Метод жордана гаусса решения систем линейных уравнений – Метод Жордана- гаусса используется для решения систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном ба

Метод Гаусса-Жордана_методичка

Березнёва Т. Д.

Тема 7

«СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

МЕТОД ГАУССА – ЖОРДАНА.»

(Учебная дисциплина “Введение в линейную алгебру и аналитическую геометрию”)

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

МЕТОД ГАУССА – ЖОРДАНА.

Основные понятия

Уравнение с n переменными называется линейным, если все переменные (x₁,x₂, …x_n) входят в него в степени 1. Общий вид такого уравнения формально записывается следующим образом:

a₁x₁

+ a₂x₂ + … a_jx_j + … a_nx_n = b, (*)

или

=b.

Величины a_j, j = 1,…,n, и b являются известными (заданными). Величины a_j называются коэффициентами при переменных

(при неизвестных), а b — свободным членом.

Решением линейного уравнения (*) называется упорядоченный набор (,,…,) значений переменных, который при подстановке в уравнение (т.е. при замене x_jна при всехj

от 1до n обращает его в тождество. Подчеркнем, что решение уравнения с n переменными всегда есть набор из n чисел и каждый такой набор из n чисел представляет собой одно решение. Очевидно, что если хотя бы один коэффициент при переменных не равен 0, то уравнение (*) имеет решение. В противном случае решение существует только при b = 0, и это все произвольные наборы из n чисел.

Рассмотрим одновременно m уравнений вида (*), т.е. систему m линейных алгебраических уравнений с n переменными. Пусть каждое i — е уравнение, i = 1,2,…,m, задается коэффициентами при переменных a_i1, a

i₂, …, a_in и свободным членом b_i, т.е. имеет вид

a_i1x₁ + a_i2 x₂ + … + a_ij x_j + … + a_in x_n = b_i.

Тогда в общем виде система m линейных алгебраических уравнений с n переменными может быть записана в виде:

a₁₁x₁ + a₁₂ x₂ + … + a

_1j x_j + … + a_1n x_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2j x_j + … + a_2n x_n = b₂

_{………………………………………………………………………………}

a_i1x₁ + a_i2 x₂ + … + a_ij x_j + … + a_in

x_n = b_i (1)

…………………………………………………

a_m1x₁ + a_m2 x₂ + … + a_mj x_j + … + a_mn x_n = b_m

или, что то же самое,

=b_i, i = 1,…,m.

Если все свободные члены равны нулю, то система (1) называется

однородной, т.е. имеет вид

= 0,i = 1,…,m, (1⁰)

в противном случае — неоднородной. Система (1⁰) является частным случает общей системы (1).

Решением системы уравнений (1) называется упорядоченный набор (,,…,

) значений пере­менных, который при подстановке в урав­нения системы (1) (т.е. при замене x_jна , j = 1,…,n) все эти уравнения обращает в тождества, т.е. =b_i при всех i = 1,…,m.

Система уравнений (1) называется совместной, если у нее существует хотя бы одно решение. В противном случае система называется

несовместной.

Совокупность всех решений системы уравнений (1) мы будем называть множеством ее решений и обозначать X^b(X⁰, если система однородная). Если система несовместна, то X^b = .

Основная задача теории систем линейных алгебраических уравнений состоит в том, чтобы выяснить, совместна ли система (1), и, если совместна, то описать множество всех её решений. Существуют методы анализа таких систем, которые позволяют описывать множество всех решений в случае совместных систем или убеждаться в несовместности в противном случае. Одним из таких универсальных методов является

метод последовательного полного исключения неизвестных, или метод Гаусса — Жордана, который мы будем подробно изучать.

Прежде, чем переходить к описанию метода Гаусса — Жордана, приведем ряд полезных для дальнейшего определений и утверждений.

Две системы уравнений называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Другими словами, каждое решение одной системы является решением другой, и наоборот. Все несовместные системы считаются эквивалентными между собой.

Из определений эквивалентности и множества решений систем вида (1) сразу же вытекает справедливость следующих утверждений, которые мы сформулируем в виде теоремы.

Теорема 1. Если в системе (1) имеется уравнение с номером k, 1k m, такое, что a_kj = 0 j, то

1. если соответствующий свободный член b_k

   0, то система (1) несовместна;

2. если соответствующий свободный член b_k = 0, то k — е уравнение можно отбросить и получить систему из (m – 1) — го уравнения с n переменными, эквивалентную исходной.

Справедливость утверждений теоремы становится очевидной, если заметить, что k – е уравнение имеет вид

0x₁ + 0 x₂ + … + 0 x_j + … + 0 x_n

= b_k.

Теорема 2. Если к одному уравнению системы (1) прибавить другое уравнение этой же системы, умноженное на любое число, то получится система уравнений, эквивалентная исходной системе.

Доказательство. Умножим, например, второе уравнение системы (1) на некоторое число и прибавим его к первому уравнению. В результате этого преобразования получим систему (1’), в которой все уравнения, начиная со второго, не изменились, а первое имеет следующий вид

= b₁ + b₂.

Очевидно, если какой-нибудь набор (,,…,) значений переменных обращает в тождества все уравнения системы (1), то он обращает в тождества и все уравнения системы (1’). Наоборот, решение (x’₁ ,x’₂ ,…,x’_j , … ,x’_n) системы (1’) является также решением системы (1), так как система (1) получается из системы (1’) с помощью аналогичного преобразования, когда к первому уравнению системы (1’) прибавляется второе уравнение системы (1’), умноженное на число (-).

Точно также доказывается и следующее утверждение.

Теорема 2’. Умножение произвольного уравнения системы (1) на любое число, отличное от нуля, переводит систему (1) в эквивалентную ей систему уравнений.

Теоремы 2 и 2’ дают два вида преобразований, которым подвергалась система (1), оставаясь эквивалентной:

а) умножение (или деление) произвольного уравнения системы (1) на любое число, отличное от нуля;

б) прибавление (или вычитание) к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число.

Такие преобразования а) и б) называются элементарными преобразованиями системы уравнений (1).

Если к системе уравнений (1) несколько раз применить элементарные преобразования, то полученная в результате система, очевидно, также будет эквивалентна первоначальной.

Систему уравнений (1) можно записать в табличной форме:

x1	x2		xj		xn	b
a11	a12	…	a1j	…	a1n	b1
a21	a22	…	a2j	…	a2n	b2
…	…	…	…	…	…	…
ai1	ai2	…	aij	…	ain	bi
…	…	…	…	…	…	…
am1	am2	…	amj	…	amn	bm

(2)

Прямоугольная таблица чисел, составленная из коэффициентов a_ij при неизвестных системы (1), называется матрицей системы (1) и обозначается A (в ней m строк и n столбцов), столбец свободных членов обозначается b. Прямоугольная таблица, составленная из коэффициентов a_ij при неизвестных и из столбца свободных членов b системы (1), называется расширенной матрицей системы (1) и обозначается (в нейm строк и (n+1) столбцов), т.е = (A, b). В i – ой строке матрицы содержатся всеизвестные параметры, характеризующие i — ое уравнение системы (1), i = 1,…, m. В j – м столбце матрицы A содержатся все коэффициенты при неизвестном x_j, встречающиеся в системе (1).

Числа a_ij называются элементами матрицы А. Элемент a_ij находится в i — ой строке и в j — м столбце матрицы А. Принято говорить, что элемент a_ij находится на пересечении i — ой строки и j — го столбца матрицы А. Если все элементы строки (столбца) матрицы А (кроме одного) равны нулю, а ненулевой элемент равен единице, то такая строка (столбец) называется единичной (единич­ным).

Элементарным преобразованиям системы (1) соответствуют следующие элементарные преобразования таблицы (2):

а) умножение (или деление) всех элементов произвольной строки таблицы (2) на любое число, отличное от нуля,

б) прибавление (или вычитание) к одной строке (поэлементно) другой строки, умноженной на некоторое число.

В результате любого элементарного преобразования получается новая таблица, в которой вместо той строки, к которой прибавляли (или умножали на любое число, отличное от нуля), пишется новая строка, а осталь­ные строки (в том числе и та, которую прибавляли) пишутся без из­менения. Новая таблица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной системе.

Применяя элементарные преобразования можно таблицу (2) и соответственно систему (1) упростить так, что решить исходную систему становится просто. На этом и основан предлагаемый метод.

Метод последовательного полного исключения неизвестных

(Метод Гаусса — Жордана)

Метод последовательного полного исключения неизвестных, или метод Гаусса – Жордана, является универсальным методом анализа любых (заранее неизвестно, каких — совместных или несовместных) систем линейных алгебраических уравнений. Он позволяет решать совместные системы или убеждаться в несовместности несовместных систем.

Отметим принципиальное отличие предлагаемого метода решения систем линейных алгебраических уравнений от метода решения, ска­жем, стандартного квадратного уравнения. Оно решается с помощью хорошо известных формул, в которых неизвестные выражаются через коэффициенты уравнения. В случае общих систем линейных алгебраических уравнений мы таких формул не имеем и используем для отыскания решения метод итераций, или итеративный метод, или итерационный метод. Такие методы задают не формулы, а последовательность действий.

Метод Гаусса — Жордана представляет собой последовательную реализацию ряда однотипных больших шагов (или итераций). Это конкретный итерационный метод — один из многих методов итераций, предложенных для решения систем линейных алгебраических уравнений вида (1). Он состоит из начального этапа, основного этапа и заключительного этапа. Основной этап содержит повторяющиеся итерации – наборы однотипных действий.

Пусть задана конкретная система линейных алгебраических уравнений (1). Это значит, что известны n, m, a_ij, b_i, i = 1,…,m; j = 1,…,n. Опишем предлагаемый метод решения этой системы.

Начальный этап включает в себя построение таблицы I⁽⁰⁾ вида (2) и выбор в ней ведущего элемента – любого ненулевого коэффициента при переменных из таблицы (2). Столбец и строка, на пересечении которых стоит ведущий элемент, называются ведущими. (Пусть выбран элемент a_i0j0. Тогда i₀ – ая строка ведущая, j₀— й столбец ведущий.) Переходим к основному этапу. Заметим, что часто ведущий элемент называют разрешающим.

Основной этап состоит из повторяющихся однотипных итераций с номерами k = 1, 2,…. Опишем подробно итерации метода Гаусса — Жордана.

К началу каждой итерации известна некоторая таблица I вида (2), в ней выбран ведущий (разрешающий) элемент и, соответственно, ведущий столбец и ведущая строка. Кроме того, имеется информация о том, какие строки и столбцы уже были ведущими. (Так, например, после начального этапа, т.е. на итерации 1 известны I⁽⁰⁾, ведущий (разрешающий) элемент a_i0j0 и i₀ – ая строка ведущая, j₀— ой столбец ведущий.)

Итерация(с номером k) состоит из следующих действий.

1. Преобразование ведущего столбца (т.е. столбца, содержащего ведущий элемент) в единичный с 1 на месте ведущего элемента путем последовательного поэлементного вычитания ведущей строки (т.е. строки, содержащей ведущий элемент), умноженной на некоторые числа, из остальных строк таблицы. Сама ведущая строка преобразуется путем поэлементного деления ее на ведущий элемент.

2. Выписы­вается новая таблица I^(k), (k — номер итерации), в которой все столбцы, которые были когда-либо ведущими, – единичные.

3. Проверяется, можно ли в таблице I^(k) выбрать новый ведущий (разрешающий) элемент. По определению это любой ненулевой элемент, который стоит на пересечении строки и столбца, которые еще не были ведущими.

Если такой выбор возможен, то столбец и строка, на пересечении которых стоит ведущий (разрешающий) элемент, называются ведущими. Затем итерация повторяется с новой таблицей I^(k), т.е. действия 1 – 3 повторяются с новой таблицей I^(k). При этом строится новая таблица I^(k+1).

Если нельзя выбрать новый ведущий элемент, то переходим к заключительному этапу.

Заключительный этап. Пусть проделано r итераций, получена таблица I^(r), состоящая из матрицы коэффициентов при переменных A^(r) и столбца свободных членов b^(r) , и в ней нельзя выбрать новый ведущий элемент, т.е. метод остановился. Заметим, что метод обязательно остановится за конечное число шагов, т.к. r не может быть больше min{m,n}.

Каковы варианты остановки метода? Что значит «нельзя выбрать новый ведущий элемент»? Это значит, что после r – ой итерации в матрице A^(r) новой системы, эквивалентной системе (1), либо

а) все строки A^(r) были ведущими, т.е. в каждой строке стоит одна и ровно одна единица, которая не стоит больше не в какой другой строке,

либо

б) остались строки в A^(r) , состоящие только из нулей.

Рассмотрим эти варианты.

а) В этом случае r = m, m n. Переставив строки и перенумеровав переменные (т.е. переставив столбцы), можно таблицу I^(r) представить в виде

x1	x2		xr	xr+1		xn	b
1	0	…	0	a(r)1,r+1	…	a(r)1n	b(r)1
0	1	…	0	a(r)2,r+1	…	a(r)2n	b(r)2
…	…	…	…	…	…	…	…
0	0	…	0	a(r)i,r+1	…	a(r)in	b(r)i
…	…	…	…	…	…	…	…
0	0	…	1	a(r)m,r+1	…	a(r)mn	b(r)m

(3)

Подчеркнем, что в таблице (3) каждая переменная с номером i, не превосходящим r, встречается только в одной строке. Таблица (3) соответствует системе линейных уравнений вида

x₁ + =b^(r)₁ ,

x₂ + =b^(r)₂ ,

………………………, (4)

x_r+ =b^(r)_r ,

в которой каждая переменная с номером i, не превосходящим r, однозначно выражается через переменные x_r+1 , … ,x_n, коэффициенты матрицы a^(r)_ij , j = r+1,…,n, и свободный член b^(r)_i, представленные в таблице (3). На переменные x_r+1 , … ,x_n не накладываются никакие ограничения, т.е. они могут принимать любые значения. Отсюда произвольное решение системы, описываемой таблицей (3), или, что то же самое, произвольное решение системы (4), или, что то же самое, произвольное решение системы (1) имеет вид

x_i = b^(r)_i — a^(r)_ijx_j, i = 1,…,r = m; x_j – любое при j = (r+1),…,n. (5)

Тогда множество решений системы (1) можно записать как

X^b = {x=(x₁ , … ,x_n) : x_i = b^(r)_i — a^(r)_ijx_j при i = 1,…, r = m; x_j – любое при j =(r+1),…,n.}.

б) В этом случае r < m, и существует хотя бы одна строка k, k > r, (предполагаем, что сделана перестановка строк и столбцов такая же, как в пункте а)) такая, что a^(r)_kj= 0 при всех j. Тогда, если соответствующий свободный член b^(r)_kне равен 0, то k — е уравнение не имеет решения, и, следовательно, вся система не имеет решения, т.е. система (1) несовместна.

Если же соответствующий b^(r)_kравен 0, то k — ое уравнение является лишним и его можно отбросить. Отбросив все такие уравнения, получим, что система (1) эквивалентна системе из r уравнений с n переменными, которая через r шагов записывается с помощью таблицы вида (3), в которой все строки были ведущими. Таким образом, мы пришли к рассмотренному выше случаю а) и можем выписать решение вида (5).

Метод Гаусса – Жордана описан полностью. За конечное число итераций система линейных алгебраических уравнений будет решена (если она совместна) или будет очевидно, что она несовместна (если она действительно несовместна).

Переменные, соответствующие ведущим (разрешающим) элементам, или стоящие в ведущих столбцах, принято называть базисными, а ос­тальные переменные — свобод­ными.

Обратим внимание на следующее.

1) Когда мы начинаем решать систему методом Гаусса — Жордана, мы можем не знать, совместна эта система или нет. Метод Гаусса — Жордана за конечное число итераций r даст ответ на этот вопрос. В случае совместной системы на основании последней таблицы выписывается общее решение исход­ной системы. В этом случае число базисных переменных обязательно равно номеру r последней итерации, т.е. числу выполненных итераций. Число r всегда не превосходит min{m,n}, где m — число уравнений системы, а n — число переменных системы. Если r < n, то (n – r) равно числу свободных переменных.

2) При записи общего решения не нужно перенумеровывать переменные, как это делалось для простоты понимания при описании Заключительного этапа. Это сделано для более ясного понимания.

3) При решении системы (1) методом Гаусса — Жордана базисными переменными будут только переменные, соответствующие столбцам, которые на каких-то итерациях выступали в роли ведущих, и наоборот, если на какой-то итерации столбец выступал в качестве ведущего, соответствующая ему переменная обязательно будет в числе базисных.

4) Если общее решение системы (1) содержит хотя бы одну свободную переменную, то эта система имеет бесконечно много част­ных решений, если же свободных переменных нет, то система имеет единственное решение, которое совпадает с общим решением.

5) Ведущие элементы могут быть выбраны на каждой итерации различным способом. Важно только то, что это ненулевые коэффициенты, стоящие на пересечении строки и столбца, которые до этого не были ведущими. Различный выбор ведущих элементов может дать различные записи множества решений. Однако, само множество решений при любой записи одно и то же.

Поясним работу метода на примерах.

Пример I. Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений

2 x₁ – 3 x₂ + 3 x₃ + 5 x₄ = -1,

3 x₁ + 4 x₂ — 2 x₃ + 6 x₄ = 2, (6)

5 x₁ – 4 x₂ + 6 x₃ + 10 x₄ = 2

методом последовательного полного исключения неизвестных (методом Гаусса — Жордана).

Начальный этап. Сначала выпишем систему уравнений (6) в более удобной форме — в виде таблицы I⁽⁰⁾.

	x1	x2	x3	x4	b
I(0)	2	-3	3	5	-1
	3	4	-2	6	2
	5	-4	6	10	2

studfiles.net

3. Метод Жордана—Гаусса

Применяется для решения как неоднородных, так и однородных систем с произвольным числом уравнений m и произвольным числом неизвестных n. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы системы (АВ) исходную систему (4) преобразуют в равносильную, которая позволяет решить вопрос о совместности системы, и, если она совместна, записать её решение. Преобразования проводятся по следующей схеме, которая называется схемой Жордановых исключений:

1) выбираем любой элемент матрицы А, отличный от нуля. Он называется разрешающим элементом. Пусть это a_rs, тогда r-я строка называется разрешающей строкой, а s-й столбец называется разрешающим столбцом;

2) элементы разрешающей строки (r-й) оставляем без изменения;

3) элементы разрешающего столбца (s-го), кроме разрешающего элемента a_rs, заменяем нулями;

4) остальные элементы матрицы (АВ) пересчитываем по формуле:

(7)

По этому же правилу преобразуются и элементы столбца В, кроме b_r. В результате матрица (АВ) преобразуется в эквивалентную матрицу А, в которой снова выбираем разрешающий элемент. Это любой элемент матрицыА и расположенный в строке и столбце, которые ещё не были разрешающими. Схему преобразований 1—4 повторяем до тех пор, пока все строки (или столбцы) матрицы А не будут использованы как разрешающие.

Если при преобразованиях появляется строка, полностью состоящая из нулей, то её можно отбросить.

Если при преобразованиях появляется строка, соответствующая противоречивому уравнению вида:

0·х₁+ 0·х₂ + … + 0·х_n = b_i, где

то процесс преобразований на этом прекращают, так как система уравнений несовместна.

Пример 2. Дана система уравнений А·Х = В, где

Решить систему тремя методами:

а) по формулам Крамера;

б) матричным методом;

в) методом Жордана—Гаусса.

Решение. Согласно условиям задания имеем:

Систему линейных алгебраических уравнений А·Х = В запишем в координатной форме:

а) Решим систему по формулам Крамера.

Найдём определитель системы, используя формулы (2) и (1):

Так как система имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера (5):

Итак,

Сделаем проверку, подставив найденные значения х₁, х₂, х₃ в исходную систему, и убедимся, что все три уравнения данной системы обращаются в тождества:

Ответ: х₁ =–1, х₂ = –1, х₃ =1.

б) Решим систему матричным методом.

Из пункта а) следовательно, матрица системы имеет обратнуюА^–1, которую найдём по формуле (3).

Для этого вычислим алгебраические дополнения:

Получим А^–1 по формуле (3):

По формуле (6) имеем

Ответ: х₁ = –1, х₂ = –1, х₃ = 1.

в) Решим систему методом Жордана—Гаусса.

Преобразования расширенной матрицы системы оформим в виде таблицы (см. табл.).

А/В		Примечания
		Умножим первую строку на –1

		Разрешающий элемент а13=1. Оставляем разрешающую строку (первую) без изменений. Все элементы разрешающего столбца (третьего), кроме а13, заменяем нулями. Остальные элементы преобразуем по формуле (7)
		Разрешающий элемент а31=1. Оставляем разрешающую строку (третью) без изменений. Все элементы разрешающего столбца (первого), кроме а31, заменяем нулями. Остальные элементы преобразуем по формуле (7)
		Умножим вторую строку на 1/23
		Разрешающий элемент а22 = 1. Оставляем разрешающую строку (вторую) без изменений. Все элементы разрешающего столбца (второго), кроме а22, заменяем нулями. Остальные элементы преобразуем по формуле (7)

В последнем (четвертом) столбце матрицы АВ получено решение системы, соответствующее неизвестным в тех столбцах, в которых элементы равны единице, а именно: х₁ = –1, х₂ = –1, х₃ = 1. Отметим, что решения системы, полученные в пунктах а), б) и в), как и следовало ожидать, совпадают.

Ответ: х₁ = –1, х₂ = –1, х₃ = 1.

studfiles.net

1.Решение систем линейных уравнений методом гаусса – жордана

1.1. Основные понятия

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет следующий вид:

Здесь х_j ( j=1, n ) – переменные ( или неизвестные) системы, а_ij ( i =1,m; j = 1,n ) – коэффициенты при переменных, в_i ( i =1,m ) – свободные члены.

Решением системы ( І.І) называется всякий набор значений переменных х₁, х₂, …, х_n, при котором все уравнения превращаются в тождества. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной – в противном случае.

Например, система

совместна, так как она имеет, в частности, такое решение:

х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 0 . Система же

несовместна.

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот. Если какое-либо уравнение системы умножить на постоянный множитель λ ≠ 0 , то получится система уравнений, равносильная исходной. Аналогично, если к какому-либо уравнению системы прибавить другое уравнение системы, то получится система, равносильная исходной.

Наконец если, в системе есть уравнение вида

0∙х₁ + 0∙х₂ + … + 0∙ х_n = 0, то такое уравнение можно убрать, получив систему, равносильную исходной.

1.2. Приведение системы линейных уравнений к жордановой форме

Процесс отыскания решения системы линейных уравнений начинается с того, что система приводится к жордановой форме.

Определение. Жордановой формой системы (I.I) называется систе­ма линейных уравнений, обладающая следующими свойствами:

а) она равносильна системе (I.I)

б) в каждом уравнении жордановой формы есть такая переменная, которая входит в это уравнение с коэффициентом 1, а в остальные уравнения — с коэффициентом 0.

Так, если системе (I.I) равносильна следующая система линейных уравнений:

(1.2)

то (І.2) есть жорданова форма для (I.I). При этом переменные х_1, х₂,… ,х_к называются базисными, остальные переменные х_к+1,…, х_n называются свободными. Жорданова форма всегда является совместной системой линейных уравнений. Действительно, система (І.2) имеет следующее решение:

(І.3)

Так как система (І.2) равносильна системе ( І.І ) , то (І.3) является решением системы (І.І).

Таким образом, если для системы линейных уравнений ( І.І ) существует жорданова форма, то ( І.І ) – совместная система. Несовместная система жордановой формы не имеет.

Покажем, что любую совместную систему можно привести к жордановой форме. Это достигается методом Гаусса-Жордана, который состоит в следующем.

Рассмотрим первое уравнение системы (І.І). Выберем в нем переменную, коэффициент при которой отличен от нуля. Предположим, что а₁₁ ≠ 0. Поделим уравнение на а₁₁.

Получим уравнение

х₁+ а₁₂х₂ + … + а_1nх_n = в₁ (І.4)

Будем переменную х₁ делать базисной в жордановой форме. Для этого ее нужно исключить из остальных уравнений системы. Чтобы исключить х₁ из второго уравнения, умножим уравнение (І.4) на -а₂₁ и сложим со вторым уравнением. Затем исключим х₁ из третьего уравнения, для чего уравнение (І.4) умножим на –а₃₁ и сложим с третьим уравнением. Аналогично переменная х₁ исключается из остальных уравнений. Таким образом, взяв в качестве «ведущего» первое уравнение и проведя серию «жордановых исключений», мы получим равносильную (I.I) систему уравнений, в которой x₁ входит в первое уравнение с коэффициентом 1 , а в остальные уравнения — с коэффициентом 0.

После этого выбираем в качестве ведущего второе уравнение полученной системы. В этом уравнении берем коэффициент, отличный от нуля (пусть это коэффициент при х₂), делим уравнение на этот коэффициент и затем исключаем х₂ из всех остальных уравнений (в том числе и из первого). Затем в качестве ведущего выбираем третье уравнение и т.д.

Если на некотором шаге возникнет уравнение вида

0∙х₁ + 0∙х₂ + … + 0∙ х_n = 0 (І.5)

то удаляем его из системы. Если же возникнет уравнение вида

0∙х₁ + 0∙х₂ + … + 0∙ х_n = b ≠ 0, то это свидетельствует о несовместности исходной системы ( І.І), а несовместная система к жордановой форме не приводится.

Таким образом, метод Гаусса-Жордана совместную систему линейных уравнений приводит к жордановой форме, а в случае несовместности системы обнаруживает несовместность.

Ясно, что в жордановой форме число уравнений не может быть больше числа уравнений в исходной системе. Так, если система (1.2) является жордановой формой для системы (I.I), то , причем строгое неравенство имеет место тогда, когда на некоторых шагах жордановой процедуры удалялись уравнения вида (1.5).

Очевидно, одна и та же система может иметь много различных жордановых форм.

Пример. Привести к жордановой форме

Выберем в качестве ведущего первое уравнение, а в качестве базисной переменной — переменную х_1. Поделим первое уравнение на (-1) (коэффициент при х₁), получим:

Умножим это уравнение на (+5) и прибавим ко второму уравнению, затем умножим его на (-3) и прибавим к третьему уравнению.

Получим систему:

Теперь сделаем ведущим второе уравнение, а базисной переменной — переменную . Поделив второе уравнение на (-8) и исключивиз первого и третьего уравнений, получим систему:

Наконец, в третьем уравнении выбираем в качестве базисной переменную. Поделим это уравнение на (-1) и исключимиз остальных уравнений. Получим жорданову форму:

Переменные являются базисными, переменная— свободной.

studfiles.net

8. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и с использованием преобразований Жордана-Гаусса:

1. Определение матрицы. Перечислите основные виды матриц:

Матрицей называется прямоугольная таблица размерностью m на n, где m – число строк, n – число столбцов. Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Обозначается матрица всегда заглавными (прописными) латинскими буквами. Элементы матрицы заключаются в круглые и квадратные скобки, обозначаются они строчными буквами с индексом ij, где i – строка, j – столбец. Элемент матрицы находится на пересечении i-строки и j-столбца.

Основные виды матриц:

Прямоугольная – состоит из m строк и n столбцов.

Строчная (матрица строка, вектор строка) – матрица, состоящая из одной строки.

Столбцовая (матрица столбец, вектор столбец) – матрица, состоящая из одного столбца.

Квадратная – матрица, у которой число строк и столбцов одинаковое.

Диагональная – квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны нулю (главную диагональ образую элементы, у которых i=j).

Единичная – диагональная матрица, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали равны единице.

Симметричная – матрица, у которой все элементы симметричны относительно главной диагонали.

Нулевая – матрица любой размерности, все элементы которой равны нулю.

Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю. Верхняя треугольная матрица иногда называется правой треугольной, а нижняя треугольная — левой треугольной.

Если матрица прямоугольная, то мы можем преобразовать её в квази-треугольную, ступенчатую или трапециевидную матрицу

2. Операции над матрицами:

Произведением матрицы А на число λ называется матрица B, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число λ.

Делить матрицы нельзя.

Суммой двух матриц А и В, с одинаковым количеством строк и столбцов, называется матрица С, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых.

Умножение матриц определяется только для согласованных матриц. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если матрица А и В квадратные, то они всегда взаимно-согласованы.

Произведением матрицы Аmxk на матрицу Вkxn, называется матрица Сmxn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-столбца матрицы В.

Свойства умножения матриц:

1.(А*В)*λ = (А*λ)*В = А*(В*λ), где λ – любое число

2.(А + В)*С = А*С + В*С

3.(А*В*С) = (В*С*А) – если матрицы согласованы между собой.

4.А*Е = Е*А = А, где Е – единичная матрица

5.А*О = О*А = О, где О – нулевая матрица.

Транспонирование матрицы осуществляется путём замены каждой её строки столбцом с тем же номером.

Свойства транспонирования матриц:

1.(А^т)^т = А

2.(А + В)^т = А^т + В^т

3.( λ*А)^т = λ*А^т

4.(А*В)^т = А^т*В^т, если матрицы согласованы между собой.

3. Расчёт определителей второго и третьего порядка:

Определителем второго порядка называется число:

Определителем третьего порядка называется число, полученное при расчёте определителя по формуле Сарруса:

4. Свойства определителей:

1.Определитель не изменится, при замене всех его строк соответствующими столбцами (при транспонировании).

2.При перестановке двух столбцов (строк) местами определитель меняет знак на противоположный.

3.Определители с двумя одинаковыми столбцами (строками) всегда равен нулю.

4.Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки) можно выносить за знак определителя. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки (столбца) любой матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель всех элементов.

5.Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю.

6.Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками) всегда равен нулю.

7.Если в определителе все элементы некоторого столбца (строки) равны суммам двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух соответствующих определителей.

8.Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умножив их на один и тот же коэффициент.

9.Минором М_ij элемента а_ij матрицы n-ного порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из матрицы n-ного порядка путём вычёркивания i-строки и j-столбца.

Каждая матрица n-ного порядка имеет n² миноров n-первого порядка.

10.Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется минор элемента a_ij умноженный на (-1)^i+j

Дополнение всегда обозначают той же буквой, что и матрица, но всегда с индексами.

11.Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

12. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

13. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) всегда равна нулю.

5. Обратная матрица. Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса.

Обратной для квадратной матрицы А называется матрица А^-1, для которой выполняется: А^-1*А=А*А^-1=Е

Из определения следует, что обратную матрицу можно построить только для квадратной, обе матрицы прямая и обратная имеют один и тот же порядок.

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы:

Определитель прямой матрицы должен быть отличен от нуля. Тогда матрица А называется не вырожденной или не особенной. В противном случае, если определитель равен нулю, матрица называется вырожденной или особенной.

Теорема:

Обратная матрица А^-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица не вырождена.

Необходимость.

Пусть для матрицы А существует обратная А^-1, т.е. А* А^-1 = А^-1*А = Е. Тогда, |А* А^-1|=|А|*|А^-1|=|Е|=1,т.е.|А|≠ 0 и |А^-1| ≠ 0; А – невырожденная.

Достаточность.

Пусть дана невырожденная матрица порядка n

,

так что ее определитель 0. Рассмотри матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А:

,

ее называют присоединенной к матрице А.

Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения к элементам i-той строки матрицы А стоят в i-том столбце матрицы А^*, для .

Найдем произведения матриц АА^* и А^*А. Обозначим АА^* через С, тогда по определению произведения матриц имеем: С_ij = а_i1А _1j + а_i2А _2j + … + а_inА_nj ;

При i = j получим сумму произведений элементов i — той строки на алгебраические дополнения этой же строки, такая сумма равняется значению определителя. Таким образом С_ij = |А| = D — это элементы главной диагонали матрицы С. При i j, т.е. для элементов С_ij  вне главной диагонали матрицы С, имеем сумму произведений всех элементов некоторой строки на алгебраические дополнения другой строки, такая сумма равняется нулю. Итак, = АА^*

Аналогично доказывается, что произведение А на А^* равно той же матрице С. Таким образом, имеем А^*А = АА^* = С. Отсюда следует, что

Поэтому, если в качестве обратной матрицы взять , тоИтак, обратная матрица существует и имеет вид:

.

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса:

Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса состоит в следующем действии: (А|E) = (E|A^-1), которое проводится посредством тех же операций, что и при вычислении определителя или посредством преобразований Гаусса.

6. Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения.

a_ij – коэффициенты при неизвестном

b_i – свободные члены.

i/j от 1 до n

Решением данной системы называется упорядоченная совокупность n чисел: c₁, c₂, c₃…c_n, подстановка которых в каждое уравнение системы обращает его в истинное тождество.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

Система, не имеющая ни одного решения, называется не совместной.

Совместная система называется определённой, если она имеет только одно решение и не определённой, если она имеет более одного решения.

Линейная система называется не определённой, если существуют свободные члены, отличные от нуля.

Если все свободные члены равны нулю, то такая система называется однородной.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Любые две не совместные системы всегда эквивалентны (нет решений).

7. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Крамера:

Формула решения системы методом обратной матрицы:

X = A^-1*B, применяется если определитель прямой матрицы отличен от нуля.

Где Х – матрица столбец, содержащая решения системы x₁, x₂…x_n, а В – матрица столбец, в которой содержатся свободные члены системы b₁, b₂…b_n.

Рассмотрим квадратную матрицу

 .

Обозначим  =det A. – определитель.

Обратная матрица вычисляется по формуле

где А _{i j} — алгебраические дополнения элементов a _{i j}.

А_ij = (-1)^i+j* М_ij

Рассмотрим систему уравнений, решив её методом Крамера:

Вычислим определитель:

,

Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений).

В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:и

Корни уравнения находим по формулам: ,

Для решения данной системы применяется метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) с использованием жордановских преобразований. Такой совокупный метод носит название метода Жордана-Гаусса. Для этого метода удобно записывать систему таблицей.

Выбираем любой не нулевой элемент таблицы (в качестве выбранного элемента должен быть коэффициент при переменной) a_ij. Свободные члены никогда не выбираются. Выбранный коэффициент заключается в прямоугольную рамочку (этот элемент называется разрешающим). Строка и столбец, содержащие данный элемент также называются разрешающими или разрешёнными

Система уравнений называется разрешённой, если каждое уравнение системы содержит разрешённую неизвестную. Разрешённые неизвестные взятые по одной из каждых уравнений, образует полный набор разрешённых неизвестных систем. Разрешённые неизвестные, входящие в полный набор также называются базисными, а все остальные свободными.

Для того, чтобы провести Жордана-Гауссовские преобразования, нужно разрешающую строку умножить на подходящий коэффициент и сложить полученную строку с другой (желательно, чтобы коэффициент был противоположным разрешающему элементу, либо любым другим числом, при сложении с которым получался бы нуль).

Таким образом проделываем вышесказанное с каждой строкой и получаем упрощённый вариант нашей системы, из которой уже можно получить решения заданной системы уравнений.

9. Ранг матрицы. Основные свойства ранга матрицы.

Рангом матрицы называется наибольший из порядков её миноров, отличных от нуля. Обозначается ранг матрицы как: r, rang (A), Rang (A), Rg.

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков.

Ранг матрицы равен нулю, если все элементы данной матрицы равны нулю.

Для квадратной матрицы n-ного порядка, ранг матрицы равен n тогда и только тогда, если заданная матрица будет не вырожденная (определитель не равен нулю).

Основные свойства для вычисления ранга матрицы:

1). Ранг транспонированной матрицы всегда равен рангу исходной матрицы.

2). Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть или приписать нулевую строку или столбец.

3). Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы:

— отбрасывание нулевой строки или столбца

— умножение всех элементов строки или столбца на число, отличное от нуля.

— перестановка местами двух строк или столбцов.

— транспонирование матрицы

— прибавление к каждому элементу строки или столбца элемента другой строки или столбца, умноженного на const.

*замечание*

Для вычисления ранга матрицы можно не использовать метод окаймляющих миноров, а свести исходную матрицу к треугольному, диагональному или трапециевидному виду.

9. Модель межотраслевого баланса Леонтьева:

Цель балансового анализа — ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике, связанный с эффективностью сведения многоотраслевого хозяйства.

Каким должен быть объём производства каждой n-отрасли, чтобы удовлетворить все потребности в продукции данной отрасли, при этом каждая отрасль выступает как производителем некоторой продукции, так и как потребитель своей продукции и произведённой другими отраслями.

Связь между отраслями отражается в таблицах межотраслевого баланса.

Математическая модель, позволяющая её анализировать, разработана в 1936 году американским экономистом Леонтьевым.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например: за год).

x_ij – объём продукции i-отрасли, потребляемой j-отрасли в процессе производства.

y_i – объём конечного продукта i-отрасли.

x_i – общий объём продукции i-отрасли (валовой объём).

n

Х_i = Σ Х_ij + У_i – валовой объём

j=1 i-отрасли равен суммарному объёму продукции, потребляемой n отраслями, и конечному продукту.

a_ij = х_ij/x_j

x_ij = a_ij*x_j (линейная модель)

a_ij – коэффициент прямых затрат, показывает затраты продукции i-отрасли

, где A – матрица прямых затрат, X – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продукта.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в нахождении такого вектора валового выпуска X, который, при заданной матрице А, обеспечит вектор конечного продукта Y.

Х = АХ + Y

Х – АХ = Y

(Е – А)*Х = Y

Х = (Е – А)^-1* Y

(Е – А)^-1 = S – матрица полных затрат

|E – A| ≠ 0

Каждый элемент данной матрицы есть величина валового выпуска продукции i-отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта.

Оценка продуктивности матрицы А:

1). Матрица А называется продуктивной, если все её элементы

≥ 0, если для любого элемента Y ≥ 0, существует матрица Х, все элементы которой ≥ 0.

2). Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов её столбцов не превосходит единицы, причём хотя бы для одного из столбцов строго меньше единицы. Это является проверкой рентабельности производства.

3). Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда существует матрица S и все её элементы ≥ 0.

12. N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел. N-мерным вектором называется последовательность  чисел. Эти числа называются координатами вектора. Число координат вектора n называется размерностью вектора.

Линейные опреации:

a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+c)

c,b=const c(ba)=(cb)a

(c+b)a=ca+ba

a+0=a

a+(-a)=0

a*1=a

studfiles.net

Решение оптимизационных задач — Решение систем линейных уравнений методом Жордана Гаусса 2 Пример Решить методом ЖорданаГаусса систему линейных уравнений 2

  1   2   3   4   5   6
Решение оптимизационных задач

Оглавление
1.

1. Решение систем линейных уравнений методом Жордана – Гаусса 2

Пример 1. Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных уравнений: 2

2. Общая задача оптимизации 7

3. Графический метод решения задач линейного программирования 10

4. Симплексный метод решения задачи линейного программирования 22

5. Технология решения задач линейного программирования с помощью поиска решений в среде EXCEL 30

6. Двойственность в задачах линейного программирования. Анализ полученных оптимальных решений 51

Задания к контрольной работе 66

Задача 1 66

1. Решение систем линейных уравнений методом Жордана – Гаусса

Пример 1. Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных уравнений:

Х₁ + Х₂ + 2Х₃ = -1

2Х₁ – Х₂ + 2Х₃ = -4

4Х₁ + Х₂ + 4Х₃ = -2
Решение:

Составим расширенную матрицу

1. Итерация.

В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на -2 и -4. Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

2 Итерация.

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку на 1 и 3 и складываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу:

3 Итерация.

Выбираем направляющий элемент . Так как , то делим третью строку на -2. Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого умножаем третью строку на -4/3 и -2/3 и складываем соответственно с первой и второй строками. Получим матрицу:

откуда Х₁ = 1, Х₂ = 2, Х₃ = -2.

Пример 2. Решить методом Жордана – Гаусса систему линейных уравнений:
Х₁ + 2Х₂ + 2Х₃ +22Х₄ — 4Х₅ = 11

Х₁ +2Х₂ + Х₃ +16Х₄ — 4Х₅ = 9

Х₁ + Х₂ + Х₃ +12Х₄ — 2Х₅ = 6
Решение:

Составим расширенную матрицу

1 Итерация.

В качестве направляющего элемента выбираем элемент . Преобразуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей строкам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на -1. Получим матрицу:

На этом первая итерация закончена.

2 Итерация.

Выбираем направляющий элемент . Умножаем третью строку на -1. Преобразуем второй столбец в единичный. Для этого к первой строке прибавляем третью строку, соответственно умноженную на -2.

Получим матрицу:

3 Итерация.

Выбираем направляющий элемент . Так как , то умножаем вторую строку на –1. Преобразуем третий столбец в единичный. Для этого вторую строку складываем с третьей строкой.

Получим матрицу:

	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
	1	2	2	22	-4	1	0	0	11
	1	2	1	16	-4	0	1	0	9
	1	1	1	12	-2	0	0	1	6
	1	2	2	22	-4	1	0	0	11
1	0	0	-1	-6	0	-1	1	0	-2
	0	-1	-1	-10	2	-1	0	1	-5
	1	0	0	2	0	-1	0	2	1
2	0	0	-1	-6	0	-1	1	0	-2
	0	1	1	10	-2	1	0	-1	5
	1	0	0	2	0	-1	0	2	1
3	0	0	1	6	0	1	-1	0	2
	0	1	0	4	-2	0	1	-1	3
	1	0	0	2	0	-1	0	2	1
	0	1	0	4	-2	0	1	-1	3
	0	0	1	6	0	1	-1	0	2

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:
Х₁ + 2Х₄ = 1

Х₂ +4Х₄ — 2Х₅ = 3

Х₃ +6Х₄ = 2
Система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Общее решение имеет вид:
Х₁ = 1 — 2Х₄

Х₂ = 3 — 4Х₄ + 2Х₅

Х₃ = 2 — 6Х₄.
Переменные Х₁, Х₂, Х₃ являются основными (или базисными). Любое частное решение получается из общего путем придания конкретных значений свободным переменным. Если свободные переменные Х₄ и Х₅ положить равными нулю, то получим первое базисное решение Х₁ = 1, Х₂ = 3, Х₃ = 2, Х₄ = 0, Х₅=0.

Первое базисное решение имеет вид: (1,3,2,0,0).

Общее число групп основных переменных, т.е. базисных решений не более, чем
==
Если все компоненты базисного решения неотрицательны, то такое решение называется опорным.

  1   2   3   4   5   6

historich.ru

Метод Жордана – Гаусса.

Пусть дана система, состоящая из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(1)

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы (1) может быть приведена к виду:

(2)

Матрица (2) является расширенной матрицей системы:

(3)

которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной системе.

Если хотя бы одно из чисел отлично от 0, то система (3), а следовательно и исходная система (1) несовместна.

Если же , то система (3) и (1) совместна. И из (3) базисные неизвестныевыражаются через свободные неизвестные.

Пример.

Методом Жордана-Гаусса найти общее решение системы уравнений:

Решение:

Проведя элементарные преобразования над расширенной матрицей, получим:

Получим 0 в третьей и четвертой строках. Умножим вторую строку на . К первой строке прибавляем 2 (смотри последнюю матрицу), умноженную на 2. Это делается для того, чтобы .

Первые две строки последней матрицы составляют расширенную матрицу системы:

эквивалентной исходной системе.

Считая базисными неизвестными, а свободными, получим общее решение в виде:

.

17

studfiles.net

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Курсовая работа

по программированию по теме:

«Решение системы линейных уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса»

Сумы 2005

ПЛАН

Постановка задачи

Теоретическая часть

Методы решения примененные в программе

Метод Гаусса.

Метод Жордана-Гаусса.

Краткое описание среды визуальной разработки Delphi

Таблица основных обозначений программы.

Описание процедур и алгоритм роботы программы

Текст программы.

Файл-модуль unit1.pas

Файл-модуль unit2.pas

Файл проекта — Project1.dpr:

Результат работы программы.

Инструкция по работе с программой

Использованная Литература

Постановка задачи

Составить программу для решения систем линейных уравнений размером n на n методом Гауса и Жордана-Гаусса.

Теоретическая часть

Методы решения примененные в программе

Метод Гаусса

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в последовательном исключении неизвестных и описывается следующей процедурой.

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы может быть приведена к виду

Эта матрица является расширенной матрицей системы

которая эквивалентна исходной системе

Заметим, что перестановка столбцов означает перенумерацию переменных. На практике обычно избегают этой процедуры, приводя расширенную матрицу к ступенчатому виду путем элементарных преобразований над строками.

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система несовместна. Если же , то система совместна и можно получить явное выражение для базисных неизвестных через свободных неизвестных

Метод Жордана-Гаусса.

Элементарные преобразования этого метода аналогичны методу Гаусса, только матрица при использовании этого метода приводится к виду, тоесть столбец свободных коэффициентов превращается в столбец корней.

Краткое описание среды визуальной разработки Delphi

Среда Delphi — это сложный механизм, обеспечивающий высокоэффективную работу программиста. Визуально она реализуется несколькими одновременно раскрытыми на экране окнами. Окна могут перемещаться по экрану, частично или полностью перекрывая друг друга, что обычно вызывает у пользователя, привыкшего к относительной “строгости” среды текстового процессора Word или табличного процессора Excel, ощущение некоторого дискомфорта. После приобретения опыта работы с Delphi это ощущение пройдет, и вы научитесь быстро отыскивать нужное окно, чтобы изменить те или иные функциональные свойства создаваемой вами программы, ибо каждое окно несет в себе некоторую функциональность, т. е. предназначено для решения определенных задач.

Запустите Delphi — и вы увидите нечто, похожее на

На рисунке изображены шесть наиболее важных окон Delphi: главное окно, окно Дерева объектов (Object Tree View), окно Инспектора объектов, окно браузера, окно формы и окно кода программы.

Чтобы упорядочить окна так, как они показаны на рисунке, вам придется вручную изменять их положение и размеры, т. к. обычно окно кода программы почти полностью перекрыто окном формы. Впрочем, добиваться максимального сходства того, что вы видите на экране вашего ПК, с изображением, показанным на рисунке, вовсе не обязательно: расположение и размеры окон никак не влияют на их функциональностью.

Замечу, что при первом запуске Delphi поверх всех окон появится окно

С помощью этого окна вы сможете получить доступ к Web-страницам корпорации Inprise для просмотра самой свежей информации о корпорации и ее программных продуктах, копирования дополни тельных файлов, чтения ответов на наиболее часто задаваемые вопросы и т. д. При повторных запусках Delphi это окно появляется автоматически с некоторой периодичностью, определяемой настройками на странице окна Tolls | Environment Options, связанной с закладкой Delphi Direct. Вы также сможете его вызвать в любой момент с помощью опции Help | Delphi Direct главного меню.

Таблица основных обозначений программы.

Обозначение	Описание	Модуль
maxr	Константа для ограничения максимального размера системы	Unit2
arys, ary2s	Типы данных для переменных, в которых хранятся значения коэффициентов системы	Unit2
Gauss1	Процедура для решения системы линейных уравнений методом Гаусса	Unit2
Gaussj	Процедура для решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса	Unit2
i,j,l	Счетчики	Unit1
prover	Промежуточная переменная типа String, используется для проверки наличия букв среди коэффициентов системы, а также для замены «.» на «,».	Unit1
S	Переменная для хранения размера матрицы	Unit1
k	Переменная для хранения длины строчки хранящейся в переменной prover.	Unit1
dl	Переменная для проверки размера системы.	Unit1
MainMenu1	Меню программы.	Unit1
File1, New1, Save1, Exit1	Пункты меню.	Unit1
Matrix, Coef, Gauss, Jgauss	Таблицы для ввода элементов системы и вывода результатов расчета.	Unit1
XPManifest1	Компонент, который дает программе возможность использовать оформление Windows.	Unit1
SaveDialog1	Диалоговое окно для сохранения результатов.	Unit1
Button1, Button2	Кнопки для запуска процедур решения системы.	Unit1
New1Click	Процедура, которая выполняется после выбора пункта меню New.	Unit1
Button1Click	Процедура, которая выполняется после нажатия кнопки Gauss.	Unit1
Button2Click	Процедура, которая выполняется после нажатия кнопки J-Gauss.	Unit1
Save1Click	Процедура, которая выполняется после выбора пункта меню Save.	Unit1
Exit1Click	Процедура, которая выполняется после выбора пункта меню Exit.	Unit1
Form1	Собственно окно программы.	Unit1

coolreferat.com