Метод саррюса онлайн – Вычисление определителя матрицы 3 порядка. Правило треугольника (Саррюса) — смотреть онлайн видео урок бесплатно! Автор: alWEBra — Линейная алгебра

Приведение определителя к треугольному виду

Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду. Рассмотрим приведение определителя матрицы к треугольному виду.

Для того чтобы привести матрицу к треугольному используйте свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами. Для нахождения определителя нужно умножить все элементы на главной диагонали.

Пример

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Сделаем элемент a_2,1 равный нулю.

Из строки №2 вычтем строку №1, умноженную на 1 элемент строки №2, т.е. на 3

Сделаем элемент a_3,1 равный нулю.

Из строки №3 вычтем строку №1, умноженную на 1 элемент строки №3, т.е. на 8

Сделаем элемент a_4,1 равный нулю.

Из строки №4 вычтем строку №1, умноженную на 1 элемент строки №4, т.е. на 6

Сделаем элемент a_3,2 равный нулю.

Из строки №3 вычитаем строку №2, умноженную на 5

Сделаем элемент a

4,2 равный нулю.

Из строки №4 вычитаем строку №2, умноженную на 2

Сделаем элемент a_4,3 равный нулю.

Из строки №4 вычтем строку №3, умноженную на 9/21.

Умножим элементы матрицы находящиеся на диагонали.

mozgan.ru

Определитель матрицы.

Определитель матрицы или детерминант матрицы — это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:

det(A) =	Σ	(-1)N(α1,α2,…,αn)·aα11·aα22·…·aαnn
	(α1,α2,…,αn)

где (α₁,α₂,…,α_n) — перестановка чисел от 1 до n, N(α₁,α₂,…,α_n) — число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

Свойства определителя матрицы

2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

   det(A) = det(A^T)

7. Определитель обратной матрицы:

   det(A^-1) = det(A)^-1

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

    a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . k·ai1 k·ai2 … k·ain . . . . an1 an2 … ann

    = k

    a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . ai1 ai2 … ain . . . . an1 an2 … ann

12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kⁿ·det(A)

    где A матрица n×n, k — число.
13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . bi1 + ci1 bi2 + ci2 … bin + cin . . . . an1 an2 … ann

    =

    a 11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . bi1 bi2 … bin . . . . an1 an2 … ann

    +

    a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n . . . . ci1 ci2 … cin . . . . an1 an2 … ann

14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)

Методы вычисления определителя матрицы

Вычисление определителя матрицы 1×1

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a₁₁| = a₁₁

Вычисление определителя матрицы 2×2

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

∆ =

= a11·a22 — a12·a21

Пример 1.

Найти определитель матрицы A

A =

5 7 -4 1

Решение:

det(A) =

= 5·1 — 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Вычисление определителя матрицы 3×3

Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

+		–

∆ =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

=

=  a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ — a₁₃·a₂₂·a₃₁ — a₁₁·a₂₃·a₃₂ — a₁₂·a₂₁·a₃₃

Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

∆ =

a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32

=

=  a₁₁·a₂₂·a₃₃ + a₁₂·a₂₃·a₃₁ + a₁₃·a₂₁·a₃₂ — a₁₃·a₂₂·a₃₁ — a₁₁·a₂₃·a₃₂ - a₁₂·a₂₁·a₃₃

Пример 2.

Найти определитель матрицы A

A =	5 7 1 -4 1 0 2 0 3

Решение:

det(A) =

= 5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 — 1·1·2 — 5·0·0 — 7·(-4)·3 =

= 15 + 0 + 0 — 2 — 0 + 84 = 97

Вычисление определителя матрицы произвольного размера

Разложение определителя по строке или столбцу

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

	n
det(A) =	Σ	aij·Aij          — разложение по i-той строке
	j = 1

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

	n
det(A) =	Σ	aij·Aij          — разложение по j-тому столбцу
	i = 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A

A =	2 4 1 0 2 1 2 1 1

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2·(-1)1+1·

+ 0·(-1)2+1·

+ 2·(-1)3+1·

=

= 2·(2·1 — 1·1) + 2·(4·1 — 2·1) = 2·(2 — 1) + 2·(4 — 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6

Пример 4.

Найти определитель матрицы A

A =	2 4 1 1 0 2 0 0 2 1 1 3 4 0 2 3

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

= -0·

+ 2·

— 0·

+ 0·

=

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 — 1·1·4 — 2·3·2 — 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 — 4 — 12 — 6) = 2·0 = 0

Приведение определителя к треугольному виду

Правило:

Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 — 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример 5.

Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду

A =	2 4 1 1 0 2 1 0 2 1 1 3 4 0 2 3

Решение:

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку помноженную на 2:

det(A) =

2 4 1 1 0 2 1 0 2 — 2 1 — 4 1 — 1 3 — 1 4 — 2·2 0 — 2·4 2 — 2·1 3 — 2·1

=

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбци:

Получим нули во третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец умноженный на 8:

det(A) = —

2 1 4 + 8·1 1 0 1 2 + 8·0 0 0 0 -3 + 8·2 2 0 0 -8 + 8·1 1

= —

= -2·1·13·1 = -26

Теорема Лапласа

Теорема:

Пусть ∆ — определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k < n. Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

0oq.ru

Вычисление определителя матрицы 3 порядка. Правило треугольника (Саррюса) — смотреть онлайн видео урок бесплатно! Автор: alWEBra — Линейная алгебра

---

В этом видео рассказывается о том, как вычислить определитель 3 порядка по правилу треугольника. Способ, которым мы будем вычислять определитель матрицы третьего порядка, называется правило треугольника или правило Саррюса. Пусть задана квадратная матрица A, состоящая из трех строк и трех столбцов. Для вычисления определителя по правилу треугольника, мы будем формировать слагаемые, которые состоят из произведения трех элементов матрицы. Всего таких слагаемых будет шесть, причем у первых трех из них знак будет сохраняться. Для нахождения первого слагаемого, необходимо перемножить элементы матрицы, которые расположены по диагонали — это элементы a11, a22 и a33. Второе слагаемое состоит из элементов, расположенных на линии, параллельной первой диагонали — это элементы a12 и a23, а третьего элемента мы берем элемент a31, находящийся в противоположном углу. Третье слагаемое состоит из трех оставшихся элементов матрицы — это элементы a21, a32 и a13. Таким образом мы получили три первых слагаемых: a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a21*a32*a13… Видео урок «Вычисление определителя матрицы 3 порядка. Правило треугольника (Саррюса)» вы можете смотреть онлайн абсолютно бесплатно в любое удобное время. Успехов!

---

• Автор: alWEBra
• Длительность: 4:48
• Дата: 20.04.2013
• Смотрели: 306
• Рейтинг: 0.0/0

---

---

---

Если у Вас есть качественные видео уроки, которых нет на нашем сайте, то Вы можете добавить их в нашу коллекцию. Для этого Вам необходимо загрузить их на видеохостинг (например, YouTube) и добавить код видео в форму добавления уроков. Возможность добавлять свои материалы доступна только для зарегистрированных пользователей.

videourokionline.ru

Разложить определитель по строке или столбцу

Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду. Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

— разложение по i-той строке.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

— разложение по j-той строке.

Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3. Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Сделаем ноль вместо элемента a₄₃=9. Для этого из строки №4 вычтем от соответствующие элементы строки №1 умноженные на 3.
Результат записываем в строке №4 все остальные строки переписываем без изменений.

Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a₁₃ = 3 в столбце № 3. Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.

Видим, что только слагаемое №1 не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.
Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:

Будем раскладывать этот определитель за строкой №1. Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2, и результат запишем в столбце №3, от этого величина определителя не изменится.

Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a₁₂=4. Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4. Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.

Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец №2 на 3, то и весь определитель увеличится в 3. А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 3.

Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a₁₁ = 3 в строке № 1. Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этой строкой.

Видим, что у нас остался один определитель второго порядка.

Найдем определитель по формуле: a₁₁×a₂₂ — a₂₁×a₁₂.

det(A)=3·(-14)·(-13)-(-6)·(-2)=510

mozgan.ru