря, абсолютным значением произведения величин, А и В будет АВ в случае если оба этих значения положительные или же оба отрицательные, или -АВ при условии, что одно из этих чисел будет отрицательным. В записи эта закономерность будет выглядеть следующим образом: |А*В| = |А| * |В|.
5. Абсолютная величина суммы любых двух действительных чисел меньше или равна сумме их модулей.
6. Абсолютная величина разности двух произвольных величин меньше или равна разности двух абсолютных величин.
7. Если в математическом выражении имеется постоянный положительный множитель, его можно выносить за знак | |.
8. Такое же правило распространяется и на показатель степени выражения.

Это интересно: что такое разность в математике?

Особенности решения уравнений с модулем

Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.

К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.

|А + 5| = А + 5, если, А больше или равняется нулю.

5-А, если, А значение меньше нуля.

В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.

Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.

Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.

Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.

obrazovanie.guru

Модуль числа

Модулем числа а (записывают |a|) называют расстояние от начала отсчета до точки, соответствующей данному числу а.

Значение модуля любого числа неотрицательно. |3|=3; |-3|=3, т.к. расстояние от начала отсчета и до числа -3, и до числа 3 равно трем единичным отрезкам. Противоположные числа имеют равные модули. Модуль нуля равен нулю: |0|=0.

По определению модуля числа: |a|=a, если a≥0 и |a|=-a, если а<0. Читают: модуль неотрицательного числа равен самому этому числу; модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

Примеры.

1. Вычислить: а) |5|-2; б) |-12| : 6; в)

|-24| + |13|; г) |65|-|-45|.

Решение. а) |5|-2=5-2=3;

б) |-12| : 6=12 : 6=2;

в) |-24|+|13|=24+13=37;

г) |65|-|-45|=65-45=20.

2. Решить уравнение: а) |m|+4=10; б) 6-|x|=2.

Решение.

а) |m|+4=10;

|m|=10-4; из суммы вычли известное слагаемое;

|m|=6. Так как |-6|=6  и  |6|=6, то m=-6  или m=6.

Ответ: -6; 6.

б) 6-|x|=2.

|x|=6-2;

|x|=4, отсюда х=-4 или х=4.

Ответ: -4; 4.

3. Записать перечислением элементов множество целых чисел

А, модуль которых меньше числа 5.

Решение. По определению модуля числа 5 искомые числа должны отстоять от начала отсчета как вправо, так и влево на расстояние, меньшее пяти единичных отрезков. В этом промежутке (показан штриховкой на рисунке) бесконечно много чисел, но нам нужно выбрать из них лишь все целые числа. Берем числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Числа -5 и 5 не подходят по условию.

Ответ:  множество А={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.

4. Записать перечислением множество натуральных чисел В, модуль которых меньше числа 5.

Решение.

Из всех чисел, показанных на рисунке штриховкой, нам нужно выбрать натуральные, т.е. только те числа, которые употребляются при счете предметов. Ответ: B={1, 2, 3, 4}.

 

 

www.mathematics-repetition.com

Модуль нуля | Математика

Чему равен модуль нуля?

Модуль числа a — это расстояние в единичных отрезках от начала координат до точки с координатой a.

Поскольку начало отсчёта на координатной прямой  — точка с координатой 0, расстояние от начала координат до точки с координатой 0 равно нулю.

Таким образом, модуль нуля равен нулю.

   

Так как расстояние не может быть отрицательным числом, модуль любого другого числа, как положительного, так и отрицательного, больше нуля:

   

где a≠0.

Таким образом, модуль любого числа является неотрицательным числом:

   

где a — любое число.

Только модуль нуля равен нулю.

Следовательно, если модуль равен нулю, то выражение, стоящее под знаком модуля, равняется нулю. Используем этот факт для решения уравнений.

   

Так как модуль равен нулю, выражение, стоящее под знаком модуля, равно нулю:

   

   

   

   

   

   

   

   

www.for6cl.uznateshe.ru

Модуль числа, сравнение чисел

Модуль числа

Модуль числа а обозначают $|a|$. Вертикальные черточки справа и слева от числа образуют знак модуля.

Например, модуль любого числа (натурального, целого, рационального или иррационального) записывается так: $|5|$, $|-11|$, $|2,345|$, $|\sqrt[4]{45}|$.

Определение 1

Модуль числа a равен самому числу $a$, если $a$ является положительным, числу $−a$, если $a$ является отрицательным, или $0$, если $a=0$.

Данное определение модуля числа можно записать следующим образом:

$|a|= \begin{cases} a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a

Можно использовать более краткую запись:

$|a|=\begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a

Пример 1

Вычислить модуль чисел $23$ и $-3,45$.

Решение.

Найдем модуль числа $23$.

Число $23$ – положительное, следовательно, по определению модуль положительного числа равен этому числу:

$|23|=23$.

Найдем модуль числа $–3,45$.

Число $–3,45$ – отрицательное число, следовательно согласно определению модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному:

$|-3,45|=3,45$.

Ответ: $|23|=23$, $|-3,45|=3,45$.

Определение 2

Модуль числа является абсолютной величиной числа.

Таким образом, модуль числа – число под знаком модуля без учета его знака.

Модуль числа как расстояние

Геометрическое значение модуля числа: модуль числа – это расстояние.

Определение 3

Модуль числа a – это расстояние от точки отсчета (нуля) на числовой прямой до точки, которая соответствует числу $a$.

Пример 2

Например, модуль числа $12$ равен $12$, т.к. расстояние от точки отсчета до точки с координатой $12$ равно двенадцати:

$|12|=12$.

Точка с координатой $−8,46$ расположена от начала отсчета на расстоянии $8,46$, поэтому $|-8,46|=8,46$.

Модуль числа как арифметический квадратный корень

Определение 4

Модуль числа a является арифметическим квадратным корнем из $a^2$:

$|a|=\sqrt{a^2}$.

Пример 3

Вычислить модуль числа $–14$ с помощью определения модуля числа через квадратный корень.

Решение.

$|-14|=\sqrt{((-14)^2}=\sqrt{(-14) \cdot (-14)}=\sqrt{14 \cdot 14}=\sqrt{(14)^2}=14$.

Ответ: $|-14|=14$.

Сравнение отрицательных чисел

Сравнение отрицательных чисел основывается на сравнении модулей этих чисел.

Замечание 1

Правило сравнения отрицательных чисел:

• Если модуль одного из отрицательных чисел больше, то такое число является меньшим;
• если модуль одного из отрицательных чисел меньше, то такое число является большим;
• если модули чисел равны, то отрицательные числа равны.

Замечание 2

На числовой прямой меньшее отрицательное число располагается левее большего отрицательного числа.

Пример 4

Сравнить отрицательные числа $−27$ и $−4$.

Решение.

Согласно правилу сравнения отрицательных чисел найдем сначала модули чисел $–27$ и $–4$, а затем сравним полученные положительные числа.

$|-27|=27$

$|-4|=4$

Сравним полученные натуральные числа:

$27 > 4$.

Таким образом, получаем, что $–27 |-4|$.

Ответ: $–27

При сравнении отрицательных рациональных чисел необходимо преобразовать оба числа к виду обыкновенных дробей или десятичных дробей.

Сравнение чисел с противоположными знаками

Замечание 3

Правило сравнения чисел с противоположными знаками:

Положительное число всегда больше отрицательного, а отрицательное число всегда меньше положительного.

Пример 5

Сравнить целые числа $−53$ и $8$.

Решение.

Числа имеют противоположные знаки. Согласно правилу сравнения чисел с противоположными знаками получаем, что отрицательное число $−53$ меньше положительного числа $8$.

Ответ: $−53

Пример 6

Сравнить числа $3 \frac{11}{13}$ и $–5,(123)$.

Решение.

Согласно правилу сравнения чисел с противоположными знаками отрицательное число всегда меньше положительного. Следовательно, $–5,(123)

Ответ: $–5,(123)

По данному правилу можно сравнивать также и действительные числа с противоположными знаками.

Если числа заданы как числовые выражения, то сразу невозможно определить какие они имеют знаки. В таком случае нужно вычислить значение этих выражений и затем определить, какое из правил сравнения можно применить.

spravochnick.ru

Противоположные числа. Модуль числа | Физика — легко!

Противоположные числа – это числа, которые отличаются друг от друга только знаком. Выражение –а обозначает, что это число противоположное числу а.

Например, 7  и – 7;
                       41  и – 41  и т.д.

Число 0 противоположно самому себе!

То есть, для того, чтобы показать противоположность чисел в математике используют знак « – ».

Приписав знак « – » перед положительным числом 5, мы получим отрицательное число – 5.

Приписав знак « – » перед отрицательным числом – 5, мы получим противоположное ему положительное число 5, то есть – (–5) = 5.

– (–а) = а

На координатной прямой точки, у которых противоположные координаты, расположены на одинаковом расстоянии от начала отсчёта.

AO = OC
BO = OD

Модуль числа

Модуль числа – это расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчёта до точки, которая изображает это число на координатной прямой.

Точки А(– 4) и В (4) отдалены от начала отсчёта на 4 единичных отрезков, а числа – 4 и 4 имеют одинаковые модули, равные 4.

Модуль числа а обозначают | а |

Так как модуль – это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным, то модуль числа не может быть отрицательным числом!!!

Модулем положительного числа и нуля является тоже самое число, а модулем отрицательного числа – противоположное ему число:

| а | = а, если а  ≥ 0  (если а – неотрицательное число)

| а | = – а, если а  <  0  (если а – отрицательное число)

Выводы

Свойства модуля числа:

1. Модуль числа не может быть отрицательным. Модуль числа всегда или положительное число или равен 0.

| 4| = 4

| 0 | = 0

|– 4| = 4

2. Противоположные числа имеют равные модули.

| – а | = | а | = а

Пример, | – 12 | = | 12 | = 12

Решение уравнений (примеры)

1.  – x = 7
вместо – x   и   7  напишем противоположные им числа, используя знак «–»
–(– x) = – 7
воспользуемся правилом, что – (–а) = а получим
x = – 7

2. – x = – 10
–(– x) = –(– 10)
x = 10

3. x = –(– 32)
x = 32

4. | x | = 4
x = 4 или x = – 4
Ответ: 4; – 4

5. | x | = 0
x = 0
Ответ: 0

6. | y | = – 8
модуль не может быть отрицательным числом, а значит данное уравнение не имеет решения
Ответ: нет корней

7. | – x | = 12
вспомним второе свойство модуля, что | – а | = | а | = а, тогда
| x | = 12
x = 12 или x = – 12
Ответ: 12; – 12

8. | y | – 2 = 12
подобные уравнения решаются как простые уравнения, только с учётом модуля
| y | = 12 + 2
| y | = 14
y = 14 или y = – 14
Ответ: 14; – 14

9.  10 – 2| x | = 4
2| x | = 10 – 4
2| x | = 6
| x | = 6 : 2
| x | = 3
x = 3 или x = – 3
Ответ: 3; – 3

То есть при решении уравнений, содержащих модуль мы получим три вида ответа:
два корня (если под знаком модуля положительное число), один корень (если под знаком модуля 0)
нет корней (если под знаком модуля отрицательное число).

Решение простейших неравенств, содержащих модуль

В 5 классе мы решали примеры с простейшими неравенствами. Линейные неравенства бывают строгие и нестрогие.
Строгие неравенства – это неравенства со знаками больше (>) или меньше (<).
x > a; x < a;
Нестрогие неравенства – это неравенства со знаками больше либо равно (≥) или меньше либо равно (≤).
x ≥ a; x ≤ a.

Примеры

1. Найдите все натуральные значения x, при которых является правильным неравенство x < 9

Решение.
Данное неравенство будет правильным при таких значениях x: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
Ответ: х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} – натуральные решения данного неравенства.

Примечание:
Число 0 не является решением этого неравества, так как 0 не является натуральным числом;
Число 9 не является решением этого неравества, так как данное неравенство строгое, то есть х строго меньше 9 и не может быть равным 9.

2. Какое наименьшее натуральное значение а удовлетворяет неравенство а > 12?

Решение.
Поскольку неравенство строгое, то число 13 является наименьшим натуральным значением а, которое удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 13

3. Какое наименьшее натуральное значение а удовлетворяет неравенство а ≥ 12?

Решение.
Поскольку неравенство нестрогое, то число 12 является наименьшим натуральным значением а, которое удовлетворяет данному неравенству.
Ответ: 12.

4. Найдите все натуральные значения x, при которых является правильным неравенство 2 < x < 9

Решение.
Неравенство двойное (читают как «х больше от 2, но меньше от 9»), строгое, поэтому 3; 4; 5; 6; 7; 8 – натуральные решения данного двойного неравенства.
Ответ: х = {3; 4; 5; 6; 7; 8}

5. Найдите все натуральные значения x, при которых является правильным неравенство 2 < x ≤ 9.

Решение.
3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 – натуральные решения данного двойного неравенства.
Ответ: х = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

6. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству| x | < 5.

Решение.
| x | < 5 (читаем как «расстояние от начала отсчёта до точки изображающей х меньше 5»).
Неравенство | x | < 5 эквивалентно (может быть также записано) –5 < x < 5. Неравенство двойное, строгое, поэтому данное неравенство будет правильным при таких значениях x: –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4.
Ответ: х = {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}

7. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству| x | ≤ 5.

Решение.
Неравенство | x | ≤  5 эквивалентно –5 ≤  x ≤  5. Неравенство двойное, нестрогое, поэтому числа –5 и 5 войдут в множество чисел, при которых данное неравенство будет правильным. Таким образом, данное неравенство будет правильным при таких значениях x: –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5.
Ответ: х = {–5; –4; –3; –2; –1;  0;  1;  2;  3;  4;  5}

8. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству | x | > 2 и обозначте их на координатной прямой.

Решение.
Неравенство | x | > 2 эквивалентно x < – 2 или x > 2. Обозначим на координатной прямой точки, координаты которых удовлетворяют данному неравенству

Поскольку неравенство строгое, то числа – 2 и 2 не входят в множество целых чисел, при которых данное неравенство будет правильным. А на координатной прямой эти точки обозначаем в виде незакрашенной точки.

Ответ: х = {…–5; –4; –3;  3;  4;  5…}

9. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству | x | ≥ 2 и обозначте их на координатной прямой.

Решение.
Неравенство | x | ≥ 2 эквивалентно x ≤ – 2 или x ≥ 2. Обозначим на координатной прямой точки, координаты которых удовлетворяют данному неравенству

Поскольку неравенство нестрогое, то числа – 2 и 2 входят в множество целых чисел, при которых данное неравенство будет правильным. А на координатной прямой эти точки обозначаем в виде закрашенной точки.

Ответ: х = {…–5; –4; –3; –2;  2;  3;  4;  5…}

10. Найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству 1 < | x | ≤ 3 и обозначте их на координатной прямой.

Решение.
Рассмотрим сначала левую часть неравенства. Она означает, что расстояние от начала отсчёта до точек меньше 1. Рассмотрим правую часть неравенства: расстояние от начала отсчёта до этих же точек меньше или равно 3.
Построим эти точки на координатной прямой:

1 и – 1 не входят в множество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству, потому что неравенство строгое.
3 и – 3 входят в множество целых чисел, которые удовлетворяют неравенству, потому что неравенство нестрогое.

Ответ: х = {–3; –2;  2;  3}

 

www.easyphysics.in.ua

Модуль числа | Уроки

Отрицательные числа
Дать определение отрицательных чисел нам поможет координатная прямая.
Координатная прямая — это прямая на которой: отмечена точка, принятая за начало отсчета, положительное направление этой прямой и масштаб — единичный отрезок.

Определение. Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим правее начала отсчета, называют положительными.
Определение. Числа, которые соответствуют точкам координатной прямой, лежащим левее начала отсчета называю отрицательными.
Число нуль, соответствующее началу отсчета, не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Числа 3 и -3; 5 и -5; 11,9 и -11,9; 4/5 и- 4/5 называются противоположными.
Модуль числа

Координата точки М равна – 4. Расстояние от точки М до начала координат О равно четырем единичным отрезкам.
Число 4 называют модулем числа – 4. Пишут: 4 = | – 4 | .
Модуль числа 4 равен 4 , так как точка N удалена от начала отсчета на четыре единичных отрезка. Пишут: | 4 | = 4 .
Модулем числа a называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки a .

Модуль числа 0 равен 0. Модуль числа не может быть отрицательным.
Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного — противоположному числу.
Противоположные числа имеют равные модули: | – a | = | a |.

Рассмотрим внимательно примеры:

Сравнение отрицательных чисел
Что больше:-1 или -2? Изобразим на числовой прямой эти координаты:

Итак, если сравнивать числа с помощью горизонтальной координатной прямой, из двух чисел меньшим считается то, изображение которого на координатной прямой расположено левее, а большим то, изображение которого расположено правее.
Число -2 стоит левее числа -1, значит, оно меньше -1>-2
На координатной прямой положительные числа располагаются справа от нуля, а отрицательные – слева от нуля, всякое положительное число больше нуля, а всякое отрицательное меньше нуля, и поэтому всякое отрицательное число меньше всякого положительного числа.
Если же мы сравниваем два отрицательных числа, то нужно сравнить их модули: большим будет то число, модуль которого меньше, а меньшим то число, модуль которого меньше. Например, -7 и -5. Сравниваемые числа – отрицательные. Сравниваем их модули 5 и 7. 7 больше чем 5, значит -7 меньше чем -5. Если отметить на координатной прямой два отрицательных числа, то левее окажется меньшее число, а большее будет расположено правее. -7 расположено левее -5, значит -7

Презентация по теме:prez1

mabi.vspu.ru

Модуль отрицательного числа | Математика

Модуль числа a — это расстояние в единичных отрезках на координатной прямой от начала отсчёта до точки с координатой a.

Расстояние от начала отсчёта — точки О с координатой 0 — до точки с отрицательной координатой -а равно а.

-а и а — противоположные числа.

Таким образом, модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу.

В формулах принято записывать модуль отрицательного числа так: |а|, где а<0,

(а не  |-а|).

Таким образом,

   

Примеры.

Так как модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, то

   

   

   

   

   

Светлана МихайловнаПоложительные и отрицательные числа

www.for6cl.uznateshe.ru